Уравнения с умножением на ноль

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

Видео:Решение уравнений на умножение и деление.Скачать

По две стороны спора

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Видео:Математика 3 класс (Урок№29 - Умножение на 1. Умножение на 0.)Скачать

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Видео:Уравнение в котором произведение множителей равно нулю. Алгебра 7 класс.Скачать

Полезное видео

Видео:Умножение на 1 и 0Скачать

Подведем итоги

Правило умножения на нулевое значение порождает множество споров. Для понимания его сути достаточно рассмотреть пару примеров. Только запоминание формулировки позволит уяснить, можно умножать на 0 или нет.

Видео:Считаем в уме за секунду. #математика #арифметика #счет #ментальнаяарифметика #simplemathСкачать

Умножение на ноль — правило в математике и примеры

Видео:УРАВНЕНИЕ 4 КЛАСС МАТЕМАТИКА УЧИМСЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ #уравнениеСкачать

История возникновения

Ноль означает ничто, пустоту. Он используется для обозначения пустых разрядов чисел в позиционной системе счисления, а также в десятичных дробях до и после запятой. Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Использовать ноль начали еще в древности, о чем свидетельствуют трактаты вавилонян и надписи майя.

Но повсеместно применять в вычислениях его начали лишь спустя несколько тысячелетий. Это произошло в Индии. Нулю там придавали не только математический, но и философский смысл. Он означает отсутствие всего, а его форма соответствовала кругу жизни.

Индусы использовали 0 как любое другое число. Его складывали, вычитали, на него умножали. С делением на 0 возникла проблема, но благодаря ей в дальнейшем возникла другая область математики — математический анализ. Идею использования нуля подхватили исламские ученые на Ближнем Востоке и внесли его в арабскую систему счисления.

В Европе до Крестовых походов применялась Римская система счисления. Это непозиционная система, и ноль в ней отсутствует. Делать расчеты в ней очень тяжело. Для вычислений использовали специальные разграфленные таблицы — абаки. Расчеты с их применением производились часами, в то время как сегодня любой школьник сможет легко получить результат, например, перемножая или складывая числа в столбик.

Во времена первых Крестовых походов арабские цифры вместе с нолем и позиционной системой счисления пришли в Европу. К этим новшествам сначала отнеслись с большим недоверием. Во Флоренции даже был издан закон о запрещении использования арабских цифр вместе с нулем.

Считалось, что они поощряют мошенничество: 0 легко переделать на цифру 9 или приписать в конце счета, чтобы величина долга возросла многократно. Лишь в XV веке, когда началось развитие в сфере математики и механики, люди оценили преимущество нуля и арабских цифр и стали использовать их повсеместно.

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Сложение, умножение, степень

В математике используется несколько действий. Они следующие:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление;
• возведение в степень.

Сложение с нулем обычно вопросов не вызывает. Если к любому числу добавить 0, это значит, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй. То же самое будет, если отнять ноль.

Операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на ноль получается ноль. Это объясняется особенностями операции умножения. Изначально ее определяли как число, прибавленное к самому себе определенное количество раз, что справедливо для натуральных чисел. Так, 5 х 3 = 15. Этот пример можно заменить следующим выражением: 5 + 5 + 5 = 15. То есть число 5 было взято 3 раза. Согласно этому правилу, умножение на 0 числа 5 дает нулевой результат, и 5 х 0 = 0.

Чтобы было нагляднее, можно привести следующий пример:

• если мальчик съел 2 раза по 2 яблока, то окажется, что он позавтракал 4 яблоками;
• если он съел 3 раза по 2 яблока, то в результате получится 6 яблок;
• если же он съел 0 раз по 2 яблока, то ответ будет 0.

Иногда юные скептики выдвигают следующее возражение: допустим, у мальчика в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся в него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Действительно, яблоки из руки никуда не денутся. Но в примере учитываются лишь те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке у мальчика. В последнем случае они туда не попали.

Правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел:

• положительных;
• отрицательных;
• целых;
• дробей;
• разрядных;
• рациональных;
• иррациональных;
• 0 можно умножать на 0.

В любом случае произведение будет нулевым. С нулем можно производить следующие действия:

1. Если его разделить на любое ненулевое число, то в результате получится ноль. Правило действительно для положительных и отрицательных чисел.
2. Любое число, не равное нулю, можно возвести в нулевую степень, в результате получится 1. Ноль в нулевую степень возводить нельзя, это бессмысленно.
3. Нуль можно возвести в любую ненулевую степень, получится нуль. Пример: 0 2 = 0. Это выражение можно заменить следующим: 0 х 0 =0. Результат будет нулевым согласно правилам умножения.
4. Корень из нуля равен нулю.

Видео:Уравнения с десятичными дробями. Математика 5 классСкачать

Деление на ноль

Математики говорят, что четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление неравноправны. Базовыми считаются первое и третье из них (сложение и умножение), а деление и вычитание — производными.

Например, разность между 5 и 2 равна 3. Это действие также можно записать в виде следующего выражения: Х + 2 = 5. Решением уравнения будет число 3. Аналогичное правило действует и для умножения. Деление 6 на 3 можно записать так: Х * 2 = 3.

Для действий с нулем можно использовать следующий прием. Выражение записывают так: Х * 0 = 0. Здесь X может быть равен любому числу. Из этого следует, что невозможно найти число, умножение которого на 0 давало бы произведение, отличное от 0.

Если попытаться найти результат от деления ненулевого числа (например, 5) на ноль, то это действие можно записать так: Х * 0 = 5. Так, при умножении любого числа на ноль получается ноль, у этого уравнения в арифметике нет решения.

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Раскрытие неопределенностей

Действиями, связанными с делением на 0, занимается один из разделов высшей математики — математический анализ. В нем используется такое понятие, как бесконечность (бесконечно большая величина). Одно из ее определений — это предел, к которому стремится выражение а/Х при Х, стремящемся к нулю. Здесь а — любое ненулевое действительное число. Если в этом выражении уменьшать значение X, то результат будет увеличиваться, пока, в конце концов, не подойдет к бесконечности. С этой величиной можно делать различные математические действия:

• прибавлять любые числа;
• вычитать числа, не равные бесконечности;
• умножать на значения, не равные 0 и бесконечности;
• возводить в степень, не равную 0.

В результате получится бесконечность. Следующие выражения дают в результате полную неопределенность:

• бесконечность минус бесконечность;
• бесконечность умножить на 0;
• бесконечность разделить на бесконечность;
• ноль разделить на ноль;
• ноль умножить на бесконечность;
• ноль в нулевой степени;
• бесконечность в степени ноль;
• единица в степени бесконечность.

Задачи с неопределенностями возникают при вычислении пределов функций, которые заданы формулами, дающими подобные выражения при подстановке предельных значений аргумента. Математики говорят, что результатом таких уравнений будет бесконечное множество чисел. Обычно для их решения используют различные схемы и алгоритмы. Это называется раскрытием неопределенности.

Над нулем можно проделывать все арифметические операции. Единственное ограничение — он не может быть делителем для любого действительного числа. Результатом деления ненулевого числа на ноль в высшей математике считается бесконечность, а деление нуля на ноль дает неопределенность. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.

Видео:Изучаем математику с нуля / Урок № 7 / Умножение и деление на нольСкачать

Правила умножения и деления любого числа на ноль

Число ноль занимает особое место в такой науке, как математика, даже несмотря на то, что оно буквально означает «ничто», «пустоту».

Ноль используют для обозначения «пустых» разрядов в десятичных дробях, как после запятой, так и до, для начала отсчёта координат в системах координат, а также именно нолю принадлежит одно из основных правил арифметики – на ноль делить нельзя.

С ним выполняются все арифметические действия: деление, умножение, сложение и вычитание, но именно деление и умножение на ноль мы сейчас рассмотрим подробнее, так как в них содержатся некоторые нюансы.

Видео:Деление на ноль. Объяснение математического смысла.Скачать

Что такое умножение в математике, определение.

Для того, чтобы разобраться, чем отличается умножение числа на ноль от умножения других чисел на друг друга, нужно для начала дать определение, что такое операция умножения в целом.

Умножение – одно из основных действий в математике, в котором участвуют два аргумента – множитель и сомножитель. Зачастую, особенно в школах, первый аргумент называют множимым, а второй множителем. Результат их умножения называют произведением.

Для натуральных чисел умножением, по сути, является многократное сложение. Таким образом получаем, чтобы умножить число a на число b, необходимо b раз сложить a.

a ⋅ b = a + a + … + a> b

Видео:Математика 3 класс. 27 сентября. Умножение на 1 и на 0Скачать

Умножение на ноль, правило математики.

Основное правило гласит: при умножении числа на ноль и ноль на число в ответе всегда будет получаться ноль.

a ⋅ 0 = 0

0 ⋅ a = 0

Не всегда всем понятно, почему же в итоге получается ноль. Правило сухо заучивается, а вопрос так и остается без ответа, хотя ничего сверхъестественного и скрытого в этом нет, всё многим проще, чем может показаться изначально.

Ответ кроется в самом действии умножения, о котором мы подробно поговорили выше. Рассмотрим самое логичное и примитивное объяснение, дабы понять, что данное умножение бесполезно, так как при умножении числа на ноль результат всё равно будет один – ноль.

Допустим, число a – это яблоко, а число b – это количество яблок, которое необходимо взять. Если b будет равняться нолю, получается, мы берем яблоко ноль раз, а, следовательно, как не было яблок, так и нет.

И наоборот, если у нас нет яблок, то и взять ничего не получится.

Данный пример – настолько простой и понятный в понимании правил умножения на ноль, что даже самый далёкий от математических формул человек сможет в своей голове всё по полочкам разложить.

Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Примеры умножения на ноль.

0 ⋅ 3 = 0 + 0 + 0 = 0

0 ⋅ 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Видео:Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 классСкачать

Что такое деление в математике, определение.

Деление – в математике действие обратное умножению, также состоящее из двух аргументов – делимого и делителя. Результат деления называют частным. Остатком называют то число, что осталось после деления делимого на делитель.

Деление в математике принято обозначать двоеточием :, косой чертой /, горизонтальной чертой — или обелюсом ÷.

Если умножение для натуральных чисел заменяет многократное сложение, то, соответственно, деление будет заменять многократное вычитание.

Чтобы стало понятнее, рассмотрим на простом примере, таком как деление числа15 на число 2.

Из действия вычитания мы находим, что число 2 содержится в 15 семь полных раз, и еще остается единица.

В данном случае 15 – делимое, 2 – делитель, 7 – неполное частное, а 1 – остаток.

Также иногда результат деления называют отношением.

Видео:7 класс// АЛГЕБРА // Умножение одночлена на многочлен, решение уравненийСкачать

Деление на ноль, правило математики.

С начальной школы всем пытаются привить, что на ноль делить нельзя. Все это заучивают, не требуя лишних доказательств, ну нельзя и нельзя. Однако стоит спросить взрослого человека – а почему, собственно, нельзя? Мало кто сможет достаточно внятно ответить на поставленный вопрос из школьной программы, так как это правило вызывает довольно много противоречий.

Большинство людей и правда не делит на ноль только исходя из этого правила, не пытаясь найти ответ, по которому станет понятен этот запрет. Хотя ответ лежит прямо перед глазами.

Как оказалось, не все действия в арифметике полноправны, а точнее только сложение и умножение, следовательно, все остальные действия с числами исходят от них.

Рассмотрим в качестве примера выражение: 14 : 0

Данное выражение можно представить и в виде уравнения: 0 ⋅ x = 14

Становится понятно, что при делении на ноль, необходимо найти такое число, при умножении на которое получится 14, а это априори невозможно исходя из всего того, что мы выяснили ранее.

🎬 Видео

Решение уравнений, 6 классСкачать

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |ПОДРОБНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ / ПРОСТЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 КЛАСС МАТЕМАТИКАСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Задание №1 "Упростить выражение" по теме "Умножение и сложение многочленов и одночленов". Алгебра 7Скачать