Уравнения с сокращенным умножением примеры

Содержание
  1. Формулы сокращенного умножения с примерами
  2. Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
  3. Квадрат суммы
  4. Квадрат суммы: ((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)
  5. Квадрат разности
  6. Квадрат разности: ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)
  7. Разность квадратов
  8. Разность квадратов (a^2-b^2=(a+b)(a-b))
  9. Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования
  10. Формулы сокращенного умножения. Таблица
  11. Дополнительные формулы сокращенного умножения
  12. Как читать формулы сокращенного умножения?
  13. Доказательство ФСУ
  14. Примеры применения ФСУ
  15. Формулы сокращенного умножения с примерами решения
  16. Формулы сокращенного умножения
  17. Умножение разности двух выражений на их сумму
  18. Пример №135
  19. Пример №136
  20. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
  21. Квадрат суммы двух выражений
  22. Квадрат разности двух выражений
  23. Разложение на множители разности квадратов двух выражений
  24. Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности
  25. Разность и сумма кубов двух выражений
  26. Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители
  27. Применение преобразований выражений
  28. Сравнение значений многочлена с нулем
  29. Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений
  30. Решение задач на делимость
  31. Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора
  32. 📺 Видео

Видео:7 класс, 24 урок, Формулы сокращённого умноженияСкачать

7 класс, 24 урок, Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения с примерами

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями ), решении уравнений и неравенств , при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Видео:Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 классСкачать

Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 класс

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a+b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a+b)^2=(a+b)(a+b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь , и привести подобные слагаемые. Получаем:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: ((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве (a) и (b) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду .

Пример. Преобразуйте выражение ((1+5x)^2-12x-1 ) в многочлен стандартного вида.

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.

…и приведем подобные слагаемые.

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения ((368)^2+2·368·132+(132)^2) без калькулятора.

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

Видео:Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnlineСкачать

Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnline

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для ((a-b)^2):

Уравнения с сокращенным умножением примеры

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение ((2a-3)^2-4(a^2-a)) и найдите его значение при (a=frac).

Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки .

Теперь приведем подобные слагаемые.

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

Видео:Решение уравнений с формулами сокращенного умножения, 7 классСкачать

Решение уравнений с формулами сокращенного умножения, 7 класс

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Разность квадратов (a^2-b^2=(a+b)(a-b))

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями .

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

Воспользуемся формулами степеней: ((a^n )^m=a^) и (a^n b^n=(ab)^n).

Ну, а теперь пользуемся формулой (a^2-b^2=(a+b)(a-b)), где (a=5x^2) и (b=m^5 t^3).

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
(4xy) запишем как (2·x·2y),
а (4y^2) как ((2y)^2).

Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой (a=x), (b=2y). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как (3) в квадрате.

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой (a=(x-2y)), (b=3). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

Видео:Алгебра 7. Урок 4 - Формулы сокращенного умножения и как их запомнить.Скачать

Алгебра 7. Урок 4 - Формулы сокращенного умножения и как их запомнить.

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Видео:Алгебра 7. Урок 5 - Формулы сокращенного умножения - применение.Скачать

Алгебра 7. Урок 5 - Формулы сокращенного умножения - применение.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

  1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
  2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
  3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
  4. формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
  5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
  6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
  7. формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Видео:Как раз и навсегда выучить формулы сокращенного умноженияСкачать

Как раз и навсегда выучить формулы сокращенного умножения

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) ( n — 2 ) . . ( n — ( k — 1 ) ) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Видео:Формулы сокращенного умножения #математика #огэматематика #семен #огэСкачать

Формулы сокращенного умножения #математика #огэматематика #семен #огэ

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Видео:Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Упростим выражение 9 y — ( 1 + 3 y ) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y — ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№32 - Применение формул сокращённого умножения. Разложение многочленов.)Скачать

Алгебра 7 класс (Урок№32 - Применение формул сокращённого умножения. Разложение многочленов.)

Формулы сокращенного умножения с примерами решения

Содержание:

Видео:Разность квадратов двух выражений. 7 класс.Скачать

Разность квадратов двух выражений. 7 класс.

Формулы сокращенного умножения

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде Уравнения с сокращенным умножением примерыПоэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность Уравнения с сокращенным умножением примерына сумму Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Примеры выполнения заданий:

Пример №135

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примерыУравнения с сокращенным умножением примеры

Пример №136

Вычислить Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена Уравнения с сокращенным умножением примеры

Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

При возведении суммы Уравнения с сокращенным умножением примерыв квадрат промежуточные преобразования можно выполнять устно:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Итак, получили такую формулу квадрата разности:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны: Уравнения с сокращенным умножением примерыПоэтому при возведении в квадрат выражений Уравнения с сокращенным умножением примерыи Уравнения с сокращенным умножением примерыможно пользоваться формулами:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Для тех, кто хочет знать больше

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Докажем эти формулы.

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Примеры выполнения заданий:

Пример №137

Возвести в квадрат выражение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве Уравнения с сокращенным умножением примерыпоменяем местами левую и правую части:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена Уравнения с сокращенным умножением примерыЕе можно использовать при разложении на множители разности квадратов любых двух выражений. Например:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Примеры выполнения заданий:

Пример №138

Разложить на множители:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Пример №139

Вычислить Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Пример №140

Решить уравнение Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена Уравнения с сокращенным умножением примерыа вторая — трехчлена Уравнения с сокращенным умножением примеры

Примеры выполнения заданий:

Пример №141

Разложить на множители трехчлен Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Пример №142

Найти значение выражения Уравнения с сокращенным умножением примерыпри Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Запишем сначала трехчлен Уравнения с сокращенным умножением примерыв виде квадрата двучлена:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

При Уравнения с сокращенным умножением примерыполучим: Уравнения с сокращенным умножением примеры

При Уравнения с сокращенным умножением примерыполучим: Уравнения с сокращенным умножением примеры

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Докажем это тождество, перемножив выражения Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

В формуле разности кубов трехчлен Уравнения с сокращенным умножением примерыназывают неполным квадратом суммы выражений Уравнения с сокращенным умножением примеры(он напоминает трехчлен Уравнения с сокращенным умножением примерыкоторый является «полным» квадратом суммы выражений Уравнения с сокращенным умножением примеры). Поэтому формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Докажем это тождество:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Трехчлен Уравнения с сокращенным умножением примерыназывают неполным квадратом разности выражений Уравнения с сокращенным умножением примеры. Следовательно,

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примеры выполнения заданий:

Пример №143

Разложить на множители:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Разложим на множители многочлен Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Сначала вынесли общий множитель Уравнения с сокращенным умножением примерыза скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен Уравнения с сокращенным умножением примеры

Все члены многочлена имеют общий множитель Уравнения с сокращенным умножением примерыВынесем eго за скобки:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Многочлен Уравнения с сокращенным умножением примерыразложим на множители способом группировки:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Примеры выполнения заданий:

Пример №144

Разложить на множители трехчлен:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

а) Если к выражению Уравнения с сокращенным умножением примерыприбавить Уравнения с сокращенным умножением примерыто есть 9, то получим выражениеУравнения с сокращенным умножением примеры, которое является квадратом двучлена Уравнения с сокращенным умножением примеры

Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Пример №145

Разложить на множители многочлен Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Пример №146

Решить уравнение Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

откуда: Уравнения с сокращенным умножением примеры

Ответ: Уравнения с сокращенным умножением примеры

Применение преобразований выражений

Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №147

Доказать, что многочлен Уравнения с сокращенным умножением примерыпринимает только положительные значения.

Решение:

Выделив из трехчлена Уравнения с сокращенным умножением примерыквадрат двучлена, получим:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых Уравнения с сокращенным умножением примерыСлагаемое Уравнения с сокращенным умножением примеры: при любых Уравнения с сокращенным умножением примерыпринимает только неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительно. Поэтому выражение Уравнения с сокращенным умножением примерыпринимает только положительные значения. Поскольку Уравнения с сокращенным умножением примерыто и выражение Уравнения с сокращенным умножением примерыпринимает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства Уравнения с сокращенным умножением примерыполученного в примере 1, можно

указать наименьшее значение многочлена Уравнения с сокращенным умножением примерыОно равно Уравнения с сокращенным умножением примерыпричем это наименьшее значение многочлен принимает при Уравнения с сокращенным умножением примеры

Пример №148

Найти наибольшее значение многочлена Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Преобразуем данный многочлен так:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №149

Доказать, что значение выражения Уравнения с сокращенным умножением примерыделится на 8 при любом целом значении Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Упростим данное выражение:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

При любом целом значении Уравнения с сокращенным умножением примерыпроизведение Уравнения с сокращенным умножением примерыделится на 8, поэтому и значение выражения Уравнения с сокращенным умножением примерыделится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора

Пример №150

С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Решение:

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

Уравнения с сокращенным умножением примерыПри Уравнения с сокращенным умножением примерысхема вычислений имеет вид:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Интересно знать

Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.

Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение Уравнения с сокращенным умножением примерыони рассматривали как площадь прямоугольника со сторонами Уравнения с сокращенным умножением примеры

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:

Уравнения с сокращенным умножением примеры

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Разложение многочленов на множители
  • Системы линейных уравнений с двумя переменными
  • Рациональные выражения
  • Квадратные корни
  • Линейное уравнение с одной переменной
  • Целые выражения
  • Одночлены
  • Многочлены

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Многочлены. Формулы сокращенного умножения. Примеры ( Алгебра 7 класс )Скачать

Многочлены. Формулы сокращенного умножения. Примеры ( Алгебра 7 класс )

7 класс, 30 урок, Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умноженияСкачать

7 класс, 30 урок, Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. 7 КЛСкачать

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. 7 КЛ

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ #shorts #егэ #математика #огэ #разность #профильныйегэСкачать

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ #shorts #егэ #математика #огэ #разность #профильныйегэ

Алгебра 7 класс. Применение формул сокращенного умножения.Скачать

Алгебра 7 класс. Применение формул сокращенного умножения.

Алгебра 7 класс с нуля | Математика | УмскулСкачать

Алгебра 7 класс с нуля | Математика | Умскул

Сумма и разность кубов двух выражений. 7 класс.Скачать

Сумма и разность кубов двух выражений. 7 класс.

Формула сокращенного умноженияСкачать

Формула сокращенного умножения
Поделиться или сохранить к себе: