Уравнения с синусом и арксинусом (3 видео)

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

Содержание

Арксинусом числа (a) ((a∈[-1;1])) называют число (x∈[-frac;frac]) синус которого равен (a) т.е.
Как вычислить арксинус?
Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac) до (frac) ) равен аргументу арксинуса?
Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)
Если (sin ⁡x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ beginx= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zendright.)
Арксинус отрицательного числа
Алгебра
Арккосинус
Решение уравнений tgx = a и ctgx = a
Арксинус. Решение уравнения sin x = a
п.1. Понятие арксинуса
п.2. График и свойства функции y=arcsinx
п.3. Уравнение sin⁡x=a
п.4. Примеры
🎬 Видео

Арксинусом числа (a) ((a∈[-1;1])) называют число (x∈[-frac;frac]) синус которого равен (a) т.е.

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac) до (frac) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) Синус какого числа равен (-frac)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin ⁡x=-frac), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac) и (frac). Ответ очевиден:

б) Синус какого числа равен (frac<sqrt>)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac).

в) Синус от чего равен (-1)?
Иначе говоря, (sin ⁡x=-1), (x=) ?

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin ⁡x=frac).

Это не вызывает затруднений:

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: (sin ⁡x=frac).

Что тут будет ответом? Не (frac), не (frac), даже не (frac) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsin⁡frac), потому что известно, что синус равен (frac). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsin⁡frac). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsin⁡frac) от (π), то её значение составляет (π- arcsin⁡frac).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ beginx=arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac+2πl, l∈Zendright.) Без арксинусов решить уравнение (sin ⁡x=frac) не получилось бы. Как и уравнение (sin ⁡x=0,125), (sin ⁡x=-frac), (sin⁡ x=frac<sqrt>) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).
Решение:

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).

Решение:
Кто поторопился написать ответ ( left[ beginx=arcsin frac<sqrt>+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac<sqrt>+2πl, l∈Zendright.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin⁡ frac<sqrt>) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac<sqrt> = frac<1 cdot sqrt> <sqrtcdot sqrt>= frac<sqrt>). Таким образом, получаем:

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ beginx= arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac+2πl, l∈Zendright.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsin⁡frac)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если (sin ⁡x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ beginx= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zendright.)

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись (arcsin⁡(-frac<sqrt>)) в принципе неверна, ведь (-frac<sqrt> Синус
Тригонометрические уравнения

Видео:Основное тригонометрическое тождество. 8 класс.Скачать

Алгебра

План урока:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Арксинус. Решение уравнения sin x = a

п.1. Понятие арксинуса

В записи (y=sinx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если (sinx=1), то (x=fracpi2+2pi k, kinmathbb); если (sinx=0), то (x=pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (-fracpi2 leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности).

(arcsinfrac12=fracpi6, arcsinleft(-frac<sqrt>right)=-frac)
(arcsin2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения (-1leq xleq1) .
2. Функция ограничена сверху и снизу (-fracpi2leq arcsinxleq fracpi2) . Область значений (yin[-fracpi2; fracpi2])
3. Максимальное значение (y_=fracpi2) достигается в точке x=1
Минимальное значение (y_=-fracpi2) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: (arcsin(-x)=-arcsin(x)) .

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Значениями арксинуса могут быть только углы от (-fracpi2) до (fracpi2) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение (sinx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (fracpi6) и (frac) — это базовые корни.
Если взять корень справа (fracpi6) и прибавить к нему полный оборот (fracpi6+2pi=frac), синус полученного угла (sinfrac=frac12), т.е. (frac) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi6+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (frac+2pi k).
Получаем ответ: (x_1=fracpi6+2pi k) и (x_2=frac+2pi k)
Заметим, что (arcsinfrac12=fracpi6). Полученный ответ является записью вида
(x_1=arcsinfrac12+2pi k) и (x_2=pi-arcsinfrac12+2pi k)
А т.к. арксинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi6), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (sinx=0,8)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8.
Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
(x_1=arcsin0,8+2pi k,)
(x_2=pi-arcsin0,8+2pi k)

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением (x=(-1)^k arcsina+pi k).
Действительно, для чётных (k=2n) получаем: $$ x=(-1)^ arcsina+pi cdot 2n=arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных (k=2n+1):
$$ x=(-1)^ arcsina+pi cdot (2n+1)=-arcsina+2pi n +pi=pi-arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+pi kLeftrightarrow left[ begin x=arcsina+2pi n\ x=pi-arcsina+2pi n end right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) left[ begin x_1=fracpi6+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^kfracpi6 +pi k $$
$$ 2) left[ begin x_1=arcsin0,8+2pi k\ x_2=pi-arcsin0,8+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arcsinx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=sinx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (sin x=-1) (x=-fracpi2+2pi k)	б) (sin x=frac<sqrt>) $$ left[ begin x_1=fracpi4+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^frac +pi k $$
в) (sin x=0) (x=pi k)	г) (sin x=sqrt) (sqrtgt 1, xinvarnothing) Решений нет
д) (sin x=0,7) begin left[ begin x_1=arcsin(0,7)+2pi k\ x_2=pi-arcsin(0,7)+2pi k end right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^k arcsin(0,7) +pi k end	e) (sin x=-0,2) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: begin left[ begin x_1=-arcsin(0,2)+2pi k\ x_2=pi+arcsin(0,7)+2pi k end right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^arcsin(0,2) +pi k end

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2; arcsin(-0,7); arcsinfracpi4 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от (-fracpi2) до (fracpi2)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$Способ 2. Решение с помощью графика (y=arcsinx)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; (fracpi4).
И записываем арксинусы по возрастанию: (arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4)

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arcsin(x^2-3x+3)=fracpi2) begin x^2-3x+3=sinfracpi2=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end Ответ:

(б) arcsin^2x-arcsinx-2=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0Rightarrow (t-2)(t+1)=0Rightarrow left[ begin t_1=2gt fracpi2 — text\ t_2=-1 end right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin arcsinx=-1\ x=sin(-1)=-sin1 end Ответ: -sin1

(в) arcsin^2x-pi arcsinx+frac=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: begin t^2-pi t+frac=0\ D=(-pi)^2-4cdot frac=frac, sqrt=fracpi3 Rightarrow left[ begin t_1=frac=fracpi3\ t_2=frac=fracgt fracpi2 — text end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
begin arcsinx=fracpi3\ x=sinfracpi3=frac<sqrt> end Ответ: (frac<sqrt>)