Уравнения с рациональными числами 6 класс примеры для тренировки

Зачет состоит из двух частей : основной и дополнительной. При сдаче зачета обязательная часть должна быть решена без ошибок.

Видео:Решение уравнений с отрицательными числами.Скачать

Скачать:

Видео:Вычитание рациональных чисел . Решение уравнений . 6 класс .Скачать

Предварительный просмотр:

Зачет по математике . М-6. Учитель Кавкаева Л.А.

1.Вычислите : а) -5 + 2 ; б) -7 – 4; в) 6 – 9 ; г) ∙ ( — ) ; д) – 42 : 7 .

2. Найдите значение выражения 3х – 19 при х = — 6 .

3. Упростите : а) 3а + 9 — 7а – а ; б) 4х – ( 7х + 5).

4. Решите уравнение : а) 6 – у = 4 ; б) 2 ( х – 3) = 4.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение 10 – 2 ( х – 4) = х + 3.

6. В одном ящике в 2 раза больше яблок, чем в другом. После того, как из первого взяли 5 кг, а во второй ящик добавили 10 кг яблок, , в обоих ящиках стало поровну. Сколько кг яблок было в каждом ящике первоначально?

1.Вычислите : а) -8 + 5 ; б) -2 – 4; в) 5 – 8 ; г) ∙ ( — ) ; д) – 32 : 8 .

2. Найдите значение выражения 5а + 4 при а = — 3 .

3. Упростите : а) – 3 ( 4а+ 6 ) + 10а ; б)3с- ( 5с + 2 ).

4. Решите уравнение : а) – 2 – у = 4 ; б) 3х + 5 = 7х — 11.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение 10 – 2 ( у + 5 ) = у — 3.

6. В одном ящике в 2 меньше апельсинов, чем в другом. После того, как в первый ящик добавили 5 кг апельсинов , а из второго взяли 7 кг , в обоих ящиках стало поровну. Сколько кг яблок было в ящиках первоначально?

1.Вычислите : а) -8 + 2 ; б) 7 – 9 ; в) -3 – 5 ; г) ∙ ( — ) ; д) 56 : (- 7) .

2. Найдите значение выражения 6х + 7 при х = — 8 .

3. Упростите : а) 10а + 3 — 7а – а ; б) 3х – ( 8х – 4 ).

4. Решите уравнение : а) у = 4 ; б) 2 — ( х – 3) = 4.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение = .

6. Сумма двух чисел равна 20 . Одно из них в три раза больше другого. Найдите эти числа.

1.Вычислите : а) -4 + 2 ; б) 4 – 9 ; в) -7 – 5 ; г) ∙ ( — ) ; д) 28 : (- 7) .

2. Найдите значение выражения 4х + 5 при х = — 8 .

3. Упростите : а) – 5а + 7 — 8а + 6а ; б) 2 ( 3х — 4) – 7х .

4. Решите уравнение : а) -3 у = 4 ; б) 5 — ( 7 – х ) = 4.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение = .

6. Сумма двух чисел равна 15. Одно из них на 3 больше другого. Найдите эти числа.

1.Вычислите : а) -9 — 2 ; б) 0 — 7; в) – 5 + 9 ; г) ∙ ( — ) ; д) – 63 : 7 .

2. Найдите значение выражения 2х + 19 при х = — 6 .

3. Упростите : а) 5а + 2 — 7а – 5 а ; б) 4х – 2 ( 7х — 5).

4. Решите уравнение : а) 5 – у = — 3 ; б) 4 ( х – 3) = 8.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение 10 – 2 ( х + 5) = 2х — 9.

6. На тарелке лежали пирожки с мясом и капустой, причем пирожков с капустой было в 2 раза меньше, чем пирожков с мясом. После того, как Миша съел 3 пирожка с мясом, пирожков стало поровну. Сколько пирожков лежало на тарелке первоначально?

1.Вычислите : а) -7 + 3 ; б) 2 – 9 ; в) -4 – 2 ; г) ∙ ( — ) ; д) 24 : (- 8) .

2. Найдите значение выражения 5х + 4 при х = — 7 .

3. Упростите : а) 10а + 3 — 10а – а ; б) 3х – 2 ( 5х – 4 ).

4. Решите уравнение : а) у = 4 ; б) 7 — ( х – 4) = 3.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение = .

6. Сумма двух чисел равна 20. Одно из них в четыре раза меньше другого. Найдите большее число.

Видео:Сложение и вычитание рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Видео:Раскрытие скобок. 6 класс.Скачать

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то

Видео:Умножение рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Карточки-задания для 6 класса по теме «Решение уравнений по теме «Умножение и деление рациональных чисел»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Карточки-задания для 6 класса

по теме «Решение уравнений по теме «Умножение и деление рациональных чисел»

Вариант 1 Вариант 2

1. 0,01х = 35 1. 0,001 у = 25

2. х : 0.001 = — 11 2. у : (-0,01) = 22

3. — 2,5х = 25,25 3. 1,5 у = -15,15

4. х ∙ (- ) = — 1 4. у ∙ = — 1

5. х : (- 2,4) = — 9 5. у : (-1,6 )= — 4

6. — х = — 6. — у = —

🎬 Видео

Сложение и вычитание рациональных и отрицательных рациональных чисел. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Решение уравнений, 6 классСкачать

6 класс, 38 урок, Свойства действий с рациональными числамиСкачать

Умножение рациональных чисел, 6 классСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

6 класс. Решение уравнений с модулями.Скачать

Вычитание рациональных чисел, 6 классСкачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

МЕРЗЛЯК-6. ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ПАРАГРАФ-36Скачать

Законы сложения рациональных чисел . 6 классСкачать

Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой. 6 класс.Скачать

Математика 6 класс - рациональные числа и действия над ними. Перевод обыкновенной дроби в десятичнуюСкачать

Деление рациональных чисел. 6 класс.Скачать

6 класс, 6 урок, Рациональные числаСкачать