Уравнения с параметром 9 класс задания (7 видео)

Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации по математике в 9-х классах
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. В данной работе приведены методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, уравнений с параметрами, содержащими модуль, рассмотрен аналитический и графический способ решения данных задач .

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
урок в 9 классе «Уравнения и неравенства с параметрами» методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме
Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
📹 Видео

Видео:9 класс. Алгебра. Уравнения с параметромСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
metodicheskaya_razrabotka.docx	95.71 КБ

Видео:9 класс, 7 урок, Задачи с параметрамиСкачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Люльпанская средняя общеобразовательная школа»

«Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации

по математике в 9-х классах»

Выполнила: учитель математики

В последние десятилетия на вступительных экзаменах в вузы стали предлагаться задачи, решить которые, как правило, было можно, пройдя специальную целенаправленную подготовку. К такому типу задач относились и задачи, содержащие параметр. Такие задачи обычно предлагались в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов, с 2002 года были включены и в задания части «С» ЕГЭ, а в дальнейшем стали предлагаться и на государственной итоговой аттестации по математике в 9-х классах.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, поэтому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

В своё время в связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования. Профильность обучения достигалась за счет различных учебных курсов, в том числе элективных курсов. В 2010 году мной был разработан и проведен элективный курс для девятиклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Основными формами его проведения являлись изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, практикумов по решению задач.

В настоящее время, поскольку в базисном учебном плане школы не предусмотрены элективные курсы для 9-х классов, данная тема включена мной в рабочую программу по алгебре в 9 классе в объеме 10 часов: 7 часов после изучения основных тем и 3 часа в рамках итогового повторения.

Задачи с параметрами — это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо, прежде всего, умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения и исследования.

Выбор задачи с параметрами для обучения их решению можно объяснить следующими обстоятельствами:

при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;
решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;
происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;
приобретаются навыки к исследовательским работам;
помощь при подготовке к экзаменам;
происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы, которую можно начинать с учащимися 9-х классов.

1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Что такое параметр?

С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречаются в 7, 8 классах при введении некоторых понятий:

— функция прямая пропорциональность: y=kx (x и y – переменные; k – параметр, k≠0);

— линейная функция: y=kx+b (x и y – переменные; k и b – параметры);

— линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a и b – параметры);

— квадратное уравнение: ax 2 +bx+c=0 (x – переменная; a, b и c – параметры, a≠0).

Если вспомнить некоторые основные уравнения (например, k x+b=0, a x 2 +bx+c=0), то можно обратить внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, приведу следующий его простейший вариант.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|= a –1 не следует неотрицательность значений выражения a –1, и если a –1

1.2 Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

1.3 Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения. Но иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине выделены как основные. Наиболее массовый класс задач с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром.

1.4 Основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

По мнению большинства авторов различных сборников по решению задач с параметром, аналитический способ решения задач есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a ).

Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

Как уже говорилось выше, многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Существует множество книг, статей, пособий различных авторов, где рассматриваются различные методы и способы решения задач данного вида. В данной работе я приведу лишь методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, поскольку именно эти виды уравнений изучаются в основной школе и включаются в часть 2 модуля «Алгебра» ГИА по математике. Вначале рассмотрим аналитический метод решения задач с параметром.

2.1 Линейные уравнения

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0· х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Пример 1 . Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а= 0 уравнение (1) принимает вид 0· х = -2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2 уравнение (1) принимает вид 0· х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х= , откуда х= .

Ответ: 1) если а= 0 , то корней нет; 2) если а= 2 , то х – любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х = .

2.2 Квадратные уравнения

Квадратное уравнение ах 2 +bx+c=0 можно рассматривать как уравнение с параметрами, где х – неизвестное, а, b, с – параметры.

Уравнение исследуется по следующей схеме.

1) если а=0, то имеем линейное уравнение bx+c=0

2) если а≠0 и дискриминант уравнения D

3) если а≠0 и дискриминант уравнения D=0, то уравнение имеет единственное решение х=- .

4) если а≠0 и дискриминант уравнения D>0, то уравнение имеет два различных решения .

Пример 1 . Для всех значений параметра а решить уравнение

(а – 1) х 2 +2 (2а+1)х+(4а+3) =0 (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (2) является линейным, а при а 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

Рассмотрим эти случаи.

1) При a =1 уравнение (2) примет вид 6 х +7=0. Из этого уравнения

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а о , то при переходе значения D через точку а о дискриминант может изменить знак (например, при а о D а о D>0). Вместе с этим при переходе через точку а о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а о корней нет, так как D а о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D =4(2а+ l) 2 — 4(а — 1) (4а+3). После упрощений получаем D = 4(5а+4).

Из уравнения D=0 находим а= — — второе контрольное значение параметра а. При этом если а , то D a ≥ — и a ≠ 1, то D≥0.

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а и в случае, когда .

Если а , то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же , то находим x 1,2 = .

Ответ: 1) если а , то корней нет; 2) если а = 1, то х = — ;

3) a ≥- и a 1 , то x 1,2 = .

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение.

Решение. По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому, как и в примере 2, надо рассмотреть два случая.

1) а+6=0, а=-6. При этом получаем линейное уравнение -12х+1=0, которое имеет единственное решение. Это решение по условию задачи необязательно находить.

2) а -6. В этом случае уравнение (3) является квадратным и имеет единственное решение, если дискриминант D=0, т.е.

D=4а 2 – 4(а+6)=4(а 2 – а – 6)=0 (а 2 – а – 6)=0 а 1 =3, а 2 =-2.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=-6, а=-2, а=3.

Пример 3. Определить все значения параметра а, при которых уравнения

х 2 +ах+1=0 и х 2 +х+а=0 имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Предположим, что уравнения имеют общий корень х=х 0 . Тогда

откуда, вычитая второе уравнение из первого, получаем

1) Если а=1, то последнее уравнение всегда выполняется. При этом оба исходных уравнения совпадают и имеют вид х 2 +х+1=0. Это уравнение действительных корней не имеет.

2) Если а 1, то х 0 =1. Подставив х 0 =1в любое из уравнений системы, находим а=-2. При этом исходные уравнения имеют вид х 2 -2х+1=0 и х 2 +х-2=0. Эти уравнения имеют общий корень х=1.

2.3 Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Уравнение имеет смысл при х – 2а≠0 и ах – 1≠0, т.е. х ≠2а, ах≠ 1.

Если х 2а, ах 1, то умножив обе части уравнения на (х-2а)(ах-1), получим

ах – 1 =2х – 4а или (а – 2)х = 1 – 4а.

1) Если а — 2 =0 ⇔ а=2, то уравнение имеет вид 0·х= — 7. Это уравнение корней не имеет.

2) Если а – 2  0 ⇔ а 2, то х= .

Теперь найдем те значения параметра а, при которых х=2а или ах=1. Имеем:

= 2а ⇔ 1- 4а=2а 2 – 4а ⇔ а = ±

=1 ⇔ а- 4а 2 = а – 2 ⇔ а = ±

Таким образом, если а = ± , то уравнение не имеет решения.

Ответ: если а = ± ; а=2, то уравнение корней не имеет,

если а  ± ; а≠2, то х= .

Пример 2. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а 0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х 2 +2 (1 — а) х +а 2 — 2а- 3=0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

D =4 (1 — a) 2 — 4(a 2 — 2а — 3) = 16.

Находим корни уравнения (5):

х 1 =а + 1, х 2 = а — 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.

Если х 1 +1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= -2. Таким образом, при а= -2 х 1 – посторонний корень уравнения (4).

Если х 1 +2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= -3. Таким образом, при а= -3 x 1 – посторонний корень уравнения (4).

Если х 2 +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х 2 – посторонний корень уравнения (4)’.

Если х 2 +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х 2 – посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х=-3-3= -6;

при a= -2 х= -2 -3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.

Итак, можно записать

Ответ: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= -2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;

а  0; то х 1 = а + 1,

2.4 Уравнения с параметрами, содержащие знак модуля

Особого рассмотрения требуют уравнения с параметрами, содержащие модуль.

Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение:

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль, и решим 3 системы:

-x-3+ax-a=4 x= , если а≠1.

Найденный х будет решением, если +3 ⇔  a  (-1;1)

x+3+ax-a=4 x= =1, если а≠-1.

Найденный х удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при а  — 1. Если же а=-1, то решением является любой х[-3;1].

x+3-ax+a=4 x= =1, если а≠1.

Найденный х не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при а 1. Если же а=1, то решением является любой х>1.

Ответ: при a  (-1;1) x= ; при а=-1 х [-3;1]; при а=1 х(1;+∞); х=1 является также решением при всех а.

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ||2x| — 4| =x+a имеет три различных корня.

Решение. Раскроем внутренний модуль. Имеем

|2x-4| = x+a, 2x-4 = x+a

⇔ x≥0 и х+а ≥0

|2x+4| = x+a, 2x+4 = x+a

Полученная совокупность систем и уравнений равносильна совокупности следующих четырех систем.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика Скачать

урок в 9 классе «Уравнения и неравенства с параметрами»
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Урок в 9 классе «уравнения и неравенства с параметрами»

Видео:9 класс. Алгебра. Уравнения с параметрами.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
razrabotka_uroka.doc	658 КБ

Видео:9 класс. Алгебра. Задания с параметром.Скачать

Предварительный просмотр:

Урок в 9 классе «Решение уравнений и неравенств с параметром»

Тема: Решение уравнений и неравенств с параметром

Тип урока: урок–лекция, материал концентрируется в блоки и преподносится как единое целое, контроль проводится по предварительной подготовке уч-ся.

Расширить и с истематизировать знания учащихся
Рассмотреть приёмы и методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр
Н аправить на углубленное изучение предмета и овладение его содержанием на повышенном уровне сложности
Приобрести в рамках предпрофильной подготовки навыки решения задач, содержащих параметры .

расширение и углубление сложности задач, решаемых учащимися.

развитие логического мышления, интуиции, познавательных и творческих способностей учащихся,
развитие умения анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения, проводить рассуждения, обоснования.

повышение интереса к математике,
расположение к самостоятельной организации работы.

Формы и методы работы:

Использование приёмов, активизирующих работу школьников свободный выбор заданий для самостоятельной работы, дифференцированные задания для домашней работы;
Использование групповых форм работы;
Формой контроля обучающая самостоятельная работа, итоговое тестирование, исследовательская работа.

Постановка цели урока.
Актуализация знаний, умений и навыков.

Учитель: Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.

Решить уравнение (неравенство) с параметром – это значит установить соответствие, позволяющие для любого значения параметра найти соответствующее множество решений уравнения (неравенства).

Можно выделить различные типы уравнений и неравенств с параметром:

Линейные уравнения и неравенства. (1 блок)

Рассмотрим примеры решения:

1. Решить уравнение: ax=2x+5.

Переносим неизвестные слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: ( a–2)x=5.

Чтобы найти корни необходимо поделить уравнение на ( a–2) , при а=2 , выражение а–2=0, т. к. делить на нуль нельзя, то данное уравнение имеет решение только при :

Ответ: при а=2 решений нет, при :;

2.При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 не имеет решений?

Решений не имеет уравнение 0·х=b, где . Поэтому 2а(a–2)=0 , а , отсюда следует, что а=0

3. При каком значении параметра а уравнение (а 2 –4)х=а 2 +а–6 имеет бесконечно много решений?

Уравнение будет иметь бесконечно много решений при:

Решив первое уравнение системы, получим а 1,2 = . Корни 2-го уравнения: а 1 =–3, а 2 =2.

Таким образом, одновременно оба равенства обращаются в 0 при а=2

Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащимся на выбор предлагаются задания. Каждый выбирает любые 1–2 или несколько заданий для решения.

При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 имеет бесконечно много решений?
При каком значении параметра (а 2 –4)х=а 2 +а–6 уравнение не имеет решений?
Решить неравенство ax
При каком значении параметра а неравенство 2aх
При каком значении параметра a неравенство a 2 x

Обсуждение решений вместе с учащимися. При необходимости проверить с помощью проектора. Оформить решения в виде слайдов.

Квадратные уравнения и неравенства. (2 блок)

Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:

Если D>0 то уравнение имеет два различных корня;

Если D=0 то уравнение имеет один корень (или два совпадающих);

Это правило используется и при решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр.

1. При каких значениях параметра а уравнение 4x 2 –4ax+1=0 имеет два корня?

Найдем дискриминант исходного выражения.

D=16а 2 –4·4·1=16а 2 –16 ; Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то D=16а 2 –16≥0, а 2 –1≥0

2. При каких значениях параметра b уравнение(b-1)x 2 +(b+4)x+b+7=0 имеет один корень?

При b=1 уравнение становится линейным . Подставив b=1 в исходное уравнение, и получим : 5x +8=0; x=16 .

При b 1 имеем квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет один корень при D=0. Находим дискриминант и приравниваем его к нулю. D=(b+4) 2 –4(b-1)( b+7)=–3 b 2 +16 b+44=0.

Решаем уравнение 3 b 2 –16 b–44=0, находим корни b=2; b= .

Ответ: При b=1; b=2; b= уравнение имеет только один корень.

3.При каких значениях параметра неравенство а x 2 –4ax+5 0не имеет решений?

При а=0 получаем :5 0. Это неверно. Значит при а=0 исходное неравенство не имеет решений.

При а исходное неравенство будет квадратным. Графиком функции у= а x 2 –4ax+5 является парабола. Чтобы неравенство а x 2 –4ax+5 не имело решений нужно чтобы парабола была полностью расположена выше оси абсцисс. Условия соответствующие данному расположению параболы:

Решением системы является промежуток (0;1,25). Объединяя решения получаем ответ.

Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащиеся выборочно решают самостоятельно задания:

1.При каком значении параметра а уравнение x 2 –ax+16=0 не имеет корней.

2. При каких значениях параметра b уравнение(2b–5)x 2 –2(b–1)x+3=0 имеет два различных корня?

3. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0не имеет решений?

4. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0 выполняется при любых значениях х?

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформить я в виде слайдов.

Применение теоремы Виета. (3 блок)

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет положительные корни?

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета x 1 + x 2 =2b и x 1 x 2 = b+6. Имеем систему неравенств:

Решением системы неравенств будет промежуток

Ответ: b уравнение имеет положительные корни.

2.Найти все значения p, при которых разность корней уравнения x 2 +px+12=0 равна 1 .

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета имеем систему:

Из первого и третьего уравнений выразим параметр p и подставим во второе уравнение:

Решаем квадратное уравнение: ; 1– p 2 =–48; p 2 =49; Уранение имеет два корня 7 и –7

Ответ: p= разность корней равна 1.

Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет отрицательные корни?

2. Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет корни разных знаков?

3. Найти все значения p, при которых разность корней уравнения 2x 2 –px+1=0 равна 1 .

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформлены на слайдах.

Создание проблемной ситуации.

Учитель: Теперь исследуем расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

На экране запись:f(x)=ax 2 +bx+c

–Какую информацию о графике функции можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

–если а 0, то ветви параболы направлены вверх, если а

– если а=0, то графиком будет являться не парабола, а прямая и соответствующее уравнение нужно решать как линейное;

–если D>0, то парабола пересекает ось абсцисс в 2-х точках

–абсцисса параболы равна

Эти свойства используются нами при решении задач о расположении корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

Задача: При каких значениях параметра а оба корня уравнения x 2 –ax+7=0 меньше 7.

Учитель: Попробуйте схематически изобразить параболу записать необходимые условия соответствующие этому расположению параболы. Учащиеся пытаются составить соответствующую систему неравенств и схематически изобразить график.

Проверка с помощью проектора y

Решаем соответствующую систему неравенств. Учащиеся самостоятельно находят решение системы неравенств. Сверяют ответы.

Ответ: При а оба корня уравнения меньше 7.

Учитель: Решим ещё одну подобную задачу:

Задача: При каких значениях параметра а число 7 находится между корнями уравнения x 2 –ax+7=0 ?

Учитель: Попробуем схематически изобразить график и составить соответствующую систему неравенств.

Проверка с помощью проектора : y

Находим решение системы неравенств.

Ответ: При а 8 число 7 находится между корнями уравнения.

Учитель: Сегодня на уроке мы разобрали основные приёмы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр, научились использовать теорему Виета при решении задач с параметрами, научились получать геометрическую интерпретацию задачи с параметром, составлять подходящую систему неравенств. Для решения данной задачи.

Домашнее задание состоит из 3-х разделов, различного уровня сложности.

Линейные уравнения и неравенства

1.При каком значении а неравенство a x 8 не имеет решений?
2. При каком значении а неравенство a x 8 имеет бесконечно много решений?

3.Решить неравенство a x 1– x для различных значений a.

1. При каком значении а уравнение
2a(а–2) x= а–2 не имеет решений?
2. При каком значении а уравнение 2a(а–2) x= а–2 имеет бесконечно много решений?

2a(а–2) x а–2 различных значений a.

1.При каком значении а система уравнений не имеет решений?

2. При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решении?

Квадратные уравнения и неравенства. Применение теоремы Виета.

1.При каком значении параметра а уравнение ax 2 +2ax+1=0 имеет 2 корня?

2.При каком значении а неравенство x 2 –3ax+4 0 имеет бесконечно много решений?

3. Найти все значения а при которых сумма корней уравнения

2x 2 +ax+1=0 положительна?

1.При каком значении а неравенство аx 2 –4ax–3 0 выполняется при любых значениях х?

2. При каком значении параметра а уравнение ax 2 +(2a+3) x+а–1=0 не имеет корней?

3. Найти все значения а при которых отношение корней уравнения

x 2 + p x+2=0 равно 2?

1. При каком значении параметра а решение неравенства ax 2 +2ax+1 0 состоит из одной точки?

2. Найти все значения а при которых число 2разделяет корни уравнения аx 2 +x+1=0.

3.При каком значении а сумма + где –корни уравнения 4 x 2 –11x+а 2 =0 принимает наибольшее значение?

Учащиеся получают домашнее задание на карточках. Достаточно выполнить любые 6 заданий. При оценивании работы учитывается раздел уровня сложности, из которого были решены задачи.

Анализ усвоения материала учащимися.

Учащиеся проявляют интерес к предложенной теме, так как задачи с параметрами нечасто встречаются при изучении курса алгебры 7–9 классов. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики. Трудности при изучении данного вида заданий связаны со следующими их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений и неравенств данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами.

Материал урока позволил обобщить и систематизировать задачи с параметрами, встречавшиеся ранее в курсе алгебры 7–9 классов. Были выработаны навыки решения простейших линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр. Учащиеся получили представление о разнообразии задач такого рода и разнообразии методов их решения, научились использовать при решении графические представления. Знакомясь условием задачи, научились применять теоретические разделы математики, необходимые для решения данной задачи.

Эти навыки безусловно будут полезны в первую очередь учащимся в рамках предпрофильной подготовки особенно тем, кто ориентирован на профиль обучения, связанный с математикой.

Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Уравнения и неравенства с параметрами

На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах регулярно предлагаются так называемые задачи с параметрами: уранения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Методика решений уравнений и неравенств с параметрами. Можно использовать на факультативных занятиях и при подготовки к ЕГЭ (часть С).

Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»

9-й класс. Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»Чехолкова Алла ВладимировнаЦель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Разв.

Урок по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами».Элективный курс.

Урок обобщения и повторения. Основная цель: Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами;закрепить умения применять знания при решении конкретн.

Конспект урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)

Тема урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)Цели урока:- обобщить материал по данной теме и применить его для выполнения заданий более высокого уровня сложности;- развивать память, мышле.

Урок алгебры «Ограниченность тригонометрических функций в уравнениях и неравенствах с параметром» 10 класс

Цели урока:-сформировать понятие об ограниченности синуса и косинуса как о свойстве, дающем возможность перехода к исследованию новой функции на отрезке;-актуализировать знания о методах решения задач.