Уравнения с параметрами и методы их решения 11 класс

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Видео:11 класс, 34 урок, Задачи с параметрамиСкачать

Уравнения с параметрами.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

В данной разработке рассматриваются основные виды уравнений с параметрами и методы их решения. Может быть использовано в факультативной работе и при подготовке к экзамену.

Видео:Уравнения с параметрами | Алгебра 11 класс #32 | ИнфоурокСкачать

Скачать:

Видео:✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

Предварительный просмотр:

Уравнения с параметрами.

Уравнения, содержащие буквенные коэффициенты, называются уравнениями с параметрами.

Решить уравнение с параметрами – значит найти все решения данного уравнения для каждой допустимой системы значений параметров.

При решении уравнений с параметрами можно ставить различные задачи.

Они появляются естественным образом уже при исследовании простейших уравнений, например, линейных. Параметров может быть несколько .

Для примера рассмотрим линейное уравнение ах = в.

Оно содержит два параметра а и в. При любых значениях параметров функция у=ах-в имеет смысл. Но, при а=0 уравнение ах=в разрешить относительно х невозможно, т.е. качественно изменяется задача. Т.о., множество значений параметра а разбивается на два подмножества определяемых соответственно условиями: а и а .

Если а 0, то уравнение имеет одно решение х = .

Если а=0, то мы имеем 0х=в и приходится выдвигать различные предположения относительно в.

Если а=0 и в=0, то мы имеем 0х=0. Следовательно, решениями являются все

Если а=0 и в 0, то имеем 0х=в. Это значит, что при указанных значениях параметров уравнение ах=в не имеет решений, т.е. х Ø .

Можно сформулировать выводы:

1. уравнения следует рассматривать при всех допустимых значениях параметров (если в условии задачи нет специальных ограничений);
2. необходимо выделить те значения параметров, при которых меняется тип задачи(уравнение превращается в числовое равенство, квадратное уравнение становится линейным и т.д.).

Задачи с параметрами – это комбинированные задачи, при решении которых приходится одновременно использовать методы решения уравнений (или неравенств) различных типов.

1. Линейные уравнения с параметром.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-в=0. Оно приводится к виду ха=в.

При этом возможны следующие случаи.

1. При а 0 уравнение имеет единственное решение х= , которое будет:

— положительным (х > 0), если или

— нулевым х=0, если

-отрицательным (х или

1. При а=0 и в=0, 0х=0 и х – любое действителное число.
2. При а=0 и в 0, 0х=в – уравнение корней не имеет.

Решить уравнение 2а(а-2)х=а-2.

Рассмотрим сначала значения а=0 и а=2, которые обращают в нуль коэффициент при х.

При а=0 уравнение принимает вид 0х=-2. Оно не имеет корней.

При а=2 исходное уравнение принимает вид 0х=0. Любое число х R является его корнем.

При а 0 и а 2 заданное уравнение приводится к виду х = . Отсюда х = .

Ответ: если а=0, то решений нет; если а=2, то х R; если а 0 и а 2, то х= .

Решить уравнение (а 2 -1)х-(2а 2 +а-3)=0.

Запишем уравнение в виде:

Разложим квадратный трёхчлен 2а 2 +а-3 на множители.

Д=1-4·2·(-3)=1+24=25>0 – 2 корня.

Уравнение примет вид: (а-1)(а+1)х = (2а+3)(а-1).

1) Если а=1, то 0х=0, х – любое действительное число.

2) Если а=-1, то 0х=-2 – решений нет.

3) Если а 1 и а -1, то х = .

Ответ: если а=1, то х R; если а=-1, то корней нет; если а 1, то х = .

Ответ: 1) если то х = ;

2) если , то решений нет.

II. Уравнения с параметром и модулем.

Найти число решений уравнения .

Уравнения с параметром иногда бывает удобно решать графически.

Запишем уравнение в виде системы:

Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат.

Уравнение изображается ломаной.

Уравнение определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

у

a

Следовательно, при а 0 уравнение имеет два решения.

если а = 0, то уравнение имеет одно решение;

если а>0, то уравнение имеет два решения.

III. Квадратные уравнения с параметром.

Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х R – неизвестны, а,в,с – выражения, зависящие только от параметров, причем а 0, называется квадратным.

D = в 2 – 4ас – дискриминант.

Допустимыми будем считать те значения параметров, при которых а,в,с – действительные числа.

Если D>0, a>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с

Если D 0, то уравнение имеет действительные и разные между собой корни, знак которых противоположен знаку коэффициента в.

Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично устанавливаются свойства корней квадратного уравнения для а

Решить уравнение (а 2 -1)х 2 =а+1.

Для решения этого уравнения рассмотрим следующие случаи:

1) а=1; тогда уравнение принимает вид 0х 2 =4 и не имеет решений;

2) а=-1; получаем уравнение 0х 2 =0, решением которого является любое число х R.

3) Тогда имеем х 2 = , откуда х 2 = .

Следовательно, при а>-1 и а получаем

Ответ: если а=1 и а R;

Уравнение является квадратным при всех действительных значениях m, кроме m = 0.

D = 9m 2 – 4m(-(m + 2)) = 9m 2 + 4m(m + 2) = 9m 2 + 4m 2 + 8m = 13m 2 + 8m

ОДЗ: 13m 2 + 8m 0.

Находим нули функции:

m = 0 или 13m + 8 = 0

0 1 m

f(1) = 13∙1 2 + 8∙1 = 21

Значит , но т.к. при m = 0 корней нет, то

Значит при корней нет.

Ответ: 1) если , то ;

2) если , то корней нет.

Решить уравнение (а – 5)х 2 + 3ах – (а – 5) = 0.

При а – 5 = 0, т.е. а = 5 имеем 15х – 0 = 0, т.е. х = 0.

При а – 5 ≠ 0, т.е.а ≠ 5 уравнение имеет корни. Найдем их.

D = 9а 2 – 4(а – 5)(-(а – 5)) = 9а 2 + 4(а – 5) 2 .

Ответ: при а = 5 х = 0; при а ≠ 5 .

В уравнении (k 2 – 5k + 3)x 2 + (3k – 1)x + 2 = 0 определить значение k так, чтобы один из корней был вдвое больше другого (кратное сравнение выполняется только для положительных чисел).

Применим теорему Виета.

Теорема . Пусть х 1 ,х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно .

По теореме Виета и условию задачи составим систему:

Подставляя третье уравнение в первое и второе, получим:

Подставим в заданное уравнение. После упрощения получим уравнение х 2 + 9х + 18 = 0, корни которого х 1 = -6, х 2 = -3.Получаем отрицательные корни, а они кратно не сравниваются. Поэтому задача решений не имеет.

Ответ: такие значения k не существуют.

Преобразуем данное уравнение, учитывая эти условия.

Домножим на а(х – 1)(х – а) ≠ 0.

Если а + 1= 0, т.е. а = -1, то 2х = 0, т.е. х = 0.

Если а + 1 ≠ 0. т.е.а ≠ -1, то

D = (а 2 + 4а + 1)(а 2 + 4а + 1) – 4∙2а(а + 1)(а + 1) = а 4 + 4а 3 + а 2 + 4а 3 + 16а 2 + 4а + + а 2 + 4а + 1 – 8а(а 2 + 2а + 1) = а 4 + 8а 3 + 18а 2 + 8а + 1 – 8а 3 – 16а 2 – 8а = а 4 + 2а 2 + 1

Найдем значения а, при которых х = 1 и х = а, чтобы исключить их.

– недопустимо по условию;

Итак, если а ≠ -1, а ≠ 0, а ≠ 1, то .

Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при а = 1.

Найдем корни уравнения: х 1 = 2, х 2 = 1. Причем х 2 не подходит по условию.

Ответ: при а ≠ 0 и а ≠ 1 ;

при а = -1 х = 0; при а = 1 х = 2.

IV. Иррациональные уравнения с параметром.

Решение должно сопровождаться тщательной проверкой.

Корни этого уравнения должны удовлетворять условиям:

Возводим в квадрат обе части уравнения: х 2 + ах – 2а = (х + 1) 2 .

Любой корень этого уравнения удовлетворяет первому условию, т.к. (х + 1) 2 0. Следовательно, с учетом второго условия имеем:

Если а=2, то 0х=5 корней нет; если а ,то

При каких же а выполнено ?

Решаем это неравенство.

(3а-1)(а-2) а

Вводим функцию f(a).

Находим нули функции.

+ — +

1 2 a

Ответ: х= при ; корней нет при .

Введем функцию f(a): f(a)=a(a-1).

Находим нули функции.

а=1.

+ – +

0 1 2 х f(2) = 2(2 – 1) = 2

=х Верно только при х=0.

Значит 0 выполняется при , а х=0 при а=0.

Возведём обе части уравнения в квадрат: =

= (1)

Обозначим = t. Тогда получаем систему уравнений:

Вычтем почленно, получим

Стало быть, имеем: и

D = >0 – 2 корня. D = 1 + 4(a – 1) = 4a – 3

> a х 1 не является решением x 1 x 1 не является решением

х 2 х 2 не является решением

Ответ: х = 0 при а = 0; х = при а 1.

V. Показательные уравнения с параметром.

По определению показательной функции а > 0, в > 0.

1. Если а = 1, в = 1, то х R.
2. Если а = 1, в ≠ 1,то , значит х = 3.
3. Если а ≠ 1, в = 1. то , значит х = -1.
4. Пусть а≠1 и в≠1. Прологарифмируем данное уравнение по основанию а.

Тогда 0∙х = -4 х Ø

Ответ: х R при а = в = 1; х = 3 при а = 1, в ≠ 1, в >0; х = 1 при а ≠ 1, в = 1, а > 0;

При каких значениях а уравнение имеет единственное решение?

а > 0, т.к. . Обозначим = t, t>0.

Уравнение имеет единственное решение, если D = 0.

VI. Логарифмические уравнения с параметром.

Преобразуем данное уравнение:

а) Если , то уравнение принимает вид

Причем . Решим это неравенство. Для этого введем функцию

Нули функции: а = 1.

+ —

Учитывая ОДЗ (а > 0, а ≠1), получаем: .

Оба корня лежат в промежутке (-2; 0).

б) Если х > 0, то уравнение принимает вид

Условие выполняется при любом a > 0.

Корень при условии, что а > 0.

При каких значениях а уравнение имеет четыре решения?

ОДЗ: х > 0, т.е. . Рассмотрим два случая.

3 > 1 функция возрастает

Исходное уравнение имеет два корня при 1 – 8а > 0 ,т.е. .

Т.к. , то должны выполняться следующие условия:

1) – верно при любом .

Итак, данное уравнение имеет два корня и при .

Т.к. , то должны выполняться условия:

1) – верно при любом .

Итак, данное уравнение имеет еще два корня и при .

Т.к. х 1 и х 2 верны при , а х 3 и х 4 верны при , то можно сделать вывод, что исходное уравнение имеет четыре решения при .

VII. Тригонометрические уравнения.

Решить уравнение tg|x – 2| = a.

Т.к. , то cos|x – 2| 0

Решаем исходное уравнение:

а) Если , то n = 0,1,2,3,4,…

б) Если , то n = 1,2,3,4,…

Найденное решение удовлетворяет соотношению (1).

Решить уравнение: (a – 1)cosx + (a + 1)sinx = 2a.

Запишем уравнение в виде

1. Если 3а – 1 = 0, т.е. а = , то уравнение примет вид

1. Если 3а – 1 0, т.е. а , то уравнение примет вид:

Уравнение имеет решение, если 1 – а 2 0, т.е. , т.к. знаменатель не может равняться нулю.

1. Громов А.И., Савчин В.М. Математика. Подготовка к письменному экзамену: Учебное пособие. – Минск: Интерпрессервис. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.
2. Замыслова А.И. Репетитор по математике. – Ростов н/Д: Феникс, 2003.
3. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: Рольф, Айрис – пресс, 1998.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.
5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.

Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

«Задачи с модулем и параметром. Уравнения с параметрами»

Программа рассчитана на учащихся, проявивших интерес к изучению математики. Ввиду того, что тема «Модуль» изучается в 6 классе, а дальше ей не уделяется должного вн.

Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами

Методическая разработка на тему: «Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами».

Обобщающий урок факультатив по теме «Квадратные уравнения + уравнения с параметром»

Обобщающий урок факультатив по теме «Квадратные уравнения + уравнения с параметром» 9 класс.

Линейные уравнения, неравенства и системы линейных уравнений с параметром.

Решение уравнений, систем уравнений с параметрами графическим способом

При подготовке к экзаменам, с выпускниками 11 класса я провожу семинары по решению задач.. На этом семинаре решались задачи с параметрами. Задачи взяты из сборников ЕГЭ.

Обобщающий урок факультатив по теме «Квадратные уравнения + уравнения с параметром»

Цель урока:обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление и совершенствование навыков решения квадратных уравнений.

Курс внеурочной деятельности «Параметры. Уравнения с параметрами»

Решение задач с параметрами являются одними из сложных в курсе средней школы и требует большого количество времени на изучение. Поэтому я разработала данный курс как дополнение к школьной программе, к.

🎬 Видео

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

11 класс, 26 урок, Равносильность уравненийСкачать

5-часовой стрим по ПАРАМЕТРАМ. Вся алгебра для №17 с нуля и до уровня ЕГЭ 2023Скачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

Алгебра. 11 класс (Урок№46 - Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами.)Скачать

✓ Пять способов решить задачу с параметром | ЕГЭ-2018. Задание 17. Математика | Борис ТрушинСкачать

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Неравенства с параметрами | Алгебра 11 класс #33 | ИнфоурокСкачать

Решаем неравенство с параметром. ЕГЭ №18 | Математика TutorOnlineСкачать

Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

11 класс, 29 урок, Уравнения и неравенства с модулямиСкачать

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ егэ по математике 11 классСкачать

Сможешь решить уравнение с параметром? Из ЕГЭ 2019Скачать