Уравнения с модулем сборник задач

Видео:Уравнения с модулемСкачать

Уравнения с модулем

Уравнения с модулем

Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМ

Что такое уравнение с модулем

Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.

В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.

| x | = x , x ≥ 0 — x , x 0

Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.

Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности

Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.

Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.

Разберем подробное решение квадратного уравнения:

Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:

На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:

Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:

x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4

Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:

2 x — 1 2 = 9 x 2 + 12 x + 4

Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:

  • перенос слагаемых;
  • приведение подобных;
  • решение квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта.

Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:

9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2

Преобразуем сложное уравнение:

2 x — 1 2 = 3 x + 2 2

На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:

В результате получим:

2 x — 1 2 = 3 x + 2 2 ⇔ 2 x — 1 = 3 x + 2 .

При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:

  1. Модуль числа является неотрицательным числом: x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0 .
  2. Противоположные числа равны друг другу по модулю: — x = x .
  3. Произведение пары или более чисел по модулю равно произведению модулей этих чисел: x · y = x · y .
  4. Частное пары чисел по модулю равно частному модулей этих чисел: x y = x y , y ≠ 0 .
  5. Сумма чисел по модулю в любом случае меньше или равна сумме модулей данных чисел: x + y ≤ x + y .
  6. Постоянный множитель, который больше нуля, допустимо вынести за знак модуля: c x = c · x при c > 0 .
  7. Квадрат какого-то числа по модулю равен квадрату данного числа: x 2 = x 2 .

Пример 3

Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:

Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:

x = 7 ⇔ x = 7 , п р и x ≥ 0 — x = 7 , п р и x 0 ⇔ x = 7 x = — 7

Рассмотрим несколько иное уравнение:

В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:

x = — 7 ⇔ x = — 7 , при x ≥ 0 — x = — 7 , при x 0 ⇔ x = — 7 x ≥ 0 ⇒ р е ш е н и я н е т x = 7 x 0 ⇒ р е ш е н и я н е т

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов

Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:

  1. Уравнения x = a . x = a ⇔ x = a , п р и x ≥ 0 — x = a , п р и x 0 ⇔ x = a x = — a .
  2. Уравнения вида x = y . x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y

Видео:Уравнения с модулем. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Уравнения с модулем. Часть 2  | Математика | TutorOnline

Примеры решения задач с объяснением

Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.

Рассмотрим в качестве примера:

Определим x . Когда x ≥ 0 , значение равно х . Если x – х . Таким образом:

x = 5 ⇔ x = 5 при x ≥ 0 — x = 5 при x 0 ⇔ x = 5 x = — 5 .

Получим, что решением уравнения являются -5; 5.

Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

x = — 3 ⇔ x = — 3 при x ≥ 0 — x = — 3 при x 0 ⇔ x = — 3 x ≥ 0 ⇒ решений нет x = 3 x 0 ⇒ решений нет

Согласно первому свойству модуля:

x ≥ 0 , то есть модуль в любом случае не является отрицательным числом.

Можно обобщить рассмотренные действия и записать правило для решения уравнений, которые имеют вид x = a . Данное правило можно использовать в работе:

x = a ⇒ a ≥ 0 x = a x = — a .

Используя данное правило, решим уравнение:

По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:

x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 x = 2

Решим следующее уравнение:

Воспользуемся правилом и получим:

3 x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 3 x — 5 = 3 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 3 x = 2 3

Далее рассмотрим решение уравнений, которые записаны в виде | x | = | y | .

При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.

Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:

Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:

x = y ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 — y 2 = 0 ⇔

⇔ x — y x + y = 0 ⇔ x = y x = — y .

Рассмотрим еще несколько примеров.

Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:

x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x + 1 = 2 x — 1 x + 1 = — 2 x — 1 ⇔ x = 2 x = 0 .

Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:

2 x — 9 = 3 — x ⇔ 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3 ⇔ 3 x = 12 x = 6 ⇔ x = 4 x = 6 .

Разберем на примере, как решать уравнения вида | x | = y .

Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:

x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 1 — 2 x ≥ 0 x + 1 = 1 — 2 x x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x ≤ 1 2 x = 0 x = 2 ⇔ x = 0 .

Заметим, что без проверки на положительность части уравнения, которая записана с правой стороны, существуют риски появления посторонних корней в решении. К примеру, проверим x=2 путем подстановки в начальное уравнение x + 1 = 1 — 2 x :

2 + 1 = 1 — 2 · 2 ⇔ 3 = — 3 не является верным.

При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.

Рассмотрим пример такого выражения:

x + 3 — 2 x — 1 = 1

Первый модуль имеет вид:

Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:

После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:

x + 3 = x + 3 , если x + 3 ≥ 0 — x — 3 , если x + 3 0 .

По аналогии выполним преобразования второго модуля:

2 x — 1 = 2 x — 1 , если 2 x — 1 ≥ 0 1 — 2 x , если 2 x — 1 0 .

Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.

Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:

Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.

Обобщая эту информацию, можно записать алгоритм действий. В первую очередь следует вычислить корни выражений, заключенных под знаком модуля. В результате получаются такие х , при которых выражения принимают нулевые значения:

x + 3 = 0 ⇒ x = — 3 2 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 2

С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.

В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:

— x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ — x — 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = 5 > — 3 является сторонним корнем.

В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:

x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = — 1 3 полученный корень соответствует своему интервалу.

Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:

x + 3 — 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 — 2 x + 1 = 1 ⇔ x = 3 данный корень также подходит для решения.

Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:

x = 5 : 5 + 3 — 2 · 5 — 1 = 8 — 9 = — 1 ≠ 1

Второй корень является решением:

x = — 1 3 : — 1 3 + 3 — 2 · — 1 3 — 1 = 8 3 — 5 3 = 1 .

Третий корень также является решением:

x = 3 : 3 + 3 — 2 · 3 — 1 = 6 — 5 = 1 .

Таким образом, запишем ответ: — 1 3 ; 3 .

Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:

В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.

Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:

f x = a ⇔ f x = a f x = — a

Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:

x — 5 = 3 ⇔ x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇔ x = 8 x = 2

Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:

x = 8 x = — 8 x = 2 x = — 2

Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.

Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.

Раскроем сначала внутренние модули:

Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:

x ≥ 0 x — 5 = 3 x 0 — x — 5 = 3

Видео:Уравнение с модулемСкачать

Уравнение с модулем

Задачи для самостоятельного решения

Найти корни уравнения:

Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:

Найдем корни квадратного уравнения:

3 x 2 — 18 x + 24 = 0

В процессе потребуется сократить уравнение на 3:

D = ( — 6 ) 2 — 4 · 1 · 8 = 36 — 32 = 4

Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:

x 1 , 2 = — b ± D 2 a ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 4 2 · 1 ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 2 2 ⇒ x 1 = 4 , x 2 = 2

Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:

x 1 = 4 и x 2 = 2

Ответ: x 1 = 4 , x 2 = 2

Найти корни уравнения:

Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:

( 3 x — 1 ) 2 = ( x + 5 ) 2

9 x 2 — 6 x + 1 = x 2 + 10 x + 25

8 x 2 — 16 x — 24 = 0

Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:

Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:

x 1 + x 2 = 2 , а x 1 · x 2 = — 3 ⇒ x 1 = 3 и x 2 = — 1 . .

Ответ: x 1 = 3 , x 2 = — 1

Нужно решить уравнение:

| x + 1 | + | x — 5 | = 20

Воспользуемся методом интервалов. Определим х , при которых модули принимают нулевые значения:

x + 1 = 0 ⇒ x = — 1 ; x — 5 = 0 ⇒ x = 5

С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:

Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:

Корень соответствует определенному ранее промежутку.

Этот промежуток не имеет корней.

Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.

Ответ: x 1 = — 8 , x 2 = 12

3 x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 3 x + 3 = 1 — 2 x 3 x + 3 = 2 x — 1 ⇔ 5 x = — 2 x = — 4 ⇔ x = — 2 5 x = — 4 .

Ответ: x = — 2 5 , x = — 4

Найти корни уравнения:

2 x — 9 = 3 — x ⇔ 3 — x ≥ 0 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3

x ≤ 3 3 x = 12 x = 6 ⇔ x ≤ 3 x = 4 x = 6 ⇔ x ∈ ∅ .

Найти корни уравнения:

— 2 x + 4 = 3 — 4 x ⇔ 2 x + 8 = 4 x — 3 ⇔ ;

4 x — 3 ≥ 0 2 x + 8 = 4 x — 3 2 x + 8 = 3 — 4 x ⇔ x ≥ 3 4 x = 11 2 x = — 5 6 ⇔ x = 11 2 .

Найти корни уравнения:

2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 2 x 2 — x — 15 = 0 1 2 x 2 + x — 15 = 0 2

Найдем корни квадратных уравнений:

Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:

D = 1 + 4 · 2 · 15 = 121 = 11 2 .

1 : x 1 , 2 = 1 ± 11 4 ⇔ x = 3 x = — 5 2

2 : x 1 , 2 = — 1 ± 11 4 ⇔ x = — 3 x = 5 2

Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:

2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 x = 3 x = — 5 2 x = — 3 x = 5 2 ⇔ x = 3 x = 5 2

Найти корни уравнения:

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 x + 2 = 0 ⇒ x = — 2 3 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 3 4 — x = 0 ⇒ x = 4

— x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3

x = 2 > — 2 ⇒ — этот корень является посторонним.

x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔

3 x = — 2 ⇔ x = — 2 3 ∈ — 2 ; 1 3 этот корень удовлетворяет условиям.

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔ — 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 ∈ 1 3 ; 4 этот корень удовлетворяет условиям.

x + 2 — 3 x — 1 — 4 — x = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = — 4 4 — корень посторонний

Ответ: — 2 3 ; 4 3 .

Найти корни уравнения:

3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1

3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1 ⇔ 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 .

3 x — 5 = 0 ⇒ x = 5 3 3 + 2 x = 0 ⇒ x = — 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = — 1

— 3 x — 5 — 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔

— 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 > — 3 2 ⇒ — корень является посторонним

— 3 x — 5 + 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔

x = — 10 — 1 ⇒ — корень является посторонним

— 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔

— 3 x = — 6 ⇔ x = 2 > 5 3 ⇒ — корень является посторонним

3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔

3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним

В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.

Видео:УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ | метод интерваловСкачать

УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ | метод интервалов

Уравнение с модулем

Уравнение с модулем достаточно сложная тема для начинающих. Учитывая это обстоятельство, в данный урок войдут только элементарные уравнения.

Что такое уравнение с модулем и как его решить?

В уравнениях с модулем неизвестное значение содержится под знáком модуля. Например:

Уравнения с модулем бывают разными и решаются они различными методами. Нельзя сказать что какой-то метод наиболее рационален. Всё зависит от исходного уравнения.

Например, в каких-то уравнениях можно просто угадать корень, в то время как в других нужно логически мыслить, раскрывать модули, выполнять тождественные преобразования. Человек волен выбирать каким методом решения пользоваться.

К примеру, решим вышеприведённое уравнение |x − 2| = 5 . Допустим, что мы не знаем ни одного метода решения. Как бы мы его решили?

Прежде всего заметим, что правая часть данного уравнения равна числу 5. Слева же располагается модуль из выражения |x − 2| . Это означает что подмодульное выражение x − 2 должно равняться числу 5 или −5

Уравнения с модулем сборник задач

Значит нужно выяснить при каких значениях переменной x подмодульное выражение x − 2 будет обращаться в число 5 или −5.

Искомые значения x найдутся если приравнять подмодульное выражение к числу 5 и −5, а затем поочерёдно решить каждое из уравнений:

Уравнения с модулем сборник задач

Значит корнями уравнения |x − 2| = 5 являются числа 7 и −3.

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить используя правило раскрытия модуля. Для этого раскрывают модуль содержащийся в уравнении, затем получившееся выражение подставляют в исходное уравнение вместо выражения с модулем.

Раскрывать модуль нужно для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля.

Решим наше уравнение |x − 2| = 5 с помощью правила раскрытия модуля. Выпишем отдельно его модуль и раскроем его:

Уравнения с модулем сборник задач

В этой конструкции говорится, что если подмодульное выражение x − 2 больше или равно нулю, то модуль раскроется как x − 2, и тогда исходное уравнение примет вид x − 2 = 5 , откуда x = 7

Уравнения с модулем сборник задач

А если же подмодульное выражение x − 2 меньше нуля, то модуль раскроется как −(x − 2) . Тогда исходное уравнение примет вид −(x − 2) = 5 , откуда x = −3

Уравнения с модулем сборник задач

Итак, уравнение |x − 2|= 5 имеет корни 7 и −3. Для проверки подстáвим числа 7 и −3 в исходное уравнение вместо x . Тогда получим верное равенство:

Уравнения с модулем сборник задач

Подмодульное выражение как правило содержит такое x, которое может обращать всё подмодульное выражение как в положительное число, так и в отрицательное, либо вообще в ноль.

Поэтому модуль и раскрывается для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля. Каждый из случаев будет давать независимое уравнение со своим корнем.

Вернёмся теперь к моменту, где мы раскрывали модуль:

Уравнения с модулем сборник задач

Условия x − 2 ≥ 0 и x − 2 являются неравенствами, которые можно решить, тем самым приведя их к простому виду:

Уравнения с модулем сборник задач

Символ ⇔ означает равносильность. В данном случае указывается, что условие x − 2 ≥ 0 равносильно условию x ≥ 2 , а условие x − 2 равносильно условию x

Такой вид записи условий позволяет однозначно сказать при каких x модуль будет раскрываться с плюсом, а при каких с минусом.

В первом случае получилось условие x ≥ 2. Это значит что при всех x бóльших либо равных 2, модуль |x − 2| будет раскрываться с плюсом. Так, при x = 7, подмодульное выражение станет равно 5

А значит дальнейшее раскрытие будет с плюсом

Таким же образом модуль |x − 2| будет вести себя и с другими значениями x на промежутке x ≥ 2 . То есть, будет раскрываться с плюсом. Примеры:

При x = 3, |3 − 2|=|1| = 1
При x = 4, |4 − 2|=|2| = 2
При x = 2, |2 − 2|=|0| = 0
При x = 13, |13 − 2|=|11| = 11

А во втором случае получилось условие x . Это значит что при всех x мéньших 2, модуль будет раскрываться с минусом. Так, при x = −3, подмодульное выражение опять же станет равно 5. Но в промежуточных вычислениях можно увидеть, что модуль раскрывается с минусом:

Модуль |x − 2| будет вести себя так же и с другими значениями x на промежутке x . Примеры:

При x = 1, |1 − 2|=|−1| = −(−1) = 1
При x = 0, |0 − 2|=|−2| = −(−2) = 2
При x = −1, |−1 − 2|=|−3| = −(−3) = 3
При x = −9,|−9 − 2|=|−11| = −(−11) = 11

Число 2 является своего рода точкой перехода, в которой модуль |x − 2| меняет свой порядок раскрытия.

Можно представить как модуль |x − 2| двигался по маршруту от минус бесконечности до числа 2, раскрываясь в каждой точке с минусом. Попав в точку 2, модуль поменял свой порядок раскрытия — а именно раскрывшись в точке 2 с плюсом, он далее стал раскрываться с плюсом, двигаясь в правую часть к плюс бесконечности.

С помощью координатной прямой это можно представить так:

Уравнения с модулем сборник задач

Красные знаки минуса и плюса указывают, как будет раскрываться модуль |x − 2| на промежутках x и x ≥ 2 .

Точку перехода можно найти для любого модуля. Для этого нужно узнать при каких x подмодульное выражение равно нулю. Ноль это то значение, до и после которого модуль всегда сохраняет свой знак. Это следует из правила раскрытия модуля:

Уравнения с модулем сборник задач

В этом примере в момент когда x станет равным нулю, модуль |x| раскроется с плюсом и далее при всех x , бóльших нуля, будет раскрываться с плюсом. Напротив, при всех x , мéньших нуля модуль будет раскрываться с минусом:

Уравнения с модулем сборник задач

А например для модуля |2x + 6| точкой перехода будет число −3 , потому что при его подстановке в подмодульное выражение 2x + 6 вместо x, данное подмодульное выражение станет равно нулю. Изобразим это на рисунке:

Уравнения с модулем сборник задач

При всех x, бóльших либо равных −3 , модуль будет раскрываться с плюсом. Примеры:

При x = −3, |2 × (−3) + 6| = |0| = 0
При x = 4, |2 × 4 + 6| = |14| = 14
При x = 5, |2 × 5 + 6| = |16| = 16

А при всех x, мéньших 3, модуль будет раскрываться с минусом. Примеры:

При x = −4, |2 × (−4) + 6| = |−2| = −(−2) = 2
При x = −5, |2 × (−5) + 6| = |−4| = −(−4) = 4
При x = −6, |2 × (−6) + 6| = |−6| = −(−6) = 6

Пример 2. Решить уравнение |x| + 3x = −2

Решение

Раскроем модуль, который содержится в левой части уравнения:

Уравнения с модулем сборник задач

Если x ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид x + 3x = −2 . Сразу решим это уравнение:

Уравнения с модулем сборник задач

Теперь рассмотрим второй случай — когда xx + 3x = −2 . Решим и это уравнение:

Уравнения с модулем сборник задач

Получили корни Уравнения с модулем сборник задачи −1.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение. Проверим корень Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

Видим, что при подстановке корня Уравнения с модулем сборник задачисходное уравнение не обращается в верное равенство. Значит Уравнения с модулем сборник задачне является корнем исходного уравнения.

Проверим теперь корень −1

Уравнения с модулем сборник задач

Получили верное равенство. Значит из двух найденных решений только −1 является корнем уравнения.

Ответ: −1.

Здесь можно сделать важный вывод. В уравнениях с модулем найденные корни не всегда удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы убедиться в правильности своего решения, нужно выполнять проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение.

Кроме того, проверить является ли найденное значение корнем уравнения можно с помощью условия, согласно которому был раскрыт модуль.

Так, в данном примере мы раскрывали модуль |x| для случаев когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля:

Уравнения с модулем сборник задач

Условия x≥0 и x x + 3x = −2 . Корнем этого уравнения стало число Уравнения с модулем сборник задач. Это число не удовлетворяет условию x ≥ 0, согласно которому был раскрыт модуль |x| и согласно которому было получено уравнение x + 3x = −2 . Действительно, при подстановке числа Уравнения с модулем сборник задачв неравенство x ≥ 0 получается неверное неравенство.

А при раскрытии модуля со знаком минус, получилось уравнение −x + 3x = −2 . Корнем этого уравнения стало число −1 . Это число удовлетворяет условию x −x + 3x = −2 . Действительно, при подстановке числа −1 в неравенство x получается верное неравенство.

Пример 3. Решить уравнение |1 − 2x| − 4x = −6

Решение

Уравнения с модулем сборник задач

При раскрытии модуля |1 − 2x| со знаком плюс, получим уравнение 1 − 2x − 4x = −6 . Решим его:

Уравнения с модулем сборник задач

При раскрытии модуля |1 − 2x| со знаком минус, получим уравнение −1 + 2x − 4x = −6. Решим его:

Уравнения с модулем сборник задач

Получили корни Уравнения с модулем сборник задачи Уравнения с модулем сборник задач.

Корень Уравнения с модулем сборник задачне удовлетворяет условию Уравнения с модулем сборник задач, значит не является корнем исходного уравнения.

Корень Уравнения с модулем сборник задачудовлетворяет условию Уравнения с модулем сборник задач, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: Уравнения с модулем сборник задач.

Пример 4. Решить уравнение | x 2 − 3x | = 0

Решение

Если модуль числа равен нулю, то подмодульное выражение тоже равно нулю:

Уравнения с модулем сборник задач

То есть можно не раскрывать модуль. Достаточно узнать при каких значениях x подмодульное выражение равно нулю. В данном случае для этого нужно решить неполное квадратное уравнение:

Уравнения с модулем сборник задач

Получили корни 0 и 3. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Проверка показывает это:

Уравнения с модулем сборник задач

Пример 5. Решить уравнение x 2 − 5|x| + 6 = 0

Выпишем отдельно модуль |x| и раскроем его:

Уравнения с модулем сборник задач

При раскрытии модуля |x| со знаком плюс, исходное уравнение примет вид x 2 − 5x + 6 = 0 . Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

Уравнения с модулем сборник задач

Оба корня удовлетворяют условию x ≥ 0 , значит являются корнями исходного уравнения.

При раскрытии модуля |x| со знаком минус, исходное уравнение примет вид x 2 + 5x + 6 = 0 . Это тоже квадратное уравнение. Решим его как и предыдущее:

Уравнения с модулем сборник задач

При условии x ≥ 0 , модуль из уравнения раскрылся с плюсом, получились корни 3 и 2. Оба корня удовлетворяют условию x ≥ 0 , значит удовлетворяют и исходному уравнению.

При условии x , модуль из уравнения раскрылся с минусом, получились корни −2 и −3. Оба корня удовлетворяют условию x , значит удовлетворяют и исходному уравнению.

Ответ: 3, 2, −2 и −3.

Сведéние уравнения с модулем в совокупность

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить сведéнием их к так называемой совокупности уравнений.

Элементарными мы будем называть те уравнения с модулем, в которых левая часть является модулем из какого-то выражения, а правая часть — числом. Например, |x| = 3 или |2x − 1| = 3.

Решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 сведéнием его к совокупности уравнений. Корнями этого уравнения были числа 7 и −3. Это уравнение тоже считается элементарным.

Если раскрыть модуль |x − 2| со знаком плюс, то уравнение |x − 2| = 5 примет вид x − 2 = 5 .

Если раскрыть модуль |x − 2| со знаком минус, то уравнение |x − 2| = 5 примет вид −(x − 2) = 5 , то есть −x + 2 = 5 .

Видим, что из уравнения |x − 2| = 5 получилось два уравнения: x − 2 = 5 и −x + 2 = 5 . Причём каждое из уравнений имеет свой собственный корень. Уравнение x − 2 = 5 имеет корень 7, а уравнение −x + 2 = 5 — корень −3

Выпишем уравнения x − 2 = 5 и −x + 2 = 5 и объединим их квадратной скобкой:

Уравнения с модулем сборник задач

Такой вид записи называют совокупностью уравнений.

Совокупность уравнений — это несколько уравнений, объединённых квадратной скобкой, и имеющих множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

Так, число 7 является решением совокупности Уравнения с модулем сборник задачпотому что это число удовлетворяет первому уравнению х − 2 = 5 .

Число −3 тоже является решением данной совокупности, поскольку удовлетворяет второму уравнению − х + 2 = 5.

Вместе же числа 7 и −3 образуют множество решений данной совокупности.

В отличие от системы уравнений, совокупность состоит из уравнений, которые не зависят друг от друга. Для каждого уравнения, входящего в совокупность, значение переменной x будет разным. А в системе уравнений значение переменной x удовлетворяет как первому уравнению, так и второму.

Решить совокупность уравнений означает найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

Решим каждое уравнение совокупности Уравнения с модулем сборник задачпо-отдельности. Это обычные линейные уравнения, которые легко решаются:

Уравнения с модулем сборник задач

Символ ⇔ как было ранее сказано означает равносильность. В данном случае он указывает на то, что все получающиеся совокупности равносильны друг другу.

Итак, мы получили корни 7 и −3. Поскольку эти два числа являются решениями совокупности Уравнения с модулем сборник задач, то значит являются и решениями уравнения |x − 2| = 5.

В исходную совокупность можно включать условия, согласно которым был раскрыт модуль. В этом случае каждое уравнение вместе со своим условием обрамляется знаком системы.

Дополним предыдущую совокупность условиями, согласно которым был раскрыт модуль. К первому уравнению x − 2 = 5 добавим условие x − 2 ≥ 0 , а ко второму уравнению −x + 2 = 5 добавим условие x − 2

Уравнения с модулем сборник задач

Решение каждого уравнения должно удовлетворять своему условию. Поэтому условия и уравнения обрамлены знáком системы.

Решим получившуюся совокупность с условиями. Условия являются неравенствами, которые тоже можно решать:

Уравнения с модулем сборник задач

В первом случае получили корень 7 , который удовлетворяет своему условию x ≥ 2 . Во втором случае получили корень −3 , который удовлетворяет своему условию x .

Не следует бояться таких записей. Это лишь подробное решение, показывающее что откуда взялось. Чаще всего решение можно записать покороче.

Существует схема для сведéния в совокупность уравнения вида |x| = a . Выглядит эта схема так:

Уравнения с модулем сборник задач

Данная схема легко позволяет свести уравнение с модулем в совокупность. Эту схему можно прочитать так: « Если выражение |x| равно a, то подмодульное выражение равно a или −a »

Квадратная скобка в совокупностях заменяет собой слово «или».

Например, уравнение |x| = 5 можно свести в совокупность, рассуждая так: если выражение |x| равно 5, то подмодульное выражение равно 5 или −5 .

Уравнения с модулем сборник задач

А применительно к нашему предыдущему примеру можно рассуждать так: если |x − 2| равно 5 , то подмодульное выражение равно 5 или −5

Уравнения с модулем сборник задач

Это та же самая совокупность, что и в прошлый раз. Убедитесь в этом, умножив обе части второго уравнения на −1.

В уравнениях где слева модуль, а справа число, мы будем чаще использовать именно такой способ записи совокупности. Он позволяет не прибегать к правилу раскрытия модуля, а сразу получить совокупность.

Но надо помнить, что эта схема будет работать только для уравнений вида |x| = a . То есть для уравнений, у которого слева модуль, а справа число.

Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 3

Решение

У этого уравнения слева модуль, а справа число. Значит его можно свести в совокупность, воспользовавшись схемой Уравнения с модулем сборник задач

Если выражение |2x − 1| равно 3, то подмодульное выражение 2x − 1 равно 3 или −3

Уравнения с модулем сборник задач

Теперь решим каждое уравнение совокупности по отдельности:

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: 2 и −1.

Пример 3. Решить уравнение |x + 2| − 3 = 8

Решение

В некоторых случаях прежде чем свести исходное уравнение в совокупность, его следует упростить.

Так, в данном случае −3 следует перенести в правую часть, изменив знак:

Уравнения с модулем сборник задач

Получили уравнение |x + 2| = 11 . Если выражение |x + 2| равно 11, то подмодульное выражение x + 2 равно 11 или −11

Уравнения с модулем сборник задач

Решим данную совокупность:

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: 9 и −13.

Пример 4. Решить уравнение 4|x| + 4 = 2|x| + 10

Решение

Перенесём 2|x| из правой части в левую часть, а 4 перенесём из левой части в правую часть:

Разделим обе части получившегося уравнения на 2. Тогда получится простое уравнение с модулем:

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: 3 и −3.

Пример 5. Решить уравнение Уравнения с модулем сборник задач

Решение

Если выражение |2 − 5x 2 | равно 3, то подмодульное выражение 2 − 5x 2 равно 3 или −3

Уравнения с модулем сборник задач

В обоих уравнениях перенесём 2 в правую часть, изменив знак:

Уравнения с модулем сборник задач

В первом уравнении разделим обе части на −5. Во втором уравнении так же разделим обе части на −5. Тогда получим два квадратных уравнения

Уравнения с модулем сборник задач

Первое уравнение не имеет корней, потому что квадрат любого числа положителен, а в данном случае он равен отрицательному числу. Корнями второго уравнения являются числа 1 и −1, поскольку вторая степень этих чисел равна единице.

Ответ: 1 и −1.

Пример 6. Решить уравнение |x + 6| + 4x = 5

Решение

Данное уравнение не является уравнением вида |x| = a , значит не получится воспользоваться схемой Уравнения с модулем сборник задач.

Чтобы свести данное уравнение в совокупность, нужно сначала раскрыть его модуль, затем записать совокупность из получившихся уравнения.

Раскроем модуль |x + 6|

Уравнения с модулем сборник задач

Если x + 6 ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид x + 6 + 4x = 5

Если x + 6 , то модуль раскроется со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид − x − 6 + 4x = 5. Получим следующую совокупность:

Уравнения с модулем сборник задач

Дальнейшее решение элементарно:

Уравнения с модулем сборник задач

Из найденных корней только Уравнения с модулем сборник задачявляется корнем исходного уравнения, поскольку удовлетворяет условию x ≥ −6 . А корень Уравнения с модулем сборник задачне является корнем уравнения, поскольку не удовлетворяет условию x .

Ответ: Уравнения с модулем сборник задач

Наиболее простой вид

Наиболее простой вид уравнения с модулем выглядит так:

где x — корень уравнения, a — произвольное число, бóльшее или рáвное нулю. То есть a ≥ 0

Если условие a ≥ 0 не выполнено, то уравнение |x|= a корней не имеет. Это следует из определения модуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен.

Приведем несколько примеров уравнений вида |x| = a

Пример 1. Решить уравнение |x| = 2

Решение

В данном случае сразу видно, что корнями являются числа 2 и −2. Ведь если вместо x подставить эти числа, то получим верное равенство: |−2| = 2 и |2| = 2. Решение для этого уравнения можно записать, сведя его в совокупность:

«Если выражение |x| равно 2, то подмодульное выражение x равно 2 или −2«

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: 2 и −2

Пример 2. Решить уравнение |−x| = 4

Решение

Если выражение |−x| равно 4, то подмодульное выражение равно 4 или −4

Уравнения с модулем сборник задач

Умножим оба уравнения на −1

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: −4 и 4.

Пример 3. Решить уравнение |x| = −7

В данном случае корней нет, поскольку модуль всегда неотрицателен. А в данном случае модуль равен отрицательному числу.

Если уравнение с модулем не имеет корней, обычно пишут что x принадлежит пустому множеству:

Напомним, что пустым называют множество, не имеющее элементов.

Модуль внутри модуля

Уравнения с модулем сборник задач

В этом уравнении слева располагается модуль, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, а справа уравнения располагается число. Такой вид уравнения с модулем можно решить, сведя его в совокупность с помощью схемы, которую мы рассмотрели ранее:

Уравнения с модулем сборник задач

В нашем случае если выражение Уравнения с модулем сборник задачравно 9, то подмодульное выражение |2 + x| + 3 равно 9 или −9

Уравнения с модулем сборник задач

В получившейся совокупности имеется два уравнения с модулем. Эти уравнения тоже в свою очередь следует свести в совокупность. Но сначала немного упростим эти уравнения. В первом и во втором уравнении перенесем 3 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Уравнения с модулем сборник задач

Теперь сведём эти уравнения в совокупности. Первое уравнение распадётся на следующую совокупность:

Уравнения с модулем сборник задач

Сразу решим совокупность Уравнения с модулем сборник задач. Первый корень равен 4, второй −8.

Уравнения с модулем сборник задач

Теперь решим второе уравнение |2 + x| = −12 . Но замечаем, что его правая часть равна отрицательному числу. Это уравнение не имеет корней, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

Значит уравнение Уравнения с модулем сборник задачимеет корни 4 и −8 . Проверим эти корни, подставив их в исходное уравнение Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

В данном случае оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 4 и −8 .

Вообще, уравнение с модулем внутри которого содержится другой модуль, тоже решается различными способами. Какой способ использовать зависит от самогó уравнения. Решим например следующее уравнение:

Уравнения с модулем сборник задач

Здесь уже нельзя использовать схему Уравнения с модулем сборник задачпотому что слева располагается не только модуль, но и переменная x . Конечно, переменную x можно перенести в правую часть, и тогда можно будет свести данное уравнение в совокупность:

Уравнения с модулем сборник задач

Но тогда справа появляется переменная x, на которую нужно будет вводить дополнительное ограничение, чтобы правая часть уравнения не стала отрицательной. Такой способ решения мы рассмотрим позже. А пока решим исходное уравнение с помощью правила раскрытия модуля.

Чтобы раскрыть модули данного уравнения нужно сначала определиться где внешний и где внутренний модуль.

В уравнении Уравнения с модулем сборник задачвнешним модулем является полностью левая часть Уравнения с модулем сборник задач, а внутренним модулем — выражение Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

Значение внешнего модуля зависит от внутреннего модуля, и раскрываться внешний модуль будет исходя от результата который получился в результате вычисления его подмодульного содержимого.

Например, если x = 3 , то внутренний модуль |3 − x| примет значение 0, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно −2 . А это значит что внешний модуль будет раскрываться с минусом.

||3 − x| − x + 1| = ||3 − 3| − 3 + 1| = ||0| − 3 + 1| = |−2| = −(−2) = 2

А если например x = −2 , то внутренний модуль |3 − x| примет значение 5, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно 8. А это значит что внешний модуль будет раскрываться с плюсом:

||3 − x| − x + 1| = ||3 − (−2)| − (−2) + 1| = ||5| − (−2) + 1| = | 8 |=8

Поэтому решение будем начинать с раскрытия внутреннего модуля.

Если внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 3 − x ≥ 0 (что равносильно неравенству x ≤ 3 ), то исходное уравнение примет вид:

Уравнения с модулем сборник задач

Теперь уравнение имеет только внешний модуль. Решим его раскрыв модуль:

Уравнения с модулем сборник задач

Если −2x + 4 ≥ 0, то:

Уравнения с модулем сборник задач

Сейчас нас интересуют только те значения x при которых внутренний модуль раскрывается с плюсом, а это произойдет при условии x ≤ 3. Поэтому для наглядности рядом с найденным корнем указано, что он удовлетворяет условию x ≤ 3

Решаем далее. Если −2x + 4 , то:

Уравнения с модулем сборник задач

Несмотря на то, что оба найденных корня удовлетворяют уравнению |−2x+4|=6−x , мы исключаем корень Уравнения с модулем сборник задачиз решений, потому что нас сейчас интересуют только те значения x, при которых внутренний модуль изначального уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рядом с корнем Уравнения с модулем сборник задачуказано, что он не удовлетворяет условию x ≤ 3 .

Итак, если внутренний модуль раскрывается с плюсом, исходное уравнение принимает вид |−2x + 4| = 6 − x и корнем этого уравнения является число −2 .

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда 3 − x (что равносильно неравенству x > 3 ). Внутренний модуль будет раскрываться с минусом при всех значениях x больших 3.

Если внутренний модуль раскроется с минусом, то исходное уравнение примет вид:

Уравнения с модулем сборник задач

Модуль −2 равен 2 . Тогда получаем простейшее линейное уравнение, корень которого равен 4

Уравнения с модулем сборник задач

Получили корень 4 , который удовлетворяет условию x > 3 .

В итоге корнями уравнения являются числа −2 и 4.

Ответ: 2 и 4.

Пример 3. Решить уравнение ||x − 1| − 7| = 10

Решение

Слева располагается модуль, а справа число, значит можно применить схему:Уравнения с модулем сборник задач

В данном случае если выражение ||x − 1| 7| равно 10, то подмодульное выражение |x 1| 7 равно 10 или 10. Получится совокупность из двух уравнений:

Уравнения с модулем сборник задач

Упростим получившиеся уравнения. Перенесём число −7 в обоих уравнениях в правую часть, изменив знак:

Уравнения с модулем сборник задач

Второе уравнение корней не имеет. Первое уравнение распадется на совокупность Уравнения с модулем сборник задач, корни которой 18 и −16.

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: 18 и −16 .

Решим это же уравнение с помощью раскрытия модулей. Начнем с внутреннего модуля.

Если x − 1 ≥ 0 (что равносильно x ≥ 1 ), то исходное уравнение примет вид:

Уравнения с модулем сборник задач

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

Уравнения с модулем сборник задач

Далее решаем уравнение для случаев когда x − 8 ≥ 0 и x − 8

Уравнения с модулем сборник задач

Сейчас нас интересуют те значения, при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. А это будет при условии, что x ≥ 1 . Этому условию удовлетворяет только значение 18 , поэтому мы пометили его зеленой галочкой для наглядности.

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда x − 1 (или что равносильно неравенству x ).

Если x − 1 , то исходное уравнение примет вид:

Уравнения с модулем сборник задач

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

Уравнения с модулем сборник задач

Далее решаем уравнение для случаев когда −x − 6 ≥ 0 и −x − 6

Уравнения с модулем сборник задач

Из найденных корней только −16 удовлетворяет условию x .

В итоге корнями уравнения ||x − 1| − 7| = 10 являются числа 18 и −16 .

Видно, что с помощью схемы Уравнения с модулем сборник задачданное уравнение решилось легче и быстрее, чем способом раскрытия модулей.

Слева модуль, а справа выражение с переменной

Решим следующее уравнение с модулем:

Здесь так же применима схема:

Уравнения с модулем сборник задач

То есть, если выражение |4x − 3| равно 3x, то подмодульное выражение 4x − 3 должно равняться 3x или −3x.

Уравнения с модулем сборник задач

Но в исходном уравнении переменная x содержится не только под знáком модуля, но и в правой части. Нам пока неизвестно какое значение примет переменная x . Если x примет отрицательное значение, то правая часть станет полностью отрицательной. В этом случае корней не будет, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

Поэтому, если мы хотим решить данное уравнение, то при сведéнии его в совокупность, дополнительно следует ввести ограничение в виде условия 3x ≥ 0 . Это будет означать, что правая часть уравнения |4x − 3| = 3x должна быть больше либо равна нулю:

Уравнения с модулем сборник задач

Совокупность и условие обрамлены знаком системы, потому что решения совокупности должны удовлетворять условию 3x ≥ 0.

Итак, решим совокупность. Условие 3x ≥ 0 является неравенством, которое тоже можно решить:

Уравнения с модулем сборник задач

Получившиеся корни можно подставить в условие x ≥ 0 и посмотреть выполняется ли оно. Если выполняется, то найденные корни удовлетворяют уравнению. В данном случае при подстановке обеих корней в неравенство, оно выполняется. Проверка также показывает, что корни удовлетворяют уравнению:

Уравнения с модулем сборник задач

Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 5x − 10

Решение

Решим это уравнение таким же образом, как и предыдущее. Введём условие, требующее чтобы правая часть была больше либо равна нулю:

Уравнения с модулем сборник задач

В данном случае только значение 3 удовлетворяет условию x ≥ 2 . Оно же является единственным корнем исходного уравнения. Проверка показывает это:

Уравнения с модулем сборник задач

А число Уравнения с модулем сборник задачне удовлетворяет условию x ≥ 2 и не является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

Уравнения с модулем сборник задач

Видим, что модуль стал равен отрицательному числу, а это противоречит определению модуля и нашему условию x ≥ 2 .

Пример 3. Решить уравнение Уравнения с модулем сборник задач

Решение

Это уравнение мы решили, когда учились решать уравнения с модулем внутри которых другой модуль. Теперь данное уравнение можно решить, сведя его в совокупность.

Для начала перенесём x в правую часть, изменив знак:

Уравнения с модулем сборник задач

Теперь сведём данное уравнение в совокупность. Дополнительно введём условие в виде неравенства 6 − x ≥ 0

Уравнения с модулем сборник задач

В левой части первого уравнения оставим модуль, остальные члены перенесём в правую часть. Тоже самое сделаем и со вторым уравнением. Также будем решать неравенство 6 − x ≥ 0 , оно позволит в конце проверять найденные корни на соответствие:

Уравнения с модулем сборник задач

Решим первое уравнение. Оно распадётся на следующую совокупность:

Уравнения с модулем сборник задач

Получились корни −2 и 8 . Из них только −2 удовлетворяет условию x ≤ 6 .

Теперь решим второе уравнение. Оно является уравнением, содержащим переменную в правой части. При сведении его в совокупность дополним его условием −7 + 2x ≥ 0

Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

При решении второго уравнения получились корни Уравнения с модулем сборник задачи 4. Прежде чем сверять их с условием x ≤ 6 следует сверить их с условием Уравнения с модулем сборник задачпод которое решалось уравнение |3 − x| = −7 + 2 x . Условию Уравнения с модулем сборник задачудовлетворяет только корень 4 .

В итоге корнями исходного уравнения Уравнения с модулем сборник задачявляются числа −2 и 4.

Пример 4. Решить уравнение |4x + 20| = −6x

Решение

На первый взгляд покажется, что данное уравнение не имеет решений, потому что правая часть отрицательна. Но это не совсем так. Правая часть содержит переменную x, которая может принять отрицательное значение или ноль, и это приведёт к тому что правая часть станет положительной либо равной нулю. А такое уравнение имеет право на существование.

В данном случае мы решим это уравнение, сведя его в совокупность. Но при этом укажем, что правая часть должна быть больше или равна нулю:

Уравнения с модулем сборник задач

Из найденных корней только корень −2 удовлетворяет исходному уравнению. Также он удовлетворяет нашему условию x ≤ 0 .

Ответ: −2.

Когда обе части — модули

Решим следующее уравнение:

Обе части этого уравнения являются модулями. Раскроем эти модули. Будем учитывать все возможные случаи при их раскрытии.

Случай 1. Если x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x ≥ 0 , то модули в обеих частях раскроются со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид:

Это простейшее линейное уравнение. Решим его:

Уравнения с модулем сборник задач

Случай 2. Если x + 7 и 1 + 3x то модули в обеих частях раскроются со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид:

Раскроем скобки, получим:

Замечаем, что если умножить обе части этого уравнения на −1 , то получается уравнение x + 7 = 1 + 3 x . А это уравнение мы получали в результате раскрытия модулей со знаком плюс.

То есть уравнения x + 7 = 1 + 3x и −x − 7 = −1 − 3x являются равносильными, а значит имеют одни и те же корни. Убедимся в этом, решив уравнение −x − 7 = −1 − 3x

Уравнения с модулем сборник задач

Поэтому, раскрыв модули со знаком плюс, нет необходимости раскрывать их со знаком минус, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Следующий случай это когда x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x . Тогда исходное уравнение примет вид x + 7 = −1 − 3x. Найдём корень этого уравнения:

Уравнения с модулем сборник задач

И последний случай это когда x + 7 и 1 + 3x ≥ 0 . Тогда уравнение примет вид −x − 7 = 1 + 3 x . Если умножить это уравнение на −1 , то получим уравнение x + 7 = −1 − 3x. А это уравнение мы получали, когда рассматривали предыдущий случай (случай x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x ).

Следовательно, уравнение −x − 7 = 1 + 3x равносильно предыдущему уравнению x + 7 = −1 − 3 x . Убедимся в этом решив уравнение −x − 7 = 1 + 3x

Уравнения с модулем сборник задач

Значит раскрыв левую часть со знаком плюс, а правую часть со знаком минус, нет необходимости раскрывать левую часть со знаком минус, а правую часть со знаком плюс, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Вообще, если в уравнении обе части являются модулями как в данном примере, то это уравнение можно свести в следующую совокупность:

Уравнения с модулем сборник задач

В этой конструкции уравнение вида |a| = |b| сведено в совокупность из двух уравнений a = b и a = −b . Видно что первое уравнение получается путем раскрытия обоих модулей со знаком плюс, а второе уравнение — путем раскрытия модуля |a| со знаком плюс, а модуля |b| — со знаком минус.

Важно. Данная схема работает только тогда, когда обе части являются модулями без посторонних членов. Проще говоря, если будет дано уравнение, например |a| = |b| + c , то приведенную схему использовать нельзя.

Пример 2. Решить уравнение |2 − 3x| = |x + 5|

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

Уравнения с модулем сборник задач

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс, во втором уравнении — модуль |2 − 3x| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |x + 5| со знаком минус:

Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: Уравнения с модулем сборник задачи Уравнения с модулем сборник задач

Пример 3. Решить уравнение |x 2 − 13x + 35|=|35 − x 2 |

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

Уравнения с модулем сборник задач

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс. Во втором уравнении — модуль |x 2 − 13x + 35| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |35 − x 2 | со знаком минус:

Уравнения с модулем сборник задач

Приведём подобные члены в обоих уравнениях:

Уравнения с модулем сборник задач

Первое уравнение является неполным квадратным. Решим его, вынеся x за скобки. Второе уравнение решается элементарно:

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: Уравнения с модулем сборник задач, Уравнения с модулем сборник задач, 0.

Когда решение — числовой промежуток

Нередко приходиться решать уравнения с модулем, где корнями являются не один или два числа, а числовой промежуток. Таковым, например, является уравнение:

Раскроем модуль этого уравнения:

Уравнения с модулем сборник задач

Если раскрыть модуль со знаком плюс, то получается уравнение 5x + 3 = −5x − 3 . Решим его:

Уравнения с модулем сборник задач

А если раскрыть модуль со знаком минус, то получится уравнение −5x − 3 = −5x − 3 . В этом уравнении обе части являются одинаковыми, а значит данное равенство является тождеством. Оно будет верно при любом значении x . Значит корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Но надо помнить про условия, согласно которым были раскрыты модули. В первом случае мы получили корень Уравнения с модулем сборник задач. Он будет верен только при условии что Уравнения с модулем сборник задач. Это условие соблюдено. Проверка также показывает что корень подходит:

Уравнения с модулем сборник задач

Значит один из корней уравнений равен Уравнения с модулем сборник задач

Во втором случае мы получили множество корней от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но это будет верно только при условии что Уравнения с модулем сборник задач

Например, если взять любое число из промежутка (−∞; +∞) , но которое не будет удовлетворять условию Уравнения с модулем сборник задач, то это число не будет обращать наше уравнение в верное равенство.

Например, число 2 принадлежит промежутку (−∞; +∞), но не удовлетворяет условию Уравнения с модулем сборник задач, а значит число 2 не является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

Уравнения с модулем сборник задач

А если взять к примеру число −5 , то оно будет принадлежать промежутку (−∞; +∞) и удовлетворять условию Уравнения с модулем сборник задач, а значит будет обращать исходное уравнение в верное равенство:

Уравнения с модулем сборник задач

Поэтому ответ надо записать так, чтобы были выполнены оба условия Уравнения с модулем сборник задачи Уравнения с модулем сборник задач. Для наглядности нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

Уравнения с модулем сборник задачОтметим на ней наш первый корень Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

Раскрыв модуль со знаком минус и решив получившееся уравнение, мы получили в ответе множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности, но при этом было дано условие Уравнения с модулем сборник задач. Значит более точным ответ в этом случае будет таким:

Корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 при условии Уравнения с модулем сборник задачявляются все числа от минус бесконечности до Уравнения с модулем сборник задач

Значит на координатной прямой нужно заштриховать область слева от числа Уравнения с модулем сборник задач. Они будут иллюстрировать числа, меньшие Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

Число Уравнения с модулем сборник задачтоже является верным корнем исходного уравнения. Он был получен при раскрытии модуля со знаком плюс. Поэтому на координатной прямой пустой кружок нужно закрасить. Так мы включим число Уравнения с модулем сборник задачво множество решений:

Уравнения с модулем сборник задач

Тогда окончательный ответ будет выглядеть так:

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: Уравнения с модулем сборник задач

Также, можно решить это уравнение сведя его в совокупность, дополнительно указав, что правая часть должна быть больше либо равна нулю:

Уравнения с модулем сборник задач

Пример 2. Решить уравнение |2x − 3| = 3 − 2x

Решение

Уравнения с модулем сборник задач

Решим исходное уравнение для случаев когда 2x − 3 ≥ 0 и 2x − 3

Уравнения с модулем сборник задач

Уравнения с модулем сборник задач

Ответ: Уравнения с модулем сборник задач

Использование координатной прямой

Рассмотрим ещё один способ решения элементарных уравнений с модулем — с помощью координатной прямой. Этот способ используется редко, но знать о нём не помешает.

Решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 с помощью координатной прямой. Напомним, что корнями этого уравнения были числа 7 и −3.

Модуль есть расстояние от начала координат до точки A . Либо расстояние между двумя числами на координатной прямой.

Расстояние между двумя числами выражается в виде разности |x1x2| , где x1 — первое число, x2 — второе число.

Если внимательно посмотреть на уравнение |x − 2|= 5 , то можно увидеть что его левая часть это расстояние от x до 2 (или от 2 до x) и это расстояние равно 5. Отмéтим на координатной прямой число x и число 2

Уравнения с модулем сборник задач

Правая часть уравнения |x − 2|= 5 говорит о том, что расстояние от x до 2 составляет пять единиц:

Уравнения с модулем сборник задач

Если расстояние от x до 2 равно 5, то и расстояние от 2 до x тоже равно 5. Это позволяет отсчитать пять целых шагов от числа 2 к числу x и таким образом узнать значение x

Уравнения с модулем сборник задач

Видно, что отсчитав пять шагов влево мы попали в точку с координатой −3. А это один из корней, который мы находили для уравнения |x − 2|= 5.

Но пять целых шагов от числа 2 можно отсчитать не только влево, но и вправо:

Уравнения с модулем сборник задач

Если отсчитать пять целых шагов вправо, то попадём в точку с координатой 7. Это тоже был корень уравнения |x − 2|= 5

Уравнения с модулем сборник задач

Несколько модулей в одной части

Решим следующее уравнение:

Это уравнение содержит два модуля в левой части. Чтобы решить данное уравнение нужно раскрыть его модули. Рассмотреть нужно каждый из случаев:

  • когда оба модуля больше либо равны нулю;
  • когда оба модуля меньше нуля;
  • когда первый модуль больше либо равен нулю, а второй модуль меньше нуля;
  • когда первый модуль меньше нуля, а второй модуль больше либо равен нулю.

Не будем комментировать каждый случай, а сразу приведём решение:

Уравнения с модулем сборник задач

Первые два случая корней не дали. В третьем случае нашелся корень 3, но он не удовлетворяет условиям x − 5 ≥ 0 и x , поэтому не является корнем исходного уравнения.

В четвёртом случае нашёлся корень 2, который удовлетворяет условиям x − 5 и x ≥ 0 . Также он удовлетворяет исходному уравнению.

Заметно, что такой способ решения уравнения неудобен. Если модулей в уравнении будет три, четыре или более, то придётся рассматривать намного больше случаев. Человек запутавшись, может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Поэтому такой вид уравнения как в данном примере удобнее решать методом интервалов. Об этом мы поговорим в следующем уроке.

Видео:Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать

Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравнении

Уравнения с модулями. Модули

Модуль (абсолютное значение) позитивного числа или нуля есть это число, а модуль отрицательного числа есть противоположное ему число, то есть

Из определения понятно, что абсолютная величина любого рационального числа, отличного от нуля, есть положительное число. Поэтому противоположные числа имеюь равные модули. Рассмотрим следующие уравнения |ax + b| = c

Задача 1 Решите уравнения:
A) |x| = 5
B) |3x + 4| = 7
C) |1 / 3x + 4| = 0
D) |2 — 5x| = — 3
E) –|3x – 1| = — 11
F) |3x — 3(x — 1)| = 3

Для решения этих уравнений мы будем использовать определение модуля рационального числа.

A) Если |x| = 5, тогда x = 5 или x = — 5, потому что модуль 5 и -5 есть 5.
Кроме того, больше нет других чисел с таким модулем;

B) Из |3x + 4| = 7 мы получаем, что 3x + 4 = 7 или 3x + 4 = -7
Из первого уравнения мы находим, что 3x = 7 — 4 3x = 3 x = 1,
а их второго уравнения: 3x = — 7 — 4 3x = -11 x = -11/3

C) | 1 /3x + 4| = 0 означает, что
1 /3x + 4 = 0
1 /3x = -4 x = -12

D) |2 — 5x| = -3 не имеет решения, потому что из теории мы знаем, что не существует числа, модуль которого является отрицательным значением

E) -|3x – 1| = — 11 |3x — 1| = 11,
отсюда 3x — 1 = 11 или 3x — 1 = -11
Из решения последних двух уравнений
x = 4 или x = -10/3

F) |3x — 3x + 3| = 3 |3| = 3.
Поэтому любое x есть решением

Задача 2 Решите уравнения:
A) 3|5x|+ 4|5x| = 35
B) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2
C) 3.7|x| – 2.2|x| = 22.5
D) |(x + 1)/3| = 5

A) 3|5x| + 4|5x| = 35
(3 + 4)|5x| = 35
7 |5x| = 35
|5x| = 35/7 |5x| = 5
Из последнего уравнения мы получаем 5x = 5 или 5x = — 5.
И мы находим, что x = 1 или x = -1

B) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2
2|2x| + 9|2x| = 3
11|2x| = 3 равно |2x| = 3/11
Поэтому 2x = 3/11 или 2x = — 3/11,
откуда x = 3/22 или x = — 3/22

C) 3.7|x| – 2,2|x| = 22.5
(3.7 — 2,2)|x| = 22.5
1.5|x| = 22.5
|x| = 22.5/1.5 |x| = 15,
откуда x = 15 или x = — 15

D) |(x + 1)/3| = 5, отсюда (x + 1)/3 = 5 или (x + 1)/3 = -5.
Поэтому x + 1 = 15 x = 14 или x + 1 = -15 x = -16

Задача 3 Докажите, что уравнение не имеет решения:
A) -|(2x + 3)/14| = 5
B) |8x – 4(2x + 3)| = 15

A) -|(2x + 3)/14| = 5 |(2x + 3)/14| = -5
, что не имеет решения, потому что не существует числа с отрицательным модулем.

B) |8x — 4(2x + 3)| = 15 |8x — 8x — 12| = 15
|-12| = 15 12 = 15, откуда видно, что это невозможно для любого x

Задача 4 Решите уравнение:
A) 2|x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|;
B) 3|x| – (x + 1) 2 = 4|x| – (x 2 -1) – 2(x — 5);
C) |-3 — 5x| = 3;
D) 2|x – 1| = 9 – |x – 1|;
E) |x| – (3 – x)/4 = (2x — 1)/8

A) 2|x – 1| + |x -1| = 9 — 3 (2 + 1)|x -1| = 6
3|x – 1| = 6 |x — 1| = 2
Поэтому x — 1 = 2 или x — 1 = — 2,
откуда x = 3 или x = — 1

B) 3|x| – (x + 1) 2 = 4|x| – (x 2 — 1) — 2(x — 5)
x 2 — 1 + 2(x – 5) – (x + 1) 2 = 4|x| – 3 |x|
x 2 — 1 + 2x — 10 – (x 2 + 2x + 1) = (4 — 3)|x|
x 2 + 2x — 11 – x 2 — 2x — 1 = |x|
-12 = |x|, что не имеет решения;

C) Из |-3 — 5x| = 3 мы получаем -3 — 5x = 3 или -3 — 5x = — 3.
Поэтому -3 — 3 = 5x x = — 6/5 или -3 + 3 = 5x
0 = 5x x = 0;

D) 2 |x – 1| = 9 – |x – 1|
2 |x – 1| + |x – 1| = 9
(2 + 1)|x – 1| = 9 3|x – 1| = 9
|x – 1| = 3 мы получаем x — 1 = 3 или x — 1 = -3,
т.e. x = 4 или x = — 2

E) |x| = (2x — 1)/8 + (3 – x)/4
|x| = [2x — 1 +2(3 – x)]/8
|x| = 5/8, откуда x = 5/8 или x = -5/8

Задача 5 Решите уравнение:
A) |4 – |x|| = 2
B) |9 + |x|| = 5

A) |4 – |x|| = 2 мы получаем 4 – |x| = 2 или 4 – |x| = -2
Мы находим: 4 — 2 = |x|
|x| = 2 или 4 + 2 = |x| |x| = 6
Поэтому, решениями есть x = 2, -2; 6, -6

B) |9 + |x|| = 5 мы получаем 9 + |x| = 5 или 9 + |x| = — 5
Находим, что |x| = -4 или |x| = -13, но для этих равенств нет решения.

Задача 6 Решите уравнение:
|(2x + 1) 2 — 4x 2 — 2| — 3|4x – 1| = — 6

|(2x + 1) 2 — 4x 2 — 2| – 3|4x -1| = — 6
|4x 2 + 4x + 1 — 4x 2 — 2 | — 3|4x — 1| = — 6
|4x – 1| — 3|4x – 1| = — 6 -2|4x – 1| = — 6
|4x – 1| = 3 4x — 1 = 3 or 4x — 1 = -3
Поэтому x = 1 или x = -1/2

Задача 7 Решите уравнение:
A) |2x – (3x + 2)| = 1
B) |x|/3 – 2|x|/2 = — 1
C) |3x – 1| = 2|3x – 1| — 2

A) |2x – 3x – 2| = 1 |-x – 2| = 1
-x — 2 = 1 или –x — 2 = -1
Из первого уравнения мы получаем -2 — 1 = x x = -3,
а из второго: -2 + 1 = x x = -1

B) |x|/3 – 2 |x|/2 = -1. После сокращений общего знаменателя мы получаем
2|x| – 3.2.|x| = — 6
2|x| — 6|x| = — 6
— 4|x| = -6 |x| = 3/2
x = 3/2 или x = — 3/2

C) |3x – 1| = 2|3x – 1| – 2
2 = 2|3x – 1| – |3x – 1|
2 = |3x – 1|
3x — 1 = 2 или 3x — 1 = — 2,
откуда 3x = 3 x = 1 или 3x = — 1 x = — 1/3

📸 Видео

Уравнения с модулем за 1 минуту. #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #fypСкачать

Уравнения с модулем за 1 минуту. #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #fyp

1.8.2. Уравнения с модулем | Сборник 1996-2007Скачать

1.8.2. Уравнения с модулем | Сборник 1996-2007

Уравнение с модулем. 7 класс. Модуль. часть 4Скачать

Уравнение с модулем. 7 класс. Модуль. часть 4

Уравнения с модулямиСкачать

Уравнения с модулями

Модуль числа. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Модуль числа. Практическая часть. 6 класс.

Уравнения с модулем. Что такое модуль числа. Алгебра 7 класс.Скачать

Уравнения с модулем. Что такое модуль числа. Алгебра 7 класс.

Как решать уравнение с параметром и модулем ★ Решите уравнение: x-|x|=aСкачать

Как решать уравнение с параметром и модулем ★ Решите уравнение: x-|x|=a

Решение уравнения с модулем |x+8|+|x-3|+|x+2|=1.Скачать

Решение уравнения с модулем |x+8|+|x-3|+|x+2|=1.

Простейшие уравнения с модулемСкачать

Простейшие уравнения с модулем

Простейшие уравнения . Уравнения с Модулем Часть 1 из 3Скачать

Простейшие уравнения . Уравнения с Модулем Часть 1 из 3

6 класс. Решение уравнений с модулями.Скачать

6 класс. Решение уравнений с модулями.

МодульСкачать

Модуль

УРАВНЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

УРАВНЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ
Поделиться или сохранить к себе: