- Логарифм. Натуральный логарифм.
- Натуральный логарифм и число е
- Число $e$
- Натуральный логарифм
- Готовые работы на аналогичную тему
- Свойства натурального логарифма
- Решение задач по математике онлайн
- Калькулятор онлайн. Решение логарифмических уравнений.
- Немного теории.
- Логарифмическая функция. Логарифмы
- Свойства логарифмов
- Десятичные и натуральные логарифмы
- Логарифмическая функция, её свойства и график
- Логарифмические уравнения
- 📹 Видео
Видео:#13. Дифференциальное уравнение не содержащее искомой функции у (y'=ln(x))Скачать
Логарифм. Натуральный логарифм.
За основание логарифмов нередко берут цифру е = 2,718281828. Логарифмы по данному основанию именуют натуральным. При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком ln, а не log; при этом число 2,718281828, определяющие основание, не указывают.
Другими словами формулировка будет иметь вид: натуральный логарифм числа х — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.
Так, ln(7,389. )= 2, так как e 2 =7,389. . Натуральный логарифм самого числа e= 1, потому что e 1 =e, а натуральный логарифм единицы равен нулю, так как e 0 = 1.
Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности
вычислено, что е = 2,7182818284. .
Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!
Число е является иррациональным. Французский математик Эрмит (1822 — 1901) обосновал, что это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа именуются трансцендентными.
На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.
График натурального логарифма (функции y = ln x) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:
Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a.
Элементарность этой формулировку, которая состыковывается со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, явилось причиной образования названия «натуральный».
Если анализировать натуральный логарифм, как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:
По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:
Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.
Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x →0 пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( –∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.
Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Натуральный логарифм и число е
Вы будете перенаправлены на Автор24
Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Число $e$
Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e approx 2,718281828459045ldots$.
Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.
Число $e$ является пределом выражения $(1+frac)^k$ при $k$, которое стремится к бесконечности:
Последней формулой описывается второй замечательный предел.
Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.
Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой». Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.
Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $log_a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $ln a$.
Видео:Производная 5 Экспонента и натуральный логарифм.Скачать
Натуральный логарифм
Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.
Логарифм с основанием $е$ называют натуральным.
Готовые работы на аналогичную тему
Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $log_a$, но в математике принято использовать обозначение $ln a$.
Видео:Производная логарифмической функции. 11 класс.Скачать
Свойства натурального логарифма
Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:
Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:
Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:
Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:
Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:
$ln a^s=s cdot ln a$.
Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:
откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $ln e=1$:
Найти значение выражения $ln 2e^2+ln frac$.
Применим формулу суммы логарифмов:
$ln 2e^2+ln frac=ln 2e^2 cdot frac=ln e=1$.
Вычислить значение логарифмического выражения $2 lg 0,1+3 ln e^5$.
Применим свойство логарифма степени:
$2 lg 0,1+3 ln e^5=2 lg 10^+3 cdot 5 ln e=-2 lg 10+15 ln e=-2+15=13$.
Ответ: $2 lg 0,1+3 ln e^5=13$.
Упростить логарифмическое выражение $ln frac-3 ln 4$.
Применим свойство логарифма степени:
$ln frac-3 ln 4=ln 2^-3 ln 2^2=-3 ln2-3 cdot 2 ln 2=-9 ln 2$.
Упростить логарифмическое выражение $ln frac$.
Применим свойство логарифма частного:
во втором логарифме подлогарифмическое выражение запишем как число в степени:
применим свойство логарифма степени к первому и второму логарифму:
применив свойство $ln e=1$, получим:
Вычислить значение логарифмического выражения $3 ln frac-2 ln 27$.
Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:
$3 ln frac-2 ln 27=3 ln (frac)^2-2 ln 3^3=3 cdot 2 ln frac-2 cdot 3 ln 3=6 ln frac-6 ln 3=$
применим к первому логарифму свойство логарифма частного:
откроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$=6 ln 3-6 ln e-6 ln 3=-6$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21 07 2021
Видео:Десятичные и натуральные логарифмы. Видеоурок 16. Алгебра 10 классСкачать
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Видео:Натуральный логарифм. Число е (Эйлера). Экспонента.Скачать
Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм числа b
log(10,b) — десятичный логарифм числа b
log(a,b) — логарифм b по основанию a
Введите логарифмическое уравнение
Решить уравнение
Видео:Химия | Молекулярные и ионные уравненияСкачать
Немного теории.
Видео:16 Натуральные логарифмы Функция у=ln х, ее свойства, график, дифференцированиеСкачать
Логарифмическая функция. Логарифмы
Задача 1. Найти положительный корень уравнения x 4 = 81
По определению арифметического корня имеем ( x = sqrt[4] = 3 )
Задача 2. Решить уравнение 3 x = 81
Запишем данное уравнение так: 3 x = 3 4 , откуда x = 4
В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3 x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a x = b, где a > 0, ( a neq 1 ), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают logab
Например, корнем уравнения 3 x = 81 является число 4, т.е. log381 = 4.
Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, ( a neq 1 ), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b
log77 = 1, так как 7 1 = 7
Определение логарифма можно записать так:
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.
Вычислить log64128
Обозначим log64128 = х. По определению логарифма 64 x = 128. Так как 64 = 2 6 , 128 = 2 7 , то 2 6x = 2 7 , откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log64128 = 7/6
Вычислить ( 3^ )
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим
Решить уравнение log3(1-x) = 2
По определению логарифма 3 2 = 1 — x, откуда x = -8
Видео:Натуральные логарифмы. Функция у=ln х | Алгебра 11 класс #17 | ИнфоурокСкачать
Свойства логарифмов
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а > 0, ( a neq 1 ), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:
Видео:Why does e^(ln x) = xСкачать
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.
Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log10b
Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо logeb
Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + frac + frac + frac + dots + frac + dots $$
Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:
Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ log_a b = frac , ;; log_a b = frac $$
Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать
Логарифмическая функция, её свойства и график
В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = logax
где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1 )
Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.
2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.
3) Логарифмическая функция не является ограниченной.
4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке ( (0; +infty) ), если a > 1,
и убывающей, если 0 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0 1.
Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax
Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:
Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = a x , где a > 0, ( a neq 1 ), взаимно обратны.
Видео:11 класс, 19 урок, Дифференцирование показательной и логарифмической функцийСкачать
Логарифмические уравнения
Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство
log2((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8
х 2 + 4х + 3 = 8, т.е. х 2 + 4x — 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
Ответ x = 1
Решить уравнение lg(2x 2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x 2 — 4x + 12) = lg(x 2 + 3x)
откуда
2x 2 — 4x + 12 = x 2 + 3x
x 2 — 7x + 12 = 0
x1 = 3, х2 = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 3, х2 = 4
Решить уравнение log4(2x — 1) • log4x = 2 log4(2x — 1)
Преобразуем данное уравнение:
log4(2x — 1) • log4x — 2 log4(2x — 1) = 0
log4(2х — 1) • (log4 x — 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log4 (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х1 = 1
2) log4 х — 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 1, х2 = 16
📹 Видео
Производные функций ln(x) и е^хСкачать
Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать
РЕАКЦИИ ИОННОГО ОБМЕНА, ИОННОЕ УРАВНЕНИЕ - Урок Химия 9 класс / Подготовка к ЕГЭ по ХимииСкачать
Logarithmic Form to Exponential Form (Natural Log Edition) 🤯 #Shorts #algebra #math #educationСкачать