Уравнения с формулой разности квадратов

Содержание
  1. Формулы сокращенного умножения с примерами решения
  2. Формулы сокращенного умножения
  3. Умножение разности двух выражений на их сумму
  4. Пример №135
  5. Пример №136
  6. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
  7. Квадрат суммы двух выражений
  8. Квадрат разности двух выражений
  9. Разложение на множители разности квадратов двух выражений
  10. Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности
  11. Разность и сумма кубов двух выражений
  12. Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители
  13. Применение преобразований выражений
  14. Сравнение значений многочлена с нулем
  15. Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений
  16. Решение задач на делимость
  17. Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора
  18. Разность квадратов: формула и примеры
  19. Формула разности квадратов
  20. Доказательство формулы
  21. Арифметическое
  22. Геометрическое
  23. Примеры задач
  24. Разность квадратов
  25. Вывод формулы разности квадратов
  26. Применение формулы разности квадратов
  27. Примеры задач на применение формулы квадрата разности
  28. 🔥 Видео

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.

Формулы сокращенного умножения с примерами решения

Содержание:

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№29 - Разность квадратов.)Скачать

Алгебра 7 класс (Урок№29 - Разность квадратов.)

Формулы сокращенного умножения

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде Уравнения с формулой разности квадратовПоэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность Уравнения с формулой разности квадратовна сумму Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:

Уравнения с формулой разности квадратов

Примеры выполнения заданий:

Пример №135

Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратовУравнения с формулой разности квадратов

Пример №136

Вычислить Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена Уравнения с формулой разности квадратов

Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

При возведении суммы Уравнения с формулой разности квадратовв квадрат промежуточные преобразования можно выполнять устно:

Уравнения с формулой разности квадратов

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Итак, получили такую формулу квадрата разности:

Уравнения с формулой разности квадратов

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны: Уравнения с формулой разности квадратовПоэтому при возведении в квадрат выражений Уравнения с формулой разности квадратови Уравнения с формулой разности квадратовможно пользоваться формулами:

Уравнения с формулой разности квадратов

Для тех, кто хочет знать больше

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Уравнения с формулой разности квадратов

Докажем эти формулы.

Уравнения с формулой разности квадратов

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Примеры выполнения заданий:

Пример №137

Возвести в квадрат выражение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве Уравнения с формулой разности квадратовпоменяем местами левую и правую части:

Уравнения с формулой разности квадратов

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена Уравнения с формулой разности квадратовЕе можно использовать при разложении на множители разности квадратов любых двух выражений. Например:

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Примеры выполнения заданий:

Пример №138

Разложить на множители:

Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Пример №139

Вычислить Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Пример №140

Решить уравнение Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Уравнения с формулой разности квадратов

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена Уравнения с формулой разности квадратова вторая — трехчлена Уравнения с формулой разности квадратов

Примеры выполнения заданий:

Пример №141

Разложить на множители трехчлен Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Пример №142

Найти значение выражения Уравнения с формулой разности квадратовпри Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Запишем сначала трехчлен Уравнения с формулой разности квадратовв виде квадрата двучлена:

Уравнения с формулой разности квадратов

При Уравнения с формулой разности квадратовполучим: Уравнения с формулой разности квадратов

При Уравнения с формулой разности квадратовполучим: Уравнения с формулой разности квадратов

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:

Уравнения с формулой разности квадратов

Докажем это тождество, перемножив выражения Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

В формуле разности кубов трехчлен Уравнения с формулой разности квадратовназывают неполным квадратом суммы выражений Уравнения с формулой разности квадратов(он напоминает трехчлен Уравнения с формулой разности квадратовкоторый является «полным» квадратом суммы выражений Уравнения с формулой разности квадратов). Поэтому формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:

Уравнения с формулой разности квадратов

Докажем это тождество:

Уравнения с формулой разности квадратов

Трехчлен Уравнения с формулой разности квадратовназывают неполным квадратом разности выражений Уравнения с формулой разности квадратов. Следовательно,

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примеры выполнения заданий:

Пример №143

Разложить на множители:

Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Разложим на множители многочлен Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Сначала вынесли общий множитель Уравнения с формулой разности квадратовза скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен Уравнения с формулой разности квадратов

Все члены многочлена имеют общий множитель Уравнения с формулой разности квадратовВынесем eго за скобки:

Уравнения с формулой разности квадратов

Многочлен Уравнения с формулой разности квадратовразложим на множители способом группировки:

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Примеры выполнения заданий:

Пример №144

Разложить на множители трехчлен:

Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

а) Если к выражению Уравнения с формулой разности квадратовприбавить Уравнения с формулой разности квадратовто есть 9, то получим выражениеУравнения с формулой разности квадратов, которое является квадратом двучлена Уравнения с формулой разности квадратов

Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Пример №145

Разложить на множители многочлен Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Уравнения с формулой разности квадратов

Пример №146

Решить уравнение Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

откуда: Уравнения с формулой разности квадратов

Ответ: Уравнения с формулой разности квадратов

Применение преобразований выражений

Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №147

Доказать, что многочлен Уравнения с формулой разности квадратовпринимает только положительные значения.

Решение:

Выделив из трехчлена Уравнения с формулой разности квадратовквадрат двучлена, получим:

Уравнения с формулой разности квадратов

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых Уравнения с формулой разности квадратовСлагаемое Уравнения с формулой разности квадратов: при любых Уравнения с формулой разности квадратовпринимает только неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительно. Поэтому выражение Уравнения с формулой разности квадратовпринимает только положительные значения. Поскольку Уравнения с формулой разности квадратовто и выражение Уравнения с формулой разности квадратовпринимает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства Уравнения с формулой разности квадратовполученного в примере 1, можно

указать наименьшее значение многочлена Уравнения с формулой разности квадратовОно равно Уравнения с формулой разности квадратовпричем это наименьшее значение многочлен принимает при Уравнения с формулой разности квадратов

Пример №148

Найти наибольшее значение многочлена Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Преобразуем данный многочлен так:

Уравнения с формулой разности квадратов

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №149

Доказать, что значение выражения Уравнения с формулой разности квадратовделится на 8 при любом целом значении Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Упростим данное выражение:

Уравнения с формулой разности квадратов

При любом целом значении Уравнения с формулой разности квадратовпроизведение Уравнения с формулой разности квадратовделится на 8, поэтому и значение выражения Уравнения с формулой разности квадратовделится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора

Пример №150

С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена

Уравнения с формулой разности квадратов

Решение:

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

Уравнения с формулой разности квадратовПри Уравнения с формулой разности квадратовсхема вычислений имеет вид:

Уравнения с формулой разности квадратов

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Интересно знать

Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.

Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение Уравнения с формулой разности квадратовони рассматривали как площадь прямоугольника со сторонами Уравнения с формулой разности квадратов

Уравнения с формулой разности квадратов

Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:

Уравнения с формулой разности квадратов

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Разложение многочленов на множители
  • Системы линейных уравнений с двумя переменными
  • Рациональные выражения
  • Квадратные корни
  • Линейное уравнение с одной переменной
  • Целые выражения
  • Одночлены
  • Многочлены

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Разность квадратов двух выражений. 7 класс.Скачать

Разность квадратов двух выражений. 7 класс.

Разность квадратов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 классСкачать

Решить уравнения, используя формулы сокращенного умножения.Сумма и квадрат разности. Алгебра 7 класс

Формула разности квадратов

Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)

Формулу можно представить справа-налево:

(a – b)(a + b) = a 2 – b 2

Примечание: a 2 – b 2 ≠ (a – b) 2

Видео:Разность квадратов ⚠️ Что во втором?!Скачать

Разность квадратов ⚠️  Что во втором?!

Доказательство формулы

Арифметическое

Давайте проверим формулу от обратного, т.е. перемножим (a-b) и (a+b) .

Раскрыв скобки с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab – ba – b 2 = a 2 – b 2 .

Геометрическое

Изобразим квадрат с длиной стороны a , площадь которого равна a 2 . В нем расположен квадрат поменьше со стороной b и площадью b 2 .

Уравнения с формулой разности квадратов

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета ( a 2 – b 2 ).

Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:

  • квадрат площадью b 2 ;
  • прямоугольник со сторонами a и ( a-b );
  • прямоугольник со сторонами b и ( a-b ).

Уравнения с формулой разности квадратов

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a 2 – ab + ba – b 2 = a 2 – b 2

Видео:РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ #shorts #егэ #математика #огэ #разность #профильныйегэСкачать

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ #shorts #егэ #математика #огэ #разность #профильныйегэ

Примеры задач

Задание 1
Раскройте скобки: (8x – 3y)(8x + 3y) .

Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x 2 – 9y 2

Задание 2
Разложите на множители выражение: 25x 2 – y 2 .

Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x 2 – y 2 = (5x – y)(5x + y)

Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x 2 + 5xy – 5xy – y 2 = 25x 2 – y 2

Видео:7 класс, 24 урок, Формулы сокращённого умноженияСкачать

7 класс, 24 урок, Формулы сокращённого умножения

Разность квадратов

Видео:Решение уравнений по формуле разности квадратов.7 клСкачать

Решение уравнений по формуле разности квадратов.7 кл

Вывод формулы разности квадратов

Для доказательства справедливости формулы разности квадратов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

( a — b )·( a + b ) = a 2 + ab — ba + b 2 = a 2 — b 2

Видео:Разложение разности квадратов на множители. Алгебра, 7 классСкачать

Разложение разности квадратов на множители. Алгебра, 7 класс

Применение формулы разности квадратов

Видео:Сумма и разность кубов двух выражений. 7 класс.Скачать

Сумма и разность кубов двух выражений. 7 класс.

Примеры задач на применение формулы квадрата разности

( x — 3)·( x + 3) = x 2 — 3 2 = x 2 — 9

(2 x — 3 y 2 )·(2 x + 3 y 2 ) = (2 x ) 2 — (3 y 2 ) 2 = 4 x 2 — 9 y 4

Можно заметить, что для выражения в числителе можно использовать формулу разности квадратов

9 x 2 — 1 (3 x — 1) = (3 x — 1)·(3 x + 1) (3 x — 1) = 3 x + 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🔥 Видео

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - 7 класс алгебраСкачать

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений - 7 класс алгебра

Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnlineСкачать

Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnline

ФОРМУЛА РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ 7 КЛАСССкачать

ФОРМУЛА РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ   7 КЛАСС

Разность квадратов.Решение уравнений.Скачать

Разность квадратов.Решение уравнений.

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Алгебра, 7 классСкачать

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Алгебра, 7 класс

Разность квадратов в ЕГЭ🚀Скачать

Разность квадратов в ЕГЭ🚀

7 класс алгебра. Решение уравнений с помощью разности квадратовСкачать

7 класс алгебра. Решение уравнений с помощью разности квадратов

Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс.

Формула разности квадратов при обычном счетеСкачать

Формула разности квадратов при обычном счете

Разность квадратов. Формула сокращенного умножения доказательстваСкачать

Разность квадратов. Формула сокращенного умножения доказательства
Поделиться или сохранить к себе: