Уравнения с дробями на сложение и вычитание

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.Скачать

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Уравнения с дробями 5 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Видео:АЛГЕБРА с НУЛЯ — Сложение и Вычитание ДробейСкачать

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Решение уравнений.Скачать

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Уравнение с дробями видео урок ( Математика 5 класс )Скачать

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Видео:дробное уравнение как решать для 6 классаСкачать

Калькулятор дробей

Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид «смешанной дроби», то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид «простой дроби», то оставьте данное поле пустым. Затем нажмите кнопку «Вычислить».

Вид дроби: простые дроби смешанные дроби

Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей. Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления. Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби — количество взятых этих частей целого.

Дроби бывают правильными и неправильными. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если у дроби числитель больше знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть,называется простой дробью. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь (см. пример ниже).

Видео:Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.

Видео:6 класс, 11 урок, Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателямиСкачать

Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях

Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.

К примеру: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 и 5 11 — 4 11 = 5 — 4 11 = 1 11 .

Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.

Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей — новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).

Укажем пример применения сформулированного правила.

Заданы алгебраические дроби: x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 и 3 — x · y x 2 · y — 2 . Необходимо осуществить их сложение.

Решение

Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.

Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: x 2 + 2 · x · y − 5 + 3 − x · y = x 2 + ( 2 · x · y − x · y ) − 5 + 3 = x 2 + x · y − 2 .

Тогда искомая сумма будет записана как: x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2 .

В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:

x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + 2 · x · y — 5 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2

Ответ: x 2 + 2 · x · y — 5 x 2 · y — 2 + 3 — x · y x 2 · y — 2 = x 2 + x · y — 2 x 2 · y — 2 .

Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.

Необходимо вычесть из алгебраической дроби x x 2 — 4 · y 2 дробь 2 · y x 2 — 4 · y 2 .

Решение

Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:

x x 2 — 4 · y 2 — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = x — 2 · y x 2 — 4 · y 2

Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:

x — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = x — 2 · y ( x — 2 · y ) · ( x + 2 · y ) = 1 x + 2 · y

Ответ: x x 2 — 4 · y 2 — 2 · y x 2 — 4 · y 2 = 1 x + 2 · y .

По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:

1 x 5 + 2 · x 3 — 1 + 3 · x — x 4 x 5 + 2 · x 3 — 1 — x 2 x 5 + 2 · x 3 — 1 — 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 — 1 = 1 + 3 · x — x 4 — x 2 — 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 — 1

Видео:Решение простых уравнений с обыкновенными дробямиСкачать

Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

К примеру, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 или 1 2 — 3 7 = 7 14 — 6 14 = 1 14 .

Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:

• исходные дроби привести к общему знаменателю;
• выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

Видео:Алгебра 8. Урок 3 - Сложение и вычитание дробейСкачать

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

• сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
• затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
• последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.

Пример 3

Заданы алгебраические дроби: a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 — 6 · a и a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 . Необходимо привести их к общему знаменателю.

Решение

Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: 2 · a 3 − 4 · a 2 = 2 · a 2 · ( a − 2 ) , 3 · a 2 − 6 · a = 3 · a · ( a − 2 ) и 4 · a 5 − 16 · a 3 = 4 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) . Отсюда можем записать общий знаменатель: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) .

Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:

• для первой дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 2 · a 2 · ( a − 2 ) ) = 6 · a · ( a + 2 ) ;
• для второй дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 3 · a · ( a − 2 ) ) = 4 · a 2 · ( a + 2 );
• для третьей дроби: 12 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) : ( 4 · a 3 · ( a − 2 ) · ( a + 2 ) ) = 3 .

Следующий шаг — умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:

a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 = ( a + 2 ) · 6 · a · ( a + 2 ) ( 2 · a 3 — 4 · a 2 ) · 6 · a · ( a + 2 ) = 6 · a · ( a + 2 ) 2 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) a + 3 3 · a 2 — 6 · a = ( a + 3 ) · 4 · a 2 · ( a + 2 ) 3 · a 2 — 6 · a · 4 · a 2 · ( a + 2 ) = 4 · a 2 · ( a + 3 ) · ( a + 2 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 = ( a + 1 ) · 3 ( 4 · a 5 — 16 · a 3 ) · 3 = 3 · ( a + 1 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 )

Ответ: a + 2 2 · a 3 — 4 · a 2 = 6 · a · ( a + 2 ) 2 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) ; a + 3 3 · a 2 — 6 · a = 4 · a 2 · ( a + 3 ) · ( a + 2 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) ; a + 1 4 · a 5 — 16 · a 3 = 3 · ( a + 1 ) 12 · a 3 · ( a — 2 ) · ( a + 2 ) .

Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.

Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Заданы алгебраические дроби: 1 — 2 · x x 2 + x и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 . Необходимо осуществить действие их сложения.

Решение

Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: x 2 + x = x · ( x + 1 ) , а x 2 + 3 · x + 2 = ( x + 1 ) · ( x + 2 ) , т.к. корни квадратного трехчлена x 2 + 3 · x + 2 это числа: — 1 и — 2 . Определяем общий знаменатель: x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) , тогда дополнительные множители будут: x + 2 и – x для первой и второй дробей соответственно.

Таким образом: 1 — 2 · x x 2 + x = 1 — 2 · x x · ( x + 1 ) = ( 1 — 2 · x ) · ( x + 2 ) x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = x + 2 — 2 · x 2 — 4 · x x · ( x + 1 ) · x + 2 = 2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 · x + 5 ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · x + 5 · x ( x + 1 ) · ( x + 2 ) · x = 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 )

Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:

2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 2 — 2 · x 2 — 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · 2 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 )

Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x + 1 :

2 + 2 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 x · ( x + 2 )

И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:

2 x · ( x + 2 ) = 2 x 2 + 2 · x

Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:

1 — 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 1 — 2 · x x · ( x + 1 ) + 2 · x + 5 ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 1 — 2 · x · ( x + 2 ) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x ( x + 1 ) · ( x + 2 ) · x = 2 — 2 · x 2 — 3 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = = 2 — 2 · x 2 — 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · x + 1 x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 x · ( x + 2 ) = 2 x 2 + 2 · x

Ответ: 1 — 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 x 2 + 2 · x

Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.

Необходимо осуществить вычитание дробей: 2 1 1 3 · x — 2 21 и 3 · x — 1 1 7 — 2 · x .

Решение

Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:

2 1 1 3 · x — 2 21 = 2 4 3 · x — 2 21 = 2 4 3 · x — 1 14 и 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 3 · x — 1 — 2 · x — 1 14

Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.

Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3 4 , а второй на — 1 2 , тогда получим:

2 4 3 · x — 1 14 = 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x — 1 14 = 3 2 x — 1 14 и 3 · x — 1 — 2 · x — 1 14 = — 1 2 · 3 · x — 1 — 1 2 · — 2 · x — 1 14 = — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 .

Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14 :

3 2 x — 1 14 = 14 · 3 2 14 · x — 1 14 = 21 14 · x — 1 и — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 = 14 · — 3 2 · x + 1 2 x — 1 14 = — 21 · x + 7 14 · x — 1 .

Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:

2 1 1 3 · x — 2 21 — 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 21 14 · x — 1 — — 21 · x + 7 14 · x — 1 = 21 — — 21 · x + 7 14 · x — 1 = 21 · x + 14 14 · x — 1

Ответ: 2 1 1 3 · x — 2 21 — 3 · x — 1 1 7 — 2 · x = 21 · x + 14 14 · x — 1 .

Видео:6 класс, 12 урок, Сложение и вычитание смешанных чиселСкачать

Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена

Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем 1 .

Необходимо произвести сложение многочлена x 2 − 3 с алгебраической дробью 3 · x x + 2 .

Решение

Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем 1 : x 2 — 3 1

Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:

x 2 — 3 + 3 · x x + 2 = x 2 — 3 1 + 3 · x x + 2 = x 2 — 3 · ( x + 2 ) 1 · x + 2 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 — 3 · x — 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 — 3 · x — 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 — 6 x + 2

Ответ: x 2 — 3 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 — 6 x + 2 .

💡 Видео

Сложение и вычитание смешанных чиселСкачать

Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравненияСкачать

Уравнение с дробями 5 класс (сложение и вычитание)Скачать

Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

380 математика 6 класс. Решим уравнение. Сложение и вычитание Смешанных чисел.Скачать

Сложение дробей и смешанных чисел. 5 класс.Скачать