Уравнения с дробными числами 5 класс (8 видео)

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Содержание

Понятие дроби
Основные свойства дробей
Понятие уравнения
Понятие дробного уравнения
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
2. Метод избавления от дробей
Что еще важно учитывать при решении
Универсальный алгоритм решения
Примеры решения дробных уравнений
Решение уравнений с дробями 5 класс
Просмотр содержимого документа «Решение уравнений с дробями 5 класс»
Урок математики 5 класс «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Решение уравнений» учебно-методический материал по математике (5 класс)
Скачать:
Предварительный просмотр:
🎦 Видео

Видео:Уравнения с дробями 5 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Уравнение с дробями видео урок ( Математика 5 класс )Скачать

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.Скачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Уравнение. 5 класс.Скачать

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Как решать Уравнения с дробями ( Математика 5 класс )Скачать

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

Область допустимых значений: х ≠ −2.
Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Видео:Уравнения с дробями ( Математика - 5 класс )Скачать

Решение уравнений с дробями 5 класс

Решение уравнений с дробями. Решение задач на дроби.

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнений с дробями 5 класс»

— Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

— Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

При решении уравнений необходимо пользоваться правилами решения уравнений, свойствами сложения и вычитания.

Решение уравнений с применением свойств.

Решение уравнений с использованием правил.

Выражение в левой части уравнения является суммой.

слагаемое + слагаемое = сумма.

Чтобы найди неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Выражение в левой части уравнения является разностью.

уменьшаемое – вычитаемое = разность

Чтобы найди неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Выражение в левой части уравнения является разностью.

уменьшаемое – вычитаемое = разность

Чтобы найди неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.

В левой части уравнения выражение является суммой.

Видео:Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

Урок математики 5 класс «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Решение уравнений»
учебно-методический материал по математике (5 класс)

видео урока математики в 5 класса. Тема «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Решение уравнений». Урок разработан в рамках участия в конкурсе «Учитель года 2021».

Материалы в архиве:

1. Видео урока по ссылке

2. Технологическая карта урока математики

3. Раздаточный материал

4. Презентация к уроку

Видео:Сложение дробей и смешанных чисел. Практическая часть. 5 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
tehnologicheskaya_karta_uroka_matematiki.docx	22.88 КБ
Презентация к уроку	1.01 МБ
Раздаточный материал к уроку	250.13 КБ

Видео:КАК РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ С ДРОБЯМИ И ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Предварительный просмотр:

Технологическая карта урока

Тема: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Решение уравнений

Цель: формирование навыков сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; способствовать развитию математической грамотности; оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления; воспитывать культуру поведения при фронтальной, индивидуальной и групповой работе.

Универсальные учебные действия: личностные – способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности; регулятивные – умения определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке, работать коллективно по составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки, планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение; коммуникативные – умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других, совместно договариваться о правилах поведения и общения и следовать им; познавательные – умение ориентироваться в своей системе знаний.

Планируемый образовательный результат: знать правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, уметь безошибочно выполнять сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, уметь решать уравнения (на основе зависимости компонентов).

Основные понятия: сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, уравнения.

Ресурсы: презентация, раздаточный материал

Организация пространства: фронтальная работа, индивидуальная работа, работа в парах.

Деятельность учителя/ задания урока

Добрый день. Проверьте свою готовность к уроку. Присаживайтесь. Откройте тетради, запишите дату и «классная работа»

Перед Вами «Карта урока». В ходе урока Вы будете решать задания, в графу «Отметка о выполнении» поставить «+», если задание выполнено полностью верно; «-» — если задание выполнено не верно. На уроке Вы будете не только решать задания, но и оценивать собственную деятельность. Отметка за урок будет выставлена с учетом заполнения данной карты.

Приветствуют учителя. Открывают тетради, записывают дату и тему урока

Мотивационный. Актуализация знаний

Вспомните, какую тему мы с Вами изучаем.

Как сложить (вычесть) с одинаковыми знаменателями?

Чтобы узнать тему урока, я предлагаю Вам отгадать кроссворд, по вертикали выделено кодовое слово сегодняшнего урока. (задаются вопросы кроссворда)

Сформулируйте тему и цель урока.

Вспомним правила решения уравнений.

Соотнесите определение с определяемым понятием, используя стрелки.

Называют тему, которую изучают.

Отгадывают кроссворд, называют кодовое слово.

Формулируют тему и цель урока.

Выполняют задание на соотнесение.

познавательные – умение ориентироваться в своей системе знаний

Физминутка – 1 мин

1 задание. Найди ошибку . На экране представлено решение уравнения. Найдите ошибку и объясните почему.

2 задание. Решите уравнение, выбрав одно из предложенных. (Проверка решения)

В каких заданиях мы можем еще встретить уравнение?

Давайте вспомним алгоритм решения задачи с помощью уравнения.

3 задание. Собрать алгоритм. Расставьте в верной последовательности алгоритм решения задачи на уравнение.

4 задание. Составить уравнение по краткой записи. Работа в парах над составлением уравнения. (Каждому ряду дана своя схема)

5 задание. Заполни пропуски в решении задачи с помощью уравнения

6 задание. Решить задачу , составив по условию задачи уравнение.

Выполняют предложенные задания.

личностные – способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности; регулятивные – умения определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке, работать коллективно по составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки, планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение; коммуникативные – умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других, совместно договариваться о правилах поведения и общения и следовать им;

познавательные – умение ориентироваться в своей системе знаний.

Рефлексия. Подведение итогов (2 мин)

При подведении итогов урока заполните таблицу «Знаю – хочу узнать», поставив «+» напротив предложения в соответствующую колонку

Сколько знаков «+» Вы поставили в колонку «знаю», «хочу узнать»

Подведем итог тому, что сегодня повторяли на уроке: