Уравнения с десятичными дробями и скобками

Видео:Уравнение на десятичные дроби со скобками и делением. Номер 391г.Скачать

Уравнение на десятичные дроби со скобками и делением. Номер 391г.

Решение уравнений с дробями

Уравнения с десятичными дробями и скобками

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.Скачать

Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Уравнения с десятичными дробями. Математика 5 классСкачать

Уравнения с десятичными дробями. Математика 5 класс

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Как решать уравнения с десятичными дробями - математика 5 классСкачать

Как решать уравнения с десятичными дробями - математика 5 класс

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Уравнение. 5 класс.Скачать

Уравнение. 5 класс.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Уравнения с десятичными дробями и скобками Уравнения с десятичными дробями и скобками

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Уравнения с десятичными дробями и скобками Уравнения с десятичными дробями и скобками

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Уравнения с десятичными дробями и скобками

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Уравнения с десятичными дробями и скобками

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Уравнения с десятичными дробями и скобками

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Уравнения с десятичными дробями и скобками

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Уравнения с десятичными дробями и скобками

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Уравнения с десятичными дробями в 5 классе (на умножение и деление).Скачать

Уравнения с десятичными дробями в 5 классе (на умножение и деление).

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияУравнения с десятичными дробями и скобками

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Уравнения с десятичными дробями и скобками

Переведем новый множитель в числитель..

Уравнения с десятичными дробями и скобками

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Видео:Уравнение с десятичными дробями со скобками и делением. Номер 392б. Математика 6 классСкачать

    Уравнение с десятичными дробями со скобками и делением. Номер 392б. Математика 6 класс

    Уравнение с модулем

    Уравнение с модулем достаточно сложная тема для начинающих. Учитывая это обстоятельство, в данный урок войдут только элементарные уравнения.

    Что такое уравнение с модулем и как его решить?

    В уравнениях с модулем неизвестное значение содержится под знáком модуля. Например:

    Уравнения с модулем бывают разными и решаются они различными методами. Нельзя сказать что какой-то метод наиболее рационален. Всё зависит от исходного уравнения.

    Например, в каких-то уравнениях можно просто угадать корень, в то время как в других нужно логически мыслить, раскрывать модули, выполнять тождественные преобразования. Человек волен выбирать каким методом решения пользоваться.

    К примеру, решим вышеприведённое уравнение |x − 2| = 5 . Допустим, что мы не знаем ни одного метода решения. Как бы мы его решили?

    Прежде всего заметим, что правая часть данного уравнения равна числу 5. Слева же располагается модуль из выражения |x − 2| . Это означает что подмодульное выражение x − 2 должно равняться числу 5 или −5

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Значит нужно выяснить при каких значениях переменной x подмодульное выражение x − 2 будет обращаться в число 5 или −5.

    Искомые значения x найдутся если приравнять подмодульное выражение к числу 5 и −5, а затем поочерёдно решить каждое из уравнений:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Значит корнями уравнения |x − 2| = 5 являются числа 7 и −3.

    Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить используя правило раскрытия модуля. Для этого раскрывают модуль содержащийся в уравнении, затем получившееся выражение подставляют в исходное уравнение вместо выражения с модулем.

    Раскрывать модуль нужно для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля.

    Решим наше уравнение |x − 2| = 5 с помощью правила раскрытия модуля. Выпишем отдельно его модуль и раскроем его:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В этой конструкции говорится, что если подмодульное выражение x − 2 больше или равно нулю, то модуль раскроется как x − 2, и тогда исходное уравнение примет вид x − 2 = 5 , откуда x = 7

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    А если же подмодульное выражение x − 2 меньше нуля, то модуль раскроется как −(x − 2) . Тогда исходное уравнение примет вид −(x − 2) = 5 , откуда x = −3

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Итак, уравнение |x − 2|= 5 имеет корни 7 и −3. Для проверки подстáвим числа 7 и −3 в исходное уравнение вместо x . Тогда получим верное равенство:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Подмодульное выражение как правило содержит такое x, которое может обращать всё подмодульное выражение как в положительное число, так и в отрицательное, либо вообще в ноль.

    Поэтому модуль и раскрывается для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля. Каждый из случаев будет давать независимое уравнение со своим корнем.

    Вернёмся теперь к моменту, где мы раскрывали модуль:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Условия x − 2 ≥ 0 и x − 2 являются неравенствами, которые можно решить, тем самым приведя их к простому виду:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Символ ⇔ означает равносильность. В данном случае указывается, что условие x − 2 ≥ 0 равносильно условию x ≥ 2 , а условие x − 2 равносильно условию x

    Такой вид записи условий позволяет однозначно сказать при каких x модуль будет раскрываться с плюсом, а при каких с минусом.

    В первом случае получилось условие x ≥ 2. Это значит что при всех x бóльших либо равных 2, модуль |x − 2| будет раскрываться с плюсом. Так, при x = 7, подмодульное выражение станет равно 5

    А значит дальнейшее раскрытие будет с плюсом

    Таким же образом модуль |x − 2| будет вести себя и с другими значениями x на промежутке x ≥ 2 . То есть, будет раскрываться с плюсом. Примеры:

    При x = 3, |3 − 2|=|1| = 1
    При x = 4, |4 − 2|=|2| = 2
    При x = 2, |2 − 2|=|0| = 0
    При x = 13, |13 − 2|=|11| = 11

    А во втором случае получилось условие x . Это значит что при всех x мéньших 2, модуль будет раскрываться с минусом. Так, при x = −3, подмодульное выражение опять же станет равно 5. Но в промежуточных вычислениях можно увидеть, что модуль раскрывается с минусом:

    Модуль |x − 2| будет вести себя так же и с другими значениями x на промежутке x . Примеры:

    При x = 1, |1 − 2|=|−1| = −(−1) = 1
    При x = 0, |0 − 2|=|−2| = −(−2) = 2
    При x = −1, |−1 − 2|=|−3| = −(−3) = 3
    При x = −9,|−9 − 2|=|−11| = −(−11) = 11

    Число 2 является своего рода точкой перехода, в которой модуль |x − 2| меняет свой порядок раскрытия.

    Можно представить как модуль |x − 2| двигался по маршруту от минус бесконечности до числа 2, раскрываясь в каждой точке с минусом. Попав в точку 2, модуль поменял свой порядок раскрытия — а именно раскрывшись в точке 2 с плюсом, он далее стал раскрываться с плюсом, двигаясь в правую часть к плюс бесконечности.

    С помощью координатной прямой это можно представить так:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Красные знаки минуса и плюса указывают, как будет раскрываться модуль |x − 2| на промежутках x и x ≥ 2 .

    Точку перехода можно найти для любого модуля. Для этого нужно узнать при каких x подмодульное выражение равно нулю. Ноль это то значение, до и после которого модуль всегда сохраняет свой знак. Это следует из правила раскрытия модуля:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В этом примере в момент когда x станет равным нулю, модуль |x| раскроется с плюсом и далее при всех x , бóльших нуля, будет раскрываться с плюсом. Напротив, при всех x , мéньших нуля модуль будет раскрываться с минусом:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    А например для модуля |2x + 6| точкой перехода будет число −3 , потому что при его подстановке в подмодульное выражение 2x + 6 вместо x, данное подмодульное выражение станет равно нулю. Изобразим это на рисунке:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    При всех x, бóльших либо равных −3 , модуль будет раскрываться с плюсом. Примеры:

    При x = −3, |2 × (−3) + 6| = |0| = 0
    При x = 4, |2 × 4 + 6| = |14| = 14
    При x = 5, |2 × 5 + 6| = |16| = 16

    А при всех x, мéньших 3, модуль будет раскрываться с минусом. Примеры:

    При x = −4, |2 × (−4) + 6| = |−2| = −(−2) = 2
    При x = −5, |2 × (−5) + 6| = |−4| = −(−4) = 4
    При x = −6, |2 × (−6) + 6| = |−6| = −(−6) = 6

    Пример 2. Решить уравнение |x| + 3x = −2

    Решение

    Раскроем модуль, который содержится в левой части уравнения:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Если x ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид x + 3x = −2 . Сразу решим это уравнение:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Теперь рассмотрим второй случай — когда xx + 3x = −2 . Решим и это уравнение:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получили корни Уравнения с десятичными дробями и скобкамии −1.

    Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение. Проверим корень Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Видим, что при подстановке корня Уравнения с десятичными дробями и скобкамиисходное уравнение не обращается в верное равенство. Значит Уравнения с десятичными дробями и скобкамине является корнем исходного уравнения.

    Проверим теперь корень −1

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получили верное равенство. Значит из двух найденных решений только −1 является корнем уравнения.

    Ответ: −1.

    Здесь можно сделать важный вывод. В уравнениях с модулем найденные корни не всегда удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы убедиться в правильности своего решения, нужно выполнять проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение.

    Кроме того, проверить является ли найденное значение корнем уравнения можно с помощью условия, согласно которому был раскрыт модуль.

    Так, в данном примере мы раскрывали модуль |x| для случаев когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Условия x≥0 и x x + 3x = −2 . Корнем этого уравнения стало число Уравнения с десятичными дробями и скобками. Это число не удовлетворяет условию x ≥ 0, согласно которому был раскрыт модуль |x| и согласно которому было получено уравнение x + 3x = −2 . Действительно, при подстановке числа Уравнения с десятичными дробями и скобкамив неравенство x ≥ 0 получается неверное неравенство.

    А при раскрытии модуля со знаком минус, получилось уравнение −x + 3x = −2 . Корнем этого уравнения стало число −1 . Это число удовлетворяет условию x −x + 3x = −2 . Действительно, при подстановке числа −1 в неравенство x получается верное неравенство.

    Пример 3. Решить уравнение |1 − 2x| − 4x = −6

    Решение

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    При раскрытии модуля |1 − 2x| со знаком плюс, получим уравнение 1 − 2x − 4x = −6 . Решим его:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    При раскрытии модуля |1 − 2x| со знаком минус, получим уравнение −1 + 2x − 4x = −6. Решим его:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получили корни Уравнения с десятичными дробями и скобкамии Уравнения с десятичными дробями и скобками.

    Корень Уравнения с десятичными дробями и скобкамине удовлетворяет условию Уравнения с десятичными дробями и скобками, значит не является корнем исходного уравнения.

    Корень Уравнения с десятичными дробями и скобкамиудовлетворяет условию Уравнения с десятичными дробями и скобками, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: Уравнения с десятичными дробями и скобками.

    Пример 4. Решить уравнение | x 2 − 3x | = 0

    Решение

    Если модуль числа равен нулю, то подмодульное выражение тоже равно нулю:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    То есть можно не раскрывать модуль. Достаточно узнать при каких значениях x подмодульное выражение равно нулю. В данном случае для этого нужно решить неполное квадратное уравнение:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получили корни 0 и 3. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Проверка показывает это:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Пример 5. Решить уравнение x 2 − 5|x| + 6 = 0

    Выпишем отдельно модуль |x| и раскроем его:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    При раскрытии модуля |x| со знаком плюс, исходное уравнение примет вид x 2 − 5x + 6 = 0 . Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Оба корня удовлетворяют условию x ≥ 0 , значит являются корнями исходного уравнения.

    При раскрытии модуля |x| со знаком минус, исходное уравнение примет вид x 2 + 5x + 6 = 0 . Это тоже квадратное уравнение. Решим его как и предыдущее:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    При условии x ≥ 0 , модуль из уравнения раскрылся с плюсом, получились корни 3 и 2. Оба корня удовлетворяют условию x ≥ 0 , значит удовлетворяют и исходному уравнению.

    При условии x , модуль из уравнения раскрылся с минусом, получились корни −2 и −3. Оба корня удовлетворяют условию x , значит удовлетворяют и исходному уравнению.

    Ответ: 3, 2, −2 и −3.

    Сведéние уравнения с модулем в совокупность

    Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить сведéнием их к так называемой совокупности уравнений.

    Элементарными мы будем называть те уравнения с модулем, в которых левая часть является модулем из какого-то выражения, а правая часть — числом. Например, |x| = 3 или |2x − 1| = 3.

    Решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 сведéнием его к совокупности уравнений. Корнями этого уравнения были числа 7 и −3. Это уравнение тоже считается элементарным.

    Если раскрыть модуль |x − 2| со знаком плюс, то уравнение |x − 2| = 5 примет вид x − 2 = 5 .

    Если раскрыть модуль |x − 2| со знаком минус, то уравнение |x − 2| = 5 примет вид −(x − 2) = 5 , то есть −x + 2 = 5 .

    Видим, что из уравнения |x − 2| = 5 получилось два уравнения: x − 2 = 5 и −x + 2 = 5 . Причём каждое из уравнений имеет свой собственный корень. Уравнение x − 2 = 5 имеет корень 7, а уравнение −x + 2 = 5 — корень −3

    Выпишем уравнения x − 2 = 5 и −x + 2 = 5 и объединим их квадратной скобкой:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Такой вид записи называют совокупностью уравнений.

    Совокупность уравнений — это несколько уравнений, объединённых квадратной скобкой, и имеющих множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

    Так, число 7 является решением совокупности Уравнения с десятичными дробями и скобкамипотому что это число удовлетворяет первому уравнению х − 2 = 5 .

    Число −3 тоже является решением данной совокупности, поскольку удовлетворяет второму уравнению − х + 2 = 5.

    Вместе же числа 7 и −3 образуют множество решений данной совокупности.

    В отличие от системы уравнений, совокупность состоит из уравнений, которые не зависят друг от друга. Для каждого уравнения, входящего в совокупность, значение переменной x будет разным. А в системе уравнений значение переменной x удовлетворяет как первому уравнению, так и второму.

    Решить совокупность уравнений означает найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

    Решим каждое уравнение совокупности Уравнения с десятичными дробями и скобкамипо-отдельности. Это обычные линейные уравнения, которые легко решаются:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Символ ⇔ как было ранее сказано означает равносильность. В данном случае он указывает на то, что все получающиеся совокупности равносильны друг другу.

    Итак, мы получили корни 7 и −3. Поскольку эти два числа являются решениями совокупности Уравнения с десятичными дробями и скобками, то значит являются и решениями уравнения |x − 2| = 5.

    В исходную совокупность можно включать условия, согласно которым был раскрыт модуль. В этом случае каждое уравнение вместе со своим условием обрамляется знаком системы.

    Дополним предыдущую совокупность условиями, согласно которым был раскрыт модуль. К первому уравнению x − 2 = 5 добавим условие x − 2 ≥ 0 , а ко второму уравнению −x + 2 = 5 добавим условие x − 2

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решение каждого уравнения должно удовлетворять своему условию. Поэтому условия и уравнения обрамлены знáком системы.

    Решим получившуюся совокупность с условиями. Условия являются неравенствами, которые тоже можно решать:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В первом случае получили корень 7 , который удовлетворяет своему условию x ≥ 2 . Во втором случае получили корень −3 , который удовлетворяет своему условию x .

    Не следует бояться таких записей. Это лишь подробное решение, показывающее что откуда взялось. Чаще всего решение можно записать покороче.

    Существует схема для сведéния в совокупность уравнения вида |x| = a . Выглядит эта схема так:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Данная схема легко позволяет свести уравнение с модулем в совокупность. Эту схему можно прочитать так: « Если выражение |x| равно a, то подмодульное выражение равно a или −a »

    Квадратная скобка в совокупностях заменяет собой слово «или».

    Например, уравнение |x| = 5 можно свести в совокупность, рассуждая так: если выражение |x| равно 5, то подмодульное выражение равно 5 или −5 .

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    А применительно к нашему предыдущему примеру можно рассуждать так: если |x − 2| равно 5 , то подмодульное выражение равно 5 или −5

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Это та же самая совокупность, что и в прошлый раз. Убедитесь в этом, умножив обе части второго уравнения на −1.

    В уравнениях где слева модуль, а справа число, мы будем чаще использовать именно такой способ записи совокупности. Он позволяет не прибегать к правилу раскрытия модуля, а сразу получить совокупность.

    Но надо помнить, что эта схема будет работать только для уравнений вида |x| = a . То есть для уравнений, у которого слева модуль, а справа число.

    Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 3

    Решение

    У этого уравнения слева модуль, а справа число. Значит его можно свести в совокупность, воспользовавшись схемой Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Если выражение |2x − 1| равно 3, то подмодульное выражение 2x − 1 равно 3 или −3

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Теперь решим каждое уравнение совокупности по отдельности:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: 2 и −1.

    Пример 3. Решить уравнение |x + 2| − 3 = 8

    Решение

    В некоторых случаях прежде чем свести исходное уравнение в совокупность, его следует упростить.

    Так, в данном случае −3 следует перенести в правую часть, изменив знак:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получили уравнение |x + 2| = 11 . Если выражение |x + 2| равно 11, то подмодульное выражение x + 2 равно 11 или −11

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решим данную совокупность:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: 9 и −13.

    Пример 4. Решить уравнение 4|x| + 4 = 2|x| + 10

    Решение

    Перенесём 2|x| из правой части в левую часть, а 4 перенесём из левой части в правую часть:

    Разделим обе части получившегося уравнения на 2. Тогда получится простое уравнение с модулем:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: 3 и −3.

    Пример 5. Решить уравнение Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решение

    Если выражение |2 − 5x 2 | равно 3, то подмодульное выражение 2 − 5x 2 равно 3 или −3

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В обоих уравнениях перенесём 2 в правую часть, изменив знак:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В первом уравнении разделим обе части на −5. Во втором уравнении так же разделим обе части на −5. Тогда получим два квадратных уравнения

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Первое уравнение не имеет корней, потому что квадрат любого числа положителен, а в данном случае он равен отрицательному числу. Корнями второго уравнения являются числа 1 и −1, поскольку вторая степень этих чисел равна единице.

    Ответ: 1 и −1.

    Пример 6. Решить уравнение |x + 6| + 4x = 5

    Решение

    Данное уравнение не является уравнением вида |x| = a , значит не получится воспользоваться схемой Уравнения с десятичными дробями и скобками.

    Чтобы свести данное уравнение в совокупность, нужно сначала раскрыть его модуль, затем записать совокупность из получившихся уравнения.

    Раскроем модуль |x + 6|

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Если x + 6 ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид x + 6 + 4x = 5

    Если x + 6 , то модуль раскроется со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид − x − 6 + 4x = 5. Получим следующую совокупность:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Дальнейшее решение элементарно:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Из найденных корней только Уравнения с десятичными дробями и скобкамиявляется корнем исходного уравнения, поскольку удовлетворяет условию x ≥ −6 . А корень Уравнения с десятичными дробями и скобкамине является корнем уравнения, поскольку не удовлетворяет условию x .

    Ответ: Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Наиболее простой вид

    Наиболее простой вид уравнения с модулем выглядит так:

    где x — корень уравнения, a — произвольное число, бóльшее или рáвное нулю. То есть a ≥ 0

    Если условие a ≥ 0 не выполнено, то уравнение |x|= a корней не имеет. Это следует из определения модуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен.

    Приведем несколько примеров уравнений вида |x| = a

    Пример 1. Решить уравнение |x| = 2

    Решение

    В данном случае сразу видно, что корнями являются числа 2 и −2. Ведь если вместо x подставить эти числа, то получим верное равенство: |−2| = 2 и |2| = 2. Решение для этого уравнения можно записать, сведя его в совокупность:

    «Если выражение |x| равно 2, то подмодульное выражение x равно 2 или −2«

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: 2 и −2

    Пример 2. Решить уравнение |−x| = 4

    Решение

    Если выражение |−x| равно 4, то подмодульное выражение равно 4 или −4

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Умножим оба уравнения на −1

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: −4 и 4.

    Пример 3. Решить уравнение |x| = −7

    В данном случае корней нет, поскольку модуль всегда неотрицателен. А в данном случае модуль равен отрицательному числу.

    Если уравнение с модулем не имеет корней, обычно пишут что x принадлежит пустому множеству:

    Напомним, что пустым называют множество, не имеющее элементов.

    Модуль внутри модуля

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В этом уравнении слева располагается модуль, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, а справа уравнения располагается число. Такой вид уравнения с модулем можно решить, сведя его в совокупность с помощью схемы, которую мы рассмотрели ранее:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В нашем случае если выражение Уравнения с десятичными дробями и скобкамиравно 9, то подмодульное выражение |2 + x| + 3 равно 9 или −9

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В получившейся совокупности имеется два уравнения с модулем. Эти уравнения тоже в свою очередь следует свести в совокупность. Но сначала немного упростим эти уравнения. В первом и во втором уравнении перенесем 3 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Теперь сведём эти уравнения в совокупности. Первое уравнение распадётся на следующую совокупность:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Сразу решим совокупность Уравнения с десятичными дробями и скобками. Первый корень равен 4, второй −8.

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Теперь решим второе уравнение |2 + x| = −12 . Но замечаем, что его правая часть равна отрицательному числу. Это уравнение не имеет корней, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

    Значит уравнение Уравнения с десятичными дробями и скобкамиимеет корни 4 и −8 . Проверим эти корни, подставив их в исходное уравнение Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В данном случае оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

    Ответ: 4 и −8 .

    Вообще, уравнение с модулем внутри которого содержится другой модуль, тоже решается различными способами. Какой способ использовать зависит от самогó уравнения. Решим например следующее уравнение:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Здесь уже нельзя использовать схему Уравнения с десятичными дробями и скобкамипотому что слева располагается не только модуль, но и переменная x . Конечно, переменную x можно перенести в правую часть, и тогда можно будет свести данное уравнение в совокупность:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Но тогда справа появляется переменная x, на которую нужно будет вводить дополнительное ограничение, чтобы правая часть уравнения не стала отрицательной. Такой способ решения мы рассмотрим позже. А пока решим исходное уравнение с помощью правила раскрытия модуля.

    Чтобы раскрыть модули данного уравнения нужно сначала определиться где внешний и где внутренний модуль.

    В уравнении Уравнения с десятичными дробями и скобкамивнешним модулем является полностью левая часть Уравнения с десятичными дробями и скобками, а внутренним модулем — выражение Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Значение внешнего модуля зависит от внутреннего модуля, и раскрываться внешний модуль будет исходя от результата который получился в результате вычисления его подмодульного содержимого.

    Например, если x = 3 , то внутренний модуль |3 − x| примет значение 0, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно −2 . А это значит что внешний модуль будет раскрываться с минусом.

    ||3 − x| − x + 1| = ||3 − 3| − 3 + 1| = ||0| − 3 + 1| = |−2| = −(−2) = 2

    А если например x = −2 , то внутренний модуль |3 − x| примет значение 5, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно 8. А это значит что внешний модуль будет раскрываться с плюсом:

    ||3 − x| − x + 1| = ||3 − (−2)| − (−2) + 1| = ||5| − (−2) + 1| = | 8 |=8

    Поэтому решение будем начинать с раскрытия внутреннего модуля.

    Если внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 3 − x ≥ 0 (что равносильно неравенству x ≤ 3 ), то исходное уравнение примет вид:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Теперь уравнение имеет только внешний модуль. Решим его раскрыв модуль:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Если −2x + 4 ≥ 0, то:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Сейчас нас интересуют только те значения x при которых внутренний модуль раскрывается с плюсом, а это произойдет при условии x ≤ 3. Поэтому для наглядности рядом с найденным корнем указано, что он удовлетворяет условию x ≤ 3

    Решаем далее. Если −2x + 4 , то:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Несмотря на то, что оба найденных корня удовлетворяют уравнению |−2x+4|=6−x , мы исключаем корень Уравнения с десятичными дробями и скобкамииз решений, потому что нас сейчас интересуют только те значения x, при которых внутренний модуль изначального уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рядом с корнем Уравнения с десятичными дробями и скобкамиуказано, что он не удовлетворяет условию x ≤ 3 .

    Итак, если внутренний модуль раскрывается с плюсом, исходное уравнение принимает вид |−2x + 4| = 6 − x и корнем этого уравнения является число −2 .

    Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда 3 − x (что равносильно неравенству x > 3 ). Внутренний модуль будет раскрываться с минусом при всех значениях x больших 3.

    Если внутренний модуль раскроется с минусом, то исходное уравнение примет вид:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Модуль −2 равен 2 . Тогда получаем простейшее линейное уравнение, корень которого равен 4

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получили корень 4 , который удовлетворяет условию x > 3 .

    В итоге корнями уравнения являются числа −2 и 4.

    Ответ: 2 и 4.

    Пример 3. Решить уравнение ||x − 1| − 7| = 10

    Решение

    Слева располагается модуль, а справа число, значит можно применить схему:Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В данном случае если выражение ||x − 1| 7| равно 10, то подмодульное выражение |x 1| 7 равно 10 или 10. Получится совокупность из двух уравнений:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Упростим получившиеся уравнения. Перенесём число −7 в обоих уравнениях в правую часть, изменив знак:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Второе уравнение корней не имеет. Первое уравнение распадется на совокупность Уравнения с десятичными дробями и скобками, корни которой 18 и −16.

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: 18 и −16 .

    Решим это же уравнение с помощью раскрытия модулей. Начнем с внутреннего модуля.

    Если x − 1 ≥ 0 (что равносильно x ≥ 1 ), то исходное уравнение примет вид:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Далее решаем уравнение для случаев когда x − 8 ≥ 0 и x − 8

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Сейчас нас интересуют те значения, при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. А это будет при условии, что x ≥ 1 . Этому условию удовлетворяет только значение 18 , поэтому мы пометили его зеленой галочкой для наглядности.

    Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда x − 1 (или что равносильно неравенству x ).

    Если x − 1 , то исходное уравнение примет вид:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Далее решаем уравнение для случаев когда −x − 6 ≥ 0 и −x − 6

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Из найденных корней только −16 удовлетворяет условию x .

    В итоге корнями уравнения ||x − 1| − 7| = 10 являются числа 18 и −16 .

    Видно, что с помощью схемы Уравнения с десятичными дробями и скобкамиданное уравнение решилось легче и быстрее, чем способом раскрытия модулей.

    Слева модуль, а справа выражение с переменной

    Решим следующее уравнение с модулем:

    Здесь так же применима схема:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    То есть, если выражение |4x − 3| равно 3x, то подмодульное выражение 4x − 3 должно равняться 3x или −3x.

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Но в исходном уравнении переменная x содержится не только под знáком модуля, но и в правой части. Нам пока неизвестно какое значение примет переменная x . Если x примет отрицательное значение, то правая часть станет полностью отрицательной. В этом случае корней не будет, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

    Поэтому, если мы хотим решить данное уравнение, то при сведéнии его в совокупность, дополнительно следует ввести ограничение в виде условия 3x ≥ 0 . Это будет означать, что правая часть уравнения |4x − 3| = 3x должна быть больше либо равна нулю:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Совокупность и условие обрамлены знаком системы, потому что решения совокупности должны удовлетворять условию 3x ≥ 0.

    Итак, решим совокупность. Условие 3x ≥ 0 является неравенством, которое тоже можно решить:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получившиеся корни можно подставить в условие x ≥ 0 и посмотреть выполняется ли оно. Если выполняется, то найденные корни удовлетворяют уравнению. В данном случае при подстановке обеих корней в неравенство, оно выполняется. Проверка также показывает, что корни удовлетворяют уравнению:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 5x − 10

    Решение

    Решим это уравнение таким же образом, как и предыдущее. Введём условие, требующее чтобы правая часть была больше либо равна нулю:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В данном случае только значение 3 удовлетворяет условию x ≥ 2 . Оно же является единственным корнем исходного уравнения. Проверка показывает это:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    А число Уравнения с десятичными дробями и скобкамине удовлетворяет условию x ≥ 2 и не является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Видим, что модуль стал равен отрицательному числу, а это противоречит определению модуля и нашему условию x ≥ 2 .

    Пример 3. Решить уравнение Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решение

    Это уравнение мы решили, когда учились решать уравнения с модулем внутри которых другой модуль. Теперь данное уравнение можно решить, сведя его в совокупность.

    Для начала перенесём x в правую часть, изменив знак:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Теперь сведём данное уравнение в совокупность. Дополнительно введём условие в виде неравенства 6 − x ≥ 0

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В левой части первого уравнения оставим модуль, остальные члены перенесём в правую часть. Тоже самое сделаем и со вторым уравнением. Также будем решать неравенство 6 − x ≥ 0 , оно позволит в конце проверять найденные корни на соответствие:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решим первое уравнение. Оно распадётся на следующую совокупность:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получились корни −2 и 8 . Из них только −2 удовлетворяет условию x ≤ 6 .

    Теперь решим второе уравнение. Оно является уравнением, содержащим переменную в правой части. При сведении его в совокупность дополним его условием −7 + 2x ≥ 0

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    При решении второго уравнения получились корни Уравнения с десятичными дробями и скобкамии 4. Прежде чем сверять их с условием x ≤ 6 следует сверить их с условием Уравнения с десятичными дробями и скобкамипод которое решалось уравнение |3 − x| = −7 + 2 x . Условию Уравнения с десятичными дробями и скобкамиудовлетворяет только корень 4 .

    В итоге корнями исходного уравнения Уравнения с десятичными дробями и скобкамиявляются числа −2 и 4.

    Пример 4. Решить уравнение |4x + 20| = −6x

    Решение

    На первый взгляд покажется, что данное уравнение не имеет решений, потому что правая часть отрицательна. Но это не совсем так. Правая часть содержит переменную x, которая может принять отрицательное значение или ноль, и это приведёт к тому что правая часть станет положительной либо равной нулю. А такое уравнение имеет право на существование.

    В данном случае мы решим это уравнение, сведя его в совокупность. Но при этом укажем, что правая часть должна быть больше или равна нулю:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Из найденных корней только корень −2 удовлетворяет исходному уравнению. Также он удовлетворяет нашему условию x ≤ 0 .

    Ответ: −2.

    Когда обе части — модули

    Решим следующее уравнение:

    Обе части этого уравнения являются модулями. Раскроем эти модули. Будем учитывать все возможные случаи при их раскрытии.

    Случай 1. Если x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x ≥ 0 , то модули в обеих частях раскроются со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид:

    Это простейшее линейное уравнение. Решим его:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Случай 2. Если x + 7 и 1 + 3x то модули в обеих частях раскроются со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид:

    Раскроем скобки, получим:

    Замечаем, что если умножить обе части этого уравнения на −1 , то получается уравнение x + 7 = 1 + 3 x . А это уравнение мы получали в результате раскрытия модулей со знаком плюс.

    То есть уравнения x + 7 = 1 + 3x и −x − 7 = −1 − 3x являются равносильными, а значит имеют одни и те же корни. Убедимся в этом, решив уравнение −x − 7 = −1 − 3x

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Поэтому, раскрыв модули со знаком плюс, нет необходимости раскрывать их со знаком минус, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

    Следующий случай это когда x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x . Тогда исходное уравнение примет вид x + 7 = −1 − 3x. Найдём корень этого уравнения:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    И последний случай это когда x + 7 и 1 + 3x ≥ 0 . Тогда уравнение примет вид −x − 7 = 1 + 3 x . Если умножить это уравнение на −1 , то получим уравнение x + 7 = −1 − 3x. А это уравнение мы получали, когда рассматривали предыдущий случай (случай x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x ).

    Следовательно, уравнение −x − 7 = 1 + 3x равносильно предыдущему уравнению x + 7 = −1 − 3 x . Убедимся в этом решив уравнение −x − 7 = 1 + 3x

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Значит раскрыв левую часть со знаком плюс, а правую часть со знаком минус, нет необходимости раскрывать левую часть со знаком минус, а правую часть со знаком плюс, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

    Вообще, если в уравнении обе части являются модулями как в данном примере, то это уравнение можно свести в следующую совокупность:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    В этой конструкции уравнение вида |a| = |b| сведено в совокупность из двух уравнений a = b и a = −b . Видно что первое уравнение получается путем раскрытия обоих модулей со знаком плюс, а второе уравнение — путем раскрытия модуля |a| со знаком плюс, а модуля |b| — со знаком минус.

    Важно. Данная схема работает только тогда, когда обе части являются модулями без посторонних членов. Проще говоря, если будет дано уравнение, например |a| = |b| + c , то приведенную схему использовать нельзя.

    Пример 2. Решить уравнение |2 − 3x| = |x + 5|

    Решение

    Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс, во втором уравнении — модуль |2 − 3x| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |x + 5| со знаком минус:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: Уравнения с десятичными дробями и скобкамии Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Пример 3. Решить уравнение |x 2 − 13x + 35|=|35 − x 2 |

    Решение

    Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс. Во втором уравнении — модуль |x 2 − 13x + 35| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |35 − x 2 | со знаком минус:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Приведём подобные члены в обоих уравнениях:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Первое уравнение является неполным квадратным. Решим его, вынеся x за скобки. Второе уравнение решается элементарно:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: Уравнения с десятичными дробями и скобками, Уравнения с десятичными дробями и скобками, 0.

    Когда решение — числовой промежуток

    Нередко приходиться решать уравнения с модулем, где корнями являются не один или два числа, а числовой промежуток. Таковым, например, является уравнение:

    Раскроем модуль этого уравнения:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Если раскрыть модуль со знаком плюс, то получается уравнение 5x + 3 = −5x − 3 . Решим его:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    А если раскрыть модуль со знаком минус, то получится уравнение −5x − 3 = −5x − 3 . В этом уравнении обе части являются одинаковыми, а значит данное равенство является тождеством. Оно будет верно при любом значении x . Значит корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

    Но надо помнить про условия, согласно которым были раскрыты модули. В первом случае мы получили корень Уравнения с десятичными дробями и скобками. Он будет верен только при условии что Уравнения с десятичными дробями и скобками. Это условие соблюдено. Проверка также показывает что корень подходит:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Значит один из корней уравнений равен Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Во втором случае мы получили множество корней от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но это будет верно только при условии что Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Например, если взять любое число из промежутка (−∞; +∞) , но которое не будет удовлетворять условию Уравнения с десятичными дробями и скобками, то это число не будет обращать наше уравнение в верное равенство.

    Например, число 2 принадлежит промежутку (−∞; +∞), но не удовлетворяет условию Уравнения с десятичными дробями и скобками, а значит число 2 не является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    А если взять к примеру число −5 , то оно будет принадлежать промежутку (−∞; +∞) и удовлетворять условию Уравнения с десятичными дробями и скобками, а значит будет обращать исходное уравнение в верное равенство:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Поэтому ответ надо записать так, чтобы были выполнены оба условия Уравнения с десятичными дробями и скобкамии Уравнения с десятичными дробями и скобками. Для наглядности нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

    Уравнения с десятичными дробями и скобкамиОтметим на ней наш первый корень Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Раскрыв модуль со знаком минус и решив получившееся уравнение, мы получили в ответе множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности, но при этом было дано условие Уравнения с десятичными дробями и скобками. Значит более точным ответ в этом случае будет таким:

    Корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 при условии Уравнения с десятичными дробями и скобкамиявляются все числа от минус бесконечности до Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Значит на координатной прямой нужно заштриховать область слева от числа Уравнения с десятичными дробями и скобками. Они будут иллюстрировать числа, меньшие Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Число Уравнения с десятичными дробями и скобкамитоже является верным корнем исходного уравнения. Он был получен при раскрытии модуля со знаком плюс. Поэтому на координатной прямой пустой кружок нужно закрасить. Так мы включим число Уравнения с десятичными дробями и скобкамиво множество решений:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Тогда окончательный ответ будет выглядеть так:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Также, можно решить это уравнение сведя его в совокупность, дополнительно указав, что правая часть должна быть больше либо равна нулю:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Пример 2. Решить уравнение |2x − 3| = 3 − 2x

    Решение

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Решим исходное уравнение для случаев когда 2x − 3 ≥ 0 и 2x − 3

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Ответ: Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Использование координатной прямой

    Рассмотрим ещё один способ решения элементарных уравнений с модулем — с помощью координатной прямой. Этот способ используется редко, но знать о нём не помешает.

    Решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 с помощью координатной прямой. Напомним, что корнями этого уравнения были числа 7 и −3.

    Модуль есть расстояние от начала координат до точки A . Либо расстояние между двумя числами на координатной прямой.

    Расстояние между двумя числами выражается в виде разности |x1x2| , где x1 — первое число, x2 — второе число.

    Если внимательно посмотреть на уравнение |x − 2|= 5 , то можно увидеть что его левая часть это расстояние от x до 2 (или от 2 до x) и это расстояние равно 5. Отмéтим на координатной прямой число x и число 2

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Правая часть уравнения |x − 2|= 5 говорит о том, что расстояние от x до 2 составляет пять единиц:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Если расстояние от x до 2 равно 5, то и расстояние от 2 до x тоже равно 5. Это позволяет отсчитать пять целых шагов от числа 2 к числу x и таким образом узнать значение x

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Видно, что отсчитав пять шагов влево мы попали в точку с координатой −3. А это один из корней, который мы находили для уравнения |x − 2|= 5.

    Но пять целых шагов от числа 2 можно отсчитать не только влево, но и вправо:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Если отсчитать пять целых шагов вправо, то попадём в точку с координатой 7. Это тоже был корень уравнения |x − 2|= 5

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Несколько модулей в одной части

    Решим следующее уравнение:

    Это уравнение содержит два модуля в левой части. Чтобы решить данное уравнение нужно раскрыть его модули. Рассмотреть нужно каждый из случаев:

    • когда оба модуля больше либо равны нулю;
    • когда оба модуля меньше нуля;
    • когда первый модуль больше либо равен нулю, а второй модуль меньше нуля;
    • когда первый модуль меньше нуля, а второй модуль больше либо равен нулю.

    Не будем комментировать каждый случай, а сразу приведём решение:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Первые два случая корней не дали. В третьем случае нашелся корень 3, но он не удовлетворяет условиям x − 5 ≥ 0 и x , поэтому не является корнем исходного уравнения.

    В четвёртом случае нашёлся корень 2, который удовлетворяет условиям x − 5 и x ≥ 0 . Также он удовлетворяет исходному уравнению.

    Заметно, что такой способ решения уравнения неудобен. Если модулей в уравнении будет три, четыре или более, то придётся рассматривать намного больше случаев. Человек запутавшись, может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

    Поэтому такой вид уравнения как в данном примере удобнее решать методом интервалов. Об этом мы поговорим в следующем уроке.

    Видео:Как решать уравнения со скобками быстро и правильно. Математика 6 класс.Скачать

    Как решать уравнения со скобками быстро и правильно. Математика 6 класс.

    Уравнения с десятичными дробями

    Линейные уравнения с десятичными дробями можно решать так же, как и остальные линейные уравнения.

    Однако, удобнее сначала уравнение упростить, избавившись от десятичных дробей.

    Для начала рассмотрим оба способа решения и сравним их.

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Раскрываем скобки. Так как перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Чтобы перевести десятичные дроби в целые числа, умножим обе части уравнения почленно на 10:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    (При умножении произведения 2,4(6-3х) на 10 применяем сочетательное свойство умножения, то есть на 10 мы умножим только первый множитель, 2,4).

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Получили линейное уравнение, которое не содержит десятичных дробей. Решаем его:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    На мой взгляд, линейные уравнения с десятичными дробями удобнее решать, переводя их в уравнения с целыми числами.

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Чтобы избавиться от десятичных дробей, обе части уравнения умножаем на 10. При этом в произведении 5(0,1х-0,5) на 10 умножаем второй множитель, то есть выражение в скобках, а в произведении 0,4(х-3) — первый, то есть 0,4:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Далее — решаем обычное линейное уравнение:

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Уравнения с десятичными дробями и скобками

    Обе части уравнения умножаем на 100. При этом в произведении 1,2(2,3х-3,1), надо первый множитель 1,2 умножить на 10 и второй множитель (2,3х-3,1) умножить на 10:

    🔥 Видео

    Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

    Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?

    Уравнения со скобками - 5 класс (примеры)Скачать

    Уравнения со скобками - 5 класс (примеры)

    Решение уравнений, 6 классСкачать

    Решение уравнений, 6 класс

    УРАВНЕНИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ. Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

    УРАВНЕНИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ. Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

    Раскрытие скобок. 6 класс.Скачать

    Раскрытие скобок. 6 класс.

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .

    Обыкновенные дроби и действия над ними. Практическая часть. 5 класс.Скачать

    Обыкновенные дроби и действия над ними. Практическая часть. 5 класс.

    Уравнение с десятичными дробямиСкачать

    Уравнение с десятичными дробями

    Уравнения с десятичными дробями в 5 классе (на сложение и вычитание).Скачать

    Уравнения с десятичными дробями в 5 классе (на сложение и вычитание).

    Уравнение с десятичными дробями и скобками. Номер 308. Математика 6 классСкачать

    Уравнение с десятичными дробями и скобками. Номер 308. Математика 6 класс

    КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

    КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс
    Поделиться или сохранить к себе: