Уравнения приведения обеих частей уравнения к одному основанию

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1 и a x = a y .

Для решения даже простейших показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс тему «Свойства степенной функции» — советуем повторить ее перед тем, как читать дальнейший материал.

Показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут решать сложные показательные уравнения.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Видео:Урок 2. Показательные уравнения. Приведение левой и правой части к одному основанию. Алгебра 10, 11Скачать

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

1. вычисляется значение f(х) выражения
2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
3. вычисляется значение выражения f(х) в точке
4. проверяется условие
5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
7. для нового отрезка проверяется условие
8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Метод приведения к общему основанию - ЕГЭ по математике профильный уровень- Задание №13Скачать

Урок Методы решения показательных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Открытый урок по алгебре в 11 классе.

Методы решения показательных уравнений.

Учитель информатики, математики школы-гимназии № 6 им. Абая Кунанбаева города Степногорска Республики Казахстан Косова Елена Викторовна.

Тема: Итоговый урок по теме «Методы решения показательных уравнений».

Цель: Выяснить качество усвоения теоретического материала по теме «Методы решения показательных уравнений». Закрепить эти умения в ходе повторения материала.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

— определение показательного уравнения;

Методы решения показательных уравнений;

Свойства показательной функции;

График показательной функции.

Учащиеся должны уметь:

Приводить обе части уравнения к одному основанию;

Раскладывать уравнения на множители;

Вводить новую переменную при решении уравнений;

Логарифмировать обе части уравнения.

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, электронный тест, раздаточный дидактический материал.

1. Постановка целей урока.(2 минуты)

Проверка домашнего задания. Выполнение электронного теста.(12 минут)

Повторение материала (15 мин)

Самостоятельная по теме «Методы решения показательных уравнений».(12 минут)

Задание на дом.(2 минуты)

Итоги урока. (2 минуты)

Постановка целей урока.

Какая функция называется показательной?

Какими свойствами она обладает?

Как выглядит её график?

Какое уравнение называется показательным?

Какие методы решения показательных уравнений вы знаете?

2 Проверка домашнего задания.

Данное уравнение содержит степени с двумя различными основаниями. В таких случаях необходимо собрать в разных частях уравнения степени с общими основаниями и вынести степени за скобки.

При решении показательных уравнений используется преобразование, состоящее в 1) вынесении общего множителя за скобки. Этот способ применяют тогда, когда в результате вынесения за скобки степени с переменным показателем, в скобках остаётся алгебраическая сумма, которая является числом или выражением.

Посмотрите решение этого примера, оно демонстрирует суть этого метода.

1. — уравнение не имеет решений, так как

2.

Ответ:

3 Повторение материала:

Уравнение называется показательным, если оно содержит неизвестную величину в показателе степени.

Общих приёмов решения показательных уравнений нет. Тем не менее, можно указать некоторые методы, наиболее часто применяющиеся при решении показательных уравнений:

Приведение обеих частей уравнения к одному основанию;

Разложение на множители;

Введение новой переменной;

Логарифмирование обеих частей уравнения.

2) Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

Этот метод основан на следующей теореме:

Теорема . Если a >0 a ≠ 1, то уравнения a f ( x ) = a g ( x ) и f ( x )= g ( x ) равносильны.

Сейчас при проверки домашней работы, при решении первого уравнения, мы использовали именно этот метод.

Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

Уравнение вида c помощью замены a x = y сводится к квадратному уравнению c помощью замены a x = y сводится к квадратному уравнению поскольку a — x можно представить как . Новая переменная как правило вводится после преобразования членов уравнения.

Рассмотрим однородное уравнение вида:

Данное уравнение состоит из трёх членов, которые представляют собой степени с одинаковыми показателями и разными основаниями. Для решения подобных уравнений используют метод почленного деления, суть которого в делении уравнения на одну из степеней.

Разберём ряд примеров из решения однородных уравнений.

|:2 2 x = 4 x ≠ 0

Замена , y > 0

y₁=4, y₂=9

Ответ: .

4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Если уравнение невозможно привести к равенству степеней с одинаковыми основаниями, то приводим обе его части к виду, удобному для логарифмирования, логарифмируем и решаем полученное уравнение

Пример: Решите уравнение:

Так как , уравнение можно переписать в виде:

Видео:Показательные уравнения. Часть 1. Подготовка к ОРТ по математике.Скачать

Видео:показательно степенное уравнение методом логарифмирования обеих частей уравненияСкачать

Ответ:

5. Дополнительные методы решения показательных уравнений

При решении показательных уравнений часто пользуются искусственными приёмами :

Рассмотрим уравнение, содержащее степени, произведение которых равно единице.

Видео:Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Пример:

Решите уравнение:

Числа и являются взаимно обратными числами (или сопряжёнными)

В самом деле:

Поэтому:

Введём новую переменную: t = , t >0.

В результате получим уравнение:

,

1) 2)

х = 1

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

При решении уравнений, аналогичных разобранному в выше приведённом примере, терпят неудачу те учащиеся, которые не замечают сопряжённости стоящих в основании чисел.

Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством монотонности функции.

Суть этого свойства в следующем:

Пусть функция f ( x ) монотонно возрастает, а g ( x ) монотонно убывает или константа. Тогда, если уравнение f ( x )= g ( x ) имеет решение х=х ₀ , то это решение единственное.

В этом случае можно подобрать корень.

Видео:Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

3. Самостоятельная работа

Все учащиеся класса делятся на 3 группы: — учащиеся, успевающие на 3,

— учащиеся, занимающиеся на 4, — учащиеся, занимающиеся на 5.

А они, в свою очередь делятся на 3 варианта

📽️ Видео

Подготовка к ЕГЭ #67. Решение показательных уравнений, приводимых к простейшимСкачать

10 класс. Алгебра. Показательные уравненияСкачать

Показательное уравнение из ЕГЭ математикаСкачать

Решение задания на показательное уравнение (уравнение с х в степени) из реального ЕГЭ по математикеСкачать

Показательные уравнения Приведение к общему основаниюСкачать

Решение показательных и логарифмических уравнений. Подготовка к ГВЭ11+ЕГЭ 2021 по математике #79Скачать

ЕГЭ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УРОВНЯ НАЧАЛЬНОГО ПО 1 ЧАСТИ | СМЫСЛ РАСКРЫТИЯ СТЕПЕНЕЙ ПРИ УРАВНЕНИЯХ.Скачать

Показательные уравнения | Алгебра 11 класс #8 | ИнфоурокСкачать

10 класс. Алгебра. Показательные уравнения. 2.0.Скачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ😩 #математика #shorts #егэ #огэ #уравнение #показательныеуравненияСкачать

Показательные уравнения 2 и 3 типовСкачать