Уравнения на вычитание отрицательных чисел

Данная статья посвящена разбору такой темы, как выполнение вычитания отрицательных чисел. Материал представляет собой полезную информацию о правиле вычитания отрицательных чисел и других определениях. Для закрепления сути параграфа мы детально разберем примеры типичных упражнений и задач.

Видео:Сложение и вычитание рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Правило вычитания отрицательных чисел

Для того, чтобы разобраться в данной теме, следует узнать основные определения и понятия.

Правило вычитания отрицательных чисел формулируется так: чтобы из числа a вычесть число b со знаком минус, необходимо к уменьшаемому a прибавить число − b , которое является противоположным вычитаемому b .

Если представить данное правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a в буквенном виде, то оно будет выглядеть так: a − b = a + ( − b ) .

Для того, чтобы использовать данное правило, необходимо доказать его справедливость.

Возьмем числа a и b . Чтобы вычесть из числа a число b , необходимо найти такое число с , которое в сумме с числом b будет равняться числу a . Другими словами, если найдено такое число c , что c + b = a , то разность a − b равна c .

Для того, чтобы доказать правило вычитания, необходимо показать, что сложение суммы a + ( − b ) с числом b – это есть число a . Необходимо вспомнить о свойствах действий с действительными числами. Так как в этом случае работает сочетательное свойство сложения, то равенство ( a + ( − b ) ) + b = a + ( ( − b ) + b ) будет верным.

Так, как сумма чисел с противоположными знаками равняется нулю, то a + ( ( − b ) + b ) = a + 0 , а сумма a + 0 = а (если к числу прибавить нуль, то оно не изменится). Равенство a − b = a + ( − b ) считается доказанным, значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания чисел со знаком минус.

Мы рассмотрели, как работает данное правило для действительных чисел a и b . Но оно также считается справедливым для любых рациональных и целых чисел a и b . Действия с рациональными и целыми числами также обладают свойствами, использованными при доказательстве. Следует добавить, что с помощью разобранного правила можно выполнять действия числа со знаком минус как из положительного числа, так и из отрицательного или нуля.

Рассмотрим разобранное правило на типичных примерах.

Видео:Решение уравнений с отрицательными числами.Скачать

Примеры использования правила вычитания

Рассмотрим примеры с вычитанием чисел. Для начала рассмотрим простой пример, который поможет легко разобраться со всеми тонкостями процесса.

Необходимо отнять от числа − 13 число − 7 .

Возьмем число, противоположное вычитаемому − 7 . Это число 7 . Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем ( − 13 ) − ( − 7 ) = ( − 13 ) + 7 . Выполняем сложение. Теперь получаем: ( − 13 ) + 7 = − ( 13 − 7 ) = − 6 .

Вот все решение: ( − 13 ) − ( − 7 ) = ( − 13 ) + 7 = − ( 13 − 7 ) = − 6 . ( − 13 ) − ( − 7 ) = − 6 . Вычитание дробных отрицательных чисел также можно выполнять. Необходимо перейти к обыкновенным дробям, смешанным числам или десятичным дробям. Выбор числа зависит от того, с каким вариантом вам удобнее работать.

Необходимо выполнить вычитание из числа 3 , 4 числа — 23 2 3 .

Применяем описанное выше правило вычитания, получаем 3 , 4 — — 23 2 3 = 3 , 4 + 23 2 3 . Заменяем дробь на десятичное число: 3 , 4 = 34 10 = 17 5 = 3 2 5 (как переводить дроби, можно посмотреть в материале по теме), получаем 3 , 4 + 23 2 3 = 3 2 5 + 23 2 3 . Выполняем сложение. На этом вычитание отрицательного числа — 23 2 3 из числа 3 , 4 завершено.

Приведем краткую запись решения: 3 , 4 — — 23 2 3 = 27 1 15 .

Необходимо выполнить вычитание числа − 0 , ( 326 ) от нуля.

По правилу вычитания, которое мы изучили выше, 0 − ( − 0 , ( 326 ) ) = 0 + 0 , ( 326 ) = 0 , ( 326 ) .

Последний переход верен, так как здесь работает свойство сложения числа с нулем: 0 − ( − 0 , ( 326 ) ) = 0 , ( 326 ) .

Из рассмотренных примеров видно, что при вычитании отрицательного числа может получиться как положительное, так и отрицательное число. Вычитание отрицательного числа может в результате дать и число 0 , это происходит, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Необходимо вычислить разность отрицательных чисел — 5 — — 5 .

По правилу вычитания мы получаем — 5 — — 5 = — 5 + 5 .

Мы пришли к сумме противоположных чисел, которая всегда равна нулю: — 5 — — 5 = — 5 + 5 = 0

В некоторых случаях результат вычитания необходимо записать в виде числового выражения. Это справедливо в тех случаях, когда уменьшаемое или вычитаемое является иррациональным числом. К примеру, вычитание из отрицательного числа − 2 отрицательного числа – π проводится так: ( − 2 ) − ( − π ) = ( − 2 ) + π = π − 2 . Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.

Видео:как ЛЕГКО сложить отрицательные числа , ПРИМЕРЫСкачать

Правила вычитания отрицательных чисел

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Вычитание отрицательных чисел — что означает

Отрицательное число — это действительное число, которое меньше нуля, имеет при написании знак минус.

Отрицательное число является элементом множества, в которое входят отрицательные числа. Появление этого понятия в математике связано с расширением множества из натуральных чисел. С его помощью удалось причислить операцию по вычитанию к полноценным арифметическим действиям (таким, как сложение).

Если рассматривать операции с натуральными числами, то можно заметить, что допускается вычитание только меньшего числа из большего. При этом переместительный закон на вычитание не распространяется. К примеру, выражение 3 + 4 – 5 является допустимым, а выражение, в котором операнды переставлены, 3 – 5 + 4 недопустимо.

С помощью добавления к множеству натуральных чисел отрицательных чисел и нуля действие вычитания распространилось на любые пары из натуральных чисел. В результате образовалось множество целых чисел. Для рациональных, а также вещественных чисел аналогично получаются соответствующие отрицательные значения. В случае комплексных чисел понятие отрицательного числа не применимо.

Отрицательные числа отмечены на шкале красным цветом:

Важно заметить, что для какого-либо натурального числа n существует единственное отрицательное число –n, с помощью которого n можно дополнить до нуля:

Абсолютная величина некого числа а представляет собой это число без знака. Обозначается таким образом: a . Например: 4 = 4 ; — 5 = 5 ; 0 = 0 .

Действие вычитания некого числа а из другого числа b является равносильным операции сложения b с числом, которое противоположно числу а:

На множество отрицательных чисел распространяются почти все алгебраические правила, как и на натуральные числа. Однако существуют некоторые особенности, связанные со свойствами отрицательных чисел:

1. Множество положительных чисел имеет ограничение снизу, а множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. Когда умножают числа, обладающие разными знаками, получается отрицательное произведение. Если знаки чисел, которые перемножают, одинаковые, то произведение будет положительно.
3. Если умножить обе части неравенства на отрицательное число, то такое неравенство поменяет знак на противоположный.
4. В том случае, когда деление выполняется с остатком, такой остаток является в любом случае неотрицательным.

Основные правила, таблица

Действия с отрицательными числами можно представить в виде таблицы:

Вычитание отрицательных чисел выполняется, согласно правилу: для того чтобы вычесть из числа а число b, имеющее знак минус, нужно сложить уменьшаемое a и число –b, которое противоположно вычитаемому b. Формула:

Данное правило имеет доказательство. Предположим, что существуют некие самостоятельные числа а и b. Для того чтобы из первого числа вычесть второе, требуется определить число с, которое при сложении с числом b даст в сумме число а:

Доказательство сводится к определению справедливости для уравнения:

В процессе доказательства целесообразно обратиться к свойствам операций с действительными числами. Записанное равенство можно считать верным по действию сочетательного свойства сложения:

(a + (− b)) + b = a + ((− b) + b)

Исходя из того, что в сумме числа, обладающие противоположными знаками, дают нуль, получим:

Заметим, что при сложении числа с нулем такое число не изменится:

В результате доказано равенство:

Таким образом, доказано правило вычитания чисел, которые имеют знак минус, то есть являются отрицательными. Данное правило распространяется на любые рациональные и целые числа а и b, так как эти числа характеризуются свойствами, применяемыми в ходе доказательства.

Видео:Сложение и вычитание отрицательных чисел.Скачать

Вычитание отрицательного числа из отрицательного

Вычитание одного отрицательного числа из другого отрицательного числа сводится к нахождению суммы чисел с разными знаками. Известно, что вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного числа с таким же модулем, что и у отрицательного.

Предположим, что нужно найти разность двух отрицательных чисел: -5 и -2. Используя ранее записанное свойство, представим действие с отрицательными числами в виде сложения чисел с разными знаками:

Далее следует взять модули слагаемых, из большего из них вычесть меньший. К полученному результату нужно добавить знак слагаемого, которое обладает наибольшим модулем. В данном случае по модулю больше число -5. Таким образом:

Видео:Вычитание рациональных чисел . Решение уравнений . 6 класс .Скачать

Вычитание положительного числа из отрицательного

Последовательность действий при вычитании из отрицательного числа положительного:

1. Определение моделей чисел.
2. Суммирование найденных модулей.
3. Добавление знака минуса к полученному результату сложения.

В качестве примера можно рассмотреть вычитание 4 из -3. В первую очередь следует определить модули чисел:

Модули, которые получились в результате, следует суммировать:

К конечному результату нужно приписать знак минус:

Видео:Сложение и вычитание рациональных и отрицательных рациональных чисел. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Вычитание отрицательного числа из положительного

Вычитание отрицательного числа из положительного предполагает сложение модулей этих чисел.

В качестве примера рассмотрим вычитание из 11 числа -3. Для этого необходимо сложить их модули и получить ответ:

Из примера видно, что вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного числа, которое является обратным отрицательному.

Видео:Как вычитать отрицательные числа? / Простые примеры из жизни по математикеСкачать

Примеры задач для 6 класса

Найти разность чисел -17 и -14.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел, нужно найти сумму чисел с разными знаками:

-17 – (-14) = -17 + 14 = -3

Требуется найти сумму чисел: -4 и -3.

В процессе необходимо сложить модули этих чисел и к ответу приписать знак минуса:

Нужно найти разность чисел: -5 и 2.

Уменьшаемое -5 следует оставить без изменений. Противоположным числом вычитаемому 2 является -2. Далее нужно найти сумму -5 и числа, которое противоположно 2, то есть -2. Таким образом, нужно найти:

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, получим:

Существуют числа -510 и 210. Требуется найти их разность.

Уменьшаемое -510 остается без изменений. К данному числу следует прибавить число, противоположное вычитаемому. Таким числом будет -210.

-510 – 210 = -510 + (-210)

Далее нужно суммировать отрицательные значения, руководствуясь правилом сложения отрицательных чисел:

-510 – 210 = -510 + (-210) = — (510 + 210) = -720

Видео:1100 - 1104 Математика 6 класс. Вычитание отрицательных чисел. УравненияСкачать

Математика

План урока:

В субботу, ученики 6 класса договорились встретиться и погулять в парке. Утром Юля выглянула в окошко, ярко светит солнышко, но при этом морозно. Девочка взглянула на термометр. Он показывал -10˚C. Мама попросила Юлю пойти на улицу немного позже, когда на улице потеплеет. Юля расстроилась и стала ждать. Через два часа девочка снова взглянула на термометр. Он показал -3. Ого! Всего два часа, а так потеплело – обрадовалась девочка и стала одеваться, чтобы идти гулять. В это время в комнату вошла мама и удивленно спросила «Уже потеплело? На сколько градусов?» Дочь не знала, что сказать и как правильно узнать, на сколько градусов стало теплее. Мама пришла на помощь и сообщила, что достаточно от -10 отнять -3, и мы узнаем, на сколько градусов изменилась температура воздуха за окном. Иначе, можно сказать, что шкала термометра поднялась вверх на 7 делений, значит, на улице стало теплее на 7 градусов. Запомнив все, что рассказала мама, Юля побежала в парк делиться новыми знаниями с друзьями.

Видео:Вычитание отрицательных чисел | Отрицательные числа | Математика 6 класс |Виленкин 6 класс|МегаШколаСкачать

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Давайте вспомним любимую многими сказку «Буратино» и разберем задачу с участием любимых персонажей.

В театре Карабаса-Барабаса актерам жилось очень сложно, все куклы мечтали жить на свободе. Актеры тяжело работали, но долги перед хозяином росли с каждым днем. Злой владелец пообещал отпустить Буратино и Мальвину из своего театра только тогда, когда кукольные герои вернут ему долг. Сколько монет нужно собрать героям, чтобы оказаться на свободе, если у Буратино было -15 монет, а у Мальвины -6?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам нужно понимать, о чем идет речь. Изучив условие, возникает вопрос «Как может быть -15 и -6 монет?». В данном случае выходит, что Буратино и Мальвина должны вернуть Карабасу-Барабасу 15 и 6 монет, поэтому перед данными числами и стоит знак «минус». Получается, кукольные персонажи смогут покинуть театр, когда полностью вернут долг. Для этого необходимо узнать общий размер долга Буратино и Мальвины. Чтобы узнать размер долга, суммируем монеты персонажей -15 и -6. Но как их сложить, когда перед слагаемыми стоит «минус»? В подобных ситуациях применяют правило сложения отрицательных чисел.

Возвращаемся к решению задачи.

Теперь, правильно запишем и суммируем известные данные.

Получается, что герои имеют -21 монету, следовательно, они должны собрать 21 монету и вернуть долг, только тогда появится возможность покинуть театр Карабаса-Барабаса.

Рассмотрим еще одно задание.

Найдите результат сложения -24 и -16.

Чтобы вычислить сумму двух значений со знаком «минус», достаточно суммировать их модули, и перед полученной цифрой записать «-».

Запомни! Если складываем два отрицательных числа, то суммируем их модули, а перед результатом сложения записываем «-».

Видео:6 класс - Математика - Вычитание отрицательных чисел. Вычитание чисел с разными знакамиСкачать

Сложение чисел с разными знаками

Мишин папа навещал бабушку в деревне, обещал привезти гостинец сыну – яблоки. Во дворе Миша рассказал мальчишкам про папино обещание, и решил угостить яблоком, каждого из трех друзей, то есть, у него уже стало -3 яблока. Папа привез сыну 10 яблок и мальчик с радостью поделился фруктами с друзьями. Сколько яблок осталось у мальчика?

Чтобы найти количество яблок у мальчика, нам нужно узнать, чему равна сумма яблок –тех которые были у мальчика(-3), и тех, которые дал папа(10). То есть, чтобы ответить на главный вопрос задачи, достаточно сложить -3 и 10. Но слагаемые имеют разные знаки «+» и «-». Как же выполнить сложение положительного и отрицательного чисел? Запомнив алгоритм сложения положительных и отрицательных чисел сделать это, будет очень просто.

Используем рассмотренный алгоритм при выполнении действий.

Суммируем-3 и 10. Для этого:

• определяем модули: -3=|3|, 10=|10|;
• сравниваем модули, определяя больший: |3| 11.

Помним, что большее значение модуля имеет отрицательное слагаемое (-28), поэтому перед результатом нужно будет поставить знак «минус». Теперь, находим разность большего и меньшего значения модуля (28-17) и записываем математическое выражение:

Учитывая рассмотренные примеры, можно сказать, что:

любое числовое значение от прибавления к нему положительного числа, всегда становится больше, а от прибавления отрицательного числа только меньше.

Докажем справедливость данного правила, вычислив выражение и сравнив уменьшаемое с полученной суммой:-150+50.

Чтобы найти значение выражения нужно определить модули (150 и 50), оставив знак«-» модуля большего слагаемого, от большего значения отнимаем меньшее:

Сравним найденное значение выражения (-100) с уменьшаемым (-150), используя правило сравнения чисел с отрицательным знаком:

При сравнении цифровых значений со знаком «минус», меньшим будет то, чей модуль больше.

-150 1 Сложить их модули, а перед результатом поставить знак «плюс»

📺 Видео

Умножение рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Сложение и вычитание отрицательных чисел #математика #огэматематика #огэ #семенСкачать

Уравнения с отрицательными числами (Математика 6 класс)Скачать

Решение уравнений, 6 классСкачать

Видеоурок "Отрицательные числа в дробях"Скачать

Раскрытие скобок. 6 класс.Скачать

Отрицательные числа. Сложение и вычитание (Математика 6 класс)Скачать

Самостоятельная работа: сложение и вычитание положительных и отрицательных целых чисел.Скачать