Уравнения на косинус двойного угла (7 видео)

cos2a, sin2a. Формулы двойного угла. Примеры на ЕГЭ

Содержание

Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы двойного угла
Формулы двойного угла в тригонометрии
Список формул двойного угла
Доказательство формул двойного угла
Примеры использования формул двойного угла
Формулы тройного, четверного и т.д. угла
Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)
🌟 Видео

Видео:Формулы двойного угла. 9 класс.Скачать

Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы двойного угла

Вычислим (cos⁡frac) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем (frac) на круге:

Все аргументы разные и что с этим делать не понятно. Однако присмотревшись, замечаем, что (98^°)ровно в два раза больше (49^°). То есть, имеет смысл разложить синус в числителе по формуле двойного угла.

Одинаковые синусы можно сократить.

Теперь обратите внимание на то, что (49^°=90^°-41^°).
Поэтому мы можем заменить (49^°) на (90^°-41^°).

((90^°-41^°)) – это первая четверть, косинус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

(90^°)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию. (cos⁡ (90^°-41^°)=sin⁡41^°)

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (sqrtcos^2⁡frac-sqrt).

С первого взгляда не очевидно, что тут надо делать. Возможно, со второго тоже. И здесь нас выручит золотое правило решения задач по математике: «не знаешь, что делать — делай, что можешь». А тут точно можно преобразовать (sqrt).
(sqrt=sqrt=2sqrt).

Теперь можно вынести (sqrt) за скобки.

Вот теперь видно, что перед нами формула косинуса двойного угла.

Сокращаем (2) и (12).

Теперь применим к косинусу формулу приведения:

((π-frac)) – это вторая четверть, косинус в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;

(π) — находится на «горизонтали» — функция не меняется на кофункцию.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Видео:Косинус и синус двойного угла, часть 1. Алгебра 10 классСкачать

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin ( n α ) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись ( sin α ) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α — c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Видео:Тригонометрические уравнения двойных углов. Алгебра 10 классСкачать

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что

sin ( α + α ) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos ( α + α ) = cos α · cos α — sin α · sin α = cos 2 α — sin 2 α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .

Остальные формулы cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 — 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α — 2 · sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α и 2 · cos 2 α — 1 = 2 · cos 2 α — ( sin 2 α + cos 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α .

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α cos 2 α — sin 2 α cos 2 α = 2 · sin 2 α cos 2 α 1 — sin 2 α cos 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos = cos 2 α — sin 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α — 1 2 · cos α sin α = c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2 α для α = 30 ° , применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α = 30 ° , тогда 2 α = 60 ° . Проверим значения sin 60 ° = 2 · sin 30 ° · cos 30 ° , cos 60 ° = cos 2 30 ° — sin 2 30 ° .

Подставив значения, получим t g 60 ° = 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° и c t g 60 ° = c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° . .

Известно, что sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 и

sin 60 ° = 3 2 , cos 60 ° = 1 2 , t g 60 ° = 3 , c t g 60 ° = 3 3 , тогда отсюда видим, что

2 · sin 30 ° · cos 30 ° = 2 · 1 2 · 3 2 = 3 2 , cos 2 30 ° — sin 2 30 ° = ( 3 2 ) 2 — ( 1 2 ) 2 = 1 2 , 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° = 2 · 3 2 1 — ( 3 3 ) = 3

и c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° = ( 3 ) 2 — 1 2 · 3 = 3 3

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α = 30 ° подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2 α . В примере допускается применение формулы двойного угла 3 π 5 . Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α = 3 π 5 : 2 = 3 π 10 . Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид cos 3 π 5 = cos 2 3 π 10 — sin 2 3 π 10 .

Представить sin 2 α 3 через тригонометрические функции, при α 6 .

Заметим, что из условия имеем 2 α 3 = 4 · α 6 . Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin 2 α 3 через тригонометрические функции угла α 6 . Применяя формулу двойного угла, получим sin 2 α 3 = 2 · sin α 3 · cos α 3 . После чего к функциям sin α 3 и cos α 3 применим формулы двойного угла: sin 2 α 2 = 2 · sin α 3 · cos α 3 = 2 · ( 2 · sin α 5 · cos α 6 ) · ( cos 2 α 6 — sin α 6 ) = = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6

Ответ: sin 2 α 3 = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6 .

Видео:12 часов Тригонометрии с 0.Скачать

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

sin 3 α = sin ( 2 α + α ) = sin 2 α · cos α + cos 2 α · sin α = 2 · sin α · cos α · cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) · sin α = = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α

При замене cos 2 α на 1 — sin 2 α из формулы sin 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α , она будет иметь вид sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α .

Так же приводится формула косинуса тройного угла:

cos 3 α = cos ( 2 α + α ) = cos 2 α · cos α — sin 2 α · sin α = = ( cos 2 α — sin 2 α ) · cos α — 2 · sin α · cos α · sin α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α

При замене sin 2 α на 1 — cos 2 α получим формулу вида cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

t g 3 α = sin 3 α cos 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α cos 3 α = = 3 · sin α cos α — sin 3 α cos 3 α 1 — 3 · sin 2 α cos 2 α = 3 · t g α — t g 3 α 1 — 3 · t g 2 α ; c t g 3 α = cos 3 α sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α sin 3 α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α sin 3 α = = cos 3 α sin 3 α — 3 · cos α sin α 3 · cos 2 α sin 2 α — 1 = c t g 3 α — 3 · c t g α 3 · c t g 2 α — 1

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4 α как 2 · 2 α , тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5 α в виде 3 α + 2 α , что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

(blacktriangleright) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: [<Large>] где (ane 0, f(x)) — одна из функций (sin x, cos x, mathrm,x, mathrm, x) ,
то такое уравнение с помощью замены (f(x)=t) сводится к квадратному уравнению.

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: [begin hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1&& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1\ &&\ mathrm, alpha=dfrac&&mathrm, alpha =dfrac\&&\ 1+mathrm^2, alpha =dfrac1 && 1+mathrm^2, alpha=dfrac1\&&\ hline end]
формулы двойного угла: [begin hline sin =2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos=cos^2alpha -sin^2alpha\ sin alphacos alpha =dfrac12sin && & cos=2cos^2alpha -1\ & & & cos=1-2sin^2 alpha\ hline &&&\ mathrm, 2alpha = dfrac<2mathrm, alpha><1-mathrm^2, alpha> && & mathrm, 2alpha = dfrac<mathrm^2, alpha-1><2mathrm, alpha>\&&&\ hline end]

Пример 1. Решить уравнение (6cos^2x-13sin x-13=0)

С помощью формулы (cos^2alpha=1-sin^2alpha) уравнение сводится к виду:
(6sin^2x+13sin x+7=0) . Сделаем замену (t=sin x) . Т.к. область значений синуса (sin xin [-1;1]) , то (tin[-1;1]) . Получим уравнение:

(6t^2+13t+7=0) . Корни данного уравнения (t_1=-dfrac76, t_2=-1) .

Таким образом, корень (t_1) не подходит. Сделаем обратную замену:
(sin x=-1 Rightarrow x=-dfrac2+2pi n, ninmathbb) .

Пример 2. Решить уравнение (5sin 2x=cos 4x-3)

С помощью формулы двойного угла для косинуса (cos 2alpha=1-2sin^2alpha) имеем:
(cos4x=1-2sin^22x) . Сделаем эту подстановку и получим:

(2sin^22x+5sin 2x+2=0) . Сделаем замену (t=sin 2x) . Т.к. область значений синуса (sin 2xin [-1;1]) , то (tin[-1;1]) . Получим уравнение:

(2t^2+5t+2=0) . Корни данного уравнения (t_1=-2, t_2=-dfrac12) .

Таким образом, корень (t_1) не подходит. Сделаем обратную замену: (sin 2x=-dfrac12 Rightarrow x_1=-dfrac+pi n, x_2=-dfrac+pi n, ninmathbb) .

Пример 3. Решить уравнение (mathrm, x+3mathrm,x+4=0)

Т.к. (mathrm,xcdot mathrm,x=1) , то (mathrm,x=dfrac1<mathrm,x>) . Сделаем замену (mathrm,x=t) . Т.к. область значений тангенса (mathrm,xinmathbb) , то (tinmathbb) . Получим уравнение:

(t+dfrac3t+4=0 Rightarrow dfrac=0) . Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

Сделаем обратную замену:

(blacktriangleright) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: [<Large>] где (ane 0, f(x)) — одна из функций (sin x, cos x, mathrm,x, mathrm, x) ,
то такое уравнение с помощью замены (f(x)=t) сводится к кубическому уравнению.

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: [begin hline &&&\ sin =3sin alpha -4sin^3alpha &&& cos=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\ hline end]

Пример 4. Решить уравнение (11cos 2x-3=3sin 3x-11sin x)

При помощи формул (sin 3x=3sin x-4sin^3x) и (cos2x=1-2sin^2x) можно свести уравнение к уравнению только с (sin x) :

(12sin^3x-9sin x+11sin x-3+11-22sin^2 x=0) . Сделаем замену (sin x=t, tin[-1;1]) :

(6t^3-11t^2+t+4=0) . Подбором находим, что один из корней равен (t_1=1) . Выполнив деление в столбик многочлена (6t^3-11t^2+t+4) на (t-1) , получим:

((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 Rightarrow) корнями являются (t_1=1, t_2=-dfrac12, t_3=dfrac43) .

Таким образом, корень (t_3) не подходит. Сделаем обратную замену:

(blacktriangleright) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: [I. quad <Large>, quad ane 0,cne 0]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения (x) , при которых (cos x=0) или (sin x=0) . Действительно, если (cos x=0) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: (asin^2 x=0) , откуда следует, что и (sin x=0) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если (cos x=0) , то (sin x=pm 1) .

Аналогично и (sin x=0) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на (cos^2 x) или на (sin^2 x) . Разделим, например, на (cos^2 x) :

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на (cos^2x) и замены (t=mathrm,x) сводится к квадратному уравнению:

(at^2+bt+c=0) , способ решения которого вам известен.

Уравнения вида [I’. quad <Large>, quad ane0,cne 0] с легкостью сводятся к уравнению вида (I) с помощью использования основного тригонометрического тождества: [d=dcdot 1=dcdot (sin^2x+cos^2x)]

Заметим, что благодаря формуле (sin2x=2sin xcos x) однородное уравнение можно записать в виде

(asin^2 x+bsin 2x+ccos^2x=0)

Пример 5. Решить уравнение (2sin^2x+3sin xcos x=3cos^2x+1)

Подставим вместо (1=sin^2x+cos^2x) и получим:

(sin^2x+3sin xcos x-4cos^2x=0) . Разделим данное уравнение на (cos^2x) :

(mathrm^2,x+3mathrm,x-4=0) и сделаем замену (t=mathrm,x, tinmathbb) . Уравнение примет вид:

(t^2+3t-4=0) . Корнями являются (t_1=-4, t_2=1) . Сделаем обратную замену:

(blacktriangleright) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: [II.quad <Large>, ane0, bne 0]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения (x) , при которых (cos x=0) или (sin x=0) . Действительно, если (cos x=0) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: (asin x=0) , откуда следует, что и (sin x=0) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если (cos x=0) , то (sin x=pm 1) .

Аналогично и (sin x=0) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на (cos x) или на (sin x) . Разделим, например, на (cos x) :

(a dfrac+b dfrac=0) , откуда имеем (amathrm, x+b=0 Rightarrow mathrm, x=-dfrac ba)

Пример 6. Решить уравнение (sin x+cos x=0)

Разделим правую и левую части уравнения на (sin x) :

(1+mathrm, x=0 Rightarrow mathrm, x=-1 Rightarrow x=-dfrac4+pi n, ninmathbb)

(blacktriangleright) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: [II.quad <Large>, ane0, bne 0, cne 0]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: (<large<sin x=2sincos, qquad cos x=cos^2 -sin^2 ,qquad c=ccdot Big(sin^2 +cos^2 Big)>>) данное уравнение сведется к уравнению (I) :

Пример 7. Решить уравнение (sin 2x-sqrt3 cos 2x=-1)

Распишем (sin 2x=2sin xcos x, cos 2x=cos^2x-sin^2 x, -1=-sin^2 x-cos^2x) . Тогда уравнение примет вид:

((1+sqrt3)sin^2x+2sin xcos x+(1-sqrt3)cos^2x=0) . Данное уравнение с помощью деления на (cos^2x) и замены (mathrm,x=t) сводится к:

((1+sqrt3)t^2+2t+1-sqrt3=0) . Корнями этого уравнения являются (t_1=-1, t_2=dfrac=2-sqrt3) . Сделаем обратную замену:

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: [begin hline &&&\ sin=dfrac<2mathrm, dfrac2><1+mathrm^2, dfrac2> &&& cos=dfrac<1-mathrm^2, dfrac2><1+mathrm^2, dfrac2>\&&&\ hline end] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно (mathrm, dfrac x2)

Пример 8. Решить то же уравнение (sin 2x-sqrt3 cos 2x=-1)

(dfrac=0 Rightarrow (sqrt3+1)t^2+2t+1-sqrt3=0) (т.к. (1+t^2geqslant 1) при всех (t) , то есть всегда (ne 0) )

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
[<large<asin x+bcos x=sqrt,sin (x+phi),>> quad text cos phi=dfrac a<sqrt >]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: [begin hline &&&\ sin=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot cosalpha &&& cos=cosalphacdot cosbeta mp sinalphacdot sinbeta\ &&&\ hline end]

Пример 9. Решить то же уравнение (sin 2x-sqrt3 cos 2x=-1)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на (sqrt=2) :

(dfrac12sin 2x-dfrac2cos 2x=-dfrac12)

Заметим, что числа (dfrac12) и (dfrac2) получились табличные. Можно, например, взять за (dfrac12=cos dfrac3, dfrac2=sin dfrac3) . Тогда уравнение примет вид:

(sin 2xcos dfrac3-sin dfrac3cos 2x=-dfrac12 Rightarrow sinleft(2x-dfrac3right)=-dfrac12)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.