Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

Решение уравнений с дробями

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Решение уравнений, 6 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Как решать уравнения с дробью? #shorts

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

Решение уравнений с дробными числами в 6 классе

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравненияСкачать

Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравнения

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияУравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

Переведем новый множитель в числитель..

Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

    Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)

    Решение линейных уравнений. 6-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 6

    Цели урока:

    • повторить правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых;
    • ввести определение линейного уравнения с одним неизвестным;
    • познакомить учащихся со свойствами равенств;
    • научить решать линейные уравнения;
    • научить решать задачи на «было − стало».

    Оборудование: компьютер, проектор.

    Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

    Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

    Ход урока

    I. Проверка предыдущего домашнего задания.

    II. Повторение теоретического материала.

    1. Как найти неизвестное слагаемое? [От суммы отнять известное слагаемое]
    2. Как найти неизвестное уменьшаемое? [К вычитаемому прибавить разность]
    3. Как найти неизвестное вычитаемое? [От уменьшаемого отнять разность]
    4. Как найти неизвестный множитель? [Произведение разделить на известный множитель]
    5. Как найти неизвестное делимое? [Делитель умножить на частное]
    6. Как найти неизвестный делитель? [Делимое разделить на частное]
    7. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс? [Опустить скобки и этот знак плюс, переписать слагаемые с теми же знаками]
    8. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус? [Опустить скобки и этот знак минус, переписать слагаемые с противоположными знаками]
    9. Как выглядит распределительное свойство умножения? [(a+b)∙c=ac+bc]

    III. Устные задания по слайдам.

    (слайд 2, слайд 3).

    1) Раскройте скобки:

    3+(х+2); 3-(х+2); 3+(х-7); 3-(х-7); 3+(-х+5); 3-(-х+5); -4(-5-х); 9(Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами; 9(Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами; 2(7+9х); 4(2-3х); -6(9-5х); -3(1+4х).

    2) Приведите подобные слагаемые:

    6b-b; 9,5m+3m; a —Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответамиa; Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответамиm-m; -4x-x+3; 7x-6y-3x+8y.

    3) Упростите выражение:

    IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.

    До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.

    Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (aУравнения на дроби 6 класс с решением и ответами0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

    Линейные уравнения обладают свойствами:

    1. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (стр. 229 учебника).
    2. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак (стр. 230 учебника).

    Рассмотрим план решения линейного уравнения:

    х-1+(х+2)=-4(-5-х)-5
    х-1+х+2=20+4х-5
    х+х-4х=20-5+1-2
    -2х=14
    х=14:(-2)
    х=-7
    Ответ: -7.
    1) раскрыть скобки, если они есть;
    2) слагаемые, содержащие неизвестное, перенести в левую часть равенства, а не содержащие неизвестное − в правую;
    3) привести подобные слагаемые;
    4) найти неизвестный множитель.

    Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)

    Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответамих+3=Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответамих+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

    (Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответамих+3)∙9=(Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответамих+5)∙9 Далее − по плану.

    Видео:Математика 6 класс (Урок№1 - Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»)Скачать

    Математика 6 класс (Урок№1 - Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»)

    Уравнения с дробями

    Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами.

    Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Это — простейшее линейное уравнение . Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей :

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    После сокращения имеем:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    (В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Сокращаем дробь на 3:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    Уравнения на дроби 6 класс с решением и ответами

    В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

    📹 Видео

    Решение уравнений. Видеоурок 28. Математика 6 классСкачать

    Решение уравнений. Видеоурок 28. Математика 6 класс

    Решение уравнений - математика 6 классСкачать

    Решение уравнений - математика 6 класс

    дробное уравнение как решать для 6 классаСкачать

    дробное уравнение как решать для 6 класса

    Уравнение с дробямиСкачать

    Уравнение с дробями

    Как решать уравнения со скобками быстро и правильно. Математика 6 класс.Скачать

    Как решать уравнения со скобками быстро и правильно. Математика 6 класс.

    Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

    Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?

    Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

    Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.

    540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.Скачать

    540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .

    Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.Скачать

    Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.

    КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

    КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс
    Поделиться или сохранить к себе: