Уравнения методом половинного деления методом хорд и методом касательных mathcad

Лабораторная работа №3

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теоретические сведения

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях переменных, которые входят в уравнение.

Нелинейное уравнение – уравнение, в котором неизвестное находится в степени, не равной 1, или является аргументом какой-то функции.

Общий вид нелинейного уравнения:

где – некоторая нелинейная функция.

Если функция непрерывна на отрезке , то уравнение может иметь корни на этом отрезке при выполнении двух условий:

1) функция меняет знак на отрезке . Это легко проверить выполнением неравенства ;

2) первая и вторая производная сохраняют знак на всем отрезке.

Если какая-либо точка преобразовывает уравнение в равенство, то точка называется корнем нелинейного уравнения. Геометрически точка соответствует точке, в которой график функции пересекается с осью .

Приближенное нахождение действительных корней состоит из 2 этапов:

1. Отделение корня (нахождение промежутка, в котором существует корень)

2. Уточнение корней с заданной степенью точности.

Для отделения корней применяют следующие способы:

— формулы Лагранжа для полиномов.

Для уточнения корней применяют следующие численные методы:

— метод половинного деления (дихотомии или бисекции);

— метод Ньютона (касательных);

— метод итераций или последовательных приближений;

Метод половинного деления

Дано: уравнение и интервал .

Находим точку :

Выполняем проверку: если , то тогда , а если , то тогда . Если такую проверку сделать многократно, то мы будем сужать интервал до тех пор пока не найдем такую точку, для которой значение функции будет равно нулю, а модуль не будет превышать заданную точность .

Метод хорд.

Суть метода состоит в лианезации кривой хордой. Решение задачи покажет уравнение прямой, проходящей через 2 точки и :

Выбираем тот из промежутков или , на концах которого знаки противоположны.

С выбранным промежутком повторяем те же действия, до тех пор, пока и модуль не превышает заданной точности.

После многократных повторений получаем конечную формулу:

при _.

Метод касательных.

Суть метода состоит в лианезации кривой касательной. Касательную проводят в том конце кривой, где знак второй производной совпадает со знаком функции, то есть:

Решением является точка пересечения касательной с . Решение получают из уравнения касательной, проходящей через соответствующую точку. После многократного повторения получаем конечную формулу:

Действия повторяются до тех пор, пока и модуль не превышает заданной точности.

Итерационный метод.

Для использования итерационного метода разбиваем таким образом, чтобы можно было записать .

Итерационный процесс записывается следующим образом:

Условием сходимости итерационного процесса является:

Решение уравнений средствами Mathcad

Как известно, многие уравнения не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).

Для уравнений вида решение в Mathcad находится с помощью функции

Возвращает значение , принадлежащее отрезку , при котором выражение или функция обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы:

–функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

–имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

– необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем .

Наиболее распространен графический метод определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения – это точки пересечения графика функции с осью абсцисс, достаточно построить график функции и отметить точки пересечения с осью , или отметить на оси отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение равносильным ему уравнением:

где функции и – более простые, чем функция . Тогда, построив графики функций и , искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Отсутствие сходимости функции

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

— уравнение не имеет корней;

— корни уравнения расположены далеко от начального приближения;

— выражение имеет локальные и между начальным приближением и корнями;

— выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями;

— выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график . Он поможет выяснить наличие корней уравнения и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет сходиться.

Рекомендации по использованию функции

Для изменения точности, с которой функция ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида . Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, измените его настройки.

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Вычислительная математика»

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad: Метод. указ. / Сост. , — Самара: СГАСУ, 20с.

Методические указания разработаны в соответствии с Государственным образовательным стандартом изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Рассмотрена реализация численных методов при решении нелинейных уравнений и систем уравнений в Excel и MathCad. Приведены варианты заданий для индивидуального выполнения и вопросы для самоконтроля и тестирования.

Предназначены для студентов специальности 230201 – «Информационные системы и технологии» всех форм обучения.

Рецензент к. ф-м. н.

Ó , составление, 2012

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

1.2 Отделение корней

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

1.4 Метод деления отрезка пополам

1.6 Метод Ньютона (касательных)

1.7 Комбинированный метод

1.8 Метод итераций

2 Решение систем нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

3 Задания к лабораторным работам

Лабораторная № 1. Отделение корней и стандартные инструменты решения нелинейного уравнения

Лабораторная № 2. Сравнение методов уточнения корней нелинейного уравнения

Лабораторная № 3. Решение систем нелинейных уравнений

Лабораторная № 4. Программирование методов решения нелинейных уравнений и систем

4 Вопросы и тесты для самоконтроля

Список рекомендуемой литературы

Видео:Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

1 Решение нелинейного уравнения

Видео:7 Метод половинного деления Mathcad Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

Как правило, нелинейное уравнения общего вида f(х)=0 невозможно решить аналитически. Для практических задач достаточно найти приближенное значение x, в определенном смысле близкое к точному решению уравнения хточн.

В большинстве случаев поиск приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень на одном из таких отрезков, т. е. находят его значение с требуемой точностью.

Достигнутая точность может оцениваться либо «по функции» (в найденной точке x, функция достаточно близка к 0, т. е. выполняется условие |f(x)|≤ ef, где ef требуемая точность по оси ординат), либо «по аргументу» (найден достаточно маленький отрезок [a,b], внутри которого находится корень, т. е. |b–a|≤ ex, где ex требуемая точность по оси абсцисс).

Видео:Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

1.2 Отделение корней

Отделение корней может производиться сочетанием графического и аналитического исследования функции. Такое исследование опирается на теорему Вейерштрасса, в соответствии с которой для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(х) и любого числа y, отвечающего условию f(a)≤y≤f(b), существует на этом отрезке точка x, в которой функция равна y. Следовательно, для непрерывной функции достаточно найти отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, и можно быть уверенным, что на этом отрезке есть корень уравнения f(х)=0.

Для ряда методов уточнения желательно, чтобы найденный на первом этапе отрезок содержал только один корень уравнения. Это условие выполняется, если функция на отрезке монотонна. Монотонность, можно проверить либо по графику функции, либо по знаку производной.

Пример Найти с точностью до целых все корни нелинейного уравнения y(x)=x3 ‑ 10x + 7=0 а) построив таблицу и б) построив график. Найти корень уравнения на выделенном отрезке, используя опции «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Решение Создадим в Excel таблицу, содержащую аргументы и значения функции и по ней построим точечную диаграмму. На рисунке 1 приведен снимок решения.

На графике видно, что уравнение имеет три корня, принадлежащие отрезкам [-4, -3], [0, 1] и [2, 3]. Эти отрезки можно выявить и наблюдая за сменой знаков функции в таблице. По построенному графику можно сделать вывод, что на указанных отрезках функция f(x) монотонна и, следовательно, на каждом из них содержится только по одному корню.

Такой же анализ может быть выполнен и в пакете Mathcad. Для этого достаточно набрать определение функции f(x), используя оператор присваивания (:=) и естественные общепринятые обозначения математических операций и стандартных функций, задать цикл для изменения аргумента, например, а затем вывести на экран таблицу значений функции (располо­жен­ными в одной строке командами x= f(x)=) и график. Цикл можно задать, например, командой x:=-5,-4.5…5. Шаг цикла формируется путем задания начального и следующего за ним значений переменной, а перед конечным значением переменной ставится точка с запятой, которая будет визуально отображена на экране в виде многоточия.

Рисунок 1 – Таблица и график для отделения корней нелинейного уравнения

Видео:Решение нелинейного уравнения методом половинного деления (программа)Скачать

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

Во всех методах уточнения корней необходимо задать начальное прибли­же­ние, которое затем и будет уточняться. Если уравнение имеет несколько кор­ней, в зависимости от выбранного начального приближения будет найден один из них. При неудачно выбранном начальном приближении решение может и не быть найдено. Если в результате первого этапа расчетов уже выделен отрезок, содержа­щий единственный корень уравнения, в качестве начального приближения можно взять любую точку этого отрезка.

В Excel для уточнения значений корней можно использовать опции «Подбор параметра» и «Поиск решения». Пример оформления решения приведен на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2 – Ввод значений для использования средств решения уравнения в Excel

Рисунок 3 – Результаты использования средств решения уравнения в Excel

В Mathcad для уточнения корней уравнения можно использовать функцию root(….) или блок решения. Пример использования функции root(…) приведен на рисунке 4, а блока решения на рисунке 5. Следует обратить внимание, что в блоке решения (после заголовка блока Given) между левой и правой частями уравнения должен стоять жирный знак равенства (тождества), который можно получить выбором из соответствующей палитры инструментов, либо нажатием одновременно клавиши Ctrl и =.

Рисунок 4 – Решение уравнения с использованием функции root(…) в Mathcad

Рисунок 5 – Решение уравнения с использованием блока решения в Mathcad

Как видим, каждый стандартный инструмент находит решение уравнения с определенной точностью. Эта точность зависит от метода, используемого в пакете и, в определенной степени, настроек пакета. Управлять точностью результата здесь достаточно сложно, а часто и невозможно.

В то же время, очень просто построить собственную таблицу или написать программу, реализующие один из методов уточнения корней. Здесь можно использовать критерии точности расчета, задаваемые пользователем. При этом достигается и понимание процесса расчетов без опоры на принцип Митрофанушки: «Извозчик есть, довезет».

Далее рассмотрены несколько наиболее распространенных методов. Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден с меньшим числом вычислений функции f(x) (при этом достигается и максимальная точность при одинаковом числе вычислений функции).

Видео:Метод половинного деленияСкачать

1.4 Метод деления отрезка пополам

В этом методе на каждом шаге отрезок делится на две равные части. Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок (например, по знаку произведения значений функций на концах), определяют ту из них, в которой содержится решение (знаки функции на концах должны быть разные), и. сужают отрезок, перенося в найденную точку его границу (а или b). Условием окончания служит малость отрезка, где содержится корень («точность по x»), либо близость к 0 значения функции в средине отрезка («точность по y»). Решением уравнения считают середину отрезка, найденного на последнем шаге.

Пример. Построить таблицу для уточнения корня уравнения x3 –10x+7=0 на отрезке [-4, -3] методом деления отрезка пополам. Определить сколько шагов надо сделать методом деления отрезка пополам и какая при этом достигается точность по х, для достижения точности по y, равной 0,1; 0,01; 0, 001.

Решение Для решения можно использовать табличный процессор Excel, позволяющий автоматически продолжать строки. На первом шаге заносим в таблицу значения левого и правого концов выбранного начального отрезка и вычисляем значение середины отрезка с=(a+b)/2, а затем вводим формулу для вычисления функции в точке a (f(a)) и растягиваем (копируем) её для вычисления f(c) и f(b). В последнем столбца вычисляем выражение (b—a)/2, характеризующего степень точности вычислений. Все набранные формулы можно скопировать во вторую строку таблицы.

На втором шаге нужно автоматизировать процесс поиска той половины отрезка, где содержится корень. Для этого испльзуется логическая функция ЕСЛИ (Меню: ВставкаФункцияЛогические). Для нового левого края отрезка мы проверяем истинность условия f(a)*f(c)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения левого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [a, c] нет), иначе оставляем значение a. Аналогично, для нового правого края отрезка мы проверяем истинность условия f(c)*f(b)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения правого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [c, b] нет), иначе оставляем значение b.

Вторую строку таблицы можно продолжить (скопировать) на необходимое число последующих строк.

Итерационный процесс завершается, когда очередное значение в последнем столбце становится меньшим, чем заданный показатель точности ex. При этом, значение середины отрезка в последнем приближении, принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 6 приведен снимок решения. Для построения аналогичного процесса в Mathcad можно использовать бланк, подобный приведенному на рисунке 7. Число шагов N может варьиро­вать­ся до достижения в таблице результатов требуемой точности. При этом таблица будет автоматически удлиняться или укорачиваться.

Итак, одним из трех корней нелинейного уравнения x3 – 10x + 7=0, найденным с точностью e=0,0001, является x= — 3,46686. Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3].

Рисунок 6 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Excel

Рисунок 7 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Mathcad

Видео:11 Метод Ньютона (Метод касательных) Mathcad Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

1.5 Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а, b] заменяется линейной – уравнением хорды, т. е. прямой соединяющей граничные точки графика на отрезке. Условие применимости метода – монотонность функции на начальном отрезке, обеспечивающая единственность корня на этом отрезке. Расчет по методу хорд аналогичен расчету методом деления отрезка пополам, но теперь на каждом шаге новая точка x внутри отрезка [a,b] рассчитывается по любой из следующих формул:

.

Видео:1,2 Решение нелинейных уравнений методом хордСкачать

1.6 Метод Ньютона (касательных)

Идея, на которой основан метод, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только на каждом шаге кривая f(x) заменяется касательной к ней, проведенной в предыдущей найденной точке. В качестве начальной точки в зависимости от свойств функции берется или левая граница отрезка, содержащего корень – x0 = а (если f(а) f»(х) > 0), или правая его граница: x0 = b (если f(b) f»(х)>0). Расчет нового приближения на следующем шаге i+1 производится по формуле:

.

Алгоритм применим для монотонных функций, сохраняющих выпуклость или вогнутость в промежутке между начальным приближением и корнем уравнения (т. е. должен сохраняться знак первой и второй производных функции f(x)). работоспособен при выпуклых и монотонных функциях f(x). В расчетах нет необходимости отслеживать две границы отрезка, поэтому достаточно на каждом шаге вычислять значения x, f(x) и f′(x). При этом легко оценить «точность по y», по значению левой части уравнения на очередном шаге. Для оценки «точности по x» нужно отслеживать разницу приближений на предыдущем и последующих шагах, которая связана с разницей между найденным приближением и точным значением корня.

Следует обратить внимание на следующую особенность метода: последовательность x1, x2, x3,… приближается к корню с другой стороны, в отличие от использования метода хорд при прочих равных условиях.

Главным достоинством метода касательных является квадратичная скорость сходимости, что во многих случаях может привести к сокращению числа вычислений функции.

Уточнить корень уравнения tg (0,55x+0,1) – x2=0 на отрезке [0.6, 0.8] методом касательных до точности 0,001.

Точность вычислений можно оценить из соотношения

Видео:Метод Хорд - ВизуализацияСкачать

2 Решение систем нелинейных уравнений

Видео:1.1 Решение нелинейных уравнений метод деления отрезка пополам (бисекций) Мathcad15Скачать

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

Систему n нелинейных уравнений с n неизвестными x1, x2, . xn записывают в виде:

где F1, F2,…, Fn – функции независимых переменных, среди которых есть нелинейные.

Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор X*, который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.

Система уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение, конечное или бесконечное количество решений. Вопрос о количестве решений должен решаться для каждой конкретной задачи отдельно.

Численные методы решения системы уравнений носят итерационный характер и требуют задания начального приближения X0.

Рассмотрим две группы таких методов: метод Ньютона с различными его модификациями и методы итераций (простых итераций и Зейделя).

Видео:14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Будем рассматривать этот метод на примере системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

Начальные значения x0 и y0 определяются графически. Для нахождения каждого последующего приближения (xi+1, yi+1) используют вектор значений функций и матрицу значений их первых производных, рассчитанные в предыдущей точке (xi, yi).

,

Для расчета новых приближений на шаге i+1 используется матричная формула

.

Следует обратить внимание, что в последней формуле используется вычисление матрицы, обратной к матрице первых производных.

Расчет останавливают при выполнении одного (а иногда и обоих) из двух условий. Первое из них заключается в том, что на очередном шаге максимальное по модулю из изменений аргументов x и y становится меньше заданная погрешность по аргументам. В соответствии со вторым из условий, на очередном шаге максимальное по модулю значение левых частей уравнений должно отличаться от нуля меньше, чем заданная погрешность по функциям.

В упрощенном методе Ньютона матрица производных и матрица, обратная к ней вычисляются только один раз (в начальной точке) и для расчетов используется матричная формула

.

Приведенные формулы особенно легко записать в Mathcad, где имеются операторы для вычисления производных и действий с матрицами. Однако при правильном использовании матричных операций эти формулы достаточно просто записываются и в Excel. Правда, здесь придется заранее получить формулы для вычисления производных. Для аналитического вычисления производных также может быть использован Mathcad.

Видео:15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

Для реализации этих методов исходную систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований явно выразить каждую переменную через остальные. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными новая система будет иметь вид

.

Для решения такой системы задаются начальным приближением x0, y0. Уточненные решения получают по шагам, подставляя в правые части уравнений значения, найденные на предыдущем шаге. В методе простых итераций для уточнения решения используют формулы:

.

Если одно из решений системы и начальные значения x0 и y0 лежат в области D, задаваемой неравенствами: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, то расчет по методу простых итераций сходится при выполнении в области D соотношений:

Видео:Численные методы решения нелинейного уравнени Теория Шаговый Метод половинного деления Метод НьютонаСкачать

Метод хорд в маткаде

БлогNot. Методы решения нелинейных уравнений в MathCAD

Методы решения нелинейных уравнений в MathCAD

Реализуем для некоторого уравнения 4 наиболее популярных численных метода для решения нелинейных уравнений. При этом мы стремимся именно запрограммировать методы, а не воспользоваться встроенным инструментом Given. Find или функциями root , polyroot . Об этих способах решения почитайте, например, здесь.

Определим функцию уравнения f(x)=0 как функцию пользователя, интервал поиска решения зададим переменными a и b . Найти этот интервал можно, например, табличным или графическим методом:

Начальный интервал [a,b] должен быть таким, чтобы значения f(a) и f(b) имели противоположные знаки. Если искомый корень уравнения окажется единственным на интервале, то совсем хорошо 🙂

Логика метода дихотомии (возможно, более правильные названия – метод бисекции, метод половинного деления) довольно проста: если на концах выбранного интервала [a,b] знаки функции совпадают (произведение f(a)*f(b)>0 ), то вернуть результат «недопустимый интервал» (вернём в этом случае ответ «бесконечность»), в противном случае до тех пор, пока длина интервала не станет меньше заданной погрешности ε , будем находить середину текущего интервала c=(a+b)/2 , считать в ней значение функции и проверять, какую из половин отрезка [a,c] или [c,b] нужно отбросить для выполнения следующего шага – а именно, ту, в которой знак f(c) совпадает со знаком функции на левой или правой границе интервала (в листинге – проверка f(a)*f(c)>0 ). Для большей точности вернём середину «последнего» интервала [a,b] , меньшего ε :

В методе простой итерации исходное уравнение f(x)=0 представляется в эквивалентном виде φ(x)=x (что, вообще говоря, можно сделать бесконечным числом способов), а затем шаг метода выполняется по формуле x_k+1 = φ(x_k) , пока не будет достигнута заданная точность |x_k+1-x_k| . Если выбрать φ(x)=x-c*f(x) , то константу c целесообразнее всего искать методом релаксации, для которого c=2/(M+m) , где M – максимальное из значений первой производной на концах отрезка или в находящихся на нём точках перегиба функции (точках, где f”(x)=0 ), а m – минимальное из таких значений. Вот соответствующий расчёт в MathCAD:

Если заданной сходимости нет в течение 10000 шагов, в подпрограмме предусмотрен аварийный выход.

Численный метод Ньютона решения нелинейного уравнения основан на формуле вида x_k+1 = x_k-f(x_k)/f'(x_k) , обеспечивающей наилучшую сходимость, но требующей дополнительного вычисления производной на каждом шаге. Так как производные для MathCAD – не проблема, можно всё сделать «в лоб»:

Видно, что сходимость метода – на 2 порядка выше (погрешность найденного решения

Наконец, существует метод хорд, в котором кривая f(x) заменяется прямой линией (хордой), стягивающей точки (a, f(a)) и (b, f(b)) . Формула этого метода зависит от знака выражения f(a)*f”(a) , то есть, имеет два варианта:
Если f(a)*f”(a)>0 , то x =b , x_k+1=a-(f(a)(x_k-a))/(f(x_k)-f(a))
Если f(a)*f”(a) , то x =a , x_k+1=x_k-(f(x_k)*(b-x_k))/(f(b)-f(x_k))

Вот примерная реализация на MathCAD, как и в предыдущих двух случаях, контролируется максимальное число итераций, равное 10000:

Видно, что сходимость метода оказалась в нашем случае не столь высока.

Подсчитать, сколько шагов какому методу потребовалось, можете сами, немного поменяв выдачу подпрограмм.

Скачать этот пример в формате .xmcd (107 Кб)

05.09.2013, 15:07; рейтинг: 72153

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном промежутке

[a,b] заменяется хордой, проходящей через точки (a,f(a))и (b,f(b))

Рис.2.4. Метод хорд. Неподвижен правый конец промежутка b

Уравнение хорды: . Найдем точку пересечения хорды с горизонтальной осью. Полагая и , получим

.

Точку x₁ принимаем за новую границу отрезка, где содержится корень. Через эту точку с координатами (x₁,f(x₁)) и соответствующую границу предыдущего интервала (b,f(b)) опять проводим хорду, находим и т.д., получая последовательность x₁,x₂,x₃,…x_n,…, сходящуюся к корню уравнения.

Вторая производная сохраняет постоянный знак на . Следовательно, возможны два случая. Если f(b)·f «(b)>0, то хорда имеет правый фиксированный конец, причем последовательность x ,x₁,…x_n приближается к корню слева. За начальное приближение x , естественно, берут a

; ; ;

.

Рис.2.5. Метод хорд. Неподвижен левый конец промежутка a

Если f(a)·f «(a)>0, то хорда имеет левый фиксированный конец, причем последовательность x ,x₁,…x_n … приближается к корню справа. За начальное приближение x , берут b

; ; ;

.

Для оценки точности можно воспользоваться формулой

,

где -точный корень, – приближенный корень, , на промежутке [a,b]. Считаем до тех пор пока, не выполнится условие . Если имеет место неравенство , то счет можно прекратить, когда.

Пример 2.4. Найти методом хорд корень уравнения x 4 -x-1=0

Решение находим, используя пакет Mathcad.

Функция монотонна на промежутках (-∞, 0.63), (0.63, ∞) и меняет на концах промежутков знак. Уравнение имеет два корня. Сузим промежутки отделения корней методом проб, т.е. подстановкой.

Первый корень принадлежит промежутку (-1,-0.5)

Второй корень принадлежит промежутку (1,1.5)

Будем находить корень на промежутке (-1,-0.5)

Вторая производная всюду положительна, функция положительна в точке a = -1, значит, этот конец неподвижен.

-максимальное, a -минимальное значение модуля производной на промежутке

так как , множитель

нужно учитывать при оценке точности решения,

Нашли корень исходного уравнения с точностью .

Рис. 2.6. Вычисления в Mathcad, реализующие метод хорд для примера 2.4

2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных

Пусть – корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом же отрезке . Найдя какое-нибудь n-е значение корня ( ), уточним его по методу Ньютона. Для этого положим , где – считаем малой величиной. Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x _n по степеням h _n . Тогда можно записать:

Ограничимся двумя членами ряда и так как , то:

.

Учитывая найденную поправку h_n:,получим (n=0,1,2,…).

Рис.2.7 Метод касательных. Начальное приближение x =b

По-другому этот метод называется методом касательных. Если в точке провести касательную к функции f(x) , то ее пересечение с осью ОХ и будет новым приближением x₁ корня уравнения

Хорошим начальным приближением является то значение, для которого выполнено неравенство . Погрешность вычислений Счет можно прекратить, когда

Теорема 2.2: Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения , удовлетворяющего условию , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой степенью точности.

Пример 2.5. Найти методом Ньютона корень уравнения x 4 -x-1=0,

Нашли корень исходного уравнения -0.7245 с точность 0.00007.

Рис. 2.8. Вычисления в Mathcad, реализующие метод касательных для примера 2.5

Видео:Метод половинного деления - ВизуализацияСкачать

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Метод хорд ( метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось – Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ) .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

– если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить , ;

– если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

– если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

– если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения ( False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1: 0,

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2: 0″ w />

Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b .

В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: 0″ w /> , где или .

Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции

Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:

– если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

– если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

Случай сводится к рассматриваемому , если уравнение записать в форме: .

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

📽️ Видео

6 Метод половинного деления C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

12й класс; Информатика; "Численные методы. Метод половинного деления"Скачать

Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

Метод дихотомииСкачать

Метод дихотомии c++Скачать

8 Метод половинного деления Calc Excel Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать