Уравнения максвелла и скорость света

Скорость света

У нас есть волна, которая уходит от материального источника и движется со скоростью с (это скорость света). Вернемся немного назад. Исторически не было известно, что коэффициент с в уравнениях Максвелла тот же, что и скорость распространения света. Это была просто константа в уравнениях. Мы назвали ее с с самого начала, так как знали, что в конце концов должно получиться. Мы не думаем, что было бы разумнее сначала заставить вас выучить формулы с разными константами, а затем вернуться обратно и подставить с повсюду, где оно должно стоять. С точки зрения электричества и магнетизма, однако, мы прямо начинаем с двух констант ε0 и с 2 , которые появляются в уравнениях электростатики и магнитостатики:

Уравнения максвелла и скорость света

Если взять любое произвольное определение единицы заряда, можно экспериментально определить постоянную ε0, входящую в уравнение (18.14), скажем, измеряя силу между двумя неподвижными единичными зарядами по закону Кулона. Ми должны также определить экспериментально постоянную ε0с 2 , которая появляется в уравнении (18.15), что можно сделать, скажем, измерив силу между двумя единичными токами. (Единичный ток означает единичный заряд в секунду.) Отношение этих двух экспериментальных постоянных есть с 2 — как раз другая «электромагнитная постоянная».

Заметим теперь, что постоянная с 2 получается одна и та же независимо от того, какова выбранная наша единица заряда. Если мы выберем «заряд» в два раза больше (скажем, удвоенный заряд протона), то в нашей «единице» заряда ε0 должна уменьшиться в четыре раза. Когда мы пропускаем два таких «единичных» тока по двум проводам, в каждом проводе будет в два раза больше «зарядов» в секунду, так что силы между двумя проводами будут в четыре раза больше. Постоянная ε0с 2 должна уменьшиться в четыре раза. Но отношение ε0с 2 /ε0 не меняется.

Следовательно, непосредственно из экспериментов с зарядами и токами мы находим число с 2 , которое оказывается равным квадрату скорости распространения электромагнитных возбуждений. Из статических измерений (измеряя силы между двумя единичными зарядами и между двумя единичными токами) мы находим, что с=3,00 ·10 8 м/сек. Когда Максвелл впервые проделал это вычисление со своими уравнениями, он сказал, что совокупность электрического и магнитного полей будет распространяться с этой скоростью. Он отметил также таинственное совпадение — эта скорость была равна скорости света. «Мы едва ли можем избежать заключения,— сказал Максвелл,— что свет — это поперечное волнообразное движение той же самой среды, которая вызывает электрические и магнитные явления».

Так Максвелл совершил одно из великих обобщений физики! До него был свет, было электричество и был магнетизм. Причем два последних явления были объединены экспериментальными работами Фарадея, Эрстеда и Ампера. Потом внезапно свет не стал уже больше «чем-то еще», а был электричеством и магнетизмом в новой форме, небольшими кусками электрического и магнитного полей, которые распространяются в пространстве самостоятельно.

Мы обращали ваше внимание на некоторые черты этого особого решения, которые, однако, справедливы для любой электромагнитной волны: магнитное поле перпендикулярно направлению движения фронта волны; электрическое поле также перпендикулярно направлению движения фронта волны; и два вектора Е и В перпендикулярны друг другу. Далее, величина электрического поля Е равна произведению с на величину магнитного поля В. Эти три факта — что оба поля поперечны направлению распространения, что В перпендикулярно Е и что Е=сВ — верны вообще для любой электромагнитной волны. Наш частный случай — хороший пример, он показывает все основные свойства электромагнитных волн.

Видео:Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"

Спросите Итана: почему скорость света такая, какая есть?

Уравнения максвелла и скорость света
Вне зависимости от цвета, длины волны или энергии, скорость, с которой свет перемещается в вакууме, остаётся постоянной. Она не зависит от местоположения или направлений в пространстве и времени

Ничто во Вселенной не способно двигаться быстрее света в вакууме. 299 792 458 метров в секунду. Если это массивная частица, она может лишь приблизиться к этой скорости, но не достичь её; если это безмассовая частица, она всегда должна двигаться именно с этой скоростью, если дело происходит в пустом пространстве. Но откуда нам это известно и что тому причиной? На этой неделе наш читатель задаёт нам три связанных со скоростью света вопроса:

Почему скорость света конечна? Почему она именно такая, какая есть? Почему не быстрее и не медленнее?

Вплоть до XIX века у нас даже не было подтверждений этим данным.

Уравнения максвелла и скорость света
Иллюстрация света, проходящего через призму и разделяющегося на чёткие цвета.

Если свет проходит через воду, призму или любую другую среду, он разделяется на разные цвета. Красный цвет преломляется не под тем углом, под которым это делает синий, из-за чего и возникает что-то типа радуги. Это можно наблюдать и вне видимого спектра; инфракрасный и ультрафиолетовый свет ведут себя так же. Это было бы возможно, только если скорость света в среде отличается для света разных длин волн/энергий. Но в вакууме, вне всякой среды, всякий свет перемещается с одной и той же конечной скоростью.

Уравнения максвелла и скорость света
Разделение света на цвета происходит из-за разных скоростей движения света, зависящих от длины волны, через среду

До этого додумались только в середине XIX века, когда физик Джеймс Клерк Максвелл показал, что на самом деле представляет собой свет: электромагнитную волну. Максвелл впервые поставил независимые явления электростатики (статичные заряды), электродинамики (движущиеся заряды и токи), магнитостатики (постоянные магнитные поля) и магнитодинамики (наведённые токи и переменные магнитные поля) на единую, объединённую платформу. Управляющие ею уравнения – уравнения Максвелла – позволяют вычислять ответ на простой вроде бы вопрос: какие типы электрических и магнитных полей могут существовать в пустом пространстве вне электрических или магнитных источников? Без зарядов и без токов можно было бы решить, что никакие – но уравнения Максвелла удивительным образом доказывают обратное.

Уравнения максвелла и скорость света
Табличка с уравнениями Максвелла с обратной стороны его памятника

Ничто – одно из возможных решений; но возможно и другое – колеблющиеся в одной фазе взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. У них есть определённые амплитуды. Их энергия определяется частотой колебаний полей. Они передвигаются с определённой скоростью, определяемой двумя константами: ε0 и µ0. Эти константы определяют величину электрического и магнитного взаимодействий в нашей Вселенной. Получаемое уравнение описывает волну. И, как у всякой волны, у неё есть скорость, 1/√ε0 µ0, которая оказывается равной c, скорости света в вакууме.

Уравнения максвелла и скорость света
Колеблющиеся в одной фазе взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля, распространяющиеся со скоростью света, определяют электромагнитное излучение

С теоретической точки зрения, свет – безмассовое электромагнитное излучение. По законам электромагнетизма он обязан двигаться со скоростью 1/√ε0 µ0, равной c – вне зависимости от остальных его свойств (энергии, импульса, длины волны). ε0 можно измерить, сделав и измерив конденсатор; µ0 точно определяется из ампера, единицы электрического тока, что и даёт нам c. Та же фундаментальная константа, впервые выведенная Максвеллом в 1865 году, с тех пор появлялась во многих других местах:

• Это скорость любой безмассовой частицы или волны, включая гравитационные.
• Это фундаментальная константа, соотносящая ваше движение в пространстве с вашим движением во времени в теории относительности.
• И это фундаментальная константа, связывающая энергию с массой покоя, E = mc 2

Уравнения максвелла и скорость света
Наблюдения Рёмера снабдили нас первыми измерениями скорости света, полученными при помощи геометрии и измерения времени, необходимого на то, чтобы свет прошёл расстояние, равное диаметру орбиты Земли.

Первые измерения этой величины были сделаны во время астрономических наблюдений. Когда луны Юпитера входят и выходят в положение затмения, они кажутся видимыми или невидимыми с Земли в определённой последовательности, зависящей от скорости света. Это привело к первому количественному измерению с в XVII веке, которое определили в 2,2 × 10 8 м/с. Отклонение звёздного света – из-за движения звезды и Земли, на которой установлен телескоп – тоже можно оценить численно. В 1729 году этот метод измерения с показал значение, отличающееся от современного всего на 1,4%. К 1970-м с определили равным 299 792 458 м/с с погрешностью всего в 0,0000002%, большая часть которой проистекала из невозможности точного определения метра или секунды. К 1983 году секунду и метр переопределили через с и универсальные свойства излучения атома. Теперь скорость света равна точно 299 792 458 м/с.

Уравнения максвелла и скорость света
Атомный переход с орбитали 6S, δf1, определяет метр, секунду и скорость света

Так почему же скорость света не больше и не меньше? Объяснение такое же простое, как указанный на рис. Выше атом. Атомные переходы происходят так, как происходят, из-за фундаментальных квантовых свойств строительных блоков природы. Взаимодействия атомного ядра с электрическим и магнитными полями, создаваемыми электронами и другими частями атома приводят к тому, что разные энергетические уровни оказываются чрезвычайно близко друг к другу, но всё же немного отличаются: это называется сверхтонким расщеплением. В частности, частота перехода сверхтонкой структуры цезия-133 испускает свет совершенно определённой частоты. Время, за которое проходит 9 192 631 770 таких циклов, определяет секунду; расстояние, которое свет проходит за это время, равняется 299 792 458 метрам; скорость, с которой распространяется этот свет, определяет с.

Уравнения максвелла и скорость света
Пурпурный фотон переносит в миллион раз больше энергии, чем жёлтый. Космический гамма-телескоп Ферми не показывает никаких задержек какого-либо из фотонов, пришедших к нам от гамма-всплеска, что подтверждает постоянство скорости света для всяких энергий

Чтобы поменять это определение, нужно, чтобы с этим атомным переходом или с идущим от него светом произошло что-то фундаментально отличное от его текущей природы. Этот пример также даёт нам ценный урок: если бы атомная физика и атомные переходы работали бы в прошлом или на дальних расстояниях по-другому, это было бы свидетельством изменения скорости света со временем. Пока что все проводимые нами измерения лишь накладывают дополнительные ограничения на постоянство скорости света, и эти ограничения весьма строги: изменение не превосходит 7% от текущего значения за последние 13,7 млрд лет. Если бы по какой-то из этих метрик скорость света оказалась не постоянной, или же она отличалась бы у разных типов света, это привело бы к крупнейшей научной революции со времён Эйнштейна. Вместо этого все свидетельства говорят в пользу Вселенной, в которой все законы физики всегда, везде, во всех направлениях, во все времена остаются одинаковыми, включая и физику самого света. В каком-то смысле это тоже достаточно революционные сведения.

Итан Сигель – астрофизик, популяризатор науки, автор блога Starts With A Bang! Написал книги «За пределами галактики» [Beyond The Galaxy], и «Трекнология: наука Звёздного пути» [Treknology].

Видео:Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.

Уравнения максвелла и скорость света

Теория Д.К. Максвелла лежит в основе объяснения существования и свойств любых электромагнитных волн, таких, как световые волны, радиоволны, инфракрасное и ультрафиолетовое излучения. Эта теория является феноменологической, т.е. в ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде под действием электрического и магнитного полей. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются относительной диэлектрической проницаемостью ε, относительной магнитной проницаемостью m и удельной электрической проводимостью σ. Предполагается, что эти параметры среды определяются из эксперимента.

Теория Максвелла — макроскопическая. Это означает, что рассматриваются макроскопические поля зарядов и токов, пространственные размеры которых неизмеримо больше размеров отдельных молекул и атомов.

Математическим выражением теории Максвелла служит система из четырех уравнений, которые записывают в двух формах — дифференциальной и интегральной.

Дифференциальные уравнения Максвелла получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Остроградского-Гаусса и теоремы Стокса.

Рассмотрим теорему Остроградского-Гаусса .

Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, мысленно проведенную в этом поле, равен интегралу от дивергенции вектора , взятому по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S:

(4.1.1)

Операция дивергенции над произвольным вектором сводится к пространственной производной вида:

(4.1.2)

где ax, ay, az — проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат.

Рассмотрим теорему Стокса .

Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда циркуляция вектора вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно проведенного в этом поле, равна потоку вектора rot через поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L:

(4.1.3)

Векторная операция rot в декартовых координатах выражается так:

(4.1.4)

Первое уравнение Максвелла

Это уравнение представляет собой обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея:

(4.1.5)

Однако для произвольного контура выполняется взаимосвязь:

(4.1.6)

Поскольку в общем случае , то для не изменяющегося во времени контура имеет место соотношение:

(4.1.7)

Сравнивая (4.1.5) и (4.1.7) с учетом (4.1.6), для произвольного контура L, мысленно проведенного в переменном магнитном поле, можно записать:

(4.1.8)

Используя теорему Стокса, преобразуем (4.1.5):

(4.1.9)

Сравнивая подинтегральные выражения в (4.1.7) и в правой части (4.1.9), получим окончательно первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

(4.1.10)

Физический смысл этого уравнения: переменное магнитное поле индуцирует вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла

Используем теорему Гаусса для диэлектриков:

(4.1.11)

где — вектор электрической индукции, — вектор поляризации диэлектрика.

Продифференцируем (4.1.11) по времени:

(4.1.12)

Если поверхность S — неподвижна и не деформируется, то изменение во времени потока вектора электрической индукции может быть связано только с изменением по времени самого вектора электрической индукции:

(4.1.13)

Правая часть этой формулы имеет размерность тока, следовательно, величина имеет размерность плотности тока. Максвелл предложил назвать эту величину плотностью тока смещения :

(4.1.14)

Введя представление о токе смещения, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению условия замкнутости цепей электрического тока. Как известно, цепи постоянного тока должны быть замкнутыми. Однако для цепей переменного тока это условие уже не является обязательным. Например, при зарядке и разрядке конденсатора постоянный электрический ток протекает по проводнику, соединяющему обкладки, но не проходит через диэлектрик, находящийся между обкладками. Следовательно, цепь не замкнута. Однако, с точки зрения Максвелла, для переменного тока такая цепь замыкается благодаря току смещения, который протекает через такой участок, где нет проводника, т.е. через диэлектрик. На таком участке благодаря наличию переменного тока смещения обязательно возникает переменное магнитное поле. Однако действие тока смещения, приводящее к возникновению магнитного поля, нельзя отделить от действия обычного тока проводимости. Например, для прямолинейного тока проводимости можно записать:

(4.1.15)

Линии магнитного поля направлены по касательным к концентрическим окружностям, окружающим проводник с током. Найдем циркуляцию магнитного поля по замкнутому контуру в виде окружности радиуса r:

(4.1.16)

Следовательно, магнитное поле прямолинейного проводника — вихревое (циркуляция вектора магнитного поля по замкнутому контуру не равна нулю).

Максвелл предположил, что в правой части соотношения (4.1.16) следует добавить ток смещения:

(4.1.17)

где ток смещения легко вычислить, используя (4.1.14):

(4.1.18)

Силу тока проводимости можно также представить в виде:

(4.1.19)

Согласно теореме Стокса для магнитного поля, имеем:

(4.1.20)

Подставляя (4.1.18) и (4.1.19) в (4.1.17) и сравнивая подинтегральные выражения в правой и левой частях, получаем второе уравнение Максвелла:

(4.1.21)

При отсутствии тока проводимости, тем не менее, может существовать переменное магнитное поле, обусловленное только током смещения:

(4.1.22)

Третье уравнение Максвелла

Максвелл обобщил теорему Гаусса для диэлектриков (4.1.11), предположив, что она справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Запишем уравнение (4.1.11) в виде:

(4.1.23)

где ρсвоб — объемная плотность свободных зарядов, расположенных в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S.

Тогда, используя теорему Остроградского-Гаусса для вектора электрической индукции, получим:

(4.1.24)

Сравнивая подинтегральные выражения в (4.1.23) и (4.1.24), получим третье уравнение Максвелла:

(4.1.25)

Четвертое уравнение Максвелла

Поскольку поток вектора магнитной индукции равен нулю:

(4.1.26)

то, используя теорему Остроградского-Гаусса для вектора магнитной индукции, легко получить четвертое уравнение Максвелла:

(4.1.27)

Такое равенство определяется отсутствием магнитных зарядов.

Итак, полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме включает в себя четыре дифференциальных уравнения:

(4.1.28)

Эту систему необходимо дополнить материальными уравнениями , которые характеризуют электрические, и магнитные свойства конкретных сред (веществ).

В случае изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред и макроскопических токов, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения в системе СИ имеют вид:

(4.1.29)

где ε0 и μ0 — электрическая и магнитная постоянные, ε и μ — относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, σ — удельная электропроводность вещества.

4.1.2. Свойства электромагнитных волн

Электромагнитной волной называется распространяющееся в пространстве с определенной скоростью электромагнитное поле. Как следует из уравнений Максвелла, переменное электрическое поле непременно порождает переменное магнитное поле, которое затем индуктирует переменное электрическое поле. Поэтому следует говорить о неразрывной связи переменных электрического и магнитного полей, называя это явление электромагнитным полем . Очевидно, что такой процесс должен происходить, циклически повторяясь, в течение неограниченного времени, если нет поглощения.

Существование электромагнитных волн непосредственно следует их уравнений Максвелла. Для области пространства, не содержащей свободных электрических зарядов и макроскопических токов, эти уравнения приобретают вид:

(4.1.30)

Используя материальные уравнения (4.1.29), эти уравнения можно представить в виде:

(4.1.31)

Если записать эти уравнения в проекциях на оси декартовой системы координат, то получим:

(4.1.33)
(4.1.34)

Используя первое из уравнений (4.1.33), можно получить:

(4.1.35)

Следовательно, компонента Ех удовлетворяет волновому уравнению:

(4.1.36)

Если ввести обозначение для дифференциальной операции:

(4.1.37)

то волновое уравнение (4.1.37) можно представить в компактном виде:

(4.1.38)

Аналогичные уравнения могут быть получены и для всех других компонент электрического и магнитного полей. Суммируя результаты, окончательно можно представить волновые уравнения для электрического и магнитного полей в векторном виде:

(4.1.39)

Таким образом, переменное электромагнитное поле распространяется в среде в виде волн, фазовая скорость которых равна:

(4.1.40)

где

(4.1.41)

есть скорость электромагнитной волны в вакууме.

Оказалось, что с = 3·10 8 м/с, что совпадает со скоростью света в вакууме. Поэтому Максвелл задолго до экспериментального обнаружения электромагнитных волн (Г. Герц, 1888 г.) высказал гипотезу о том, что свет — это тоже электромагнитная волна.

Прямой проверкой можно показать, что решениями уравнений (4.1.39) служат плоские синусоидальные волны, которые удобно представить в форме Эйлера:

(4.1.42)

где ω — циклическая частота; — волновой вектор, перпендикулярный фронту плоской волны и задающий направление распространения волны; — радиус-вектор, задающий точки пространства.

Операция ротора может быть сведена к векторному произведению, например:

(4.1.43)

Тогда, используя решения (4.1.42), с помощью (4.1.43) имеем:

(4.1.44)

следовательно, применение этой операции сводится к векторному произведению.

Рассмотрим сейчас операцию:

(4.1.45)

Наконец, операцию дивергенции можно представить так:

(4.1.46)

Применяя результаты (4.1.44), (4.1.45) и (4.1.46) к уравнениям Максвелла (4.1.31), имеем:

или, окончательно:

(4.1.47)

Из двух последних уравнений (4.1.47) следует, что , что указывает на поперечность электромагнитной волны. Из первого уравнения (4.1.47) ясно, что вектор Н как результат векторного произведения, должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Аналогично, из второго уравнения (4.1.47) следует, что вектор электрического поля должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Окончательно получается, что для любой электромагнитной волны вектора , и составляют тройку ортогональных векторов (Рис. 4.1.1).

4.1.3. Шкала электромагнитных волн

В зависимости от частоты ν = ω/2π или длины волны в вакууме λ0 = с/ν, а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн:

  • радиоволны;
  • оптическое излучение;
  • рентгеновское излучение;
  • гамма-излучение.

Радиволнами называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме λ0 > 5·10 -5 м (ν 12 Гц). Весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (Табл. 4.1.1).

Типы радиоволн

Название диапазона радиоволнДлина волны, мЧастота, Гц
СверхдлинныеБолее 10 4Менее 3·10 4
Длинные10 4 ÷ 10 33·10 4 ÷ 3·10 5
Средние10 3 ÷ 10 23·10 5 ÷ 3·10 6
Короткие10 2 ÷ 103·10 6 ÷ 3·10 7
Метровые10 ÷ 13·10 7 ÷ 3·10 8
Дециметровые1 ÷ 0,13·10 8 ÷ 3·10 9
Сантиметровые0,1 ÷ 0,013·10 9 ÷ 3·10 10
Миллиметровые10 -2 ÷ 10 -33·10 10 ÷ 3·10 11
Субмиллиметровые10 -3 ÷ 5·10 -53·10 11 ÷ 6·10 12

Оптическим излучением или светом называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 10 нм >λ0 > 1 мм (границы условны). К оптическому излучению относят инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучения.

Инфракрасным (ИК) называются электромагнитные волны, испускаемые нагретыми телами, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 1 мм > λ0 > 770 нм.

Видимым излучением (светом) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 770 нм > λ0 > 380 нм. Свет способен вызывать зрительные ощущения в человеческом глазе.

Ультрафиолетовым излучением (УФ) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 380 нм > λ0 > 10 нм.

Рентгеновским излучением (рентгеновскими лучами) называются электромагнитные волны, которые возникают при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества. Оно характеризуется длинами волны в вакууме в диапазоне с условными границами (10-100 нм) > λ0 > (0,01-1 пм).

Гамма-излучением (γ-лучами) называются электромагнитные волны с длинами волны в вакууме 0,1 нм > λ0. Это излучение испускается возбужденными атомными ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных реакциях, а также возникает при распаде частиц, аннигиляции пар «частица-античастица» и других процессах.

4.1.4. Световая волна

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других — как поток особых частиц (фотонов).

В электромагнитной волне колеблются векторы электрического и магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются наличием колебаний электрического вектора, который называют в этом случае световым вектором . Его изменения в пространстве и времени задаются уравнением плоской волны:

(4.1.48)

Здесь r — расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения волны.

Отношение скорости световой волны в вакууме с к ее фазовой скорости v в некоторой прозрачной среде называется абсолютным показателем преломления этой среды:

(4.1.49)

Показатель преломления связан с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями соотношением:

(4.1.50)

Для подавляющего большинства прозрачных веществ величина μ &#8776 1. Поэтому можно считать, что выполняется:

(4.1.51)

Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим n будет более оптически плотной.

Длины волн видимого света в вакууме заключены в пределах:

(4.1.52)

В веществе длины волн будут другими. В случае колебаний с частотой ν длина волны света в вакууме равна:

(4.1.53)

Используя соотношение (4.1.49), имеем для длины света в веществе формулу:

(4.1.54)

Частоты видимого света лежат в пределах:

(4.1.55)

Модуль среднего по времени потока энергии, переносимого волной, называется интенсивностью света I в данной точке пространства. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны:

I ∼ A 2(4.1.56)

Световая волна, как и другие электромагнитные волны, является поперечной, т.е. направления колебаний электрического и магнитного векторов перпендикулярны к направлению ее распространения. В естественном свете присутствуют все направления колебаний электрического и магнитного векторов. Если в волне присутствуют колебания электрического вектора только в одной плоскости (а магнитного вектора в перпендикулярной плоскости), такую волну называют плоскополяризованной (линейно поляризованной) . Есть и более сложные случаи поляризации волн — круговая и эллиптическая. В случае круговой поляризации электрический и магнитный векторы вращаются по кругу с частотой изменения волны.

4.1.5. Геометрическая оптика

Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (∼10 -7 м), поэтому распространение видимого света в первом приближении можно рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых прямых линий, называемых лучами. В предельном случае, когда длина волны света λ→0, законы оптики можно сформулировать на языке геометрии.

Основу геометрической оптики составляют 4 закона:

  1. закон прямолинейного распространения света;
  2. закон независимости световых лучей;
  3. закон отражения света;
  4. закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно . Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия, размеры которых сравнимы с диной волны света, наблюдается отклонение от прямолинейности, тем большее, чем меньше отверстие.

Закон независимости световых лучей утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга . Это означает, что пересечение лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив при не слишком больших интенсивностях световых волн.

В основу геометрической оптики был положен принцип Ферма : свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время .

Пусть для прохождения участка ds свету требуется время dt = ds/v, где v — скорость света в данной точке среды. Поскольку v = c/n, то получим:

(4.1.57)

Следовательно, время τ, необходимое для прохождения пути от точки 1 до точки 2 (Рис. 4.1.2), равно:

(4.1.58)

Рис. 4.1.2. К принципу Ферма

Имеющая размерность длины величина

(4.1.59)

называется оптической длиной пути . В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути на показатель преломления:

(4.1.60)

Следовательно,

(4.1.61)

Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути дает возможность сформулировать принцип Ферма так: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален при движении света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В, отразившись от поверхности MN (Рис. 4.1.3).

Рис. 4.1.3. Закон отражения света как следствие принципа Ферма

Прямой путь из А в В прегражден экраном Э. Среда, в которой распространяется луч, однородна, поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности геометрической длины пути. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна АО’B = A’O’B, поскольку вспомогательная точка A’ является зеркальным отражением точки А, и АО’ = A’O’. Из Рис. 4.1.3 видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен углу падения. При удалении точки O’ от точки О геометрическая длина пути неограниченно возрастает, что противоречит принципу Ферма. Этот результат можно записать так:

(4.1.62)

Соотношение (4.1.62) выражает закон отражения света : отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была минимальной (Рис. 4.1.4).

Рис. 4.1.4. К расчету закона преломления света из принципа Ферма

Для произвольного луча оптическая длина пути равна:

(4.1.63)

Чтобы найти минимальное значение оптической длины пути, продифференцируем L по х и приравняем производную к нулю:

(4.1.64)

Множители при n1 и n2 равны, соответственно, sinθ и sinθ». Поэтому получаем соотношение:

(4.1.65)

которое выражает закон преломления света. Используя взаимосвязь показателей преломления с фазовыми скоростями распространения света в средах, можно записать соотношение (4.1.65) в виде:

(4.1.66)

Следовательно, закон преломления света гласит: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

В (4.1.66) n12 — относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому. Из (4.1.65) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления, и при достижении некоторого предельного угла падения угол преломления будет равным 90°:

(4.1.67)

Отсюда:

(4.1.68)

При углах падения, лежащих в пределах от θпред пред до 90°, преломленной волны не существует, вся энергия падающей волны переходит в энергию отраженной волны. Это явление называется полным внутренним отражением.

Показатели преломления некоторых веществ при λ=0,589 мкм

ВеществоПоказатель
преломления
ВеществоПоказатель
преломления
Воздух1,0003Стекло (крон)1,515
Вода1,333Стекло (флинт)1,752
Спирт (этиловый)1,362Алмаз2,420

Во многих оптических приборах для преломления света используются стеклянные призмы. На Рис. 4.1.5 показан ход луча монохроматического света в призме.

Рис. 4.1.5. Ход лучей в призме

После двукратного преломления луч оказывается отклоненным от первоначального положения на угол δ ( угол отклонения ). Угол θ, заключенный между преломляющими гранями, называется преломляющим углом . Угол δ зависит от преломляющего угла θ и показателя преломления призмы. Эта зависимость может быть легко показана для призмы с малым преломляющим углом θ (тонкой призмы) в случае малого угла падения α. Исходя из закона преломления и принимая значение показателя преломления воздуха равным единице, можно записать:

(4.1.69)

При малых углах α и θ углы α1, γ и γ1 также малы. Поэтому вместо (4.1.69) можно приближенно записать:

(4.1.70)

Из четырехугольника BQDE, в котором углы при В и D — прямые, найдем, что угол BED равен 180° — θ. Тогда из четырехугольника BСDE находим:

(4.1.71)

Отсюда

(4.1.72)

Угол δ из треугольника BED равен:

(4.1.73)

Подставляя в (4.1.72) результаты (4.1.73) и (4.1.70), получим окончательно:

(4.1.74)

4.1.6. Преломление в линзе

В практических применениях большое значение имеет преломление света на сферической границе раздела двух сред. Основная деталь оптических приборов — линза — обычно представляет собой стеклянное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями. В частном случае одна из поверхностей линзы может быть плоской. Такую поверхность можно рассматривать как сферическую с бесконечно большим радиусом кривизны.

Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, а из любого прозрачного вещества с показателем преломления, превышающим единицу, например, из кварца, каменной соли, пластмасс и других материалов. Поверхности линз могут быть и более сложной формы — цилиндрические, параболические и т.д.

Рассмотрим линзу, ограниченную двумя сферическими преломляющими поверхностями PO1Q и PO2Q (Рис. 4.1.6).

Рис. 4.1.6. Тонкая линза

Центр первой преломляющей поверхности PO1Q лежит в точке С1, центр второй поверхности PO2Q — в точке С2. Будем считать, что расстояние O1O2 мало по сравнению с O1С1 или O2С2. В таком случае точки O1 и O2 можно считать практически совпадающими с точкой О — оптического центра линзы. Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей, называется главной оптической осью , остальные — побочными осями .

Луч, идущий по какой-либо оптической оси, проходя через тонкую линзу, не меняет своего направления. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в одной точке F, расположенной на главной оптической оси и называемой главным фокусом .

Покажем, что лучи, исходящие под небольшими углами α из некоторой точки А, лежащей на главной оптической оси, собираются линзой в одну точку А1, расположенную также на этой оптической оси и называемую изображением точки А (Рис. 4.1.7).

Рис. 4.1.7. Преломление в тонкой линзе

Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках М и N (в местах падения луча на линзу и его выхода из линзы), и проведем в эти точки радиусы R1 и R2 кривизны поверхностей линзы. Тогда луч AMNA1 можно рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом θ. Учитывая малость углов α, β, α1, β1 и толщины линзы, можно записать:


(4.1.75)

где а и b — расстояния от источника света А и от его изображения А1 до оптического центра линзы.

Из треугольников АНА1 и ВЕВ1 следует, что:

(4.1.76)

Принимая во внимание формулы (4.1.75), получим:

(4.1.77)

Учтено, что для тонкой линзы h1 ≈ h2 ≈ h. Поскольку, согласно формуле (4.1.74) для тонкой призмы выполняется: θ = (n-1)δ, то, с помощью (4.1.77) имеем формулу линзы :

(4.1.78)

В эту формулу не входит величина h, что означает, что расстояние b не зависит от от положения точки М. Следовательно, все лучи, исходящие из точки А, соберутся после преломления разными частями линзы в одной точке А1 .

Если точка А находится бесконечно далеко от линзы (а = ∞), т.е. если лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси, то, согласно формуле (4.1.78), имеем:

(4.1.79)

Величина b = f называется фокусным расстоянием линзы :

(4.1.80)

Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Принимая во внимание (4.1.80), формулу линзы (4.1.78) можно сейчас переписать так:

(4.1.81)

Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы :

(4.1.82)

Оптическая сила выражается в диоптриях (дп). 1 дп — оптическая сила линзы с фокусным расстоянием в 1 м.

4.1.7. Принцип Гюйгенса

В приближении геометрической оптики свет за преградой не должен проникать в область геометрической тени. В действительности световая волна распространяется во всем пространстве за преградой, проникая проникать в область геометрической тени, причем это проникновение будет тем более существенным, чем меньше размеры отверстия. При диаметре отверстия или ширине щели, сравнимых с длиной волны, приближение геометрической оптики становится совершенно неприменимым.

Качественно поведение света за преградой с отверстием может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса . Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (Рис. 4.1.8).

Рис. 4.1.8. К принципу Гюйгенса

Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.

4.1.8. Интерференция световых волн

Если в среде распространяются одновременно несколько электромагнитных волн, то волны просто накладываются друг на друга, не возмущая одна другую. Это утверждение, подкрепленное опытом, называется принципом суперпозиции.

В случае, когда колебания электрического и магнитного векторов в каждой из волн происходят так, что между соответственными векторами в разных волнах имеется постоянный во времени и в пространстве фазовый сдвиг, такие волны называются когерентными . Очевидно, что условие когерентности может существовать лишь для волн, которые имеют одинаковые частоты и, соответственно, длины волны.

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что электромагнитные волны в одних точках пространства усиливают, а в других ослабляют друг друга.

Пусть две волны одинаковой частоты, распространяющиеся в одном направлении, возбуждают в некоторой точке пространства колебания:

(4.1.83)

Эти векторы можно представить как вращающиеся с частотой ω вокруг общего начала коор-динат. Поскольку сдвиг фаз различен, в какой-либо момент времени эти вектора займут различные положения (Рис. 4.1.9).

Рис. 4.1.9. К расчету интерференции волн

Используя теорему косинусов, получим амплитуду результирующего колебания:

(4.1.84)

Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен нулю (волны — в фазе), то амплитуда результирующей волны максимальна и равна A = A1 + A2. Пусть амплитуды этих волн равны. В этом случае имеем амплитуду результирующей волны:

(4.1.85)

Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен ±π (волны — в противофазе), то амплитуда результирующей волны минимальна и равна A = A1 — A2. Если амплитуды этих волн равны, то в этом случае они гасят друг друга:

(4.1.86)

Когерентные световые волны можно получить, разделив, например, с помощью зеркал волну, излучаемую одним источником, на две. Если заставить эти волны пройти разные пути, а затем наложить их друг на друга, будет наблюдаться интерференция. Пусть такое разделение происходит в точке О (Рис. 4.1.10).

Рис. 4.1.10. Образование когерентных волн

До точки Р первая волна пройдет в среде с показателем преломления n1 путь S1, вторая волна пройдет в среде с показателем преломления n2 путь S2. Если в точке О фаза колебания была равна ωt, то первая волна возбудит в точке Р колебание

(4.1.87)

а вторая волна — колебание

(4.1.88)

поскольку фазовые скорости волн в средах равны, соответственно: . Следовательно, разность фаз волн в точке Р будет равна:

(4.1.89)

Поскольку выполняется:

(4.1.90)

то, подставляя (4.1.90) в (4.1.8), для сдвига фаз имеем выражение:

(4.1.91)

где

(4.1.92)

есть величина, называемая оптической разностью хода и равная разности оптических длин проходимых волнами путей в средах с различными показателями преломления.

Из (4.1.91) следует, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:

(4.1.93)

то разность фаз оказывается кратной 2π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в фазе. Следовательно, (4.1.93) является условием интерференционного максимума.

Если Δ равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

(4.1.94)

то разность фаз оказывается равной δ = ±(2m + 1)π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (4.1.94) является условием интерференционного минимума.

4.1.9. Дифракция световых волн

Дифракцией называется совокупность явлений, связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. В частности, вследствие дифракции происходит огибание световыми волнами препятствий и проникновение света в область геометрической тени.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия.

Свет, идущий от небольшого яркого источника через круглое отверстие (Рис. 4.1.11) должен по правилам геометрической оптики дать на экране резко ограниченный светлый кружок на темном фоне.

Рис. 4.1.11. Дифракция от круглого отверстия

Такая картина наблюдается при обычных условиях опыта. Но если расстояние от отверстия до экрана в несколько тысяч раз превосходит размеры отверстия, то образуется более сложная картина, которая состоит из совокупности светлых и темных концентрических колец.

Интересный случай дифракции осуществляется с помощью дифракционной решетки, которая представляет собой пластинку, на поверхности которой чередуются узкие параллельные прозрачные и непрозрачные полоски. Сумму ширины прозрачной и непрозрачной полосок называют периодом решетки. Пусть на решетку падает монохроматический свет с длиной волны λ (Рис. 4.1.12). Фронт волны параллелен плоскости решетки.

Рис. 4.1.12. Дифракционная решетка

Разности хода лучей, идущих от соответствующих точек отверстий, например от правых краев (точки А, А1, А2, . ), или от левых краев (точки В, В1, В2, . ) имеют одно и то же значение:

Для того, чтобы все пучки усиливали друг друга, необходимо, чтобы разность хода равнялась целому числу длин волн:

(4.1.95)

где m — целое число.

Это условие позволяет определить те значения углов φ и соответствующие направления, в которых будут наблюдаться максимумы света длины волны λ.

Для данной длины волны может наблюдаться несколько максимумов. Направление, соответствующее m = 0, есть φ = 0. Это — направление первоначального пучка. Соответствущий максимум носит название максимума нулевого порядка. При m = 1 имеем: sinφ1 = λ/d, при m = –1 имеем: sinφ’1 = –λ/d, т.е. имеется два максимума первого порядка, расположенных симметрично по обеим сторонам от нулевого максимума. Аналогично располагаются максимумы второго, третьего и т.д. порядков.

Отсюда следует, что для волн разной длины λ положения максимумов нулевого порядка совпадают , а положения максимумов первого, второго и т.д. порядков различны: чем больше λ, тем больше соответствующие углы.

Если на решетку падает белый свет, то в плоскости экрана получается ряд цветных изображений щели. На месте нулевого максимума будет изображение щели в белом свете, а по обе стороны от него развернутся цветные полосы от фиолетового к красному концу.

Чем больше общий размер решетки, т.е. чем больше полосок она содержит, тем выше ее качество: увеличение числа полосок увеличивает количество пропускаемого решеткой света (максимумы становятся ярче), и улучшает разрешение близких волн (максимумы становятся резче).

Зная период дифракционной решетки, ее можно использовать для определения длины световой волны, измерив величину угла φ, определяющего положение максимума данного порядка. В этом случае имеем:

(4.1.96)

Измерение длины световой волны с помощью дифракционной решетки принадлежит к числу наиболее точных методов.

4.1.10. Поляризация световых волн

Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний электрического и магнитного векторов упорядочены каким-либо образом. В естественном свете колебания происходят в различных направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга.

Различают свет эллиптически поляризованный, поляризованный по кругу, плоскополяризованный. В случае эллиптической или круговой поляризаций электрический и магнитный векторы вращаются в пространстве с частотой, равной частоте волны, причем концы этих векторов описывают либо эллипс, либо круг. Вращение может происходить как по, так и против часовой стрелки. Если вектор вращается в пространстве как правый винт, то поляризацию называют правой, и левой — если вектор вращается в пространстве как левый винт.

Важный частный случай — плоская поляризация. В этом случае вектор электрического поля колеблется в плоскости, проходящей через направление распространения волны и этот вектор. Такую плоскость называют плоскостью колебаний . Вектор магнитного поля колеблется в плоскости, также проходящей через направление распространения волны и этот вектор, но данная плоскость — плоскость поляризации — составляет с плоскостью колебаний прямой угол (Рис. 4.1.13).

Рис. 4.1.13. Структура плоскополяризованной световой волны

Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью устройств, которые называются поляризаторами . Эти устройства свободно пропускают волны с колебаниями, плоскость которых совпадает с плоскостью пропускания поляризатора, и задерживают все другие волны.

Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет амплитуды А0 и интенсивности I0. Сквозь устройство пройдет составляющая колебания с амплитудой А|| = А0cosφ, где угол φ — угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью пропускания поляризатора (Рис. 4.1.14).

Рис. 4.1.14. Прохождение плоскополяризованного света через поляризатор

Следовательно, интенсивность прошедшего света определяется выражением:

(4.1.97)

Это соотношение носит название закона Малюса.

Пусть на пути естественного луча стоят два поляризатора, плоскости пропускания которых составляют угол φ. Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность которого I0 составит половину интенсивности естественного неполяризованного света Iест. Используя закон Малюса, получаем:

(4.1.98)

Максимальная интенсивность получается при φ = 0 (плоскости пропускания поляризаторов параллельны). При φ = 90° интенсивность равна нулю — скрещенные поляризаторы не пропускают свет.

4.1.11. Вращение плоскости
поляризации световых волн

Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. К числу таких веществ относятся кристаллы кварц, киноварь и др, некоторые жидкости (скипидар, никотин), растворы оптически активных веществ в оптически неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.)

Угол поворота плоскости поляризации в твердых веществах пропорционален пути l, пройденному лучом в кристалле:

(4.1.99)

где α — постоянная оптического вращения, различная для разных веществ.

В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути l, пройденному светом в растворе и концентрации с активного вещества:

(4.1.100)

Здесь [α] — удельная постоянная вращения.

В зависимости от направления вращения вещества подразделяются на право- и левовращающие. Существуют правый и левый кварц, правый и левый сахар и т.д. Молекулы или кристаллы одной модификации являются зеркальным отражением молекул или кристаллов другой модификации.

Если между двумя скрещенными поляризаторами поместить оптически активное вещество, то поле зрения просветляется. Чтобы снова затемнить его, надо повернуть один из поляризаторов на угол, определяемый соотношениями (4.1.99) или (4.11.100). Таким методом можно измерить концентрацию активного вещества в растворе, в частности, концентрацию сахара.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

🔥 Видео

О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2

Раскрытие тайн электромагнитной волныСкачать

Раскрытие тайн электромагнитной волны

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений МаксвеллаСкачать

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений  Максвелла

Пожалуй, главное заблуждение об электричестве [Veritasium]Скачать

Пожалуй, главное заблуждение об электричестве [Veritasium]

3 14 Уравнения МаксвеллаСкачать

3 14  Уравнения Максвелла

Урок 413. Скорость света и ее измерениеСкачать

Урок 413. Скорость света и ее измерение

Митио Каку 🪐 Уравнение Бога В поисках теории всегоСкачать

Митио Каку 🪐 Уравнение Бога   В поисках теории всего

Почему скорость света 299 792 458 метров в секунду?Скачать

Почему скорость света 299 792 458 метров в секунду?

Чирцов А.С. | Свет и уравнения Максвелла. Уравнение Д'Аламбера. Операторы Лапласа и Д'Аламбера.Скачать

Чирцов А.С. | Свет и уравнения Максвелла. Уравнение Д'Аламбера. Операторы Лапласа и Д'Аламбера.

Измерение скорости светаСкачать

Измерение скорости света

Уравнения Максвелла 2021Скачать

Уравнения Максвелла 2021

Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Билет №34 "Электромагнитные волны"

7. Ограниченность уравнений Максвелла. Уточнения уравнений электродинамики. Ацюковский В.А.Скачать

7. Ограниченность уравнений Максвелла. Уточнения уравнений электродинамики. Ацюковский В.А.

Почему нельзя превысить скорость света?Скачать

Почему нельзя превысить скорость света?

Что не так со Скоростью Света? ГЛАВНАЯ ЛОЖЬ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИСкачать

Что не так со Скоростью Света? ГЛАВНАЯ ЛОЖЬ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

ЧК_МИФ_4_2_1_6 _(L2)___СВЕТ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛАСкачать

ЧК_МИФ_4_2_1_6 _(L2)___СВЕТ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Почему скорость света во все стороны одинакова?Скачать

Почему скорость света во все стороны одинакова?

СУРДИН и СЕМИХАТОВ летят в космос со скоростью света. Неземной подкастСкачать

СУРДИН и СЕМИХАТОВ летят в космос со скоростью света. Неземной подкаст
Поделиться или сохранить к себе: