Уравнения максвелла для монохроматического поля (2 видео)

Уравнения Максвелла для монохроматических колебаний. Комплексные амплитуды полей

Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

где ψm- амплитуда; φ — начальная фаза; ω = 2πf = 2π/T; a f и T-частота и период гармонического колебания, вводится в рассмотрение комплексная функция

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по x,y,z,t. Для упрощения исключим одну из переменных, это возможно при монохроматическом процессе, когда изменение полей во времени происходит по гармоническому закону с частотой w.

Ex,Ey,Ez — амплитуды отдельных составляющих поля.
ɸ_x,ɸ_y,ɸ_z — фазовые углы(начальные фазы).
E(t) описывает эллипс и в комплексной форме:

Введем комплексные амплитуды в уравнение Максвелла

Видео:Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Величины и — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Далее, ни у , ни у нет компонент параллельных оси х:

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E₀ вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H₀ и вектора магнитной индукции B₀ в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем :

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время площадка получила от волны энергию . Тогда переданный площадке импульс равен

На площадку действует со стороны волны сила

Давление Р, оказываемое волной, равно

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время попадет энергия из объема и

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

Плоские монохроматические волны

Плоские монохроматические волны

С точки зрения математики уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме представляют собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Плоские монохроматические электромагнитные волны описываются функциями, для которых эта система превращается в алгебраическую и поэтому становится удобной для анализа. Реально существующее электромагнитное излучение может быть представлено как совокупность плоских монохроматических волн.

1.1. Система уравнений Максвелла.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме для электромагнитного поля в веществе.

Оператор пространственного дифференцирования.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Основные операции векторного анализа, записанные при помощи оператора пространственного дифференцирования.

Пример 1.1. Электромагнитное поле линейно поляризованной стоячей волны

Показать, что в вакууме может существовать электромагнитное поле, электрическая составляющая которого имеет вид (1.5). Рассчитать соответствующее ему магнитное поле.

Электрическая составляющая поля линейно поляризованной плоской стоячей волны.

Проверка на соответствие поля (1.5) первому уравнению Максвелла.

Условие соответствия поля (1.5) закону электромагнитной индукции Фарадея.

Магнитная составляющая поля стоячей волны.

1.2. Уравнение Д‘Аламбера для пустого пространства

Уравнения Максвелла для пустого пространства.

Вывод однородного уравнения ‘

Д’Аламбера для электромагнитных волн в пустом пространстве.

Уравнение Д’Аламбера для электрической компоненты электромагнитного поля.

Запись уравнения волны при помощи оператора Д’Аламбера.

Однородное уравнение Д’Аламбера в одномерном случае и его решение.

Одно из возможных решений однородного уравнения Д’Аламбера для пустого пространства — импульс электромагнитного поля, распространяющийся вдоль оси Z со скоростью света.

Пример 1.2. Неоднородное уравнение Д’Аламбера для скалярного и векторного потенциалов

Получить аналогичные (1.12) уравнения для скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля в пустом пространстве, а так же — в случае заданных распределений плотностей зарядов и токов.

Определение векторного потенциала.

Определение скалярного потенциала (использована калибровка Лоренца).

Преобразование уравнения для ротора магнитного поля.

Калибровка Лоренца для векторного потенциала.

Неоднородное уравнение Д’Аламбера для векторного потенциала.

Неоднородное уравнение Д’Аламбера для скалярного потенциала.

Запись уравнений (15.23) и (15.24) в виде одного четырехмерного уравнения.

Система однородных уравнений Д’Аламбера для скалярного и векторного потенциалов в пустом пространстве.

1.3. Плоские монохроматические волны

Определение плоской монохроматической волны (вещественная форма записи).

Определение плоской монохроматической волны (комплексная форма записи).

Обозначения, которые будут часто использоваться.

Еще один вид записи плоской монохроматической волны.

Сокращенные уравнения Максвелла для плоских монохроматических волн

Упрощенная система уравнений Максвелла, справедливая только для плоских монохрматических вол.

Упрощенное уравнение Д’Аламбера для случая плоских монохроматических волн в вакууме.

Дисперсионное соотношение для плоских монохроматических волн в вакууме.

Условие постоянство фазы на волновой поверхности.

Фазовая скорость электромагнитных волн в вакууме

Поверхности постоянной фазы плоской монохроматической волны.

Пример 1.3. Неоднородные плоские монохроматические волны в вакууме

Показать, что уравнения Максвелла допускают существование в вакууме неоднородных волн, описываемых выражением (1.32). Найти фазовую скорость таких волн.

Определение комплексного волнового вектора и запись с его помощью выражения для неоднородной волны.

Условие поперечности для неоднородной волны.

Дисперсионное соотношение для неоднородных волн в вакууме.

Фазовая скорость неоднородной волны.

1.4. Перенос энергии плоской монохроматической волной

Определение вектора Пойтинга в олптике..

Вектор Пойтинга для плоской монохроматической волны.

1.5. Релятивистские свойства плоских монохроматических волн

Векторный и скалярный потенциал плоской монохроматической волны.

Фаза волны как скалярное произведение двух четырехвекторов.

Четырехкомпонентный волновой вектор и его связь с четырехвектором энергии-импульса.

Преобразования Лоренца для четырехкомпонентного волнового вектора

Пример 1.5. Оптический эффект Доплера.

Получить выражение для величины частотного сдвига в продольном и поперечном оптических эффектах доплера в случае движения источника света с заданной скоростью v