Уравнения и неравенства с модулем видеоурок 8 класс (4 видео)

Основные сведения о способах решения неравенств с модулем

Содержание

Определение модуля
Виды неравенств с модулем
Способы решения неравенств с модулем, пояснения на примерах
Примеры решения задач
Урок алгебры в 8-м классе. Тема «Неравенства, содержащие модуль». Повторение
презентация «Модуль числа. Уравнения и неравенства с модулем» презентация к уроку по алгебре (8 класс)
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
🔥 Видео

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Определение модуля

Модуль, или абсолютная величина, числа х в алгебре является самим числом «х» при x ≥ 0 и числом «–х» при x | x | = x , x ≥ 0 — x , x 0

Модуль числа обладает следующими свойствами:

Модуль числа является неотрицательным числом: x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0 .
Противоположные числа обладают равными модулями: — x = x .
Модуль произведения из пары или более чисел равен произведению модулей этих чисел: x · y = x · y .
Модуль частного пары чисел равен частному модулей этих чисел: x y = x y , где у отличен от нуля.
Модуль суммы чисел в любом случае меньше по сравнению с суммой их модулей, либо равен сумме модулей данных чисел: x + y ≤ x + y .
Неизменяемый множитель, который больше нуля, допускается выносить за знак модуля: c x = c · x при c>0.
Квадрат модуля числа равен квадрату данного числа: x 2 = x 2 .

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Виды неравенств с модулем

Неравенствами называют выражения, включающие в себя числа, либо выражения с переменной и записанные в виде:

a > b , a b , a ≤ b и a ≥ b .

Числовым называют такое неравенство, в котором a и b являются числами или числовыми выражениями.

Числовое неравенство представляет собой сравнение пары чисел. Смысл такой записи заключается в определении, какое из чисел больше или меньше по сравнению со вторым.

Виды числовых неравенств:

Неравенство -5 17 + 3 ≥ 115 является неверным. Правая часть неравенства равна 20:

Число 20 меньше по сравнению с числом 115. Этот вывод противоречит записанному неравенству, что позволяет назвать его неверным.

Неравенством с переменной называют такое неравенство, которое содержит переменную.

При решении задач можно столкнуться с разными видами неравенств с переменными:

Линейное, с переменной в первой степени, например: 2 x + 1 ≥ 4 ( 5 — x ) .
Квадратное, с переменной, возведенной в квадрат, например: 3 x 2 — x + 5 > 0 .
Логарифмическое, где переменная записана под знаком логарифма, например: log 4 ( x + 1 ) 3 .
Показательное, переменная записана в показателе степени, как 2 x ≤ 8 5 x — 2 .

Определение 5

Строгие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения > (больше) или Пример 3

Пример строгого неравенства:

Заметим, что в случае строгого неравенства не допускается равенство между правой и левой частью выражения. По этой причине такие неравенства и называют строгими.

Нестрогие неравенства — неравенства, которые содержат знаки сравнения geq (больше или равно) либо ≤ (меньше или равно).

Пример нестрого неравенства:

Заметим, что в случае нестрого неравенства допускается равенство левой и правой частей выражения. По этой причине такие неравенства называются нестрогими.

Неравенства с модулем представляют собой такие неравенства, в которых неизвестные находятся под знаком модуля.

Решить неравенство с модулем можно, руководствуясь определением модуля числа:

| x | = x , x ≥ 0 , — x , x 0

Видео:8 класс. Модуль числа. Уравнения и неравенства с модулем. Алгебра.Скачать

Способы решения неравенств с модулем, пояснения на примерах

Существует определенный алгоритм, который удобно применять для решения заданий на неравенства с модулем:

Неравенство, записанное в виде | x | a , где а больше нуля, является равносильным системе . Когда а меньше нуля, у неравенства отсутствуют решения.
Неравенство, записанное в виде |x|>a , где а больше нуля, является равносильным совокупности неравенств: a hfill \ x . При а=0 корни неравенства соответствуют множеству x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) . При a меньше нуля решения расположены на всей числовой оси: x ∈ ( — ∞ ; + ∞ ) .

В том случае, когда требуется решить неравенство в виде | f ( x ) | > | g ( x ) | и л и | f ( x ) | | g ( x ) | , все части выражения, в том числе, дробные, следует возвести в квадрат. Неравенства, содержащие больше одного выражения, записанного под знаком модуля, решают с применением графического метода интервалов. Этот способ часто применяют в классе на уроке алгебры и при решении домашних заданий.

Разберем несколько примеров для доказательства удобства использования записанной ранее схемы. Попробуем найти решения такого неравенства:

Заметим, что данное выражение можно представить, как систему:

Первое из неравенств системы является равносильным совокупности неравенств:

Неравенство под номером два соответствует системе:

В результате оба неравенства будут решены:

Рассмотрим простое задание с неравенством, которое требуется решить с подробными действиями:

Запишем равносильную совокупность неравенств по правилам:

Если объединить интервалы со всех сторон, то получится:

Решим следующее неравенство аналогичного типа несколько другим способом:

Запишем совокупность неравенств:

При пересечении найденных интервалов получим, что:

Разберем метод решения неравенства с модулем путем возведения в квадрат:

Возведем все части выражения во вторую степень:

( x + 1 ) 2 ≤ ( x — 2 ) 2

Заметим, что в данном случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, а именно: распишем квадрат суммы и квадрат разности:

x 2 + 2 x + 1 ≤ x 2 — 4 x + 4

С помощью приведения подобных упростим выражение:

6 x ≤ 3 ⇒ 2 x ≤ 1 ⇒ x ≤ 1 2 ⇒ x ∈ ( — ∞ ; 0 , 5 ]

Попробуем справиться с более сложным примером:

| x — 1 | + | x — 2 | ≤ 3

Здесь целесообразно применить метод интервалов. Для этого сначала вычислим нули выражений, которые записаны под знаком модуля:

Заметим, что если перенести полученные значения на числовую ось, то получится три интервала:

x ∈ ( — ∞ ; 1 ] ; ( 1 ; 2 ] ; ( 2 ; + ∞ ] .

Рассмотрим каждый из промежутков:

— ( x — 1 ) — ( x — 2 ) ≤ 3

На пересечении этого решения и первого интервала x ∈ ( — ∞ ; 1 ] получим, что:

Рассмотрим второй интервал:

Здесь неравенство можно записать таким образом:

x — 1 — ( x — 2 ) ≤ 3

Сделаем вывод о том, что для х приемлемы любые значения на данном промежутке, то есть:

На пересечении этого решения и третьего интервала:

Результат можно определить, если объединить найденные решения:

x ∈ [ 0 ; 1 ] ∪ ( 1 ; 2 ] ∪ ( 2 ; 3 ] ⇒ x ∈ [ 0 ; 3 ]

Видео:НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМСкачать

Примеры решения задач

Дано неравенство, которое нужно решить:

| 2 x 2 — 9 x + 15 | ≥ 20

Если x ∈ R , получим:

2 x 2 — 9 x + 15 > 0

2 x 2 — 9 x + 15 ≥ 20

2 x 2 — 9 x — 5 ≥ 0

2 ( x — 5 ) ( x + 1 2 ) ≥ 0

x ≤ — 1 2 или x ≥ 5

Ответ: x ∈ — ∞ ; — 1 2 ∪ [ 5 ; + ∞ )

Нужно решить неравенство:

| x — 3 | 2 x 2 — 7 x > 1

| x — 3 | 2 x 2 — 7 x > | x — 3 | 0

0 | x — 3 | 1 , 2 x 2 — 7 x 0 ; | x — 3 | > 1 , 2 x 2 — 7 x > 0

— 1 x — 3 1 , x — 3 ≠ 0 , x ( 2 x — 7 ) 0 ; x — 3 > 1 , x — 3 — 1 , x ( 2 x — 7 ) > 0

2 x 4 , x ≠ 3 , 0 x 7 2 ; x > 4 , x 2 , x > 7 2 , x 0 .

В случае системы:

2 x 4 , x ≠ 3 , 0 x 7 2

решение будет таким:

x > 4 , x 2 , x > 7 2 , x 0 .

x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 2 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )

Ответ: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 2 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )

Нужно определить решения следующего неравенства:

| x — 6 | > | x 2 — 5 x + 9 |

| x — 6 | > x 2 — 5 x + 9

x — 6 > x 2 — 5 x + 9

x 2 — 5 x + 9 0 — решения отсутствуют;

x — 6 — x 2 + 5 x — 9

Найти решения неравенства:

log 0 , 25 2 x + 1 x + 3 + 1 2 > 1 2

0 2 x + 1 x + 3 + 1 2 1 2

0 4 x + 2 + x + 3 2 ( x + 3 ) 1 2

0 5 x + 5 2 ( x + 3 ) 1 2

5 x + 5 2 ( x + 3 ) ≠ 0 , 5 x + 5 2 ( x + 3 ) 1 2 , 5 x + 5 2 ( x + 3 ) > — 1 2 ;

x ≠ — 1 , x ≠ — 3 , 2 x + 1 x + 3 0 , 3 x + 4 x + 3 > 0

x ≠ — 1 , x ≠ — 3 , — 3 x — 1 2 , x > — 4 3 , x — 3

x ∈ — 4 3 ; — 1 ∪ — 1 ; — 1 2

Ответ: x ∈ — 4 3 ; — 1 ∪ — 1 ; — 1 2

Определить решения неравенств:

| x 2 + 5 x | 6 , | x + 1 | ≤ 1 .

— 6 x 2 + 5 x 6 , — 1 ≤ x + 1 ≤ 1 .

x 2 + 5 x 6 , x 2 + 5 x > — 6 , x + 1 ≤ 1 , x + 1 ≥ — 1

x 2 + 5 x — 6 0 , x 2 + 5 x + 6 > 0 , x ≤ 0 , x ≥ — 2

— 6 x 1 , x > — 2 , x — 3 — 2 ≤ x ≤ 0 .

Ответ: x ∈ ( — 2 ; 0 ]

Дано неравенство, решения которого требуется найти:

| x 2 — 4 x | 5 , | x + 1 | 3 .

x 2 — 4 x 5 , x 2 — 4 x > — 5 , — 3 x + 1 3

x 2 — 4 x — 5 0 , x 2 — 4 x + 5 > 0 , — 4 x 2

— 4 x 2 , x ∈ R , — 4 x 2

Ответ: x ∈ ( — 1 ; 2 )

Дано неравенство, которое требуется решить:

3 2 | x — 1 | + 3 4 3 | x — 1 |

3 2 | x — 1 | — 4 · 3 | x — 1 | + 3 0

Заметим, что это квадратное неравенство по отношению к 3 | x — 1 | :

0 — 1 x — 1 1 , x — 1 ≠ 0

x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 )

Ответ: x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; 2 )

x 3 — 1 > 1 — x , x 3 — 1 — 1 ( 1 — x )

( x 3 — 1 ) + ( x — 1 ) > 0 , x ( x 2 — 1 ) 0

( x — 1 ) ( x 2 + x + 1 ) + ( x — 1 ) > 0 , x ( x + 1 ) ( x — 1 ) 0

( x — 1 ) ( x 2 + x + 2 ) > 0 , x ( x + 1 ) ( x — 1 ) 0

x > 1 , x — 1 , 0 x 1 .

x ∈ ( — ∞ ; — 1 ) ∪ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Ответ: x ∈ ( — ∞ ; — 1 ) ∪ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Дано неравенство, которое требуется решить:

x 2 — | x | — 12 x — 3 ≥ 2 x

x 0 , x 2 — x — 12 x — 3 ≥ 2 x ; x ≥ 0 , x 2 — x — 12 x — 3 ≥ 2 x ,

x 0 , x 2 — x + 12 x — 3 ≤ 0 ; x ≥ 0 , x 2 — x + 12 x — 3 ≤ 0 ,

x 0 , ( x 2 — x + 12 ) ( x — 3 ) ≤ 0 , x — 3 ≠ 0 ; x ≥ 0 , ( x 2 — x + 12 ) ( x — 3 ) ≤ 0 , x — 3 ≠ 0

x 0 , ( x — 4 ) ( x — 3 ) 3 ≤ 0 , x — 3 ≠ 0 ; x ≥ 0 , x — 3 0

Видео:НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ 😉 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Урок алгебры в 8-м классе. Тема «Неравенства, содержащие модуль». Повторение

Разделы: Математика

Цель урока: повторить различные способы решения неравенств с одной переменной и рассмотреть применение неравенств к решению задач и упражнений.

Организационный момент. Постановка цели.
Индивидуальная работа по карточкам (во время фронтального опроса).

;

Фронтальный опрос (используются слайды презентации учителя).

1.Что называется модулем числа а?

а)

б)

в)

г)

д)

3. на координатной плоскости изображены графики двух линейных функций. При каких x значения обеих функций одновременно положительны? Отрицательны?

4.Самостоятельная работа (по вариантам)

5. Актуализация опорных знаний.

Учитель. Очень часто при решении неравенств со знаком модуля возникает необходимость перейти либо к системе неравенств, либо к совокупности.

Когда неравенство равносильно системе неравенств?

Когда число а является решением совокупности неравенств?

Экспресс-опрос (шесть человек работают у доски по карточкам, а в то же время остальные учащиеся работают со слайдом, на котором видно задание каждого ребенка, который стоит у доски).

Задание представлено в виде теста. По окончании решения необходимо выбрать правильный ответ, а букву, соответствующую этому варианту ответа, занести в соответствующую клетку кроссворда.

Итак, мы прочли Гарриот, это имя. Историческую справку о Гарриоте подготовил ученик.

Томас Гарриот (1560-1621)- английский математик. Родился в Оксфорде. Образование получил в Оксфордском университете. Переписывался с Галиллеем и Кеплером. Развивал алгебраическую символику, в частности, ввел знаки > и 18.03.2009

Видео:Уравнения с модулемСкачать

презентация «Модуль числа. Уравнения и неравенства с модулем»
презентация к уроку по алгебре (8 класс)

Презентация к уроку алгебры в 8 классе по учебнику Колягина М.Ю.

Видео:11 класс, 29 урок, Уравнения и неравенства с модулямиСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
7_modul_chisla._uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pptx	306.59 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:6 класс, 24 урок, Модульные уравнения и неравенства с одной переменнойСкачать

Подписи к слайдам:

Модуль числа. Уравнения, содержащие модуль.

Заполни пропуски а) |5| =… б) | – 8,3 | =… в) | – 1,2 | + | – 2,4 | =… г) | – 8 |·| 2,3 | =…

На каком расстоянии от точки О на числовой прямой расположено число: 3,75 ; – 5,12 ; 0 .

Назовите числа, модуль которых равен: 8 6,2 0 4) – 6

3 4 | – 3 |=3 | 4 |=4 0 -3 4

Решим уравнение: |x|=8 Решение: |x|=8 Ответ: 8, – 8

Рассмотрим уравнение: | х | =а , если а > 0 – а 0 а х = – а х = а Ответ: – а, а

Решить уравнение: |2 х+3 | =1 – 1 0 1 2х + 3 = – 1 2х = – 1 – 3 2х = – 4 х = – 2 2х + 3 = 1 2х = 1 – 3 2х = – 2 х = – 1 Ответ: – 2; 1 Проверка: |2∙( –2)+3|=1 | 2∙(–1)+3 | =1

Решить неравенство | 5 – 4х | – 1 – 4x> – 6 x 1 Ответ: (1; 1,5)

Если а≤0, то решениями неравенства | х |≥ а являются все числа Запомни! Например: | х |≥ – 7 х – любое число

Работа в тетрадях: №157(1,3) №158(1,3) Дополнительное задание № 171(3)

Домашнее задание: § 10 №157(2,4) №158(2,4) №170(2) №171(2)

Реши уравнение: | – х | =2,1 | х + 1 | =4 | 2х | = 6 | – 2 х | = 6 | х + 3 | = – 15 | 3х | + 6 = 0 | х – 8 | + 12 = 8

Выполни в тетрадях: № 158 (2) № 159 (3) № 163 (4)

Домашнее задание: §1 – §10 повторить № 163 (2) № 153 (4,6) № 160 (4)

Подготовка к контрольной работе

Какие из чисел принадлежат промежутку? [-3 ; 8,5 ] -4; -2; -6; 0; 9,3; 8,5; 7 -2; 0; 8,5; 7

Найди ошибку! 7 2,5 1. Х ≥7 2. y Мне нравится