Уравнения и графики затухающих колебаний

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

Уравнения и графики затухающих колебаний

где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

Уравнения и графики затухающих колебаний

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Уравнения и графики затухающих колебаний

— у равнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Период затухающих колебаний:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебанийЗатухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то Уравнения и графики затухающих колебаний. Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

Уравнения и графики затухающих колебаний

В уравнении (1) А0 и φ0 — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Уравнения и графики затухающих колебаний

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

τ — время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Уравнения и графики затухающих колебаний

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Уравнения и графики затухающих колебаний

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Уравнения и графики затухающих колебаний

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний(1)

— дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

Уравнения и графики затухающих колебаний(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Уравнения и графики затухающих колебаний

Это комплексное число удобно представить в виде

Уравнения и графики затухающих колебаний

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Уравнения и графики затухающих колебаний

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний Уравнения и графики затухающих колебаний(3)

Уравнения и графики затухающих колебаний(4)

Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Уравнения и графики затухающих колебанийЧастота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ωрез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

При ω→0 все кривые приходят к значению Уравнения и графики затухающих колебаний— статическое отклонение.

Уравнения и графики затухающих колебаний

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках».) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Уравнения и графики затухающих колебаний

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:

m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,

Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q = R L C = R ω 0 L .

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .

Функция изображается аналогично рисунку 2 .

Уравнения и графики затухающих колебаний

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение

Для нахождения I ( t ) :

I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .

Запись полной энергии будет иметь вид:

W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .

Где sin α = β ω 0 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .

Уравнения и графики затухающих колебаний

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.

Видео:Урок 346. Определение добротности по графику затухающих колебанийСкачать

Урок 346. Определение добротности по графику затухающих колебаний

1.6. Свободные затухающие колебания

Гармонические колебания, существующие вечно, являются одной из физических абстракций. В реальных системах колебания по прошествии некоторого времени затухают из-за диссипации энергии. Таким образом, представлением о гармонических колебаниях можно пользоваться лишь для времен, малых по сравнению с характерным временем затухания. Затухание колебаний всегда будет наблюдаться в системах с трением.

Уравнение затухающих колебаний

Рассмотрим в качестве примера пружинный маятник, помещенный в вязкую среду. Помимо силы упругости на тело будет действовать сила сопротивления, пропорциональная скорости

Уравнения и графики затухающих колебаний

где r — соответствующий коэффициент, зависящий от вязкости среды, размеров и формы тела. Поэтому уравнение движения примет вид:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Здесь Уравнения и графики затухающих колебанийновый, дополнительный параметр системы, называемый коэффициентом затухания. Колебания незатухающие, если Уравнения и графики затухающих колебаний.

Другой пример — электромагнитный контур. Если помимо конденсатора С и индуктивности L в контуре имеется еще и активное сопротивление R, то ЭДС самоиндукции равна сумме напряжения на конденсаторе и падения напряжения на сопротивлении. Поэтому уравнения (1.15) примут теперь вид:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Подставляем первое уравнение во второе:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Напомним, что комбинация L/R уже встречалась нам в теории электромагнетизма, где она характеризовала характерное время затухания (появления) экстратоков замыкания-размыкания. Таким образом, величина b имеет размерность обратного времени, совпадающую с размерностью циклической частоты.


Анализ решений

Итак, в обоих рассмотренных случаях дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Дифференцируя функцию x(t), получаем:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Подставляем эти выражения в (1.67):

Уравнения и графики затухающих колебаний

Выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю. Замечаем, что в этом выражении сокращаются члены с первой производной Уравнения и графики затухающих колебаний. Получаем в итоге дифференциальное уравнение для функции X(t):

Уравнения и графики затухающих колебаний

Здесь возможны два случая. Пусть сначала Уравнения и графики затухающих колебаний. Тогда можно ввести параметр

Уравнения и графики затухающих колебаний

так что уравнение (1.71) примет вид:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Но это — стандартное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого мы знаем:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Значит, мы нашли общее решение уравнения затухающих колебаний (1.67):

Уравнения и графики затухающих колебаний

Во многих системах коэффициент затухания мал по сравнению с собственной частотой колебаний: Уравнения и графики затухающих колебаний. Тогда движение системы можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой Уравнения и графики затухающих колебанийи с амплитудой, изменяющейся по закону (рис. 1.22)

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

Рис. 1.22. Свободные затухающие колебания

Коэффициент затухания Уравнения и графики затухающих колебанийопределяет скорость уменьшения амплитуды колебаний: он обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Период затухающих колебаний равен:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Пусть первое наибольшее положительное отклонение достигается в момент времени Уравнения и графики затухающих колебаний. Последующие наибольшие отклонения того же знака (A’, A», A»’ и т.д. — см. рис. 1.22) образуют геометрическую прогрессию:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Это соотношение называется декрементом затухания. Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Определим количество колебаний, которое совершит система за время Уравнения и графики затухающих колебаний. За это время амплитуда уменьшается в е раз, а число колебаний равно:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется величина, называемая добротностью:

Уравнения и графики затухающих колебаний

которая пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за то время Уравнения и графики затухающих колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Например, для электромагнитного контура при Уравнения и графики затухающих колебанийнаходим:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Мы видели, что полная энергия в колеблющейся системе пропорциональна квадрату амплитуды. При малом затухании (Уравнения и графики затухающих колебаний) имеем:

Уравнения и графики затухающих колебаний

где E0 — значение полной энергии колеблющейся системы в начальный момент времени. Можно определить убыль энергии за период Т:

Уравнения и графики затухающих колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

то есть при слабом затухании добротность, с точностью до множителя Уравнения и графики затухающих колебаний, равна отношению полной энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент времени, к убыли энергии за один период колебаний.

При увеличении затухания частота колебаний

Уравнения и графики затухающих колебаний

стремится к нулю, а период колебаний растет. В предельном случае

Уравнения и графики затухающих колебаний

период обращается в бесконечность, то есть движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ показывает, что при Уравнения и графики затухающих колебанийдвижение носит апериодический характер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

💥 Видео

70. Затухающие колебанияСкачать

70. Затухающие колебания

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)

Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/Скачать

Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/

Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания

Урок 335. Анализ графика гармонических колебанийСкачать

Урок 335. Анализ графика гармонических колебаний

Затухающие колебания. Вынужденные колебания | Физика 9 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Затухающие колебания. Вынужденные колебания | Физика 9 класс #26 | Инфоурок

Выполнялка 53.Гармонические колебания.Скачать

Выполнялка 53.Гармонические колебания.

10 класс, 19 урок, График гармонического колебанияСкачать

10 класс, 19 урок, График гармонического колебания

Затухающие колебания Лекция 11-1Скачать

Затухающие колебания Лекция 11-1

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | ИнфоурокСкачать

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | Инфоурок

Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)Скачать

Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)

Физика 9 класс, §26 Затухающие колебания. Вынужденные колебанияСкачать

Физика 9 класс, §26 Затухающие колебания. Вынужденные колебания

Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Физика 11 классСкачать

Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Физика 11 класс
Поделиться или сохранить к себе: