Уравнения гипербол с центром симметрии в заданной точке (2 видео)

Содержание

2.4 Гипербола
Гипербола
Как найти центр гиперболы по уравнению
📽️ Видео

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

2.4 Гипербола

Гиперболой Называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную через 2А, расстояние между фокусами через 2С, а оси координат выберем так же, как в разделе 2.3.

Пусть М(Х, У) – произвольная точка гиперболы (рисунок 2.4).

По определению гиперболы F2M – F1М = ±2A. (Знак плюс в правой части надо выбрать, если F2M > F1М, и минус, если F2M A).

Исследуем формулу гиперболы.

1. Уравнение (2.7) содержит квадраты текущих координат, следовательно, оси координат являются осями симметрии гиперболы. Ось симметрии, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), фокальная ось совпадает с осью ОХ, а центр – с началом координат.

В этом случае координаты фокусов гиперболы имеют вид F1(с,0), F2(-с,0).

2. Точки пересечения с осями симметрии. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются Вершинами гиперболы. Полагая в уравнении (2.7) У = 0, найдем абсциссы точек пересечения с осью ОХ:

или X2 = А2, откуда Х = ±А.

Итак, точки и являются вершинами гиперболы.

Если же в уравнении (2.7) принять x = 0, получим

или У2 = –B2,

Т. е. для У мы получили мнимые значения. Это означает, что гипербола не пересекает ось ОY.
В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью (фокальная ось); ось симметрии, которая не пересекает гиперболу, – ее мнимой осью. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), действительной осью симметрии является ось ОХ, а мнимой осью – ось ОY. Длина отрезка А1А2 = 2А, число А называется действительной полуосью гиперболы. Отложим на мнимой оси гиперболы по обе стороны от центра симметрии O отрезки ОВ1 и ОВ2 длиною B, тогда отрезок В1B2 = 2B называют мнимой осью, а величину B – мнимой полуосью гиперболы.

Из уравнения (2.7) видно, что , следовательно, |X| ³ A. Кривая имеет форму, изображенную на рисунке 2.5. Она располагается вне прямоугольника со сторонами, равными 2А и 2B, с центром в начале координат, и состоит из двух отдельных ветвей, простирающихся в бесконечность (см. рисунок 2.5). Диагонали этого прямоугольника определяются уравнениями

(2.8)

И являются Асимптотами гиперболы.

Если A = B, гипербола называется равносторонней.

Замечание 1. Если мнимая ось гиперболы равна 2А и расположена на оси ОХ, а действи-тельная ось равна 2B и расположена на оси ОY, то уравнение такой гиперболы (рисунок 2.6) имеет вид (каноническое уравнение гиперболы, если ее фокальная ось – ось Y)

(2.9)

Координаты фокусов в этом случае имеет вид F1(0,с) и F2(0,-с).

Гиперболы (2.7) и (2.9) называются Сопряженными гиперболами.

Замечание 2. Эксцентриситетом Гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

(2.10)

Для любой гиперболы ε > 1, это число определяет форму гиперболы.

Пример 2.3. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы

Написать уравнение ее асимптот и вычислить эксцентриситет.

Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы, для чего обе части уравнения поделим на 144. После сокращения получим

Отсюда видно, что А2 = 9, т. е. A = 3 и B2 = 16, т. е. B = 4.

Для гиперболы С2 = А2 + B2 = 16 + 9 = 25, отсюда C = 5.

Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:

Эксцентриситет , а уравнения асимптот имеют вид

и .

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Как найти центр гиперболы по уравнению

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac ), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac ) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

Пример №2:
$$y=frac -1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color >) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(25)

где .

Параметры гиперболы:

Точки F₁(–c, 0), F₂(c, 0), где называются фокусами гиперболы, при этом величина 2с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А₁(–а, 0), А₂(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом А₁А₂ = 2а образует действительную ось гиперболы, а В₁В₂ = 2b – мнимую ось (В₁(0, –b), B₂(0, b)), О – центр гиперболы.

Уравнения гипербол с центром симметрии в заданной точке

Величина называется эксцентриситетом гиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;

– фокальные радиусы гиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r₁ = a + εx, r₂ = –a + εx для точек правой ветви гиперболы, r₁ = – (a + εx), r₂ = – (–a + εx) – для точек левой ветви;

– директрисы гиперболы;

– уравнения асимптот.

Для гиперболы справедливо: ε > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством

Говорят, что уравнение

(26)

задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 20). Его можно записать также в виде

В таком случае ось мнимая, фокусы лежат на оси . Все остальные параметры определяются аналогично как для гиперболы (25).

Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2a (рис. 19).

Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox:

Пример 1. Привести уравнение гиперболы

к каноническому виду, найти еепараметры, изобразить гиперболу.

Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Из последнего уравнения непосредственно следует: a = 4, b = 3, c = 5, O(0, 0) – центр гиперболы. Фокусы находятся в точках F₁(–5, 0) и F₂(5, 0), эксцентриситет ε = 5/4, директрисы D₁ и D₂ описываются уравнениями D₁: x = –16/5, D₂: x = 16/5, асимптоты l₁ и l₂ имеют уравнения

Сделаем чертеж. Для этого по осям Ox и Oy симметрично относительно точки (0, 0) отложим отрезки А₁А₂ = 2а = 8 и В₁В₂ = 2b = 6 соответственно. Через полученные точки А₁(–4, 0), А₂(4, 0), В₁(0, –3), В₂(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник (рис. 21), диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу

Для нахождения угла φ между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой

откуда получаем

Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой

Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения:

которое делением на 30 приводится к виду

Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке действительная полуось – мнимая полуось – (рис. 22).

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы определить ее параметры и сделать чертеж.

Решение.Уравнение гиперболы, сопряженной данной, –

или

Действительная полуось b = 3, мнимая – а = 4, половина междуфокусного расстояния Вершинами гиперболы служат точки B₁(0, –3) и В₂(0, 3); ее фокусы находятся в точках F₁(0, –5) и F₂(0, 5); эксцентриситет ε = с/b = 5/3; директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями D₁: y = –9/5, D₂: y = 9/5; уравнения являются уравнениями асимптот (рис. 23).

Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются вспомогательный «прямоугольник» и асимптоты.

Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы.

Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы которое получается в результате параллельного переноса старой системы координат на вектор где (x₀, y₀) – центр гиперболы в «старой» системе координат. Тогда, используя соотношения между координатами произвольной точки М плоскости в заданной и преобразованной системах

получим уравнение гиперболы

Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O¢(x₀; y₀), а значит, действительная ось задается уравнением x = x₀,а мнимая – уравнением y = y₀. Ее вершинами являются точки , а асимптотами являются прямые . Половина междуфокусного расстояния Тогда фокусы гиперболы находятся в точках , эксцентриситет

Директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями

Пример 5.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса , а фокусы – в вершинах этого эллипса.

Решение.Уравнение означает, что фокусами эллипса являются точки а вершины, лежащие на главной оси, находятся в точках (так как ).

Тогда для искомой гиперболы известно, что

Значит, основные параметры гиперболы есть:

Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы

Задания для самостоятельного решения

Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 6979 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.

Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #

Определение гиперболы аналогично определению эллипса. Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса — сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.

Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F₁ и F₂) называют фокусами гиперболы. Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием, а отрезки F₁M и F₂M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, — фокальными радиусами.

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F₁F₂| = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости — положением фокусов F₁ и F₂.

Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F₁F₂ пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы, а вторую — ее мнимой осью. Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы.

Середина отрезка F₁F₂, соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы.

Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F₁MF₂ (см. рис. 7.7) справедливо неравенство ||F₁M| — |F₂M| | ≤ |F₁F₂|. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F₁F₂. Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F₁M| — — |F₂M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат, а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют канонической, а соответствующие переменные — каноническими.

В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F₁(c; 0) и F₂(—с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F₁M| — |F₂M|| = 2а в координатах |√((х — с) 2 + у 2 ) — √((х + с) 2 + у 2 )| = 2а, где (x; у) — координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х — с) 2 + у 2 ) — √((х + с) 2 + у 2 ) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х — с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2 ) + 4а 2 . После упрощения получим —εх — а = ±√((х + с) 2 + у 2 ), или

√((х + с) 2 + у 2 ) = |εх + а| (7.7)

где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε 2 — 1)х 2 — у 2 = с 2 — а 2 , или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b 2 = c 2 — a 2 ,

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1 (7.8)

Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы.

Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F₁(с;0) и F₂(—с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F₁ и F₂. У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F₁ и F₂ меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными

имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:

после преобразований получаем уравнение

которое при ã ≠ а не имеет решений, так как . Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с 2 — а 2 ) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы.

Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:

у = b/a √(x 2 — а 2 ). (7.9)

Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.

Область определения функции — ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.

Найдем производную функции y(x): y'(x) = bx/a√(x 2 — а 2 ). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, , а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y» = —ab(x 2 — а 2 ) -3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.

Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:

Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.

Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7.8), содержащейся в первой четверти.

Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные

стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.

Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, — не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(—a; 0) на рис. 7.10).

Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы — точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала [0,1) (значение 0 соответствует предельному варианту эллипса — окружности), то эксцентриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1, + ∞).

Построим прямоугольник с центром в начале системы координат Oxy и сторонами 2a, 2b, параллельными осям абсцисс и ординат соответственно. Проведем прямые y = (b/a)x и y = — (b/a)x, на которых лежат диагонали прямоугольника. Существует две гиперболы, соответствующие построенному прямоугольнику (рис. 7.12). Первая из них описывается каноническим уравнением (7.8), а вторая — уравнением

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = -1. (7.10)

Вторую гиперболу называют сопряженной по отношению к первой, а уравнение (7.10) — каноническим уравнением сопряженной гиперболы. Действительная и мнимая оси первой гиперболы являются соответственно мнимой и действительной осями сопряженной гиперболы, а асимптоты у них общие.

Пример 7.2. Найдем каноническое уравнение гиперболы по ее действительной полуоси a = 4 и фокальному расстоянию 2с = 10. Построим гиперболу и определим координаты ее вершин, фокусов и уравнения асимптот.

Так как действительная полуось a гиперболы известна, то, чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, достаточно определить мнимую полуось b. Поскольку с = 5, b = √(с 2 — а 2 ), то b = √(5 2 — 4 2 ) = 3. Итак, искомое уравнение имеет вид x 2 /4 2 — y 2 /3 2 = 1. Построим прямоугольник,соответствующий заданной гиперболе (рис. 7.13). Продолжим его диагонали до асимптот ги-перболы и построим саму гиперболу. Уравнениями асимптот являются у = ±3x/4, вершины находятся в точках (±4; 0), а фокусы совпадают с точками (±5; 0).

Геометрические свойства. Геометрические свойства гиперболы во многом повторяют свойства эллипса. Вернемся к формуле (7.7). Она эквивалентна каноническому уравнению гиперболы и дает выражение для длины фокального радиуса F₂M ее точки M(х; у):

|F₂M| = √((х + с) 2 + у 2 ) = ±(εх + a) (7.11)

где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой.

Аналогично можно получить формулу для длины другого фокального радиуса, если при выводе канонического уравнения гиперболы перед первым возведением в квадрат в правую часть равенства перенести не второй, а первый квадратный радикал. При этом вместо (7.7) получим εх — a = ±√((х — с) 2 + у 2 ) , откуда

|F₁M| = √((х — с) 2 + у 2 ) = ±(εх — a) (7.12)

где, как и в (7.11), знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой. Каждое из уравнений (7.11), (7.12) является уравнением гиперболы.

Гипербола не проходит через свои фокусы (при 0 2 /c = (c 2 — a 2 )/c = b 2 /c

Гипербола также имеет и оптическое свойство, аналогичное оптическому свойству эллипса. Оно состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса (рис. 7.15).