Уравнения фигур на координатной плоскости

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Уравнения фигур

Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.

Содержание:

Понятие уравнения фигур

Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).

Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: Уравнения фигур на координатной плоскости— уравнение прямой; Уравнения фигур на координатной плоскости— уравнение окружности; Уравнения фигур на координатной плоскости— уравнение сферы и т. д.

Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:

1. Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.

2. Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.

Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.

Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.

Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Уравнение прямой

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида Уравнения фигур на координатной плоскости Уравнения фигур на координатной плоскости— некоторые числа.

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение Уравнения фигур на координатной плоскостиимеет тот или иной частный вид.

1. Уравнения фигур на координатной плоскостиВ этом случае уравнение прямой можно переписать так: Уравнения фигур на координатной плоскости

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату Уравнения фигур на координатной плоскости; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

2. Уравнения фигур на координатной плоскостиЭтот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.

Уравнения фигур на координатной плоскости

3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).

Если в общем уравнении прямой Уравнения фигур на координатной плоскостикоэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: Уравнения фигур на координатной плоскостиИли, обозначая Уравнения фигур на координатной плоскостиполучим: у = kх + d.

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.

Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Уравнения окружности и сферы

Составим уравнение окружности с центром в точке Уравнения фигур на координатной плоскостии радиусом R (рис. 2.467).

1. Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.

2. Квадрат расстояния от точки А до точки О равен Уравнения фигур на координатной плоскости(формула расстояния между точками).

3. Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

Уравнения фигур на координатной плоскости

(2, определение окружности).

Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.

Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Уравнения фигур на координатной плоскости

Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром Уравнения фигур на координатной плоскостии радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).

Уравнения фигур на координатной плоскости

Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:

Уравнения фигур на координатной плоскости

Уравнения фигур на координатной плоскости

Это и есть уравнение сферы S с центром Уравнения фигур на координатной плоскостии радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).

Если центр А находится в начале координат, т. е. Уравнения фигур на координатной плоскостито уравнение получает простой вид:

Уравнения фигур на координатной плоскости

Рассмотрим шар с центром Уравнения фигур на координатной плоскостии радиусом R (рис. 2.469).

Уравнения фигур на координатной плоскости

По определению, это множество точек М, для которых Уравнения фигур на координатной плоскости, т. е. Уравнения фигур на координатной плоскости. Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:

Уравнения фигур на координатной плоскости

Это неравенство задает шар S с центром Уравнения фигур на координатной плоскостии радиусом R, так как оно равносильно неравенству Уравнения фигур на координатной плоскости, задающему такой шар по самому его определению.

Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:

Уравнения фигур на координатной плоскости

Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?

Решение:

1. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).

Уравнения фигур на координатной плоскости

2. Пусть N — произвольная точка, Уравнения фигур на координатной плоскости— расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).

Уравнения фигур на координатной плоскости

3. При доставке груза из пункта А расходы равны Уравнения фигур на координатной плоскости(1,2).

4. При доставке груза из пункта Б расходы равны Уравнения фигур на координатной плоскости(1,2).

5. Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то Уравнения фигур на координатной плоскостиоткуда Уравнения фигур на координатной плоскостиУравнения фигур на координатной плоскости, в обратном случае получим Уравнения фигур на координатной плоскости(3,4).

6. Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению Уравнения фигур на координатной плоскости(5)

7. Выразим Уравнения фигур на координатной плоскостичерез координаты:

Уравнения фигур на координатной плоскости(1,2, формула расстояния между точками).

8. Имея в виду равенство из п. 6, получим:

Уравнения фигур на координатной плоскости(6,7).

9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).

Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.

Пример 2.

Два наблюдаемых пункта находятся в точках Уравнения фигур на координатной плоскостиПункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние Уравнения фигур на координатной плоскостикм, а от В на расстояние с км (с > Уравнения фигур на координатной плоскости). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?

Решение:

Из условий задачи имеем:

1. Два наблюдаемых пункта находятся в точках Уравнения фигур на координатной плоскости

2. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии Уравнения фигур на координатной плоскостикм, а от В — с км (с > Уравнения фигур на координатной плоскости).

3. Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.

4. По какой линии должен идти наблюдатель?

Уравнения фигур на координатной плоскости

5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).

6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):

Уравнения фигур на координатной плоскости

(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).

7. По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.

Уравнения фигур на координатной плоскости(3, 6).

8. Решая это уравнение, получим:

Уравнения фигур на координатной плоскости

9. Раскроем скобки и перегруппируем:

Уравнения фигур на координатной плоскости

10. Наблюдатель должен идти по окружности с центром Уравнения фигур на координатной плоскостии радиусом Уравнения фигур на координатной плоскости(4, уравнение окружности).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Уравнения фигур на координатной плоскостиУравнения фигур на координатной плоскости

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Задача на построение фигуры, заданной уравнением, 9-11 класс| Математика TutorOnlineСкачать

Задача на построение фигуры, заданной уравнением, 9-11 класс| Математика TutorOnline

Презентация «Уравнение фигуры. Уравнение окружности»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнения фигур на координатной плоскости

Уравнение окружности. Уравнение линии на плоскости. Уравнение фигуры

Уравнения фигур на координатной плоскости

Повторяем! O x y A(2;4) 1 1 2 2 4 B(1;2) Вывод: если точка принадлежит графику уравнения, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Алгебра: По заданному уравнению линии исследовать ее свойства. Геометрия: По геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Задачи урока: Узнать, что называется уравнением линии, окружности; Понять, как по заданным свойствам окружности найти ее уравнение; Научиться находить уравнение окружности.

Уравнения фигур на координатной плоскости

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Х И У НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ ЛИНИИ L, ЕСЛИ ЭТОМУ УРАВНЕНИЮ УДОВЛЕТВОРЯЮТ КООРДИНАТЫ ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЛИНИИ L И НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮТ КООРДИНАТЫ НИКАКОЙ ТОЧКИ, НЕ ЛЕЖАЩЕЙ НА ЭТОЙ ЛИНИИ. Определение:

Уравнения фигур на координатной плоскости

Уравнением фигуры Ф, заданной на плоскости xy, называют уравнение с двумя переменными x и y, имеющее такие свойства: если точка принадлежит фигуре Ф, то ее координаты являются решением данного уравнения; любое решение (x;y) данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Ф. Определение:

Уравнения фигур на координатной плоскости

У Х 0 М (х;у) r C (х0;у0) УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ СМ= (х – х0)2 + (у – у0)2 СМ = r, или СМ2 = r2 r2 = (х – х0)2 + (у – у0)2 Уравнение окружности общего вида

Уравнения фигур на координатной плоскости

У Х 0 М (х; у) r УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ (с центром в начале координат) МО= (х – 0)2 + (у – 0)2 r2 = х2 + у 2

Уравнения фигур на координатной плоскости

Как составить уравнение окружности: — узнать координаты центра; — узнать длину радиуса; подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности общего вида.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Например: 1. Центр С (2;4), радиус r = 3; уравнение окружности: (х – 2)2 + (у – 4)2 = 9 2. Центр С (0;0), радиус r = 4; уравнение окружности: х2 + у2 = 16

Уравнения фигур на координатной плоскости

Решить задачи: Окружность задана уравнением: . Укажите координаты центра окружности и ее радиус. №№ 327, 328, 330, 332 Решить самостоятельно.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Дома: Выучить определения и формулы уравнений; Выполнить упражнения: №№ 329, 331, 333.

Уравнения фигур на координатной плоскости

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Уравнения фигур на координатной плоскости

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Уравнения фигур на координатной плоскости

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 589 150 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Уравнения фигур на координатной плоскости

«Геометрия», Шарыгин И.Ф.

12.2. Уравнение линии

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 30.01.2020
  • 138
  • 0

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • 30.01.2020
  • 183
  • 1

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • 30.01.2020
  • 114
  • 0

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • 30.01.2020
  • 189
  • 1

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • 29.01.2020
  • 1118
  • 15

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • 29.01.2020
  • 275
  • 0

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • 25.10.2019
  • 1120
  • 28

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • 24.10.2019
  • 401
  • 4

Уравнения фигур на координатной плоскости

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 30.01.2020 1027
  • PPTX 739 кбайт
  • 103 скачивания
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Булдакова Светлана Валерьяновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Уравнения фигур на координатной плоскости

  • На сайте: 5 лет и 3 месяца
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 6869
  • Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.Скачать

Прямоугольная система координат. Координатная плоскость. 6 класс.

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Уравнения фигур на координатной плоскости

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Уравнения фигур на координатной плоскости

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Уравнения фигур на координатной плоскости

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Уравнения фигур на координатной плоскости

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Уравнения фигур на координатной плоскости

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Уравнения фигур на координатной плоскости

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Уравнения фигур на координатной плоскости

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Please wait.

Видео:ПОСТРОЕНИЕ ФИГУР НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ. Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

ПОСТРОЕНИЕ ФИГУР НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ. Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Видеоурок "Координатная плоскость, координата точки"Скачать

Видеоурок "Координатная плоскость, координата точки"

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6e2159aa9867c49a • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

📸 Видео

Изображение множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению.Скачать

Изображение множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению.

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Линейное уравнение в координатной плоскости.Скачать

Линейное уравнение в координатной плоскости.

Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.

Уравнение окружностиСкачать

Уравнение окружности

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 8 и 9 класс геометрияСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 8 и 9 класс геометрия

9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6Скачать

9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6

Уравнение прямой на плоскостиСкачать

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение окружности, строим на координатной плоскостиСкачать

Уравнение окружности, строим на координатной плоскости

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.
Поделиться или сохранить к себе: