Уравнения электрического поля в среде

2. Электрические поля постоянных токов

2.1 Основные уравнения

От электрических полей, создаваемых неподвижными зарядами, перейдем к рассмотрению стационарного движения зарядов в проводниках (постоянный электрический ток).

Основным вектором, который подлежит исследованию, является вектор плотности тока проводимости (или ). Силовые линии вектора плотности тока проводимости подчиняются закону непрерывности, который является следствием первого уравнения Максвелла:

. (2.1)

Выражение (2.1) называют ещё первым законом Кирхгофа, записанным в дифференциальной форме. Движение зарядов осуществляется за счёт действия напряженности электрического поля , а связь между векторами устанавливается законом Ома в дифференциальной форме:

, (2.2)

где — удельная проводимость среды. В ряде случаев вместо проводимости среды используют обратную величину — r = 1 ¤ g , которую называют удельным сопротивлением среды.

В единичном объёме (или точке) выделяется мощность в виде тепла – (закон Джоуля – Ленца):

.

Электрическое поле, существующее внутри проводника, по которому течет постоянный ток, удовлетворяет уравнению

, (2.3)

т.е. поле постоянного тока — потенциально, и может быть определено потенциальной функцией:

. (2.4)

В однородном проводнике = const и из (2.1) как следствие имеем . Поэтому в этом случае потенциал электрического поля также удовлетворяет уравнению Лапласа (1.5).

Граничные условия для векторов поля.

На границе раздела двух проводящих сред нормальная компонента плотности электрического тока является непрерывной функцией, что следует из выражения (2.1). Кроме того, согласно общему условию непрерывности тангенциальной компоненты напряженности поля (1.6) как следствие из (2.2) имеем условие для тангенциальных составляющих вектора . Таким образом, граничные условия для плотности тока записываются как:

, (2.5)

или для напряженности поля

, . (2.6)

На границе проводника с непроводящей средой , т.е. силовые линии вектора плотности тока определяются только тангенциальной составляющей тока, что следует из выражения (2.5).

2.2. Метод электростатической аналогии

Уравнения (2.1) — (2.4) и граничные условия (2.5) обнаруживают формальную аналогию с уравнениями электростатического поля в диэлектриках, отличаясь от них лишь заменой на . Это обстоятельство позволяет находить решения задач о распределении тока в проводящей среде непосредственно по решениям аналогичных электростатических задач (см. 1.3 – 1.6). В частности, формулы для электрической проводимости системы электродов, по которым протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости тех же электродов, так как при изменении проводящей среды диэлектриком ток заменяется зарядом. Объединяя эти выражения, получим пропорцию

.

Это рассмотрение позволяет утверждать, что существует аналогия между электростатическим полем вне объёмных зарядов и стационарным полем постоянного тока в области, где нет сторонних сил. При этом аналогичны параметры:

Электростатическое поле . . . E , j , D , q , , C

Для расчёта поля проводов с током I вблизи плоской границы двух проводящих сред можно применить метод отражений (см. раздел 1.5). Дополнительные токи, заменяющие своим действием взаимное влияние проводящих сред друг на друга, находятся из аналогичных условий:

, . (2.7)

Из выражений (2.7) следует, что коэффициент отражения будет равен единице, если первая среда проводник, вторая диэлектрик ( = 0 ) , а электрод, с которого стекают заряды, находится в первой среде. Коэффициент здесь не рассматривается, так как в диэлектрике отсутствуют токи проводимости.

2.3. Задача растекания тока в проводящей среде

Задача. К сферическому заземлителю (электроду) радиуса м подводится ток А (рис. 2.1а). Заземлитель находится на расстоянии h = 6 м от границы раздела двух сред с разными удельными проводимостями (См/м) и (См/м). Исследовать картину поля.

Рис. 2.1. а) взаимное расположение шарового источника тока и двух проводящих сред; б) физическая модель анализа поля тока для 1-й среды;

в) то же для 2-й среды.

Задача решается методом отражений с учетом метода электростатической аналогии. Поле растекания токов обладает осевой симметрией (нет зависимости от угловой координаты), поэтому вместо декартовой системы координат принята цилиндрическая система — z , r .

Для расчета поля в 1-й среде вводится, кроме тока , фиктивный ток согласно (2.7):

.

При этом вторая среда замещается первой (см. рис. 2.1б). Для расчета поля во 2-й среде вводится фиктивный ток

,

а первая среда замещается второй (см. рис. 2.1в).

Поле сферического заземлителя подобно полю шарового заряда, что позволяет воспользоваться выражением (1.20), в котором заряд заменяется на ток , а диэлектрические свойства среды на проводимость :

.

Построим картину поля в пакете MathCAD . В поле рабочего файла указываем исходные данные задачи:

Вычисляем входящие в решение постоянные коэффициенты:

Определяем длины радиус-векторов до точек наблюдения, для чего предварительно следует выбрать систему координат (произвольно). В задаче начало отсчёта переменных r , z смещено влево на расстояние 3 h :

Определяем функции потенциала в первой и второй средах используя метод наложения:

Определяем потенциал поверхности заземлителя (электрода):

Определяем потенциальную функцию для всего исследуемого пространства с учетом её поведения в первой и второй средах:

Так как на поверхности и внутри электрода потенциал постоянен и определяется ранее найденной величиной , окончательно доопределим потенциальную функцию как

Построим график изменения потенциальной функции вдоль оси z при r = 0, для чего предварительно зададим диапазон изменения переменной z :

График изменения потенциальной функции показан на рис. 2.2. Исследуемая функция непрерывна, включая границу раздела сред. Равенство потенциалов на границе эквивалентно выполнению граничного условия (2.6).

Построим график поверхности потенциальной функции и карту линий уровня, которая задана нами ранее как функция двух переменных, для чего указываем границы расчетной области:

Рис. 2.2. График изменения потенциальной функции вдоль оси z при r = 0

Определяем, сколько точек следует отложить по координатным осям:

Введением дискретных аргументов i и j индексируем точки, где определяются значения функции:

Через операцию присваивания определяем значения двумерного массива , определяя его найденной потенциальной функцией ,

и строим график поверхности потенциальной функции (рис. 2.3).

При использовании массива для построения карты линий равного уровня следует скопировать график поверхности (рис. 2.3) или сразу на нем однократно щелкнуть правой кнопкой мыши, выбрать из всплывшего контекстного меню команду “ Format …”. Далее в появившемся окне 3- D Plot Format подраздел General (рис. 1.16) следует сменить тип графика с Surface Plot на Contour Plot .

Для построения карты линий равного уровня можно использовать как массив (рис. 2.4а), так и воспользоваться встроенной функцией CreateMesh (рис. 2.4б):

Рис. 2.3. Пример построения поверхности потенциальной функции ( Surface Plot )

Полученные графики (рис. 2.4) полностью идентичны. В большинстве случаев использование функции CreateMesh более удобно, так как в этом случае (по умолчанию) размерность осей в абсолютных единицах – метрах (рис. 2.4б), а на рис. 2.4а – определяется ранее заданным числом расчетных точек по координатным осям (по оси z определено 80 точек, по оси r — 40).

Рис. 2.4. Карты линий равного уровня потенциальной функции, построенные с применением: а – массива , б — функции CreateMesh

Если значения функции на линиях уровня, при типе графика Contour Plot , не выведены, то следует вызвать окно 3- D Plot Format , выбрать подраздел Special , столбец Contour Options , активировать пункт Numbered – щелкнув в квадратике рядом с ним (появится галочка) и далее “Применить” (рис. 1.17). Нажатие кнопки ОК завершает операцию.

Для построения в Math С AD линии уровня заданного значения следует определить заданную величину как постоянную и воспользоваться встроенной функцией знака s i g n . В качестве примера построим для определенной ранее потенциальной функции эквипотенциаль со значением 2 кВ:

При малом числе расчетных точек полученная эквипотенциальная кривая может иметь ступенчатый вид (рис. 2.5а), в этом случае следует увеличить число расчетных точек. При увеличении числа расчетных точек в 5 раз по сравнению с предыдущим случаем:

получим более приемлемый вид эквипотенциальной кривой (рис. 2.5б).

Рис. 2.5. Примеры построения заданной линии равного уровня с малым (а) и с увеличенным (б) числом расчетных точек

Используя возможности пакета Math С AD , найдем с помощью оператора дифференцирования (панель Calculus (рис. 1.11), вызывается через меню View / Toolbars / Calculus ) производные от потенциальной функции, которые (с учётом знака) равны проекциям вектора напряженности поля:

На рис. 2.6 и 2.7 приведены примеры построения графиков изменения компонент напряженности вдоль различных осей, из которых видно, что нормальная составляющая вектора на границе раздела сред изменяется скачком в соответствии с граничным условием (2.6) и изменяет знак при переходе с левого края электрода на правый.

Рис. 2.6. График изменения z -компоненты напряженности вдоль оси z при r = 0

Рис. 2.7. График изменения r -компоненты напряженности вдоль оси r по границе раздела проводящих сред ( z = 3 h )

Составляющие вектора плотности тока могут быть найдены по формуле (2.2)

с учетом удельной проводимости каждой из сред.

В отличие от вектора (рис. 2.6) вектор плотности тока на границе раздела обладает свойством непрерывности (рис. 2.8), так как оба этих вектора для переменной r = 0 определены только своими нормальными составляющими (см. формулы 2.5 и 2.6).

Рис. 2.8. График изменения z -компоненты плотности тока

Видео:Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Электрическое поле

Электродинамика – раздел физики, изучающий свойства и взаимодействия электрических зарядов, осуществляемые посредством электромагнитного поля.

Электростатикой называется раздел электродинамики, в котором рассматриваются свойства и взаимодействия неподвижных электрически заряженных тел или частиц.

Электромагнитное взаимодействие – это взаимодействие между электрически заряженными частицами или макротелами.

Точечный заряд – заряженное тело, размер которого мал по сравнению с расстоянием, на котором оценивается его действие.

Видео:Урок 383. Вихревое электрическое поле. Ток смещенияСкачать

Электризация тел

Электризация – процесс сообщения телу электрического заряда, т. е. нарушение его электрической нейтральности. Процесс электризации представляет собой перенесение с одного тела на другое электронов или ионов. В результате электризации тело получает возможность участвовать в электромагнитном взаимодействии.

• трением, – например, электризация эбонитовой палочки при трении о мех. При тесном соприкосновении двух тел часть электронов переходит с одного тела на другое; в результате этого на поверхности у одного из тел создается недостаток электронов и тело получает положительный заряд, а у другого – избыток, и тело заряжается отрицательно. Величины зарядов тел одинаковы;
• через влияние (электростатическая индукция) – тело остается электрически нейтральным, электрические заряды внутри него перераспределяются так, что разные части тела приобретают разные по знаку заряды;
• при соприкосновении заряженного и незаряженного тела – заряд при этом распределяется между этими телами пропорционально их размерам. Если размеры тел одинаковы, то заряд распределяется между ними поровну;
• при ударе;
• под действием излучения – под действием света с поверхности проводника могут вырываться электроны, при этом проводник приобретает положительный заряд.

Видео:Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Взаимодействие зарядов. Два вида зарядов

Электрический заряд – скалярная физическая величина, характеризующая способность тела участвовать в электромагнитных взаимодействиях.

Обозначение – ​ ( q ) ​, единица измерения в СИ – кулон (Кл).

Существуют два вида электрических зарядов: положительный и отрицательный. Наименьший отрицательный заряд имеет электрон (–1,6·10 -19 Кл), наименьший положительный заряд (1,6·10 -19 Кл) – протон. Минимальный заряд, который может быть сообщен телу, равен заряду электрона (элементарный заряд). Если тело имеет избыточные (лишние) электроны, то тело заряжено отрицательно, если у тела недостаток электронов, то тело заряжено положительно.

Величина заряда тела будет равна

где ​ ( N ) ​ — число избыточных или недостающих электронов;
​ ( e ) ​ — элементарный заряд, равный 1,6·10 -19 Кл.

Важно!
Частица может не иметь заряда, но заряд без частицы не существует.

Электрические заряды взаимодействуют:

• заряды одного знака отталкиваются:

• заряды противоположных знаков притягиваются:

Прибор для обнаружения электрического заряда называется электроскоп. Основная часть прибора – металлический стержень, на котором закреплены два листочка металлической фольги, помещенные в стеклянный сосуд. При соприкосновении заряженного тела со стержнем электроскопа заряды распределяются между листочками фольги. Так как заряд листочков одинаков по знаку, они отталкиваются.

Для измерения зарядов можно использовать и электрометр. Основные части его – металлический стержень и стрелка, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси. Стержень со стрелкой закреплен в пластмассовой втулке и помещен в металлический корпус, закрытый стеклянными крышками. При соприкосновении заряженного тела со стержнем стержень и стрелка получают электрические заряды одного знака. Стрелка поворачивается на некоторый угол.

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

Закон сохранения электрического заряда

Систему называют замкнутой (электрически изолированной), если в ней не происходит обмена зарядами с окружающей средой.

В любой замкнутой (электрически изолированной) системе сумма электрических зарядов остается постоянной при любых взаимодействиях внутри нее.

Полный электрический заряд ​ ( (q) ) ​ системы равен алгебраической сумме ее положительных и отрицательных зарядов ​ ( (q_1, q_2 … q_N) ) ​:

Важно!
В природе не возникают и не исчезают заряды одного знака: положительный и отрицательный заряды могут взаимно нейтрализовать друг друга, если они равны по модулю.

Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Закон Кулона

Закон Кулона был открыт экспериментально: в опытах с использованием крутильных весов измерялись силы взаимодействия заряженных шаров.

Закон Кулона формулируется так:
сила взаимодействия ​ ( F ) ​ двух точечных неподвижных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна их модулям ​ ( q_1 ) ​ и ( q_2 ) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними ​ ( r ) ​:

где ​ ( k=frac=9cdot10^9 ) ​ (Н·м 2 )/Кл 2 – коэффициент пропорциональности,
​ ( varepsilon_0=8.85cdot10^ ) ​ Кл 2 /(Н·м 2 ) – электрическая постоянная.

Коэффициент ​ ( k ) ​ численно равен силе, с которой два точечных заряда величиной 1 Кл каждый взаимодействуют в вакууме на расстоянии 1 м.

Сила Кулона направлена вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие заряды. Заряды взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению.

Значение силы Кулона зависит от среды, в которой они находятся. В этом случае формула закона:

где ​ ( varepsilon ) ​ – диэлектрическая проницаемость среды.

Закон Кулона применим к взаимодействию

• неподвижных точечных зарядов;
• равномерно заряженных тел сферической формы.

В этом случае ​ ( r ) ​ – расстояние между центрами сферических поверхностей.

Важно!
Если заряженное тело протяженное, то его необходимо разбить на точечные заряды, рассчитать силы их попарного взаимодействия и найти равнодействующую этих сил (принцип суперпозиции).

Видео:Урок 229. Работа электрического поля. Потенциал. Электрическое напряжениеСкачать

Действие электрического поля на электрические заряды

Электрическое поле – это особая форма материи, существующая вокруг электрически заряженных тел.

Впервые понятие электрического поля было введено Фарадеем. Он объяснял взаимодействие зарядов следующим образом: каждый заряд создает вокруг себя электрическое поле, которое с некоторой силой действует на другой заряд.

Свойства электрического поля заключаются в том, что оно:

• материально;
• создается зарядом;
• обнаруживается по действию на заряд;
• непрерывно распределено в пространстве;
• ослабевает с увеличением расстояния от заряда.

Действие заряженного тела на окружающие тела проявляется в виде сил притяжения и отталкивания, стремящихся поворачивать и перемещать эти тела по отношению к заряженному телу.

Силу, с которой электрическое поле действует на заряд, можно рассчитать по формуле:

где ​ ( vec ) ​ – напряженность электрического поля, ​ ( q ) ​ – заряд.

Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов механики с учетом закона Кулона и вытекающих из него следствий.

Алгоритм решения задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним:

• сделать рисунок; указать силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле;
• записать для заряда условие равновесия или основное уравнение динамики материальной точки;
• выразить силы электрического взаимодействия через заряды и поля и подставить эти выражения в исходное уравнение;
• если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленному уравнению добавить уравнение закона сохранения зарядов;
• записать математически все вспомогательные условия;
• решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины;
• проверить решение

Видео:Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать

Напряженность электрического поля

Напряженность электрического поля ​ ( vec ) ​ – векторная физическая величина, равная отношению силы ​ ( F ) ​, действующей на пробный точечный заряд, к величине этого заряда ​ ( q ) ​:

Обозначение – ( vec ) , единица измерения в СИ – Н/Кл или В/м.

Напряженность поля точечного заряда в вакууме вычисляется по формуле:

где ( k=frac=9cdot10^9 ) (Н·м 2 )/Кл 2 ,
​ ( q_0 ) ​ – заряд, создающий поле,
​ ( r ) ​ – расстояние от заряда, создающего поле, до данной точки.

Напряженность поля точечного заряда в среде вычисляется по формуле:

где ​ ( varepsilon ) ​ – диэлектрическая проницаемость среды.

Важно!
Напряженность электрического поля не зависит от величины пробного заряда, она определяется величиной заряда, создающего поле.

Направление вектора напряженности в данной точке совпадает с направлением силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку.

Линией напряженности электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой точке направлена вдоль вектора напряженности ​ ( vec ) ​.

Линии напряженности электростатического поля начинаются на положительных электрических зарядах и заканчиваются на отрицательных электрических зарядах или уходят в бесконечность от положительного заряда и приходят из бесконечности к отрицательному заряду.

Распределение линий напряженности вокруг положительного и отрицательного точечных зарядов показано на рисунке.

Определяя направление вектора ​ ( vec ) ​ в различных точках пространства, можно представить картину распределения линий напряженности электрического поля.

Поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке, называется однородным электрическим полем. Однородным можно считать электрическое поле между двумя разноименно заряженными металлическими пластинами. Линии напряженности в однородном электрическом поле параллельны друг другу.

Видео:Билет №04 "Потенциал электростатического поля"Скачать

Принцип суперпозиции электрических полей

Каждый электрический заряд создает в пространстве электрическое поле независимо от наличия других электрических зарядов.

Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность электрического поля системы ​ ( N ) ​ зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из них в отдельности:

Электрические поля от разных источников существуют в одной точке пространства и действуют на заряд независимо друг от друга.

Видео:Уравнения Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещенияСкачать

Потенциальность электростатического поля

Электрическое поле с напряженностью ​ ( vec ) ​ при перемещении заряда ​ ( q ) ​ совершает работу. Работа ​ ( A ) ​ электростатического поля вычисляется по формуле:

где ​ ( d ) ​ – расстояние, на которое перемещается заряд,
​ ( alpha ) ​ – угол между векторами напряженности электрического поля и перемещения заряда.

Важно!
Эта формула применима для нахождения работы только в однородном электростатическом поле.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда.

Потенциальным называется поле, работа сил которого по перемещению заряда по замкнутой траектории равна нулю.

Важно!
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Электростатическое поле является потенциальным.

Работа электростатического поля по перемещению заряда равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. В электродинамике энергию принято обозначать буквой ​ ( W ) ​, так как буквой ​ ( E ) ​ обозначают напряженность поля:

Потенциальная энергия заряда ​ ( q ) ​, помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов вычисляется относительно нулевого уровня (аналогично потенциальной энергии поля силы тяжести). Выбор нулевого уровня потенциальной энергии определяется исходя из соображений удобства при решении задачи.

Видео:Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Потенциал электрического поля. Разность потенциалов

Потенциал – скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда.

Обозначение – ​ ( varphi ) ​, единица измерения в СИ – вольт (В).

Потенциал ( varphi ) является энергетической характеристикой электростатического поля.

Разность потенциалов численно равна работе, которую совершает электрическая сила при перемещении единичного положительного заряда между двумя точками поля:

Обозначение – ​ ( Deltavarphi ) ​, единица измерения в СИ – вольт (В).

Иногда разность потенциалов обозначают буквой ​ ( U ) ​ и называют напряжением.

Важно!
Разность потенциалов ( Deltavarphi=varphi_1-varphi_2 ) , а не изменение потенциала ( Deltavarphi=varphi_2-varphi_1 ) . Тогда работа электростатического поля равна:

Важно!
Эта формула позволяет вычислить работу электростатических сил в любом поле.

В электростатике часто вычисляют потенциал относительно бесконечно удаленной точки. В этом случае потенциал поля в данной точке равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал поля точечного заряда ​ ( q ) ​ в точке, удаленной от него на расстояние ​ ( r ) ​, вычисляется по формуле:

Для наглядного представления электрического поля используют эквипотенциальные поверхности.

Важно!
Внутри проводящего шара потенциал всех точек внутри шара равен потенциалу поверхности шара и вычисляется по формуле потенциала точечного заряда (​ ( r =R ) ​, где ​ ( R ) ​ – радиус шара). Напряженность поля внутри шара равна нулю.

Эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью равного потенциала, называется поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковое значение.

Свойства эквипотенциальных поверхностей

• Вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону убывания потенциала.
• Работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические окружности.

Разность потенциалов и напряженность связаны формулой:

Из принципа суперпозиции полей следует принцип суперпозиции потенциалов:

Потенциал результирующего поля равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов.

Важно!
Потенциалы складываются алгебраически, а напряженности – по правилу сложения векторов.

Решение задач о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов сохранения, теоремы об изменении кинетической энергии заряда с учетом работы электростатических сил.

Алгоритм решения таких задач:

• установить характер и особенности электростатических взаимодействий объектов системы;
• ввести характеристики (силовые и энергетические) этих взаимодействий, сделать рисунок;
• записать законы сохранения и движения для объектов;
• выразить энергию электростатического взаимодействия через заряды, потенциалы, напряженности;
• составить систему уравнений и решить ее относительно искомой величины;
• проверить решение.

Видео:Электрическое поле вблизи острияСкачать

Проводники в электрическом поле

Проводниками называют вещества, в которых может происходить упорядоченное перемещение электрических зарядов, т. е. протекать электрический ток.

Проводниками являются металлы, водные растворы солей, кислот, ионизованные газы. В проводниках есть свободные электрические заряды. В металлах валентные электроны взаимодействующих друг с другом атомов становятся свободными.

Если металлический проводник поместить в электрическое поле, то под его действием свободные электроны проводника начнут перемещаться в направлении, противоположном направлению напряженности поля. В результате на одной поверхности проводника появится избыточный отрицательный заряд, а на противоположной – избыточный положительный заряд.

Эти заряды создают внутри проводника внутреннее электрическое поле, вектор напряженности которого направлен противоположно вектору напряженности внешнего поля. Под действием внешнего электростатического поля электроны проводимости в металлическом проводнике перераспределяются так, что напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника равна нулю. Электрические заряды расположены на поверхности проводника.

Важно!
Если внутри проводника есть полость, то напряженность в ней будет равна нулю независимо от того, какое поле имеется вне проводника и как заряжен проводник. Внутренняя полость в проводнике экранирована (защищена) от внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита.

Явление перераспределения зарядов во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Заряды, разделенные электростатическим полем, взаимно компенсируют друг друга, если проводник удалить из поля. Если такой проводник разрезать, не вынося из поля, то его части будут иметь заряды разных знаков.

Важно!
Во всех точках поверхности проводника вектор напряженности направлен перпендикулярно к его поверхности. Поверхность проводника является эквипотенциальной (потенциалы всех точек поверхности проводника равны).

Видео:Физика 10 класс (Урок№27 - Напряжённость и потенциал электростатического поля.Разность потенциалов.)Скачать

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектриками называют вещества, не проводящие электрический ток. Диэлектриками являются стекло, фарфор, резина, дистиллированная вода, газы.

В диэлектриках нет свободных зарядов, все заряды связаны. В молекуле диэлектрика суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду ядра. Различают полярные и неполярные диэлектрики.

В молекулах полярных диэлектриков ядра и электроны расположены так, что центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают и находятся на некотором расстоянии друг от друга. То есть молекулы представляют собой диполи независимо от наличия внешнего электрического поля. В отсутствие внешнего электрического поля из-за теплового движения молекул диполи расположены хаотично, поэтому суммарная напряженность поля всех диполей диэлектрика равна нулю.

Если в отсутствие внешнего электрического поля центры масс положительных и отрицательных зарядов в молекуле диэлектрика совпадают, то он называется неполярным. Пример такого диэлектрика – молекула водорода. Если такой диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле, то направления векторов сил, действующих на положительные и отрицательные заряды, будут противоположными. В результате молекула деформируется и превращается в диполь. При внесении диэлектрика в электрическое поле происходит его поляризация.

Поляризация диэлектрика – процесс смещения в противоположные стороны разноименных связанных зарядов, входящих в состав атомов и молекул вещества в электрическом поле.

Если диэлектрик неполярный, то в его молекулах происходит смещение положительных и отрицательных зарядов. На поверхности диэлектрика появятся поверхностные связанные заряды. Связанными эти заряды называют потому, что они не могут свободно перемещаться отдельно друг от друга.

Внутри диэлектрика суммарный заряд равен нулю, а на поверхностях заряды не скомпенсированы и создают внутри диэлектрика поле, вектор напряженности которого направлен противоположно вектору напряженности внешнего поля. Это значит, что внутри диэлектрика поле имеет меньшую напряженность, чем в вакууме.

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности электрического поля в вакууме к модулю напряженности электрического поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества:

В полярном диэлектрике во внешнем электрическом поле происходит поворот диполей, и они выстраиваются вдоль линий напряженности.

Если внесенный в электрическое поле диэлектрик разрезать, то его части будут электрически нейтральны.

Видео:НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

Электрическая емкость. Конденсатор

Электрическая емкость (электроемкость) – скалярная физическая величина, характеризующая способность уединенного проводника удерживать электрический заряд.

Обозначение – ​ ( C ) ​, единица измерения в СИ – фарад (Ф).

Уединенный проводник – это проводник, удаленный от других проводников и заряженных тел.

Фарад – электроемкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл:

Формула для вычисления электроемкости:

где ​ ( q ) ​ – заряд проводника, ​ ( varphi ) ​ – его потенциал.

Электроемкость зависит от его линейных размеров и геометрической формы. Электроемкость не зависит от материала проводника и его агрегатного состояния. Электроемкость проводника прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится.

Конденсатор – это система из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников.

Проводники называют обкладками конденсатора. Заряды обкладок конденсатора равны по величине и противоположны по знаку заряда. Электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора. Конденсаторы используют для накопления электрических зарядов.

Электроемкость конденсатора рассчитывается по формуле:

где ​ ( q ) ​ – модуль заряда одной из обкладок,
​ ( U ) ​ – разность потенциалов между обкладками.

Электроемкость конденсатора зависит от линейных размеров и геометрической формы и расстояния между проводниками. Электроемкость конденсатора прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости вещества между проводниками.

Плоский конденсатор представляет две параллельные пластины площадью ​ ( S ) ​, находящиеся на расстоянии ​ ( d ) ​ друг от друга.

Электроемкость плоского конденсатора:

где ​ ( varepsilon ) ​ – диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками,
( varepsilon_0 ) – электрическая постоянная.

На электрической схеме конденсатор обозначается:

• по типу диэлектрика – воздушный, бумажный и т. д.;
• по форме – плоский, цилиндрический, сферический;
• по электроемкости – постоянной и переменной емкости.

Конденсаторы можно соединять между собой.

Параллельное соединение конденсаторов

При параллельном соединении конденсаторы соединяются одноименно заряженными обкладками. Напряжения конденсаторов равны:

Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов соединяют их разноименно заряженные обкладки.

Заряды конденсаторов при таком соединении равны:

Величина, обратная общей емкости:

При таком соединении общая емкость всегда меньше емкостей отдельных конденсаторов.

Важно!
Если конденсатор подключен к источнику тока, то разность потенциалов между его обкладками не изменяется при изменении электроемкости и равна напряжению источника. Если конденсатор заряжен до некоторой разности потенциалов и отключен от источника тока, то его заряд не изменяется при изменении электроемкости.

Применение конденсаторов
Конденсаторы используются в радиоэлектронных приборах как накопители заряда, для сглаживания пульсаций в выпрямителях переменного тока.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Энергия электрического поля конденсатора

Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор.

Электрическая энергия конденсатора сосредоточена в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле, поэтому ее называют энергией электрического поля. Формулы для вычисления энергии электрического поля:

Так как напряженность электрического поля прямо пропорциональна напряжению, то энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату напряженности.

Плотность энергии электрического поля:

где ​ ( V ) ​ – объем пространства между обкладками конденсатора.

Плотность энергии не зависит от параметров конденсатора, а определяется только напряженностью электрического поля.

Видео:Раскрытие тайн электромагнитной волныСкачать

Лекции и конспекты по физике

Электрическое поле в проводящей среде

Внутри проводников, по которым проходит электрический ток, также соответствует электрическое поле. Напряженность электрического поля в изотропной среде связана с плотностью тока соотношением:

В изотропной среде направление линий электрического тока всюду совпадает с направлением линий электрического поля. Если, кроме того, среда однородная ( ), то густота линий тока всюду пропорциональна густоте линий напряженности электрического тока, то есть картина линий тока и напряженности поля подобны друг другу.

Если среда неоднородна в отношении проводимости, то линии тока остаются в ней непрерывными, что следует из принципа непрерывности тока, выраженного условием, или , которое представляет собой обобщенную форму соответственно в интегральной и дифференциальной формах.

По теореме Остроградского . или плотность тока проводимости не имеет источников. Линии вектора — замкнуты.

Внутри проводящей среды вне источников ЭДС всюду соблюдается условие или , что выражает в области, где нет источников ЭДС. Поле оказывается потенциальным. Поверхности равного электрического потенциала, определенные уравнением , пересекаются линиями электрического поля под прямым углом, а следовательно, в изотропной среде они пересекаются под прямым углом и линиями тока.

Таким образом, электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуются системой уравнений

Вопрос о пространственном распределении тока чрезвычайно важен при рассмотрении многих практических задач, например, при исследовании токов в земле, токов в массивных проводниках, токов проводимости в изоляции и так далее.

8. Граничные условия на поверхности двух проводящих сред

При переходе тока через поверхность раздела сред с различными удельными проводимостями и направление тока изменяется, если только линии тока не направлены нормально к поверхности раздела.

Составим линейный интеграл по контуру , стороны и которого, расположены в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела, получим:

Применяя принцип непрерывности тока к замкнутой поверхности, образованной двумя поверхностями и , расположенными в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела и бесконечно малой боковой поверхностью раздела:

Имея в виду, что , получим

Приняв во внимание соотношение < ,

Закон преломления линий тока по форме аналогичен закону преломления на границе раздела двух диэлектриков.

Во многих практических случаях мы встречаемся с переходом тока из металлических тел в окружающую среду, удельная проводимость которой во много раз меньше удельной проводимости материала этих тел. Например, ток утечки через изоляцию между проводами, заземление. Во всех этих случаях при рассмотрении поля в среде с малой удельной проводимостью можно считать поверхности тел поверхностями равного потенциала.

9. Аналогия электрического поля в проводящей среде с электрическим полем

Между соотношениями, характеризующими стационарное электрическое поле постоянных токов в проводящей среде и соотношениями, характеризующими электростатическое поле в диэлектрике, можно провести формальную аналогию.

Для электрического поля токов в проводящей среде имеем:

Они формально совпадают соотношениями для электростатического поля в диэлектрике:

если в последних заменить вектор электрического смещения вектором плотности тока , ; .

В электростатической задаче границей диэлектрика является поверхность проводящего тела. Эта поверхность есть поверхность равного потенциала, и вектор к ней нормален. Границей плохо проводящей среды (почвы или несовершенной изоляции) является поверхность проводников. С большой степенью точности эту поверхность можно считать поверхностью равного потенциала, и вектор в плохо проводящей среде считать направлением по нормали к ней. На основании изложенного можно утверждать, что картина электрического поля токов (в почве или в изоляции) в этих задачах должна совпадать с картиной поля в соответствующих электростатических задачах.

На этом основан метод электростатической аналогии, позволяющий в ряде случаев при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает возможность также заменить исследования электростатического поля экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде.

В частности, формулы для электропроводимости , в которых протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости тел, так как в аналогичных задачах ток заменяется зарядом .

Электрическая емкость тела или емкость между телами определяется геометрическими параметрами тела и диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих тела. Поэтому, чтобы получить формулу для , достаточно заменить в соответствующей формуле для .

Если проводящая среда и , соответственно, диэлектрик однородны, то формулу для входит множителем, и соответственно в формулу для емкости для диэлектрической проницаемости также входит множителем.

Следовательно, для аналогичных задач имеем:

Ток утечки в кабеле и сопротивление изоляции кабеля

Определим ток утечки в кабеле, возникающий вследствие несовершенства изоляции кабеля. Сечение кабеля приведено на рисунке. Линии напряженности поля и линии тока утечки изоляции можно считать направленными по радиусу.

Проведем внутри изоляции цилиндрическую изоляцию, имеющую радиус R и длину l в направлении оси кабеля. Имеем: и, следовательно,

Напряжение между проводами:

Пользуясь этой формулой, можно записать формулу для емкости кабеля:

11. Поле шарового электрода

Для заземления электрической цепи ее соединяют с металлическим проводником, зарытым в землю. Такой проводник называется заземлителем.

Ток, проходящий в землю через заземлитель, встречает сопротивление (сопротивление земли), которое называется сопротивлением заземления. В земле линии тока не уходят в бесконечность, а собираются у другого электрода. Вблизи от заземлителя, на поверхности земли могут возникать большие напряжения.

Исследуем поле сферического заземлителя.

Металлический шар радиусом a находится в грунте с проводимостью . К шару при помощи изолированного провода подводится постоянный ток I, который возвращается в цепь на достаточном удалении от заземления.

По условию симметрии линии плотности тока вблизи заземлителя будут направлены радиально. На расстоянии R от центра шара

Экспотенциальными поверхностями будут концентрические сферы.

Напряжение между произвольной точкой M и точкой, которая находится на поверхности заземлителя:

– сопротивление заземлению, сопротивление заземления.

2. Если электрод расположен близко от поверхности земли, то линии тока искажаются. В этом случае можно пользоваться методом зеркальных изображений.

Линии тока у земли должны быть к ней касательны. Это условие останется удовлетворенным, если мысленно заполнить воздушное пространство над поверхностью земли проводящей средой с такой же, как у земли удельной проводимостью и поместить в эту среду электрод, являющийся зеркальным изображением действительного электрода относительно поверхности земли.

Ток, выходящий из мнимого электрода, должен быть равен по величине и по знаку току, выходящему из действительного электрода в землю. Проводимость заземления для действительного электрода, очевидно, равна половине проводимости системы, образованной электродом и его зеркальным изображением.

3. Проводимость в случае электрода в форме полушария, расположенного у поверхности земли:

Пример расчета. Полусферический заземлитель м погружен в землю, удельная проводимость которой 1/Ом∙м ток короткого замыкания I=100 А стекается через заземлитель в землю и собирается у другого электрода.

Напряжение шага, под которым может оказаться человек, приближающийся к заземлителю, считать считать равной 1 м.

Предельное напряжение называется напряжением растекания.

Каково значение величины rot H в однородном магнитном поле?

Является ли функция div D векторной?

Свободные заряды в некотором объеме отсутствуют, так что div D = 0. Справедливо ли равенство div E = 0 в точках объема, если среда а) однородна б) неоднородна?

При каком характере распределения в пространстве электрического тока и заряда величины rot H, div D теряют смысл?

Чему равна функция grad φ внутри проводящего тела?

📽️ Видео

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений МаксвеллаСкачать

Урок 219. Задачи на напряженность электрического поля - 1Скачать

Электрическое поле/Напряженность и потенциал поля/Разность потенциалов/Работа поляСкачать

1.2 Материальные уравнения, векторы поляризованности и намагниченности средСкачать

Урок 228. Диэлектрики в электрическом поле. Диэлектрическая проницаемостьСкачать