Уравнения движения машинного агрегата в интегральной и дифференциальной формах (7 видео)

Уравнения движения машинного агрегата в интегральной и дифференциальной формах

Динамическая модель машинного агрегата.

Прямая задача динамики машины, как отмечалось и ранее, является задачей анализа, задачей по определению закона движения механической системы под действием заданных внешних сил. При решении этой задачи параметры машинного агрегата и действующие на него внешние силы известны, необходимо определить закон движения: скорости и ускорения в функции времени или обобщенной координаты. Иначе эту задачу можно сформулировать так: заданы управляющие силы и силы внешнего сопротивления, определить обеспечиваемый ими закон движения машины. Обратная задача — это задача синтеза управления, когда задан требуемый закон движения машины и внешние силы сопротивления, а определяются управляющие силы. При решении задач динамики используются либо уравнения силового равновесия системы — метод кинетостатики, либо уравнения энергетического равновесия — закон сохранения энергии. Для идеальной механической системы, в которой не потерь энергии и звенья абсолютно жесткие, этот закон можно применять в виде теоремы о изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме работа всех внешних сил действующих на систему расходуется только на изменение ее кинетической энергии. При этом потенциальные силы — силы веса рассматриваются как внешние

Уравнения движения машинного агрегата в интегральной и дифференциальной формах

где D T — изменение кинетической энергии системы, T — текущее значение кинетической энергии системы, T нач -начальное значение кинетической энергии системы,

суммарная работа внешних сил, действующих на систему.

Рассмотрим сложную механическую систему (рис.6.1), состоящую из n подвижных звеньев из которых r — звеньев совершают вращательное движение, j — плоское, k — поступательное. Основная подвижность системы равна W=1 . На систему действуют: f — внешних сил и m — внешних моментов. Движение этой системы определяется изменением одной независимой обобщенной координаты. Такую систему при решении задач динамики можно заменить более простой динамической моделью. Положение звена этой модели определяется обобщенной координатой, а динамические параметры заменяются: инерционные — суммарным приведенным моментом инерции I пр å , силовые — суммарным приведенным моментом М пр å . Эти параметры динамической модели рассчитываются по критериям подобия модели и объекта, которые определяются соответственно из равенства правых и левых частей уравнений изменения кинетической энергии для модели и объекта, т.е.

— сумма работ всех внешних сил, действующих на систему,

— работа суммарного приведенного момента,

— сумма кинетических энергий звеньев системы,

— кинетическая энергия динамической модели.

Уравнения движения динамической модели

Уравнение движения динамической модели в интегральной форме.

Запишем для динамической модели теорему о изменении кинетической энергии

где

и уравнение движения динамической модели в интегральной или энергетической форме

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета угловой скорости звена приведения.

Для машин работающих в режиме пуск-останов

формула принимает вид

Уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате

где

После подстановки получим

уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения.

Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма.

Определение параметров динамической модели машины (приведение сил и масс) .

Рассмотрим изображенную на рис. 6.1 механическую систему и ее динамическую модель. Запишем для них уравнение изменения кинетической энергии. Кинетическая энергия:

для механической системы
для модели

Суммарная работа внешних сил:

для механической системы
для модели

Модель будет энергетически эквивалентна рассматриваемой механической системе, если правые и левые части уравнений изменения кинетической энергии для модели и для системы будут соответственно равны. То есть для левых частей выполняется условие Т с = Т м , а для правых — A _{å c = A _{å м . Для того чтобы второе равенство выполнялось в течение всего диапазона изменения обобщенной координаты, необходимо обеспечить не равенство интегралов, а равенство подынтегральных выражений dA _{å c =dA _{å м} . Подставляя в равенства, записанные ранее выражения для кинетических энергий и работ получим:}}}

для левых частей

для правых частей

Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции динамической модели

Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента динамической модели

Механические характеристики машин.

Механической характеристикой машины называется зависимость силы или момента на выходном валу или рабочем органе машины от скорости или перемещения точки или звена ее приложения.

Рассмотрим примеры механических характеристик различных машин.

Двигатели внутреннего сгорания (ДВС):

четырехтактный ДВСРис 6.2

Индикаторная диаграмма — графическое изображение зависимости давления в цилиндре поршневой машины от хода поршня.
двухтактный ДВС

Рис 6.3

Электродвигатели

асинхронный электродвигатель переменного тока На диаграмме: М дп — пусковой момент; М дн — номинальный крутящий момент; М дк или М дmax — критический или максимальный момент; w дн — номинальная круговая частота вращения вала двигателя; w дхх или w дс — частота вращения вала двигателя холостого хода или синхронная. Уравнение статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части
где М д — движущий момент на валу двигателя,
w д — круговая частота вала двигателя ,

Статическая характеристика асинхронного двигателя, выражающая зависимость нагрузки от скольжения, определяется формулой Клосса
Рис 6.4
двигатель постоянного тока с независимым возбуждением

Рис 6.5
Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

где k = М дн ( w дхх — w дн ).
В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде

где k M = M дн /I ян — коэффициент момента, k w = (U ян — R ян Ч I ян ) / w дн — коэффициент противоэлектродвижущей силы, U я — напряжение в цепи якоря, R я — сопротивление цепи якоря
Рабочие машины
поршневой насос

поршневой компрессор
Рис 6.7
Линии bc и ad — линии сжатия и расширения газа (воздуха) определяются параметрами газа (объемом, давлением и температурой) и в общем виде описываются уравнением политропы p × V n = const , где n — показатель политропы ( 1 n 0 ).
строгальный станок
Рис 6.8
Механические характеристики определяют внешние силы и моменты, действующие на входные и выходные звенья, рассматриваемой механической системы со стороны взаимодействующих с ней внешних систем и окружающей среды. Характеристики определяются экспериментально, по результатам экспериментов получают регрессионные эмпирические модели, которые в дальнейшем используются при проведении динамических расчетов машин и механизмов.
Пример на определение параметров динамической модели (на приведение сил и масс ).
Дано: Кинематическая схема механизма поршневого насоса( l i , j i ) , М д , F c , m i , I Si ;
Рис 6.8

Рис 6.9

1. Определение сил веса G i = m i × g.

2.Определение кинематических передаточных функций.

Простой и наглядный метод определения передаточных функций — графоаналитический метод планов возможных скоростей. При этом в произвольном масштабе строятся планы скоростей для рада положений цикла движения механизма. По отрезкам плана скоростей рассчитываются соответствующие передаточные функции по следующим формулам ( для машины, схема которой изображена на рис.6.8 ):

Передаточные функции:

По этим формулам строятся цикловые диаграммы передаточных функций для рассматриваемого механизма ( см. рис. 6.10 ).

3. Определение суммарного приведенного момента М пр _å

Для определения суммарного приведенного момента необходимо просуммировать приведенные моменты от всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему. Приведенный момент от силы равен скалярному произведению вектора силы на вектор передаточной функции точки ее приложения, от момента — произведению момента на передаточное отношение от звена приложения момента к звену приведения. На рассматриваемую систему действуют силы веса звеньев G i , сила сопротивления F с и движущий момент М д . Приведенный момент от этих сил рассчитывается по формуле:

4. Определение суммарного приведенного момента инерции I пр _{å .}

Для определения суммарного приведенного момента инерции необходимо просуммировать приведенные моменты инерции от всех масс и моментов инерции подвижных звеньев рассматриваемой системы. Приведенный момент инерции от массы равен произведению массы на квадрат передаточной функции ее центра, от момента инерции — произведению момента инерции звена на квадрат передаточного отношения от этого звена к звену приведения. Инерционность рассматриваемой системы определяется массами звеньев 2 и 3 и моментами инерции ротора двигателя, редуктора, коленчатого вала, маховика и звена 2. В суммарный приведенный момент инерции входят как составляющие не зависящие от положения механизма, так и составляющие, зависящие от обобщенной координаты. Первые имеют постоянный момент инерции и относятся к первой группе звеньев, момент инерции других — переменный, они образуют вторую группу. Приведенный момент для рассматриваемой системы определяется по формуле:

Таким образом выполнена поставленная задача — определены параметры динамической модели поршневого насоса: приведенный суммарный момент М пр _{å и приведенный суммарный момент инерции I пр _{å .}}

1. Определите прямую задачу динамики машин ? (стр. 1)

2. Сформулируйте теорему о изменении кинетической энергии для идеальной механической системы ? (стр.1)

3. Запишите уравнения движения динамической модели в интегральной и дифференциальной форме ? (стр. 2-3)

4. Что называется динамической моделью машины ? (стр. 1)

5. Какие параметры характеризуют динамическую модель машины ? (стр.3-4)

6. Что называется механической характеристикой машины ? (стр.4)

7. Изобразите механические характеристики (д.в.с., асинхронного электродвигателя, поршневого компрессора) и укажите их основные параметры ? (стр. 4-8)

8. Изложите алгоритм определения параметров динамической модели для поршневого насоса ? (стр.8-12)

Видео:Теория механизмов и машин. Лекция: уравнение движения механизма, режимы работы механизмаСкачать

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА

После выполнения приведения сил и масс, любой механизм с одной степенью подвижности можно заменить его динамической моделью (рисунки 4.1; 4.5). Эта модель имеет переменный приведенный момент инерции I_пр и приведенный момент М_пр. Закон движения модели такой же, как и закон движения начального звена (уравнение 4.1).

Основой для составления уравнения движения механизма служит теорема об изменении кинетической энергии

, (4.8)

где υ – скорость в конце движения, υ_о – скорость в начале движения, А_дв – работа движущих сил, А_сс – работа сил сопротивления. При этом работу совершают все силы и моменты, а также силы трения.

Уравнение движения в энергетической форме. Если привести все силы и массы к звену приведения, то уравнение примет вид

, (4.9)

где А_Рдв – работа приведенной к звену приведения движущей силы, А_Рсс – работа приведенной силы сопротивления, m_пр и m_пр0 — приведенные массы, соответствующие конечному и начальному положениям.

Обычно удобнее в левую часть уравнения вводить работу приведенных моментов А_Мдв и М_Рсс, а правую часть выражать через приведенные моменты инерции I_пр и I_пр0. Тогда выражение (4.9) примет вид

. (4.10)

Уравнение движения в дифференциальной форме.Уравнение движения механизмов машинного агрегата запишем через приведенные силы и массы, для чего продифференцируем уравнение (4.9)

, (4.11)

где Р_дв – движущая силы, Р_с – сила сопротивления.

То же самое уравнение можно записать, если воспользоваться приведенным моментом и приведенным моментом инерции, для чего продифференцируем уравнение (4.10)

. (4.12)

Уравнение движения в интегральной форме.В дифференциальное уравнение движения механизма машинного агрегата входят приведенные моменты движущих сил и сил сопротивления. Эти моменты могут быть функциями обобщенной координаты φ или ее первой производной φ’ = ω, или времени t. Тогда уравнение (4.12) запишем в виде

. (4.13)

Интегрируя данное выражение по обобщенной координате, получим

. (4.14)

Видео:Уравнение движенияСкачать

ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Движущие силы F_a и силы производственных сопротивлений F_c могут зависеть одновременно или раздельно от положения звена, принятого за начальное, и от его угловой скорости. Например, в машинном агрегате с поршневым двигателем и поршневым насосом движущие силы и силы производственных сопротивлений зависят от положения ведущих звеньев. В машинном агрегате электродвигатель — кривошипный пресс для обработки металлов давлением движущие силы зависят от угловой скорости и могу быть представлены в виде соответствующей механической характеристики (см. выше в этой главе). Для пресса сопротивление является функцией положения его ведущего звена. В машинном агрегате электродвигатель — ротационный насос движущая сила и сила производственного сопротивления зависят от угловой скорости ведущих звеньев. Наконец, для машинного агрегата поршневой двигатель внутреннего сгорания — генератор электрического тока движущая сила может считаться с достаточной точностью, зависящей только от положения ведущего звена, а сила производственного сопротивления — от угловой скорости вала генератора.

Приведенные массы т_п и приведенные моменты инерции машинного агрегата могут быть или постоянными, или зависящими от положения начального звена. Так, у электродвигателя с ротационным насосом, генератором электрического тока и так далее, приведенный момент инерции постоянный. У кривошипного пресса, поршневого двигателя внутреннего сгорания, строгального станка и так далее, приведенный момент инерции зависит от угла поворота начального звена.

Приведенная масса или приведенный момент инерции, очевидно, постоянны для машин и механизмов, для которых передаточные отношения, входящие в (6.47) и (6.49), постоянны.

Уравнение движения машинного агрегата может быть написано в форме уравнения кинетической энергии механизма (6.6):

где Л_л — есть работавсех движущих сил, А_с — работа всех сил сопротивления, — кинетическая энергия механизма в конце рассматриваемого интервала времени, — кинетическая энергия механизма в начале рассматриваемого интервала времени.

Если привести все силы и массы к выбранному звену приведения, то уравнение (6.53) может быть написано в виде уравнения кинетической энергии звена приведения:

а) движущегося под действием приведенных сил:

где т_п и т_п0 — приведенная масса механизма в конце и начале рассматриваемого интервала времени, х>_в и — скорости точки приведения В в эти моменты времени; или,

б) движущегося под действием приведенных моментов:

Уравнение движения машинного агрегата может быть также написано в форме дифференциального уравнения. Для этого обозначим разность приведенных движущих сил и сил сопротивления через F=F_a — F_c. Тогда уравнению кинетической энергии можно придать вид

или

Подставляя в уравнение (6.56) значение кинетической энергии, получаем

Но

и равенство (6.57) примет вид

Другой вид уравнению движения механизмов машинного агрегата можно придать, если воспользоваться приведенным моментом М= М_а — М_с, приведенным моментом инерции J_u и угловой скоростью со звена приведения. Используя аналогию 1 между линейными и угловыми величинами в классической механике, получим

где ф — угол поворота звена приведения.

Для определения истинного движения всех звеньев механизмов машинного агрегата, очевидно, достаточно знать закон движения звена, выбранного за звено приведения, то есть определить из уравнения (6.58) или (6.60) обобщенные координаты звена приведения, как функции времени.

Как было показано, в общем случае движение механизма может быть представлено как сумма двух движений, перманентного и начального. В перманентном движении скорость точки приведения или угловая скорость звена приведения постоянны и, следовательно, ускорение и угловое ускорение звена равны нулю. В начальном движении линейная и угловая скорости равны нулю, а ускорения не равны нулю. Такая интерпретация движения механизма, предложенная Жуковским Н.Е., становится особенно ясной, если обратиться к уравнению движения звена приведения механизма в дифференциальной форме (6.58) или (6.60). Например, из (6.60) имеем

1 Напомним, что в уравнениях классической механики, если рассматриваются линейные и угловые движения, можно проводить замены в соответственных парах линейных и угловых величин: (5 — cp), (н — со), (а — е), <т— J), (F — М) и некоторых других парах линейных и угловых величин. Уравнения динамики при этом сохранят свою форму.

где — момент от сил инерции в начальном движении

механизма, так как в этом движении со = 0 и ,

— момент от сил инерции в перманентном движении, так как в этом движении со = const и

Уравнение (6.61) есть уравнение динамического равновесия звена приведения, к которому приложен внешний момент Ми моменты М_нт и М_перм сил инерции звеньев в начальном и перманентном движениях.