Уравнения движения грузов и блока (2 видео)

Решение задач на движение системы связанных тел

Содержание

Уравнения движения грузов и блока
Задач теоретические знания столь просты и общеизвестны, что не требуют систематического изложения
Главная > Документ
6.4. Невесомые блоки и идеальные нити
7.1. Определения
Пример 7.3. Прыжки солдат с платформы
💡 Видео

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На уроке мы рассмотрим решение задач на движение связанных тел. Это довольно часто встречающийся вид движения, примером могут быть как железнодорожный состав, проходящий мимо, автомобиль с прицепом, так и чисто лабораторные примеры, когда несколько тележек, движутся под действием какой-то силы.

Видео:Физика. Задача о грузах, подвешенных на блоке.Скачать

Уравнения движения грузов и блока

Основными кинематическими величинами являются радиус-вектор точки , мгновенные скорость и ускорение , траектория и путь .

Мгновенная скорость точки в общем случае движения может меняться. Скорость изменения скорости называется мгновенным ускорением:

Интегрирование последнего выражения при условии постоянства ускорения дает закон изменения скорости равнопеременного движения:

где — начальная скорость, — скорость в момент времени .

При движении из состояния покоя, при :

В свою очередь, интегрирование выражения для с учетом (10) дает закон изменения при равноускоренном движении:

При движении из начала координат без начальной скорости это выражение упрощается:

Если точка движется по прямой в одном направлении, вектор перемещения по модулю равен пройденному пути . При равноускоренном движении без начальной скорости, которое изучается в этой работе

Другой частный случай движения — равномерное движение — описывается просто:

Теперь рассмотрим динамику равноускоренного движения системы тел, состоящей из двух грузов, подвешенных к концам нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через блок. Рассчитаем вначале ускорение, пренебрегая массой блока.

На каждый груз будут действовать две силы — сила тяжести и сила натяжения нити , под действием которых грузы будут перемещаться (силами трения пренебрегаем и считаем нить невесомой). Направление ускорения показано на рис.3.1 для случая, когда m_2$»>.

Поскольку нить нерастяжима, то ускорения правого и левого грузов равны по величине и противоположны по знаку . Если предположить, что блок невесом, то .

Запишем уравнения движения каждого груза в векторной форме:

затем в проекциях на ось , положительное направление которой указано на рис.3.1:

Решая эти уравнения, получим выражение для ускорения системы:

Таким образом, система движется ускоренно, если массы грузов различны, и покоится или движется равномерно прямолинейно при .

В действительности силы натяжения, действующие на грузы, не равны друг другу, так как масса блока отлична от нуля. Возникает момент сил натяжения , вызывающий вращение блока. Для динамического описания движения в этом случае нужно дополнить систему уравнений законом движения блока:

где — результирующий момент сил натяжения, действующих на блок; — плечо сил, равное радиусу блока; — момент инерции блока; — угловое ускорение точек блока.

Считая блок однородным диском, выразим его момент инерции так:

Кроме того, если нить не скользит по блоку, линейное ускорение её точек связано с угловым ускорением блока соотношением:

Решая систему уравнений для движения грузов, а также (16) с учетом (17) и (18), получим более точное выражение для ускорения грузов:

Как видно, условие ускоренного движения сохраняется, но на величину ускорения влияют не только массы грузов, но и масса блока. Количественная оценка этого влияния является одной из целей данной работы.

Видео:Урок 83 (осн). Задачи на блокиСкачать

Задач теоретические знания столь просты и общеизвестны, что не требуют систематического изложения

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

6.4. Невесомые блоки и идеальные нити

Стандартными для школьного курса являются задачи про грузы, подвешенные на невесомых нерастяжимых нитях, перекинутых через способные вращаться без трения невесомые блоки. При решении таких задач важно понимать, где именно используются указанные в условии приближения (равенство нулю масс нитей и блоков и не растяжимость нитей). Если масса нити равна нулю, то сумма сил, приложенных к любому ее отрезку со стороны других тел обязана равняться нулю (иначе участок нити приобретет бесконечное ускорение). Т.о. груз, висящий на невесомой, перекинутой через блок нити, воздействует на блок с той же по величине силой, с которой нить действует на груз. Условие невесомости блока приводит к тому, что силы натяжения нити по разные стороны блока обязаны равняться друг другу ( иначе блок закрутится с бесконечным ускорением). Т.о. силы натяжения нити, действующие на грузы, подвешенные по разные стороны блока, оказываются одинаковыми.

Условие не растяжимости нити приводит к тому, что сумма длин всех ее отрезков обязана оставаться постоянной. Дифференцирование по времени соответствующего равенства дает соотношение между скоростями грузов, а еще одно дифференцирование — связь ускорений грузов.

Пример 6.3. Неподвижный блок

Невесомая нерастяжимая нить перекинута через неподвижный невесомый блок, способный вращаться без трения. К концам нити прикреплены два груза, массами M и m, начальное расстояние между которыми равно H. В начальный момент грузы покоились. Через какое время после того, как грузы отпустили, они окажутся на одной высоте?

При решении этой задачи следует учесть, что до момента встречи каждый из грузов проходит расстояние, равное половине начального. Кроме того, встреча грузов может состояться лишь в том случае, если более тяжелый окажется подвешенным выше, чем более легкий.

Уравнения движения для каждого их грузов. Записанные векторные равенства удобнее проектировать на различные оси x 1 и x 2 . В этом случае положительному ускорению первого груза будет соответствовать положительное ускорение второго.

Время до встречи грузов.

Необходимое условия встречи грузов.

Ответ: если , грузы окажутся на одной высоте через время в противном случае грузы вообще не встретятся.

6.5. Комбинированные задачи

Опыт проведения вступительных экзаменов показывает, что наибольшие трудности у абитуриентов вызывают «комбинированные» задачи, решение которых требует знаний из различных разделов физики. На данном этапе на примере механики полезно познакомиться с задачами такого типа, требующих использования различных идей, уже обсуждавшихся в нашем курсе.

Пример 6.4. «Комбинированная задача»

На неподвижном клине, наклонная плоскость которого составляет угол a с горизонтом, установлен невесомый блок, способный вращаться без трения. К перекинутой через него нити привязаны два груза массами m и M, один из которых находится на наклонной плоскости, а другой висит, касаясь вертикальной стенки клина. При этом удерживающая его нить расположена строго вертикально. С каким ускорением начнут двигаться грузы, если их отпустить? Коэффициент трения грузов о поверхность клина одинаков и считается заданным.

При решении этой задачи весьма часто встречается ошибка, связанная с вычислением силы трения, действующей на груз M. На самом деле величина этой силы равна нулю из-за того, что сила реакции опоры, действующая на груз со стороны стенки клина отсутствует (иначе нить не была бы расположена вертикально). Вторая проблема состоит в выборе правильного направления действия на груз m силы трения. Очевидно, что эта сила действует в направлении, противоположном тому, куда система «стремится» сдвинуться. Для выбора этого направления целесообразно решить вспомогательную задачу о движении грузов в отсутствии сил трения

Уравнения движения грузов в отсутствии сил трения. За положительное выбрано направление движения, при котором груз M опускается.

Ускорение системы в случае отсутствия трения.

Условие, при котором сила трения, действующая на груз m, направлена влево и вниз.

После решения вспомогательной задачи выбор направления действия силы трения не должен представлять какой-либо проблемы. При дальнейшем решении задачи с учетом силы трения следует учесть, что в зависимости от величины коэффициента трения возможными являются две ситуации: грузы движутся с постоянными ускорениями, либо — покоятся. Наконец, в случае система будет покоиться при любом коэффициенте трения.

7.1. Определения

Импульсом материальной точки называется произведение ее массы на скорость (7.1).

Импульсом системы материальных точек называется сумма (разумеется, векторная) импульсов всех материальных точек, входящих в систему (7.2).

Определение импульса материальной точки.

Определение импульса системы материальных точек.

6.2. Импульсная формулировка второго закона Ньютона

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту материальную точку. Приведенное утверждение иногда называют импульсной формулировкой второго закона Ньютона.

Импульсная формулировка второго закона Ньютона может быть легко доказана, сходя из второго закона Ньютона, в предположении постоянства массы материальной точки (7.3).

Если масса материальной точки изменяется во времени, приведенная в (7.3) цепочка равенств не может выполняться. Это означает, что в случае движения тела с переменной массой как минимум одна из формулировок второго закона должна быть неверной (ошибочными могут оказаться обе формулировки). Опыт показывает, что в случае переменной массы тела импульсная формулировка второго закона Ньютона остается применимой , в то время как «классическая школьная формулировка» перестает выполняться.

Из импульсной формулировки непосредственно следует закон сохранения импульса материальной точки:

Если сумма действующих на материальную точку сил равна нулю, то импульс материальной точки сохраняется во времени.

Доказательство импульсной формулировки второго закона Ньютона.

Пример 7.1. Вес кобры

Лежавшая на пружинных весах кобра длиной L , масса которой M равномерно распределена по всей длине тела, встает на хвост за время T . Считая подъем кобра на хвост равномерным, определить вес кобры на указанном промежутке времени.

Во время подъема кобры на хвост силы тяжести и реакции опоры не уравновешивают друг друга. Именно возникающая при этом разность сил обеспечивает подъем кобры, который, очевидно, сопровождается постепенным возрастанием ее импульса, направленного вертикально вверх. Т.о. для решения задачи целесообразно использовать импульсную формулировку второго закона Ньютона.

Импульсная формулировка второго закона ньютона для встающей на хвост кобры.

Проекция (6.4) на ось, направленную вертикально вверх.

Зависимость от времени массы вертикально расположенной части тела кобры и окончательное выражение для веса встающей на хвост змеи.

Ответ: вес встающей на хвост кобры равен

7.3. Скорость изменения импульса системы материальных точек

Скорость изменения импульса системы материальных точек равна сумме скоростей изменения импульса каждой точки системы (7.7). В свою очередь, скорость изменения импульса каждой из материальных точек равна сумме приложенных к ней сил. Эти силы можно разить на две группы: внешние силы (действуют на объекты системы со стороны тел, не принадлежащих рассматриваемой системе) и внутренние (действуют между телами, составляющими рассматриваемую систему). Сумма внутренних сил в системе оказывается равной нулю, поскольку в соответствии с третьим законом Ньютона оказываются равными нулю суммы сил, возникающих при взаимодействиях в каждой паре материальных точек системы.

В результате оказывается, что скорость изменения полного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на все элементы системы.

Системы, в которых не действуют внешние силы, называются замкнутыми.

В замкнутых системах выполняется закон сохранения импульса:

В замкнутых системах полный импульс сохраняется во времени.

Выражение для скорости изменения импульса системы через скорости изменения импульсов составляющих систему частиц.

Скорость изменения им пульса системы равна сумме сил, действующих на все объекты системы.

Пример 7.2. Удачный выстрел

Ядро выпущено из пушки под углом a к горизонту с начальной скоростью v 0 . В верхней точке своей траектории ядро взрывается, раскалываясь на две одинаковые половинки. Одна из них, двигаясь по ядра, возвращается обратно в пушку. На каком расстоянии от того места, где находилась пушка, упал второй осколок.

При решении сформулированной задачи часто ошибочно используют закон сохранения импульса, который выполняется только в замкнутых системах. Взрывающееся ядро не может представлять замкнутую систему, поскольку на его движение существенное влияние оказывает Земля. Для решения задачи следует использовать теорему о скорости изменения импульса системы (7.8). С ее помощью легко показать, что во времени сохраняется не весь импульс, а только его проекция на горизонтальную ось (7.9).

В рассматриваемой системе сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось

Х-проекция импульса ядра с момента выстрела до момента взрыва не изменяется во времени (т.к. сила тяжести направлена перпендикулярно вниз)

После взрыва один из осколков ядра изменяет свою скорость на противоположную, другой — приобретает скорость u.

Поскольку времена падения двух осколков равны, а скорости отличаются в 3 раза, горизонтальные отрезки путей , проходимых осколками, отличаются так же в 3 раза.

Расстояние от пушки до точки падения второго осколка.

Ответ: второй осколок упадет на расстоянии от пушки.

7.4 . Реактивное движение

В соответствии с законами Ньютона для сообщения телу ускорения необходимо действие силы, которая в свою очередь возникает в результате взаимодействия этого тела с другими. Однако на практике иногда возникают задачи изменения скорости движения тела, находящегося в пустом пространстве (например, при движении космического корабля в далеком космосе). В этом случае оказывается возможным сообщить ускорение части тела за счет ее взаимодействия с другими его частями (которые, разумеется, так же приобретают ускорения). Описанный принцип изменения скорости тел, составляющих замкнутую систему, называют реактивным движением. В качестве примера рассчитаем приращение скорости тела Dv массой M (космического корабля) в результате выброса небольшой порции топлива DM, скорость истекания которого относительно космического корабля известна — u. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса в предположении, что порция топлива выбрасывается в направлении, противоположном начальной скорости космического корабля v (7.14). В полученном выражении следует пренебречь слагаемым высшего порядка малости (произведение массы выброшенной порции топлива на приращение скорости). В результате получается окончательное выражение (7.15), показывающее, что для лучшего разгона корабля необходимо обеспечение максимальной скорости истекания топлива (т.е. обеспечение максимально возможной температуры его сгорания). Кроме того, исходя из соображений максимальной скорости полета целесообразно увеличивать отношение массы выбрасываемого топлива к массе космического корабля (что, очевидно, противоречит целям большинства запусков космических кораблей).

Закон сохранения импульса для замкнутой системы «космический корабль + выброшенная порция топлива»

Приращение скорости космического корабля.

Пример 7.3. Прыжки солдат с платформы

На неподвижной платформе, способной без трения катиться по горизонтальной поверхности, располагается N одинаковых солдат массой m каждый, способных бегать по платформе с одинаковой скоростью v (скорость относительно платформы!).Солдаты бегут все в одном направлении и спрыгивают с платформы, не изменяя своей скорости в момент прыжка. В каком из двух случаев скорость платформы окажется большей: если солдаты прыгали одновременно или «один за другим».

Сложность этой задачи состоит в том, что в случае последовательных прыжков солдат можно получить только рекуррентное соотношение для приращений скорости, а конечное значение скорости платформы представимо только в виде суммы, вычисление которой затруднительно (по чисто математическим причинам). Тем ни менее, ответ на поставленный вопрос может быть дан без выполнения суммирования. ( Решение задачи — см. в подборке задач районных и городских олимпиад).

7.5. Короткие удары о шероховатые поверхности

Теорема о скорости изменения импульса системы тел позволяет решать задачи описания движения, сопровождающегося короткими ударами о поверхности при наличии сил сухого трения. При таких ударах скорость движущегося тела изменяется за очень короткий промежуток времени, что, согласно импульсной формулировке второго закона, приводит к возникновению очень больших сил реакции опоры, в свою очередь приводящих к резкому увеличению сил трения в момент удара. Все перечисленные процессы могут быть учтены при решении задач и не требуют использования высшей математики (см. пример 7.4).

Пример 7.4. Пуля, влетающая в ящик с песком

На горизонтальной шероховатой поверхности (коэффициент трения дан) покоится ящик с песком массой M. В ящик врезается пуля, летевшая со скоростью v под углом a к горизонту. На сколько сдвинется ящик, если пуля застревает в песке, а время торможения в пули очень мало?

Задача распадается на две части: анализ процессов, происходящих при торможении поли в ящике, анализ движения ящика по поверхности под воздействием сил трения.

Теорема о скорости изменения импульса системы позволяет не включать в рассмотрение трудно учитываемые силы, возникающие в результате взаимодействия пули с песком (7.16). В рассматриваемом примере ограничимся случаем малых коэффициентов трения, при которых ящик начинает скользить (в противном случае рассмотрение аналогично проделанному в задаче про заклинивание — см. лекцию 5) и сила сухого трения оказывается равной произведению коэффициента трения на величину силы реакции опоры, которая в момент удара оказывается очень большой (7.18). В выражении для импульса ящика после остановки в нем пули (7.19) следует пренебречь только теми слагаемыми, в которых содержатся произведение малого интервала времени на конечные величины (сила реакции опоры в момент короткого удара оказывается очень большой!). Как видно из выражения (7.20), пройденный к моменту остановки пули ящиком путь оказывается бесконечно малым.

Теорема о скорости изменения импульса системы, записанная для конкретной сформулированной в задаче ситуации. В правой части равенства учтены только внешние силы.