Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Каноническое уравнение эллипса по двум точкам

Две точки с координатами
Первая координата
Вторая координата
Каноническое уравнение эллипса
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Эксцентриситет эллипса
Фокусное/фокальное расстояние
Коэффициент сжатия
Координаты первого фокуса F1(x1:y1)
Координаты второго фокуса F2(x2:y2)
Фокальный параметр
Перифокусное расстояние
Апофокусное расстояние

Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.

Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.

Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса

Значение полуосей — большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)

Эксцентриситет — коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности

Фокальное расстояние

Коэффициент сжатия — отношение длин малой и большой полуосей

Видео:Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков Александр

Примеры задач

Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам

Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt

и получаем результат

Каноническое уравнение эллипса
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Эксцентриситет эллипса
Фокусное/фокальное расстояние
Коэффициент сжатия
Координаты первого фокуса F1(x1:y1)
Координаты второго фокуса F2(x2:y2)
Фокальный параметр
Перифокусное расстояние
Апофокусное расстояние

И еще один пример

Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса.

Если мы введем данные в калькулятор получим

Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса

Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.

Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.

А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.

Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятори Уравнения директрис эллипса онлайн калькуляторна рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор Уравнения директрис эллипса онлайн калькуляторперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Точки Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятори Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор, обозначенные зелёным на большей оси, где

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор,

называются фокусами.

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Получаем фокусы эллипса:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор— расстояния до этой точки от фокусов Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор, то формулы для расстояний — следующие:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор,

где Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятори Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор— расстояния этой точки до директрис Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятори Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Пример 7. Дан эллипс Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор, а директрисами являются прямые Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Уравнение эллипса готово:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Пример 9. Проверить, находится ли точка Уравнения директрис эллипса онлайн калькуляторна эллипсе Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор,

так как из исходного уравнения эллипса Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

Координаты точки эллипса по углу

IP76 > Координаты точки эллипса по углу

Уравнения директрис эллипса онлайн калькулятор

Для нахождения координат точки эллипса по углу существует простое и элегантное решение. Понимаю, что для маститого математика это решение является очевидным. Однако, для меня в то далекое время, когда инет был диким, связь модемной, а я сильно молодым, это таковым не являлось.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Калькулятор точки на эллипсе

Давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Потом теория. Оранжевый маркер отвечает за угол, на основании которого считаем координаты. Красный — параметрический угол, о котором ниже.

Get a better browser, bro…

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Параметрическое уравнение эллипса

Обратимся, как обычно, к Википедии. Находим там следующее:

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

Очевидно, что t — это угол, и это не «наш» угол. Это какой-то другой угол, который функционально связан с «нашим». «Нашим» называю угол, от которого требуется посчитать координаты.

Таким образом, задача нахождения координат точки эллипса по углу сводится к задаче нахождения угла t, зависящим от требуемого. Нахождением этой зависимости и займемся.

Видео:Уравнение эллипсаСкачать

Уравнение эллипса

Подготовка

У нас есть эллипс, описанный двумя полуосями a и b. Представим две окружности, имеющих общий центр. Меньшая окружность (зеленая) имеет радиус b. Большая окружность (синяя) имеет радиус a.

Проведем прямую из общего центра [X0;Y0] в произвольную точку плоскости [X;Y]. В результате пересечения с этими окружностями получаются две точки [X1;Y1] и [X2;Y2].

α – угол между прямой и осью X.

Малая окружностьX1 = b × cos αY1 = b × sin α
Большая окружностьX2 = a × cos αY2 = a × sin α

Таблица 1. Координаты точек пересечения прямой с окружностями

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Нахождение зависимости

Используя уравнение (1) посчитаем координаты точки на эллипсе [X’;Y’] для угла α. Проведем прямую из центра [X0;Y0] в точку [X’;Y’]. Угол β – угол между этой прямой и осью X.

Задача сводится к тому, чтобы найти такой α, при котором β был бы равен интересующему нас углу. Таким образом, угол α будет являться параметром в уравнении (1) для требуемого угла β.

Найдем зависимость между получившимся углом β и углом α. На рисунке видно, что прилегающий к углу катет (синий) равен ранее рассчитанному X2, а противолежащий (зеленый) равен Y1:

X’ = X2 = a × cos α

Y’ = Y1 = b × sin α

Опыт показывает, что тут зачастую возникает легкий ступор. Возможно, рисунок вводит в некое заблуждение. Видим треугольник, и если с синим катетом вопросов нет, то с зеленым — масса. Почему синус от α? Угол «вона где», тут синус вообще не от того угла и т.д.

Смотрим на пересечение прямой и малой (зеленой) окружности. Зеленый катет прилетает именно оттуда. Именно так координату Y’ и рассчитывали, согласно уравнению(1). Рисунок — это иллюстрация, не метод решения.

Тангенс угла β в этом случае равен:

(3) Тангенс угла β

Используя формулу тангенса произведем дальнейшие преобразования:

(4) Зависимость тангенса α от тангенса β

Таким образом, видим прямую зависимость угла α, который нужен нам в качестве параметра в уравнении(1), от угла β, координаты точки от которого хотим получить.

Видео:Фокусы эллипсаСкачать

Фокусы эллипса

Нахождение координат

Угол α находим через арктангенс. В Delphi (и не только) для этих целей используется функция ArcTan2 из модуля math. Она корректно возвращает знак ± угла в зависимости от квадранта, а также предусмотрительно нечувствительна к возможным коллизиям, типа деления на 0.

Находим синус и косинус от требуемого угла β и подставляем в параметры функции ArcTan2, согласно последней формуле (4):

📸 Видео

Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

Оптическое свойство эллипса и его применение в медицинеСкачать

Оптическое свойство эллипса и его применение в медицине

Эллипсы. ТемаСкачать

Эллипсы. Тема

§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипса

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

найти уравнение касательной к эллипсуСкачать

найти уравнение касательной к эллипсу

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам
Поделиться или сохранить к себе: