Уравнения четырехполюсника через а параметры

Содержание
  1. Уравнения четырехполюсника с А – параметрами
  2. Четырехполюсники
  3. Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника
  4. Определение параметров четырехполюсника
  5. Повторное сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника
  6. Передаточные функции и обратные связи четырехполюсников
  7. Цепные схемы и электрические фильтры
  8. Параметры холостого хода и короткого замыкания
  9. Схемы замещения четырехполюсника
  10. Входное сопротивление четырехполюсника при произвольной нагрузке
  11. Характеристические параметры четырехполюсника
  12. Вносимое затухание четырехполюсника
  13. Передаточная функция
  14. Каскадное соединение четырехполюсников, основанное на согласовании характеристических сопротивлений
  15. Уравнения сложных четырехполюсников в матричной форме
  16. Одноэлементные четырехполюсники
  17. Г-образный четырехполюсник
  18. Т-образный и П-образный четырехполюсники
  19. Симметричный мостовой четырехполюсник
  20. Обратная связь
  21. Методы расчета электрических цепей с использованием теории четырехполюсников
  22. Краткая характеристика четырехполюсников
  23. Методы расчета линейных активных цепей с использованием теории четырехполюсников
  24. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА
  25. 🎬 Видео

Видео:Лекция 182. А-параметры пассивного четырехполюсникаСкачать

Лекция 182. А-параметры пассивного четырехполюсника

Уравнения четырехполюсника с А – параметрами

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Общие положения

Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных зажима (полюса). Трансформатор, электрический фильтр, усилитель, линию электропередачи, линию связи и другие устройства можно рассматривать как четырехполюсник, который является промежуточным звеном меду источником и приемником электрической энергии.

Четырехполюсник принято изображать в виде прямоугольника с входными (1-1′) и выходными (2-2′) зажимами (рис.1.1).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Рис. 1.1. Направления напряжений и токов при прямой и обратной передаче

К входным зажимам подключается источник электрической энергии, к выходным – нагрузка. Напряжение и ток на входе обозначают Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры, на выходе Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Принятые на рис. 1.1 положительные направления токов Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметрысоответствуют прямойпередаче энергии (от входных зажимов к выходным), направления токов Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметрыобратной передаче, когда источник подключен к зажимам (2-2′), а нагрузка к зажимам (1-1′).

Понятием «четырехполюсник» пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями только на его входных и выходных зажимах.

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные, линейные и нелинейные, симметричные и несимметричные.

Активные четырехполюсники содержат внутри источники электрической энергии. Если эти источники независимые, то на одной или обеих парах его разомкнутых зажимах появляется напряжение.

Четырехполюсник называется пассивным, если он не содержит источников электрической энергии, или же имеющиеся внутри схемы источники компенсируют друг друга так, что на разомкнутых зажимах напряжения отсутствуют.

Линейные и нелинейные четырехполюсники содержат соответственно линейные и нелинейные элементы.

Симметричные четырехполюсники имеют одинаковые параметры со стороны входных и выходных зажимов.

Сложная электрическая цепь, например, канал передачи сигнала, представляет собой совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.

Системы уравнений пассивных четырехполюсников

Уравнения четырехполюсника устанавливают связь между токами и напряжениями на его зажимах. Возможны шесть форм записи основных уравнений четырехполюсника:

1. Форма [А], где [А] – матрица коэффициентов, входящих в уравнения:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения (1.1) соответствуют выбору направления токов прямой передачи (рис. 1.1).

2. Форма [В]:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения (1.2) соответствуют выбору направления токов обратной передачи (рис. 1.2), что равносильно замене входных зажимов входными.

Остальные четыре формы уравнений четырехполюсника используют положительные направления токов прямой и обратной передач сигнала:

3. Форма [Y]:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

4. Форма [Z]:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

5. Форма [H]:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

6. Форма [F]:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Коэффициенты уравнений в общем случае комплексные величины и зависят от частоты. Из четырех коэффициентов каждой системы уравнений (1.1) – (1.6) только три независимые, при этом выполняются соотношения:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Коэффициенты уравнений четырехполюсника называются соответственно А, В, Y, Z, H, F – параметрами четырехполюсника. Они определяются только схемой самого четырехполюсника и имеют физический смысл входной или передаточной функции.

В симметричном четырехполюснике кроме соотношений (1.7) имеют место равенства:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Поэтому симметричный четырехполюсник характеризуется лишь двумя независимыми параметрами.

Из перечисленных выше шести форм уравнений рассмотрим более подробно форму [А].

Уравнения четырехполюсника с А – параметрами

В курсе ТОЭ часто коэффициенты матрицы [А] обозначаются буквами А, В, С, D и уравнения записывают в виде:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

где коэффициенты А и D – безразмерные, коэффициенты В имеет размерность сопротивления (Ом), а коэффициент С – размерность проводимости (См). Эти коэффициенты представляют собой:

Уравнения четырехполюсника через а параметры– отношение напряжений при разомкнутых выходных зажимах;

Уравнения четырехполюсника через а параметры– отношение токов при короткозамкнутых выходных зажимах;

Уравнения четырехполюсника через а параметры– отношение входного напряжения к току I2 короткого замыкания;

Уравнения четырехполюсника через а параметры– отношение входного тока к напряжению на разомкнутых выходных зажимах.

Определитель матрицы [A]

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Из уравнения формы [В] (1.2) для обратного включения четырехполюсника получаем уравнения вида:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

в которых коэффициенты А и D из (1.9) меняются местами.

Одной из задач является определение коэффициентов (параметров) четырехполюсника.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

Четырехполюсники

Содержание:

Основы теории четырехполюсников и фильтров:

Электрическая цепь, имеющая два входных и два выходных зажима, называется четырехполюсником. Теория четырехполюсников в общем виде рассматривает основную проблему электротехники: передачу энергии от источника к приемнику через промежуточное звено — четырехполюсник.

Активные четырехполюсники содержат внутри себя также источники электрической энергии. Далее сначала рассматриваются пассивные четырехполюсники, не содержащие внутри себя источников энергии. Примером их могут служить линия передачи (рис. 9.1, а), трансформатор (рис. 9.1, б), мостовая схема (рис. 9.1, в), а также Т-образная (рис. 9.1, г) и П-образная (рис. 9.1, д) схемы, к зажимам I’, I» которых подключается источник, а к зажимам 2′, 2″ — приемник электрической энергии.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

На рис. 9.2, а изображена в общем виде схема четырехполюсника. Здесь Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для вывода уравнений, связывающих входные и выходные напряжения и токи, удобно заменить приемник Z2 с напряжением Уравнения четырехполюсника через а параметрыэквивалентным источником напряжения без внутреннего сопротивления (рис. 9.2, б). Согласно, э. д. с. последнего должна быть равна Уравнения четырехполюсника через а параметрыТогда можно применить метод наложения. Считая сначала существующим только источник Уравнения четырехполюсника через а параметрыи замыкая накоротко зажимы источника — Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9.2, в), находят токи Уравнения четырехполюсника через а параметрыкоторые, очевидно, будут пропорциональны напряжению Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Аналогично, при наличии источника Уравнения четырехполюсника через а параметры, и коротком замыкании Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9.2, г)

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Здесь Уравнения четырехполюсника через а параметры— комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность проводимости; Y11 и Y12 называются входными, а Y12 и Y21 — взаимными проводимостями. Проводимости Y12 и Y21 определяют токи в короткозамкнутом выходном или входном контуре при заданном напряжении в другом контуре. При одинаковом напряжении U токи Yl2U и Y21U по принципу взаимности были бы равны между собой. Следовательно, взаимные проводимости

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Действительные токи на входе и выходе четырехполюсника

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Совместное решение этих уравнений дает

Уравнения четырехполюсника через а параметры

После введения обозначений

Уравнения четырехполюсника через а параметры(9.1)

получаются уравнения четырехполюсника:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

где комплексы А, В, С, D называются параметрами четырехполюсника. Между ними существует следующая связь:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Следовательно, из четырех параметров независимыми являются три.

Если входные и выходные зажимы поменять местами (рис. 9.2, д), т. е. осуществить обратное питание (индекс «о»), уравнения, очевидно, получатся аналогичными:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

а параметры А’, В’, С’, D’ определятся из выражений (9.1), если индекс I заменить индексом 2 и наоборот:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Следовательно, уравнения четырехполюсника, питаемого со стороны выхода, получают вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Отсюда следует, что в симметричном четырехполюснике, который со стороны выходных зажимов представляет ту же цепь, что и со стороны входных, А = D и А 2 — ВС = 1.

С помощью уравнений четырехполюсника можно определить нагрузочный режим, т. е. найти Уравнения четырехполюсника через а параметры, для заданных Уравнения четырехполюсника через а параметры. Очевидно, уравнения четырехполюсника могут быть использованы также для определения двух любых величин из указанных, если заданы две другие.

Видео:Классификация четырехполюсников. Системы уравнений четырехполюсниковСкачать

Классификация четырехполюсников. Системы уравнений четырехполюсников

Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника

При холостом ходе ток на выходе Уравнения четырехполюсника через а параметры= 0 и уравнения четырехполюсника дают

Уравнения четырехполюсника через а параметры

При коротком замыкании напряжение на выходе Уравнения четырехполюсника через а параметры= 0 и из уравнении четырехполюсника вытекает, что

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Отсюда видно, что параметр А представляет собой отношение входного и выходного комплексных напряжений при холостом ходе четырехполюсника, a D — отношение входного и выходного комплексных токов при коротком замыкании.

Если при холостом ходе напряжение на выходе будет равно напряжению Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри нагрузке, а при коротком замыкании ток на выходе — току Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри нагрузке, уравнения четырехполюсника получают вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Следовательно, напряжение Уравнения четырехполюсника через а параметрыи ток I1 при любом заданном режиме Уравнения четырехполюсника через а параметрыработы приемника могут быть определены путем наложения соответствующих режимов холостого хода и короткого замыкания.

Чтобы осуществить это наложение, надо знать, как расположить друг относительно друга векторные диаграммы холостого хода Уравнения четырехполюсника через а параметрыи короткого замыкания Уравнения четырехполюсника через а параметры. Для этой цели нужно измерить сдвиг фаз σ между векторами Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри опыте холостого хода и сдвиг фаз Уравнения четырехполюсника через а параметрымежду векторами Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри опыте короткого замыкания.

После этого построение ведется в следующем порядке (рис. 9.3): строится заданная диаграмма Уравнения четырехполюсника через а параметрызатем под углом σ к вектору Уравнения четырехполюсника через а параметрыт. е. отличаются от основных уравнений четырехполюсника тем, что параметры А и D поменялись местами, строится вектор Уравнения четырехполюсника через а параметры, а под углом Уравнения четырехполюсника через а параметрык нему — вектор Уравнения четырехполюсника через а параметрыпод углом β к вектору I2 строится вектор Уравнения четырехполюсника через а параметрыа под углом Уравнения четырехполюсника через а параметрык нему — вектор Уравнения четырехполюсника через а параметрыПосле этого строятся векторы напряжения Уравнения четырехполюсника через а параметрыи тока Уравнения четырехполюсника через а параметрына входе как суммы напряжений и токов при холостом ходе и коротком замыкании.

Так как в симметричном четырехполюснике А = D, то

Уравнения четырехполюсника через а параметры

т. е. угол сдвига фаз между векторами Уравнения четырехполюсника через а параметрыравен заданному углу Уравнения четырехполюсника через а параметрысдвига фаз в нагрузке, что сразу определяет взаимное расположение векторных диаграмм холостого хода и короткого замыкания без добавочных измерений.

Указанное применение принципа наложения имеет большое значение при испытании мощных электротехнических устройств, описываемых линейными уравнениями, так как позволяет заменить опыт нагрузки, требующий источников большой мощности, опытами холостого хода и короткого замыкания при значительно меньшей мощности.

Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 класс

Определение параметров четырехполюсника

Если известны конкретная схема и сопротивления (проводимости) ветвей четырехполюсника, то его параметры могут быть определены расчетным путем по входным и взаимным проводимостям. Можно также исходить непосредственно из зависимостей, устанавливаемых законами Кирхгофа.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Далее в качестве примера рассмотрены простейшие схемы четырехполюсников. Так как из четырех параметров четырехполюсника независимыми являются три, простейшие схемы должны содержать три ветви, т. е. представлять собой соединение звездой (Т-образная схема, рис. 9.1, г) или треугольником (П-образная схема, рис. 9.1, д).

Для Т-образной схемы при режиме холостого хода (рис. 9.4, а) очевидны следующие соотношения:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

при коротком замыкании (рис. 9.4, б)

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Отсюда параметры этого четырехполюсника

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Параметры П-образной схемы могут быть определены аналогичным расчетом (рис. 9.1, д). При холостом ходе

Уравнения четырехполюсника через а параметры

при коротком замыкании

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Отсюда параметры П-схемы

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Подобно тому, как при расчете цепей любой двухполюсник удобно заменить простейшим эквивалентным двухполюсником — последовательной или параллельной схемой, можно любой сложный четырехполюсник заменить простейшим эквивалентным ему, т. е. Т- или П-схемой. Решая уравнения (9.2) и (9.3), можно найти параметры этих эквивалентных схем, выразив их через параметры четырехполюсника.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Из этих выражений видно, что схемы, эквивалентные симметричным четырехполюсникам, сами тоже симметричны, так как, если А = D, тоУравнения четырехполюсника через а параметры

Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника неизвестны, его параметры могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со стороны выхода. Эти измерения позволяют определить комплексы сопротивлений короткого замыкания Уравнения четырехполюсника через а параметрыи холостого хода Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри питании схемы со стороны входных зажимов Уравнения четырехполюсника через а параметры— при питании схемы со стороны выходных зажимов 2′ —2″:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Как видно из этих выражений, полные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе связаны между собой соотношением:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

поэтому из четырех вышеупомянутых опытов необходимы лишь три, а четвертый может служить для контроля.

Параметры четырехполюсника находят по формулам, вытекающим из (9.4):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Видео:1 5 ЧетырехполюсникиСкачать

1 5 Четырехполюсники

Повторное сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника

В технике электросвязи часто применяются симметричные четырехполюсники и такое согласование их с сопротивлением нагрузки Z, при котором сопротивление между входными зажимами также равно Z, т. е.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Сопротивление Z получило название повторного. Уравнения симметричного четырехполюсника после подстановки Уравнения четырехполюсника через а параметрыпримут вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Деление первого уравнения на второе дает:

откуда Уравнения четырехполюсника через а параметры

и уравнения четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, будут иметь вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Как видно из этих уравнений, равные между собой отношения напряжений Уравнения четырехполюсника через а параметрыи токов на входе и выходе являются комплексным числом. Последнее может быть представлено в показательной форме:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Следовательно, у симметричного четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, выходные напряжение и ток меньше входных в Уравнения четырехполюсника через а параметрыраз, а их фазы — на угол β. Поэтому α называется коэффициентом затухания, β — коэффициентом фазы, Уравнения четырехполюсника через а параметры— коэффициентом распространения. Коэффициент β измеряется в радианах, α—в неперах; одному неперу соответствует затухание в е = 2,718. раз.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке могут быть переписаны в другой форме:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Видео:Найти коэффициенты А - формы уравнений четырехполюсника, а также характеристические сопротивленияСкачать

Найти коэффициенты А - формы уравнений четырехполюсника, а также характеристические сопротивления

Передаточные функции и обратные связи четырехполюсников

Как видно из предыдущего, четырехполюсник можно рассматривать как преобразователь входных величин Уравнения четырехполюсника через а параметрыили Уравнения четырехполюсника через а параметрыв выходные Уравнения четырехполюсника через а параметрыили Уравнения четырехполюсника через а параметры. Тогда его можно характеризовать передаточной функцией К, равной отношению выходной величины к входной. Например,

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Очевидно, что первая передаточная функция безразмерна, вторая имеет размерность сопротивления, третья — проводимости.

В ряде электротехнических и автоматических устройств необходимо, чтобы передаточная функция зависела от режима цепи на выходе. Для этого схема усложняется обратной связью — дополнительным четырехполюсником, питаемым выходной величиной основного четырехполюсника, например напряжением Уравнения четырехполюсника через а параметрыа выходная величина дополнительного четырехполюсника, например напряжение Уравнения четырехполюсника через а параметрывключается последовательно с источником первичного напряжения Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9.5).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пусть передаточная функция четырехполюсника обратной связи равна Уравнения четырехполюсника через а параметры. Тогда входное напряжение основного четырехполюсника, передаточная функция которого Уравнения четырехполюсника через а параметры

окуда передаточная функция всей системы

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Из этого выражения видно, что передаточную функцию К’ системы можно изменять, регулируя передаточную функцию Ко устройства обратной связи.

Цепные схемы и электрические фильтры

Цепные схемы состоят из каскадно включенных четырехполюсников, называемых звеньями (рис. 9.6).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

При этом выходные зажимы каждого предыдущего звена соединяются с входными последующего. Если все n четырехполюсника одинаковы и симметричны, а последний нагружен своим повторным сопротивлением Z, то оно будет также входным сопротивлением последнего звена, нагрузкой предпоследнего звена, его входным сопротивлением и т. д. Величина Уравнения четырехполюсника через а параметры— коэффициент распространения одного звена схемы), на которую надо умножать выходные величины каждого звена, чтобы получить входные, также одинакова для всех звеньев. В результате Z является повторным сопротивлением всей цепной схемы, а ее коэффициент распространения

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Тогда уравнения n-звенной цепной схемы будут:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

В различных электротехнических устройствах между источником энергии и приемником включают электрические фильтры в виде четырехполюсников или цепных схем, чтобы пропустить к приемнику только токи заданного диапазона частоты.

Фильтры различаются по диапазону пропускаемых частот: низкочастотные — от 0 до заданного значения ω, высокочастотные — от ω до Уравнения четырехполюсника через а параметры, полосные — от ω1 до 1 Коэффициенты Уравнения четырехполюсника через а параметрычасто также обозначаются через А, В, С и D.

В случае перемены направления передачи электрической энергии, а именно при передаче энергии от выводов 2 к выводам 1, в уравнениях четырехполюсника связывают напряжения и токи Уравнения четырехполюсника через а параметры[см. уравнения (9-4) по форме Уравнения четырехполюсника через а параметрыЕсли заменить в (9-3) токи Уравнения четырехполюсника через а параметрына —Уравнения четырехполюсника через а параметрына — Уравнения четырехполюсника через а параметрыи решить уравнения относительно Уравнения четырехполюсника через а параметрыто получим уравнения четырехполюсника в форме || В ||, выраженные через коэффициенты формы || А ||. Для обратимого четырехполюсника:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Сопоставляя уравнение (9-18) с уравнениями (9-3), соответствующими направлению передачи энергии от выводов 1 к выводам 2, заключаем, что с переменой направления передачи энергии коэффициенты Уравнения четырехполюсника через а параметрывходящие в системы уравнений, меняются местами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания

Было показано, что коэффициенты Уравнения четырехполюсника через а параметрыпредставляют собой входные проводимости четырехполюсника рис. 9-4, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно Уравнения четырехполюсника через а параметрыпредставляют собой входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.

Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Этих параметров достаточно для составления уравнений обратимого четырехполюсника. Для записи уравнений необратимого четырехполюсника недостаточно параметров холостого хода и короткого замыкания, так как из них только три являются независимыми.

Действительно, на основании (9-19) и таблицы приложения IIУравнения четырехполюсника через а параметры

иУравнения четырехполюсника через а параметры

откудаУравнения четырехполюсника через а параметры

Таким образом, параметры холостого хода и короткого замыкания, выражаемые формулами (9-19), принудительно связаны уравнением (9-20).

В случае симметричного четырехполюсника
Уравнения четырехполюсника через а параметры

т. е. симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты А:Уравнения четырехполюсника через а параметры
В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов А получаем Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры
и, используя (9-21), выражаем все остальные коэффициенты черезУравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

Схемы замещения четырехполюсника

На основании уравнений четырехполюсника могут быть построены различные схемы замещения, которые облегчают исследование общих свойств рассматриваемой цепи. Ниже показаны некоторые схемы замещения четырехполюсника, параметры которых выражаются через коэффициенты У, Z и А.
1 Эта формула дает двузначное решение, так как входящие в нее параметры не меняются от перекрещивания любой пары выводов.

На практике чаще всего пользуются П-образной и Т-образной схемами замещения четырехполюсника.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

На рис. 9-5, а показана П-образная схема замещения четырехполюсника, в которой проводимости ветвей выражены через коэффициенты Y. При этом зависимый источник тока Уравнения четырехполюсника через а параметрысохраняется в эквивалентной схеме

Уравнения четырехполюсника через а параметры

только в случае необратимого четырехполюсника; в схеме обратимого четырехполюсника Уравнения четырехполюсника через а параметрыисточник тока отсутствует (см. рис. 9-6, а).

Схема рис. 9-5, о соответствует системе уравнений (9-1). Действительно, по первому закону Кирхгофа ток Уравнения четырехполюсника через а параметрыравен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями Уравнения четырехполюсника через а параметрыТок, входящий в первую ветвь, рдвен Уравнения четырехполюсника через а параметрыа ток, входящий во вторую ветвь, равен Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

В свою очередь ток Уравнения четырехполюсника через а параметрыравен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями Уравнения четырехполюсника через а параметрыи тока источника Уравнения четырехполюсника через а параметрыСледовательно,

Уравнения четырехполюсника через а параметры

На рис. 9-5, б показана Т-образная схема замещения, в которой сопротивления ветвей выражены через коэффициенты Z четырехполюсника. Применив второй закон Кирхгофа, легко убедиться в тем, что данная схема соответствует уравнениям (9-2).

Схема замещения четырехполюсника содержит зависимый источник э. д. с. или тока в случае, когда четырехполюсник необратим. В схеме обратимого четырехполюсника Уравнения четырехполюсника через а параметрызависимый источник отсутствует (рис. 9-6, б).

Параметры схемы замещения четырехполюсника могут быть выражены также через коэффициенты А. Так, например, пользуясь таблицей приложения II, можно в П-об-разной схеме (см. рис. 9-5, а) проводимости ветвей выразить через коэффициенты А. при этом получится схема рис. 9-5, в в случае обратимого четырехполюсника будем иметь схему рис. 9-6, а, которая часто применяется для расчета энергетических систем.

Пассивный П-образный четырехполюсник может быть преобразован в Т-образный (или наоборот) по правилу преобразования треугольника в эквивалентную звезду.

Следует заметить, что П-образ на я и Т-образная схемы замещения четырехполюсника не всегда физически реализуемы Уравнения четырехполюсника через а параметры

Под физически реализуемой пассивной схемой понимается такая схема, в которой параметры r, L и С положительны. Если в какой-либо ветви схемы данное условие не выполнено, то схема физически нереализуема.

1 Это не относится к четырехполюсникам, не содержащим реактивных элементов.

Например, схема рис. 9-6, б нереализуема при отрицательном знаке действительной части Уравнения четырехполюсника через а параметрыт. е. если

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Схемой замещения четырехполюсника может служить и мостовая схема. Мостовая схема является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.

Схемы замещения необратимых четырехполюсников, описанные выше, применяются для анализа и расчета электрических цепей, содержащих электронные лампы и транзисторы. К этому вопросу предстоит вернуться во второй части курса.

Пример 9-1.

Рассматривая автотрансформатор (см. рис. 8-21, о) как четырехполюсник, построить для него Т-образную схему замещения.

Выбрав положительные направления токов по третьему варианту и воспользовавшись параметрами Z, найдем:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

На основании рис. 9-6, б получаются следующие сопротивления ветвей Т-образной схемы:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Полученный результат совпадает с данными (см, рис. 8-21, б).

Входное сопротивление четырехполюсника при произвольной нагрузке

Обозначим через Уравнения четырехполюсника через а параметрывходное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 1, когда к выводам 2 присоединено произвольное комплексное сопротивление Z3 (рис. 9-7, а); соответственно через Уравнения четырехполюсника через а параметрыобозначим. входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 2, когда к выводам 1 присоединено произвольное комплексное сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9-7, б).

Следовательно, входное сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметрыравно отношению напряжения Уравнения четырехполюсника через а параметрык току Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри прямой передаче энергии:Уравнения четырехполюсника через а параметрыa Уравнения четырехполюсника через а параметрыравно отношению напряжения Уравнения четырехполюсника через а параметрык-локу Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри обратной передаче энергии:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Входные сопротивления четырехполюсника могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника и комплексные сопротивления нагрузок Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры.Уравнения четырехполюсника через а параметры

а и б — произвольная нагрузка: в и г — согласованная нагрузка.

Например, если воспользоваться системой уравнений (9-3), то, разделив первое из уравнений на второе, получим:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Аналогично при обратной передаче на основании (9-18)

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Если воспользоваться таблицами приложений II и III, то можно выразить Уравнения четырехполюсника через а параметрычерез другие коэффициенты четырехполюсника.

На практике применяются и другие выражения для Уравнения четырехполюсника через а параметры. Например, в тех случаях, когда известны параметры холостого хода Уравнения четырехполюсника через а параметрыи короткого замыкания Уравнения четырехполюсника через а параметрыудобно пользоваться зависимостями Уравнения четырехполюсника через а параметрыот этих параметров. С этой целью выражениям (9-23) и(9-24) с учетом (9-21) придается следующий вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Рассмотренные выше функциональные зависимости Уравнения четырехполюсника через а параметрыпредставляют собой дробнолинейные преобразования, связывающие сопротивления на выводах четырехполюсника; они иллюстрируют одно из свойств четырехполюсника — способность преобразовывать сопротивления.

Характеристические параметры четырехполюсника

Положим, что сопротивления Уравнения четырехполюсника через а параметрыв схемах рис. 9-7, а и б подобраны таким образом, что Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры. Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: Уравнения четырехполюсника через а параметрыкоторые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметрычетырехполюсника, нагруженного сопротивлением Уравнения четырехполюсника через а параметры, равно Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9-7, в); входное сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметрычетырехполюсника, нагруженного сопротивлением Уравнения четырехполюсника через а параметрыравно Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9-7, г).

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Положив в (9-23) и (9-24)
Уравнения четырехполюсника через а параметры

иУравнения четырехполюсника через а параметры

получимУравнения четырехполюсника через а параметры

Совместное решение этих уравнений относительно Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметрыдает:
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр g, удовлетворяющий условиям:
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Эти условия всегда осуществимы, так как параметр g может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами (9-16) соответствует тригонометрической формуле

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Параметр g в общем случае комплексный; Уравнения четырехполюсника через а параметрыназывается мерой передачи Уравнения четырехполюсника через а параметрычетырехполюсника. Это — третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть а называется собственным затуханием четырехполюсника, а мнимая часть b — коэффициентом фазы.

Физический смысл этих коэффициентов будет пояснен ниже. Выразим коэффициенты четырехполюсника формы Уравнения четырехполюсника через а параметрычерез характеристические параметры.

На основании (9-25):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Умножение (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

1 Иногда этот параметр называется коэффициентом передачи, его не следует смешивать с терминами «коэффициент передачи по напряжению» и «коэффициент передачи по току». В литературе ранее применялось обозначение Уравнения четырехполюсника через а параметры

Деление (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

В результате подстановки (9-29)—(9-32) в (9-3) получаются уравнения несимметричного обратимого четырехполюсника в гиперболической форме, соответствующие положительным направлениям токов Уравнения четырехполюсника через а параметрыуказанным на рис. 9-4:
Уравнения четырехполюсника через а параметры
При согласованно подобранной нагрузке Уравнения четырехполюсника через а параметрыимеет место равенство

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Если воспользоваться известным математическим соотношением

Уравнения четырехполюсника через а параметры

то уравнения (9-33) упростятся:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Отсюда следует, что при согласованно подобранной нагрузке модули напряжений и соответственно токов на входе и выходе четырехполюсника связаны уравнениями:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Множитель Уравнения четырехполюсника через а параметрыравен отношению амплитуд или действующих значений напряжений на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. В свою очередь множитель Уравнения четырехполюсника через а параметрыравен отношению амплитуд или действующих значений токов при той же нагрузке.

Если аргументы (углы) комплексных характеристических сопротивлений Уравнения четырехполюсника через а параметрыобозначить через Уравнения четырехполюсника через а параметрыто фазовый сдвиг напряжения на входе относительно напряжения на выходе определится величиной Уравнения четырехполюсника через а параметрыа фазовый сдвиг тока на выходе относительно тока на выходе — величиной Уравнения четырехполюсника через а параметры

В общем случае коэффициент фазы b может быть определен как полусумма фазовых сдвигов между напряжениями и соответственно между токами на входе и выходе четырехполюсника, нагруженного согласованно. При равенстве углов Уравнения четырехполюсника через а параметрыи согласованно подобранной нагрузке фазовые сдвиги между напряжениями и соответственно между токами четырехполюсника одинаковы и равны b.

Характеристические параметры Уравнения четырехполюсника через а параметрыи g могут быть выражены через параметры холостого хода и короткого замыкания, а именно: на основании (9-21), (9-25) и (9-26)
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Подстановка (9-26) в формулу ch g + sh g = Уравнения четырехполюсника через а параметрыприводит к выражению, связывающему характеристический параметр g с коэффициентами четырехполюсника формы ||A||,
Уравнения четырехполюсника через а параметры
По этой формуле g вычисляется однозначно, если подставлять под радикалы коэффициенты А в показательной форме с последующим сложением углов и делением их суммы на 2. По формуле (9-35) для тангенса принципиально невозможно получить однозначное решение, так как входные сопротивления под радикалом не изменяются от перекрещивания выводов четырехполюсника. Поэтому формула (9-36) предпочтительнее формулы (9-35) для th g.

Вычисление g по формуле для th g ведется в следующем порядке:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
откуда
Уравнения четырехполюсника через а параметры
в результате логарифмированияУравнения четырехполюсника через а параметры

Следует отметить, что параметр g может быть также получен как половина натурального логарифма отношения произведений комплексных напряжения и тока на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Действительно, на основании (9-34)
Уравнения четырехполюсника через а параметры
откуда
Уравнения четырехполюсника через а параметры
В случае симметричного четырехполюсника Уравнения четырехполюсника через а параметрыхарактеристические сопротивленияУравнения четырехполюсника через а параметрыравны друг другу:Уравнения четырехполюсника через а параметры
Следовательно, входное сопротивление симметричного четырехполюсника, нагруженного характеристическим сопротивлением Уравнения четырехполюсника через а параметрыравно Уравнения четырехполюсника через а параметры. Это означает, что всякому симметричному четырехполюснику соответствует некоторое характеристическое сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметрыобладающее следующим свойством: если нагрузить данный четырехполюсник сопротивлением Уравнения четырехполюсника через а параметрыто отноишия напряжения к току на входе и выходе четырехполюсника будут-одинаковыми, т. е.

Уравнения четырехполюсника через а параметры
На основании (9-33) уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке записываются в гиперболической форме (для положительных направлений рис. 9-4) так:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Если нагрузка подобрана согласованно, т. е. Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметрытоУравнения четырехполюсника через а параметры
В этом случае амплитудные изменения напряжения и тока определяются множителем Уравнения четырехполюсника через а параметрыа фазовый сдвиг между напряжениями или токами — углом b. Собственное затухание а будет:
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Величины g, а и b — безразмерные. Угол b вычисляется в радианах (рад); собственное затухание а, входящее в (9-39), принято вычислять в б е л а х (Б) или децибелах (дБ), которые определяются следующим образом.

Если полная мощность на выходе четырехполюсника в 10 раз меньше мощности на его входе, то затухание составляет 1-Б если мощность уменьшается в 100 раз, то затухание оценивается в 2 Б и т. д. Поэтому
Уравнения четырехполюсника через а параметры
В случае согласованно нагруженного симметричного четырехполюсника

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Децибел — единица затухания, в 10 раз мейьшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1,26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1,12 раза.

Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в е = 2,718 раза (так как при Уравнения четырехполюсника через а параметрыимеем Уравнения четырехполюсника через а параметры).
Табл. 9-1 иллюстрирует зависимость затухания в децибелах от отношений полных мощностей Уравнения четырехполюсника через а параметрына входе и выходе четырехполюсника;

Таблица 9-1
Затухание при различных отношениях Уравнения четырехполюсника через а параметрыдБ

Уравнения четырехполюсника через а параметры

соответствующие им отношения величин напряжений или токов симметричного четырехполюсника, нагруженного согласованно, составляют Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для перехода от децибелов к неперам или обратно можно воспользоваться приведенным выше условием:
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Вносимое затухание четырехполюсника

Вносимое затухание (или усиление) является мерой оценки изменения условий передачи при включении четырехполюсника между источником и приемником.

Положим, что между источником напряжения, имеющим внутреннее сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметрыи приемником Уравнения четырехполюсника через а параметрывключен четырехполюсник.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Под вносимым затуханием четырехполюсника подразумевается десятикратное значение десятичного логарифма (в децибелах) или половина натурального логарифма (в неперах) отношения полной мощности 5,. которую непосредственно отдавал бы источник сопротивлению Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9-8, о), к полной мощности Уравнения четырехполюсника через а параметрына выходе четырехполюсника, нагруженного сопротивлением Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис, 9-8, б):

Уравнения четырехполюсника через а параметры
или
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Мощности Уравнения четырехполюсника через а параметрывыражаются следующим образом:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Отношение Уравнения четырехполюсника через а параметрывходящее в (9-42), может быть выражено через характеристические параметры четырехполюсника и сопротивления Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пользуясь обозначениями рис. 9-8, б и уравнениями четырехполюсника, записанными в форме Уравнения четырехполюсника через а параметрынаходим:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

откуда
Уравнения четырехполюсника через а параметры
На основании (9-29) — (9-32)Уравнения четырехполюсника через а параметры

Подстановка (9-44) в (9-43) дает:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

После ряда алгебраических преобразований получается: Уравнения четырехполюсника через а параметры
где
Уравнения четырехполюсника через а параметры

— так называемые коэффициенты отражения на входе и выходе четырехполюсника.

В связи с этим выражение (9-42) принимает следующий вид:Уравнения четырехполюсника через а параметры

Следовательно, вносимое затухание состоит из пяти слагаемых. Первое слагаемое — собственное затухание четырехполюсника, второе — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на входе четырехполюсника, третье — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на выходе, четвертое — затухание вследствие взаимодействия несогласованностей на входе и выходе и пятое со знаком минус — затухание вследствие несогласованности сопротивлений источника и приемника.

Если вносимое затухание равно нулю, то это означает, что мощности на входе и выходе четырехполюсника равны между собой.

Когда четырехполюсник является усилителем мощности (например, в случае лампового триода или транзистора), выражения (9-40) и (9-41) дают отрицательные значения Уравнения четырехполюсника через а параметры; это указывает на то,- что вместо затухания в данном случае имеет место усиление (измеряемое в децибелах или неперах),

Передаточная функция

Передаточной функцией называется зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрических величин Уравнения четырехполюсника через а параметрына выходе и входе четырехполюсника при заданном режиме передачи. Необходимо помнить, что именно выходная электрическая величина делится на входную, а не обратно.

Передаточные функции, соответствующие отношению одноименных электрических величин, — коэффициент передачи по напряжению

Уравнения четырехполюсника через а параметры

и коэффициент передачи по току

Уравнения четырехполюсника через а параметры

представляют собой безразмерные, в общем случае комплексные, зависящие от частоты величины. Применительно к усилительным устройствам они носят название коэффициентов усиления по напряжению и току.

Отношения разноименных электрических величин — передаточное сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметрыи передаточная проводимость Уравнения четырехполюсника через а параметры— имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости и также являются в общем случае комплексными величинами, зависящими от частоты.

Зависимости модулей комплексных отношений представляют собой амплитудно-частотные, зависимости их аргументов — фазо-частотные характеристики четырехполюсника.
Уравнения четырехполюсника через а параметрыПод передаточной функцией понимается часто отношение операторных изображенийэлектрических величин на выходе и входе четырехполюсника»

Эти характеристики имеют важное значение для работы устройств автоматики и радиотехники.

В общем случае четырехполюсника, нагруженного произвольным сопротивлением Уравнения четырехполюсника через а параметрыпередаточные функции могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника, и сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметры

Через коэффициенты формы Уравнения четырехполюсника через а параметрыони выразятся следующим образом (положительные направления для токов соответствуют прямой передаче):
НУравнения четырехполюсника через а параметры

При холостом ходе и коротком замыкании эти коэффициенты примут вид:
Уравнения четырехполюсника через а параметры
В случае обратной передачи, очевидно, можно написатьУравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Отсюда видно, что для обратимого четырехполюсника коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и прямом направлении передачи энергии равен коэффициенту передачи по току при коротком замыкании и обратном направлении передачи энергии. В свою очередь коэффициент передачи по току при коротком замыкании и прямом направлении передачи равен коэффициенту передачи по напряжению при холостом ходе и обратном направлении передачи.

Каскадное соединение четырехполюсников, основанное на согласовании характеристических сопротивлений

На практике широко распространено каскадное или цепочечное соединение четырехполюсников, при котором входные выводы каждого последующего четырехполюсника присоединяются к выходным выводам предыдущего четырехполюсника; цепи, служащие для передачи электрической энергии (каналы связи и т. д.) обычно состоят из звеньев, следующих друг за другом.

Каскадное соединение четырехполюсников, выполненное по принципу согласования характеристических сопротивлений, заключается в том, что входное сопротивление на выводах любого четырехполюсника равно характеристическому.

Рисунок 9-9 иллюстрирует каскадное соединение двух четырехполюсников. Ввиду того что комплексное сопротивление нагрузки согласовано с выходным характеристическим сопротивлением Уравнения четырехполюсника через а параметрывторого четырехполюсника, входное сопротивление этого четырехполюсника равно характеристическому Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри этом оно служит согласованной нагрузкой для первого четырехполюсника. Поэтому входное сопротивление первого четырехполюсника также равно характеристическому Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Отсюда следует, что каскадно соединенные четырехполюсники с согласованными характеристическими сопротивлениями могут быть замещены одним четырехполюсником, имеющим характеристические сопротивления, равные входному характеристическому сопротивлению первого и выходному характеристическому сопротивлению последнего четырехполюсников (рис. 9-9). Мера передачи g результирующего четырехполюсника определяется алгебраической суммой мер передачи составных четырехполюсников.

В самом деле, применительно к схеме рис. 9-9 в соответствии с (9-34)

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Полученные выражения подтверждают сказанное выше: результирующий четырехполюсник имеет характеристические сопротивления Уравнения четырехполюсника через а параметрыи меру передачи Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметрыСоответственно собственное затухание результирующего четырехполюсника Уравнения четырехполюсника через а параметрыа фазовый коэффициентУравнения четырехполюсника через а параметры

Было показано что передача максимума активной мощности обеспечивается, когда комплексные сопротивления источника и нагрузки являются сопряженными. Это условие не выполняется в случае согласования характеристических сопротивлений каскада в прямом и обратном направлениях, если характеристические сопротивления комплексные. Однако если они активные (включая сопротивление источника), как это нередко имеет место на практике, то обеспечивается оптимальное условие передачи мощности.

Согласование характеристических сопротивлений .широко применяется в автоматике, приборостроении и электронике.

Уравнения сложных четырехполюсников в матричной форме

Для получения параметров результирующего четырехполюсника, составленного из более простых четырехполюсников, параметры которых известны, удобно пользоваться матричной записью,

Уравнения четырехполюсника через а параметры
В зависимости от схемы соединения сложного четырехполюсника применяется та или иная форма уравнений, а именно:

  1. при каскадном соединении (рис. 9-10) —формаУравнения четырехполюсника через а параметры
  2. при последовательном соединении (см. рис. 9-11) — формаУравнения четырехполюсника через а параметры
  3. при параллельном соединении (см. рис. 9-12) — форма Уравнения четырехполюсника через а параметрыКаскадное соединение четырехполюсников (рис. 9-10). Уравнения

составных четырехполюсников в матричной форме Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

Здесь индексом а отмечены величины, относящиеся к первому четырехполюснику, а индексом 6 — величины, относящиеся ко второму четырехполюснику.

При каскадном соединении

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Следовательно,

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Таким образом, матрица Уравнения четырехполюсника через а параметрырезультирующего четырехполюсника равна произведению матриц составных четырехполюсников:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Эго правило распространяется на случай каскадного соединения любого числа четырехполюсника.’ При этом матрицы, подлежащие

Уравнения четырехполюсника через а параметры
перемножению, записываются в порядке следования соответствующих четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Последовательное соединение четырехполюсников (рис. 9-11) Уравнения составных четырехполюсников в матричной формеУравнения четырехполюсника через а параметрыимеют вид:
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Таким образом, матрица Уравнения четырехполюсника через а параметрырезультирующего четырехполюсника равна сумме матриц составных четырехполюсников:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Параллельное соединение четырехполюсника (рис. 9-12)

Уравнения составных четырехполюсников в матричной форме Уравнения четырехполюсника через а параметрыимеют вид:
При параллельном соединении четырехполюсников:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

При параллельном соединении четырехполюсников:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Таким образом, матрица Уравнения четырехполюсника через а параметрырезультирующего четырехполюсника равна сумме матриц Составных четырехполюсников

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Правила нахождения матриц сложных четырехполюсников сведены в табл. 9-2. Они справедливы при любом числе составных четырехполюсников. Однако правила сложения матриц применимы только при равенстве токов входящего и выходящего в каждой паре выводов составных четырехполюсников, которое должно быть обеспечено тем или иным способом.

Одноэлементные четырехполюсники

Простейшими четырехполюсниками являются одноэлементные четырехполюсники, состоящие из последовательного (рис. 9-13, а) или параллельного (рис. 9-13, б) двухполюсника.

Уравнения первого из них в форме Уравнения четырехполюсника через а параметрызаписываются следующим образом:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
или, что то же,
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения одноэлементного четырехполюсника с параллельной ветвью (рис. 9-13, б) в формеУравнения четырехполюсника через а параметрызаписываются следующим образом:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
или, что то же,

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Если в первом четырехполюснике (рис. 9-13, а) положить Z = 0 или, что то же, во втором четырехполюснике (рис. 9-13, б) принять Уравнения четырехполюсника через а параметрыто получится уравнение

в форме Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

соответствующее непосредственному прямому соединению, показанному на рис. 9-14, а.
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Поэтому при перекрещивании входных или выходных выводов любого четырехполюсника его матрица Уравнения четырехполюсника через а параметрыумножается на Уравнения четырехполюсника через а параметрычто равносильно перемене знаков коэффициентов А.

Г-образный четырехполюсник

Коэффициенты Г-образного четырехполюсника (см. рис. 9-15) могут быть получены непосредственно по формулам. Например, для схемы рис. 9-15, а коэффициенты формы ||Л|| согласно формулам будут:
Легко убедиться, что перекрещенному соединению (рис. 9-14, б) соответствует уравнение в формеУравнения четырехполюсника через а параметрысогласно формулам будут:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Аналогично могут быть вычислены и другие коэффициенты.

Характеристические параметры Г-образного четырехполюсника могут быть вычислены по формулам (9-25) и (9-26).

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Для схемы рис. 9-15, а:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для схемы рис. 9-15, б:

Уравнения четырехполюсника через а параметры
При расчете электрических фильтров и в ряде других случаев за исходные схемы Г-образных четырехполюсников принимаются схемы рис. 9-15, виг, причем мера передачи Г-образного четырехполюсника обозначается через g/2, для того чтобы при согласованном каскадном соединении двух таких четырехполюсников получался Т- или П-образный четырехполюсник с мерой передачи g. При этом характеристическое сопротивление со стороны параллельной ветви обозначается через Уравнения четырехполюсника через а параметрыа со стороны последовательной ветви — через Уравнения четырехполюсника через а параметры
На основании (9-45) или (9-46):

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Эти выражения используются в теории электрических фильтров.

Т-образный и П-образный четырехполюсники

Рассматривались схемы замещения четырехполюсника и приводились схемы Т-образного и П-образного четырехполюсников. Коэффициенты таких четырехполюсников вычисляются по общей методике.

Так, для Т-образной схемы рис.

9-16 получим:
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Характеристические параметры находятся по формулам (9-25) и (9-26).

Симметричные Т- и П-образные четырехполюсники можно получить согласованным каскадным соединением двух одинаковых Г-образных четырехполюсников (рис. 9-17, а и б). Результирующие четырехполюсники имеют характеристические сопротивленияУравнения четырехполюсника через а параметрыопределяемые согласно (9-47), и меру передачи g, вдвое превышающую меру передачи Г-образного четырехполюсника.

С учетом (9-48) имеем:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Тот же результат получается на основании (9-26).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Симметричный мостовой четырехполюсник

Для симметричного мостового четырехполюсника (см.рис. 9-18) в соответствии с можно получить коэффициенты формы Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Характеристические параметры симметричного мостового четырехполюсника находятся по формулам:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Как уже отмечалось, мостовой четырехполюсник является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.

Обратная связь

Последовательно-параллельное соединение двух четырехполюсников представляет собой один из основных видов цепи с обратной связью, в которой напряжение на выходе воздействует на входные напряжения системы. Пусть некоторое устройство, которое назовем основным, представляет собой четырехполюсник с передаточной функцией Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 9-19). Если выходное напряжение Уравнения четырехполюсника через а параметрыподвести к выводам другого четырехполюсника, называемого устройством обратной связи, и включить его противоположные выводы последовательно с входными выводами основного устройства, то получится система с обратной связью по напряжению.

Обозначим передаточную функцию устройства обратной связи черезУравнения четырехполюсника через а параметрыОчевидно, Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Следовательно, передаточная функция всей системы

Уравнения четырехполюсника через а параметры

или, если разделить числитель и знаменатель наУравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Если поменять полярность одной из пар выводов устройства обратной связи, то в знаменателе (9-51) вместо знака минус получится знак плюс.

Обратная связь, при которой напряжение, пропорциональное выходному напряжению, добавляется к входному напряжению системы так, чтоУравнения четырехполюсника через а параметрыназывается положительной; если же Уравнения четырехполюсника через а параметрыто обратная связь называется отрицательной.

Выражение (9-51) может быть переписано так:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Если Уравнения четырехполюсника через а параметрыто

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Это выражение показывает, что передаточная функция системы зависит от передаточной функции устройства обратной связи. Регулируя последнюю, можно воздействовать на передаточную функцию всей системы.

Видео:Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

Математика | Параметр. Система уравнений с параметром

Методы расчета электрических цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

В радиотехнике обычно интересуются прохождением сигналов через произвольную сложную электрическую цепь. При этом важно установить связь между выходными и входными значениями сигнала, не рассчитывая токи и напряжения на элементах внутри цепи.

Для такого анализа цепь (или часть цепи) представляется обобщенной схемой в виде четырехполюсника. Анализ цепи в этом случае производится на основе классической теории четырехполюсников, которая устанавливает связь между токами и напряжениями, действующими на входных и выходных зажимах (полюсах).

Краткая характеристика четырехполюсников

На рис. 5.1. показан неавтономный активный четырехполюсник. В зависимости от того, какая пара переменных величин считается независимой, процессы в четырехполюсниках можно описать одной из шести форм уравнений, приведенных и табл. 5.1.

Коэффициенты уравнений характеризуют свойства четырехполюсника, зависящие только от схемы цепи и параметров ее элементов. Поэтому коэффициенты уравнения называют собственными (иногда первичными) параметрами четырехполюсника. Их можно определить экспериментально или аналитически по известной схеме цепи. Для определения параметров применяют режим холостого хода (XX) или режим короткого замыкания (КЗ) на соответствующих зажимах четырехполюсника.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Режим работы четырехполюсника выбирают так, чтобы одно из слагаемых данных уравнений (табл. 5.1) было равно нулю. Например, для выходных зажимов при XX Уравнения четырехполюсника через а параметрыпри КЗ Уравнения четырехполюсника через а параметрыДалее, полагая одну из двух переменных величин (ток, напряжение) заданной, по схеме цепи рассчитывают данный параметр.

При выбранном режиме работы четырехполюсника каждый коэффициент уравнений имеет конкретный физический смысл. Например, из уравнений в форме Y (табл. 5.1) видно, что каждый коэффициент равен отношению тока к напряжению. Поэтому по физическому смыслу Y-параметры являются входными или передаточными проводимостями. В этом смысле Z- параметры являются входными или передаточными сопротивлениями.
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

А- и В-параметры называют передаточными, так как по физическому смыслу они являются передаточными сопротивлениями (проводимостями) или коэффициентами передачи по напряжению (току). Параметры вида Н и G называются гибридными, так как они содержат входные сопротивления (проводимости) и коэффициенты передачи по напряжению (току).

В общем случае четырехполюсник характеризуется четырьмя параметрами. Для взаимных и симметричных четырехполюсников число параметров уменьшается, так как могут быть два параметра, равных по величине. Условия взаимности и симметричности четырехполюсников для различных собственных параметров приведены в табл. 5.2.

Любая система параметров может быть выражена через каждую из других пяти систем (табл.5.3). Например, в справочнике приведены Н-параметры транзистора, а для расчета цепи необходимо знать Y-параметры транзистора. В этом случае необходимо воспользоваться формулами, расположенными на пересечении строки Y и столбца Н (табл. 5.3):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

где Н — определитель матрицы Н-параметров.

Использование собственных параметров четырехполюсника позволяет при расчете любую электрическую цепь представить эквивалентной схемой замещения.
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

На рис. 5.2 показаны схемы замещения на базе Y-, Z- и Н-параметров. Наиболее часто схемы замещения применяют для описания электрических приборов (триодов, транзисторов), включенных в электрическую цепь.

Собственные параметры четырехполюсника не учитывают влияние внешних цепей (источника и нагрузки). Для расчета четырехполюсника с учетом этих целей применяют комплексные функции, которые иногда называют вторичными или рабочими параметрами. Эти параметры выражают через собственные параметры Y или Z.

Если источник задан напряжением или током на входе четырехполюсника, то при расчете необходимо учитывать только нагрузку. Комплексные входные и передаточные функции для этого случая приведены соответственно в табл. 5,4 и 5.5.

Расчет в ряде случаев удается упростить, если цепь представить в виде сложного четырехполюсника. Основные виды соединения двух простых четырехполюсников показаны в табл. 5.6. Матрицы параметров некоторых простых четырехполюсников приведены в табл. 5.7 и 5.8.
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Примеры решения задач:

Пример 5.1.1.

Для четырехполюсника (рис. 5.3, а) определить А-параметры. Y- и Z-параметры найти по связям с полученными параметрами.

Дано: Уравнения четырехполюсника через а параметры

Решение

1. Строим схемы для холостого хода и короткою замыкания на зажимах 2—2′ (рис. 5.3, б, в).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для режима холостого хода Уравнения четырехполюсника через а параметрысистема уравнений вида А примет вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Отсюда
Уравнения четырехполюсника через а параметры
Для определении Уравнения четырехполюсника через а параметрына вход цепи рис. 5.3,6 подаем Уравнения четырехполюсника через а параметрыи определяем Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

При расчете Уравнения четырехполюсника через а параметрызадаемся Уравнения четырехполюсника через а параметрыи находим Уравнения четырехполюсника через а параметры(рис. 5.3, б)

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для режима короткого замыкания Уравнения четырехполюсника через а параметрысистема уравнений вида А примет вид

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для определения Уравнения четырехполюсника через а параметрына вход цепи (рис. 5.3, в) подаем Уравнения четырехполюсника через а параметрыи находим Уравнения четырехполюсника через а параметры. Из схемы видно, что Уравнения четырехполюсника через а параметрыпоэтому

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Подставляя по значение в исходную формулу, получаем

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметрыможно найти из соотношения

Уравнения четырехполюсника через а параметры

т.е. Уравнения четырехполюсника через а параметры

2. Рассчитаем Y- и Z-параметры по формулам связи с А-параметрами (см. табл. 5.3):

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пример 5.1.2.

Найти матрицу А низкочастотного фильтра, изображенного на рис. 5.4, пользуясь матрицами элементарных четырехполюсников.

Решение

1. Определяем матрицу Уравнения четырехполюсника через а параметрыэлементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7) Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

2. Находим матрицу Уравнения четырехполюсника через а параметрыэлементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7)
Уравнения четырехполюсника через а параметры

3.Рассчитаем матрицу А сложного четырехполюсника при каскадном включении элементарных четырехполюсников

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пример 5.1.3.

Определить комплексную передаточную функцию по напряжению реактивного фильтра нижних частот (см. рис. 5.4), нагруженного на активное сопротивление Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Решение

1. Рассчитаем Y-параметры ненагруженного четырехполюсника. Из табл. 5.8 определим Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

2.Комплексную передаточную функцию по напряжению нагруженного четырехполюсника определим по формуле (см. табл. 5.5).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Учитывая, что Уравнения четырехполюсника через а параметры, получаем

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Видео:Характеристические параметры четырехполюсникаСкачать

Характеристические параметры четырехполюсника

Методы расчета линейных активных цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

Цепи с электронными приборами (электронными лампами, транзисторами, операционными усилителями и т.п.), способные в определенных режимах усиливать по мощности входной сигнал, называются активными. Вследствие нелинейности вольт-амперных характеристик (ВАХ) электронных приборов такие цепи, строго говоря, являются нелинейными. Если амплитуда входного сигнала мала, а рабочая точка выбрана на линейном участке ВАХ прибора, id активные цели можно рассматривать как линейные.

В этом случае их анализ производят методами теории линейных электрорадиоцепей.

Для расчета линейных электрических цепей активные элементы заменяют их моделями, которые с определенной степенью точности отражают происходящие в них физические процессы. Paзличают математические (аналитические) и электрические модели электронных приборов. При расчете линейных активных цепей (ЛАЦ) известными методами теории цепей используют электрические модели, т. е. эквивалентные электрические схемы активных элементов. Обычно применяют два вида эквивалентных схем электронных приборов — физическую и схему на базе собственных параметров четырехполюсника.

Физическая эквивалентная схема строится на основе структуры прибора и принципа его работы, т. е. на основе так называемых физических параметром.

Рассмотрим эквивалентные схемы трех основных видов электронных приборов, применяемых для усиления сигналов. Способность прибора усиливать сигнал отражается включением в эквивалентную схему зависимого источника тока или напряжения.

На рис.5.9 схематически показано устройство плоскостного биполярного транзистора и его условное графическое изображение. В электрическую цепь транзистор может быть включен по схеме с обшей базой (ОБ), но схеме с общим эмиттером (ОЭ) или по схеме с общим коллектором (ОК). В табл. 5.9 приведены физические эквивалентные схемы биполярного транзистора для трех схем включения.

Элемент Уравнения четырехполюсника через а параметры, схемы является дифференциальным сопротивлением эмиттерного перехода в прямом направлении, Уравнения четырехполюсника через а параметры— дифференциальное сопротивление коллекторного перехода в обратном направлении, Уравнения четырехполюсника через а параметры— сопротивление объема полупроводника базы. Обычно в транзисторах Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

В общем случае все физические параметры являются частотно-зависимыми. Этот факт учитывается включением в электрическую модель емкостей эмиттера и коллектора. Эти емкости достаточно малы, поэтому их влияние необходимо учитывать лишь на высоких частотах. Наиболее вредной является емкость коллектора шунтирующая источник.

В рассматриваемых схемах усилительные свойства отображены зависимыми источниками тока в цепи коллектора, которые выражены через коэффициент передачи тока;

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Зависимый источник можно выразить также через коэффициент Уравнения четырехполюсника через а параметрыпередачи тока базы:Уравнения четырехполюсника через а параметрыТак как Уравнения четырехполюсника через а параметрыто

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

В современных транзисторах ток базы мал по сравнению с током эмиттера. Обычно Уравнения четырехполюсника через а параметрыпоэтому Уравнения четырехполюсника через а параметры

На рис.5.10 приведены условное графическое изображение и физическая эквивалентная схема электровакуумного триода.

Эквивалентная схема характеризуется физическими параметрами: входным и внутренним Уравнения четырехполюсника через а параметрысопротивлениями триода переменному току и межэлектродными емкостями, которые пунктиром показаны на условном графическом изображении. Для большинства триодов эти емкости имеют значения от 2 до 15 пФ, поэтому на низких частях их можно не учитывать.

Величины входного и внутреннего сопротивлений зависит от режима работы триода. Обычно на сетку подается отрицательное относительно катода напряжение. При этом ток сетки близок к нулю, а входное сопротивление велико — единицы — десятки мегаом. Внутреннее сопротивление триода при работе в линейном режиме обычно лежит в пределах от 10 до 30 кОм.

Зависимый источник тока в эквивалентной схеме определяется крутизной S вольт-амперной характеристики и напряжением Уравнения четырехполюсника через а параметрымежду сеткой и катодом:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

где Уравнения четырехполюсника через а параметры— ток анода.

Важным параметром триода является коэффициент усиления

Уравнения четырехполюсника через а параметры
где Уравнения четырехполюсника через а параметры— напряжение между анодом и катодом.

Современные триоды имеют коэффициент усиления от 3 до 100 и крутизну от 1 до 50 мА/В.

Рассмотренная физическая эквивалентная схема соответствует включению триода и цепь по наиболее распространенной схеме с общим катодом. Кроме того, триод может включаться в цепь по схеме с общим анодом или с обшей сеткой.

Полевой (униполярный, канальный) транзистор является полупроводниковым аналогом электровакуумного триода. На рис.5.11 схематически показано устройство полевого транзистора с управляющим Уравнения четырехполюсника через а параметрыпереходом и каналом Уравнения четырехполюсника через а параметрытипа, а также его условное графическое изображение.

Сетке триода соответствует затвор (3) транзистора, катоду -исток (И), аноду — сток (С).

Физическая эквивалентная схема этого транзистора, включенного на схеме с общим истоком, показана на рис. 5.12. Видно, что эта схема аналогична схеме триода. Зависимый источник тока характеризуется крутизной ВАХ и напряжением Уравнения четырехполюсника через а параметрымежду затвором и истоком:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

где Уравнения четырехполюсника через а параметры— ток стока.

Величина внутреннего сопротивления может достигать сотен килоом.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Второй тип эквивалентных схем электронных приборов основан на представлении их линейными невзаимными четырехполюсниками. В этом случае параметрами активных элементов являются коэффициенты уравнений четырехполюсников (см. табл. 5.1). Поэтому эквивалентными схемами электронных приборов являются схемы замещения четырехполюсников на базе соответствующих параметров (см. рис. 5.2). Аналогично физическим эквивалентным схемам усилительные свойства электронных приборов отражаются зависимыми источниками.

В настоящее время основными параметрами транзисторов считаются гибридные Н-параметры, так как они наиболее просто измеряются. Именно эти параметры приводятся во всех справочниках. При расчете некоторых цепей удобнее применять Y-napaметры. Переход от одних параметров к другим производится по известным формулам связи собственных параметров четырехполюсников разных систем (см. табл. 5.3).

Н- и Y-параметры называются низкочастотными мало сигнальными, так как они справедливы лишь на низких частотах и для входных сигналом с малыми амплитудами. При работе электронных приборов на низких частотах все их параметры являются вещественными.

Параметры электронных приборов как четырехполюсников, в отличие от физических параметров, существенно зависят от схемы включения прибора в цепь. Поэтому к цифровому индексу параметра добавляют соответствующую букву.

Например, матрицы Н-параметров транзисторов, включенных по схеме с ОЭ и по схеме с ОБ, соответственно имеют вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Аналогично записываются матрицы Y-параметров.

Зная параметры прибора для одной схемы включения, можно найти его параметры для другой схемы. В табл. 5.10 приведены формулы, связывающие Уравнения четырехполюсника через а параметры-параметры транзистора при различных схемах включения в цепь.

Н-параметры так же, как и Y-параметры, непосредственно связаны с физическими параметрами электронного прибора. Некоторые формулы, определяющие эту связь для биполярных транзисторов, приведены в табл. 5.11 и 5.12.

Отметим физический смысл Н-параметров транзистора, который следует из уравнений четырехполюсника в форме Н (см. табл. 5.1).

В систему Н-параметров входят величины:

Уравнения четырехполюсника через а параметры. — входное сопротивление при коротком замыкании выходных зажимов транзистора Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры— коэффициент обратной связи по напряжению при холостом ходе на входных зажимах;

Уравнения четырехполюсника через а параметры— коэффициент передачи тока ( Уравнения четырехполюсника через а параметрыили Уравнения четырехполюсника через а параметрыв зависимости от схемы включения) при Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры— выходная проводимость транзистора при холостом ходе на входе Уравнения четырехполюсника через а параметры

По физическому смыслу выходная проводимость есть внутренняя проводимость транзистора;

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для полевого транзистора или электровакуумного триода эквивалентную схему можно упростить. Наиболее часто эти приборы включают в цепь по схеме с общим катодом (истоком). При этом входное сопротивление велико, поэтому ток сетки (затвора) близок к нулю.

Из уравнений в форме Уравнения четырехполюсника через а параметры(см. табл. 5.1) видно, что Уравнения четырехполюсника через а параметрыПоэтому эти активные элементы характеризуются двумя параметрами: Уравнения четырехполюсника через а параметры

Расчет линейных активных целей (ЛАЦ) с использованием рассмотренных эквивалентных схем активных элементов может производиться по известным методам. В настоящее время наиболее часто применяют MУH, MKT, метод сигнальных графов.

Введение в эквивалентные схемы активных элементов зависимых (управляемых) источников позволяет исключить из расчета независимые источники цепи (источники питания), которые обеспечивают заданный режим работы. При этом зависимые источники работают на частоте сигнала, подаваемого на вход цепи.

Таким образом, при расчете полагают, что в цепи действует один независимый источник сигнала на входе. Поэтому расчет цепи проводят обычным способом, определяя заданные токи (напряжения) или комплексные функции.

Особенность расчета ЛАЦ по MKT или МУН состоит в следующем. Электрическая схема цепи заменяется эквивалентной схемой, в которой активные элементы заменяются физическими эквивалентными схемами или схемами на базе параметров четырехполюсника. Далее, в соответствии с выбранным методом расчета составляются по общим правилам контурные или узловые уравнения.

Например, допустим, что схема имеет три независимых контура. Источник сигнала Уравнения четырехполюсника через а параметрывключен в первый контур, а зависимый источник электронного прибора находится в третьем контуре. В соответствии с MKT система контурных уравнений в матричной форме будет иметь видУравнения четырехполюсника через а параметры

В этом случае матрица контурных сопротивлений описывает только пассивные элементы цепи. Условимся называть такие матрицы матрицами пассивной части цепи и обозначим соответственно Уравнения четырехполюсника через а параметрыили Уравнения четырехполюсника через а параметрыЭти матрицы являются симметричными относительно главных диагоналей, т. е. Уравнения четырехполюсника через а параметры

Зависимые источники активных элементов неизвестны, они определяются токами (напряжениями) в цепи. Поэтому их необходимо выразить через контурные токи (при MKT) или через узловые напряжения (при МУН) и перенести в соответствующие элементы правой части уравнений.

После преобразований все уравнения, кроме первого, будут иметь нулевые правые части. При этом матрица Z или Y характеризует цепь с учетом активных элементов. Такую матрицу будем называть полной.

Так как электронной прибор является невзаимным (однонаправленным), то полная матрица будет несимметричной, т. е. в общем случае

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Полная матрица Z или Y позволяет но известным формулам через определители рассчитать любую комплексную функцию цепи.

Эти методы расчета обычно называют методами эквивалентных схем. Они отличаются наглядностью, простатой и логичностью действий, позволяют использовать любые эквивалентные схемы активных элементов. Однако их применение ограничено, так как для сложных многокаскадных цепей метод становится громоздким.

Представление зависимых источников через искомые точки или напряжения, перенос этих величин в левые части уравнений имеют общие закономерности. Исследования этих закономерностей позволило обобщить (формализовать) методы расчета. Суть обобщения состоит в том, что можно по известным правилам составлять полную матрицу сопротивлений (проводимостей) цепи, не составляя систему уравнений.

Рассмотрим обобщенный метод узловых напряжений (ОМУН). Сущность этого метода состоит в следующем. Электронные приборы в схеме заменяют физической эквивалентной схемой, затем по известным правилам определяют независимые узлы и для них составляют матрицу Уравнения четырехполюсника через а параметрыпассивной части цепи, включая физические параметры электронного прибора. Далее в эту матрицу вписывают так называемые управляющие параметры, учитывающие зависимые источники активных элементов. Полученная в результате этого матрица является полной матрицей активной линейной цепи, позволяющей произвести расчет заданных величин.

Управляющим параметрам называют коэффициент (по модулю) при узловом напряжении, которое создает ток зависимого источника активного элемента. Он рассчитывается непосредственно из выражения для зависимого источника тока.

Для биполярного транзистора Уравнения четырехполюсника через а параметрыТок эмиттера зависит от сопротивления Уравнения четырехполюсника через а параметрыветви эмиттера (внутреннего Уравнения четырехполюсника через а параметрыи внешнего) и от приложенного к ней узлового напряжения. Например, если Уравнения четырехполюсника через а параметрыто

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Проводимость Уравнения четырехполюсника через а параметрыи является управляющим параметром, который вписывается в два элемента матрицы Уравнения четырехполюсника через а параметры. В общем случае ток эмиттера может определяться разностью двух узловых напряжений: Уравнения четырехполюсника через а параметрыВ этом случае управляющий параметр необходимо вписать в четыре элемента матрицы.

Номера строк этих элементов определяются номерами узлов цепи, к которым подключен зависимый источник тока Уравнения четырехполюсника через а параметры, а номера столбцов — номерами узловых напряжений, создающих этот ток. Например, пусть источник включен между узлами 3 и 5, а управляется он узловым напряжением Уравнения четырехполюсника через а параметры. Тогда управляющий параметр необходимо вписать в элементы Уравнения четырехполюсника через а параметрыматрицы.

Параметр вписывают со знаком плюс, если источник и напряжение относительно своих углов направлены одинаково. Например, в элемент параметр необходимо вписать со знаком плюс, если ток источника направлен к узлу 5, а напряжение Уравнения четырехполюсника через а параметры— к узлу 3 (или оба направлены от узлов). В противном случае необходимо ставить знак минус.

Необходимо помнить, что при определении направления напряжения Уравнения четырехполюсника через а параметрыотносительно Уравнения четырехполюсника через а параметры-го узла необходимо учитывать его знак в формуле для расчета эмиттерного тока.

Для расчета ЛАЦ применяют также другой вариант ОМУН, принципиально отличающийся от рассмотренного выше. Сущность этого метода состоит в следующем. Для расчета составляют эквивалентную схему цепи, из которой исключают все активные элементы. Точки включения электродов этих элементов на схеме считаются узлами. Для этой схемы по известным правилам МУН составляют матрицу Уравнения четырехполюсника через а параметры

Электронные приборы описывают матрицами Y-параметров. Для получения полной матрицы цепи элементы матрицы Y-napaметров необходимо вписать в одноименные элементы матрицы Уравнения четырехполюсника через а параметрыДалее расчет ведется обычным способом.

Если электронный прибор включен в цепь определенно, т. е. по схеме с общим электродом, то он характеризуется четырьмя параметрами, например:Уравнения четырехполюсника через а параметры

В общем случае электронный прибор включается в цепь неопределенно, т. е. без общего электрода. При этом на всех электродах имеется напряжение относительно базисного узла (относительно земли).

Пример неопределенного включения транзистора показан на рис. 5.13. В этом случае транзистор описывается не четырьмя, а девятью Y-параметрами. Такая матрица формируется на основе параметров транзистора с определенной схемой включения. Для схемы, прицеленной на рис. 5.13, матрица Y-параметров транзистора имеет вид:
Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры
Можно показать, что такая матрица является неопределенной, т. е. суммы ее элементов в каждой строке и в каждом столбце тождественно равны нулю. На основании этого свойства определяют дополнительные параметры. Например: Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметрыи.т.д.

Чтобы получить правильную полную матрицу проводимостей ЛАЦ, необходимо знать правила вписывания Y-параметров электронных приборов. Если, например, электроды транзистора включены к узлам с номерами Уравнения четырехполюсника через а параметрыто строки и столбцы неопределенной матрицы необходимо обозначить соответственно этими же номерами (см. Уравнения четырехполюсника через а параметры). Тогда элементы этой матрицы вписываются в элементы матрицы Уравнения четырехполюсника через а параметрыимеющие те же номера.

Примеры решения задач:

Пример 5.2.1.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.14) методом контурных токов (MKT). Транзистор представить физической схемой замещения.

Решение

1. Составим эквивалентную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.15).

2. Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме (рис. 5.16).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление контурных токов в них (рис. 5.16).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

4. Составим систему уравнении по MKT:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

5. Выразим ток эмиттеpa через контурный ток

Уравнения четырехполюсника через а параметры

6. Подставим ток эмиттера в уравнения

Уравнения четырехполюсника через а параметры

7. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

8. Рассчитаем ток Уравнения четырехполюсника через а параметрыпо формуле Крамера

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры
9. Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

Уравнения четырехполюсника через а параметры

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пример 5.2.2.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.17) MKT. Транзистор представить схемой замещения на базе Н-параметров.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.18).

2.Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме и преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС (рис. 5.19):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление в них контурных токов.

4. Составим систему уравнений по MKT:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

5. Выразим ток Уравнения четырехполюсника через а параметрыи напряжение Уравнения четырехполюсника через а параметрычерез контурные токи:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

6. Подставим их выражения в уравнения:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

7. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

8. Рассчитаем комплексный ток третьего контура Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

9. Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

Уравнения четырехполюсника через а параметры

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пример 5.2.3. Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.20) ОМУН. Транзистор представить физической схемой замешения.

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.21).
2. Выберем независимые углы и зададим положительное направление узловых напряжений.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

4. Определим управляющий параметр. Из схемы видно, что Уравнения четырехполюсника через а параметрыпоэтому источник тока

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Отсюда получим управляющий параметр: Уравнения четырехполюсника через а параметры

5. Впишем управляющий параметр в матрицу Уравнения четырехполюсника через а параметры

Источник тока включен в узлы 3 и 4, а управляется он узловым напряжением третьего узла Уравнения четырехполюсника через а параметры. Поэтому параметр Уравнения четырехполюсника через а параметрынеобходимо вписать в элементы матрицы Уравнения четырехполюсника через а параметры

Ток источника направлен от yзла 3, а напряжение Уравнения четырехполюсника через а параметрыс учетом знака в формуле (5.1) направлено к. узлу. Поэтому в элемент Уравнения четырехполюсника через а параметрыпараметр Уравнения четырехполюсника через а параметрывписывается со знаком минус. Рассуждая аналогично, найдем, что в элемент Уравнения четырехполюсника через а параметрыпараметр необходимо вписать со знаком плюс. После вписывания получим полную матрицу Y проводимостей усилителя

Уравнения четырехполюсника через а параметры

6. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи усилителя по формуле (см. табл. 4.1)

где Уравнения четырехполюсника через а параметры— алгебраические дополнения полной матрицы проводимостей, получаемые из нее путем вычеркивания соответствующих строк (в данном случае первой) и столбцов (первого и четвертого соответственно).

Пример 5.2.4.

Рассчитать Y-параметры транзистора Уравнения четырехполюсника через а параметры— 623 В.

Дано: Уравнения четырехполюсника через а параметры

Решение

1. Рассчитаем параметр Уравнения четырехполюсника через а параметрытранзистора по формуле (см. табл. 5.9)

Уравнения четырехполюсника через а параметры

2. Рассчитаем Уравнения четырехполюсника через а параметры-параметры транзистора, включенного в схему с общей базой, по формулам пересчета параметров (см. табл. 5.3):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

3. Используя основное свойство неопределенной матрицы, составим матрицу Y-параметров транзистора
Уравнения четырехполюсника через а параметры

4. Составим матрицу Уравнения четырехполюсника через а параметры-параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пример 5.2.5.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (см. рис. 5.20) ОМУН. Транзистор описать матрицей Y-параметров.

Решение

1.Составим эквивалентную комплексную схему однокаскадного транзисторного усилителя без учета транзистора (рис. 5.22).
Уравнения четырехполюсника через а параметры
2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы
Уравнения четырехполюсника через а параметры

4. Впишем матрицу проводимостей пассивной части схемы в матрицу Y-параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

Уравнения четырехполюсника через а параметры

5. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Пример 5.2.6.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилители (рис. 5.23) МУН. Транзистор представить схемой замещения на базе Y-параметров. Построить АЧХ усилителя в диапазоне Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

Дано: Уравнения четырехполюсника через а параметрыУравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.24).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим систему уравнений по МУН

Уравнения четырехполюсника через а параметры

4. Выразим напряжения Уравнения четырехполюсника через а параметрычерез узловые напряжения:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

5. Подставим значения напряжений Уравнения четырехполюсника через а параметрыв систему уравнений (5.2):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

6. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях (5.3):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

7. Запишем матрицу проводимостей из полученной системы уравнений (5.4)

Уравнения четырехполюсника через а параметры

8. Подставим числовые значения и матрицу проводимостей

Уравнения четырехполюсника через а параметры

9. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:
Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

После подстановки и преобразований получим

Уравнения четырехполюсника через а параметры
Модуль комплексного коэффициента передачи определяется выражением
Уравнения четырехполюсника через а параметры
10. Рассчитаем значения модуля комплексного коэффициента передачи по напряжению и диапазоне частот Уравнения четырехполюсника через а параметры

По результатам расчета построим график АЧХ и среде Mathcad (рис. 5.25).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Электротехника
  2. Основы теории цепей
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Линейные диаграммы
  • Круговые диаграммы
  • Цепи с взаимной индукцией
  • Трехфазные цепи
  • Нелинейные электрические цепи
  • Магнитные цепи и их расчёт
  • Цепи переменного тока
  • Символический метод расчета цепей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Лекция 080-1. Теория четырехполюсников. Основные понятияСкачать

Лекция 080-1. Теория четырехполюсников. Основные понятия

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА

Исследование режима работы сложной электронной схемы часто сводится к установлению связи между токами и напряжениями двух ветвей этой схемы. Так как каждая ветвь присоединяется к остальной части схемы в двух узлах, то выделяется часть схемы с четырьмя зажимами (полюсами); причем к одной паре зажимов (входной) обычно присоединяется источник энергии (сигнала), а к другой (выходной) – приемник (нагрузка).

Часть электрической цепи произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов для присоединения источника и приемника энергии, называется четырехполюсником. Четырехполюсники делятся на активные и пассивные. Четырехполюсники, не содержащие в своем составе источников энергии, называются пассивными. Четырехполюсники, содержащие в своих ветвях источники энергии, называются активными.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА

Любой линейный четырехполюсник (рис.4.1) можно описать рядом уравнений, связывающих между собой токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника

Уравнения четырехполюсника через а параметры

В общем случае для ч.п. можно записать 6 существенно разных вариантов уравнений. Наибольшее распространение получили уравнения, связывающие «вход с выходом», которые обычно называют основными уравнениями четырехполюсника. При этом в качестве независимых переменных выбирают величины Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.1)

Уравнения, связывающие напряжения на входе и выходе ч.п. с соответствующими токами, записываются в следующем виде:

Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.2)

а уравнения, в которых в качестве независимых переменных принимаются напряжения Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры, в виде:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.3)

Так называемые смешанные или «гибридные» уравнения записываются в виде:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.4)

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.5)

Наконец, уравнения, в которых в качестве независимых переменных принимаются напряжение Уравнения четырехполюсника через а параметрыи ток Уравнения четырехполюсника через а параметрына входе четырехполюсника, имеют вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.6)

В общем случае коэффициенты A, Z, Y, H, F и В являются комплексными. В тех случаях, когда они являются вещественными (что имеет место для большинства линейных электронных цепей), их обозначают малыми буквами a, r, y, h, f и b.

В матричной форме уравнения (4.1)…(4.6) можно записать следующим образом:

Уравнения четырехполюсника через а параметры; Уравнения четырехполюсника через а параметры;

Уравнения четырехполюсника через а параметры; Уравнения четырехполюсника через а параметры;

Уравнения четырехполюсника через а параметры; Уравнения четырехполюсника через а параметры.

В этих уравнениях квадратные матрицы, как и их элементы, являются параметрами четырехполюсника. Если для четырехполюсника известны (или получены) коэффициенты одной из систем уравнений (4.1)…(4.6), то коэффициенты любой другой системы уравнений можно получить путем несложного взаимного пересчета коэффициентов. В таблице 4.1 приведены некоторые формулы для взаимного пересчета одних коэффициентов уравнений (4.1)..(4.6) в другие (т.е. элементов матриц), где через |Y|, |Z|, |H| и т.д. обозначены определители соответствующих матриц.

В таблице 4.2 приведены соотношения между определителями матриц эквивалентных параметров, позволяющие осуществлять переход от определителя одной системы параметров к другой.

От ® К К¯[Z][Y][H]
[[Z] Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
[[Y] Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
[[H] Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
От ® К ¯|Y||Z||H|
|Y||Y| Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
|Z| Уравнения четырехполюсника через а параметры|Z| Уравнения четырехполюсника через а параметры
|H| Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры|H|

4.2 Z-ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВТОРИЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ СХЕМ, ПРИВОДЯЩИХСЯ К ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКАМ, ПО Z-ПАРАМЕТРАМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Если, как уже отмечалось ранее, в качестве независимых переменных выбрать токи Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры, то для четырехполюсника можно записать следующие уравнения:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.7)

Параметры четырехполюсника Z11, Z12, Z21 и Z22 имеют размерность сопротивления, т.к. умножение каждого из них на ток в (4.7) дает напряжение. Двузначные индексы коэффициентов уравнений (параметров) указывают на то, какую именно пару величин связывает данный параметр:

Уравнения четырехполюсника через а параметрыВ каждом случае здесь первый индекс указывает на зависимую переменную, а второй – на независимую.

Уравнения (4.7) справедливы для всех значений независимых переменных. Поэтому они справедливы также и в тех случаях, когда токи Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметрыравны нулю. Предположим, что ток Уравнения четырехполюсника через а параметры=0, что может иметь место лишь, когда выходные зажимы четырехполюсника разомкнуты (режим холостого хода по выходу). Уравнения (4.7) при этом приобретают вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры-входное сопротивление четырехполюсника в режиме идеального холостого хода его выходной цепи;
Уравнения четырехполюсника через а параметры-сопротивление прямой связи (определяет э.д.с. на выходе вторичной цепи четырехполюсника в режиме идеального холостого хода по выходу).

Аналогично, предполагая режим идеального холостого хода по входной цепи четырехполюсника, получаем:

Уравнения четырехполюсника через а параметры-сопротивление обратной связи;
Уравнения четырехполюсника через а параметры-выходное сопротивление четырехполюсника в режиме идеального холостого хода в его входной цепи (в этом режиме э.д.с. вторичной цепи Уравнения четырехполюсника через а параметрыравна 0, что дает основание определять Z22 как выходное сопротивление четырехполюсника).

Одна из задач, часто встречающихся при анализе электронных схем, заключается в определении вторичных выходных параметров схемы используя параметры эквивалентного четырехполюсника, к выходу которого подключена нагрузка Zн, а к входной цепи подключен генератор Уравнения четырехполюсника через а параметрыс внутренним сопротивлением Zвн (рис. 4.2):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Так, представив Уравнения четырехполюсника через а параметры, и подставляя Уравнения четырехполюсника через а параметрыв уравнения (4.7), получаем:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.8)

Решив эту систему относительно Уравнения четырехполюсника через а параметрыв результате получаем:

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Решив систему (4.8) относительно Уравнения четырехполюсника через а параметры, имеем:

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Откуда находим проводимость передачи:

Уравнения четырехполюсника через а параметры,

Поскольку Уравнения четырехполюсника через а параметры, используя уравнение для Уравнения четырехполюсника через а параметрыможно определить коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению:

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Полученные выше зависимости известны в специальной литературе под названием общего решения четырехполюсника через Z-параметры.

Аналогичным образом можно получить еще ряд общих решений, например:

Уравнения четырехполюсника через а параметры— выходное сопротивление четырехполюсника;

Уравнения четырехполюсника через а параметры— коэффициент передачи по току.

Таким образом, имея матрицу Z-параметров четырехполюсника, эквивалентного анализируемой схеме, можно с помощью приведенных выше формул определять вторичные выходные параметры схемы.

4.3 Y-ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Независимые переменные Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры. Для четырехполюсника можно записать уравнения:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.9)

Условия определения параметров – короткое замыкание по входной и выходной цепи. При этом:

Уравнения четырехполюсника через а параметры-входная проводимость четырехполюсника в режиме короткого замыкания его выходной цепи;
Уравнения четырехполюсника через а параметры-проводимость прямой связи (коэффициент пропорциональности в режиме короткого замыкания вторичной цепи, устанавливающий связь между напряжением в первичной цепи и током во вторичной цепи).
Уравнения четырехполюсника через а параметры-проводимость выходной цепи четырехполюсника в режиме короткого замыкания по переменному току в его входной цепи.
Уравнения четырехполюсника через а параметры-проводимость обратной связи.

Как и случае Z-параметров могут быть получены выражения для расчета вторичных выходных параметров схемы с использованием Y-параметров эквивалентного четырехполюсника (получить самостоятельно выражения для Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры).

4.4 H-ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Выбор независимых переменных соответствует принципу: входные величины предшествуют выходным, а напряжения – токам. Независимыми переменными являются Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры. Основные уравнения имеют вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.10)

Для определения H-параметров надо обеспечить либо холостой ход по входной цепи, либо короткое замыкание в выходной цепи.

Уравнения четырехполюсника через а параметры-входное сопротивление четырехполюсника в режиме короткого замыкания по переменному току в его выходной цепи;
Уравнения четырехполюсника через а параметры-коэффициент передачи по току;
Уравнения четырехполюсника через а параметры-выходная проводимость четырехполюсника в режиме холостого хода в его входной цепи;
Уравнения четырехполюсника через а параметры-безразмерный коэффициент обратной связи.

Как и случае Z-параметров могут быть получены выражения для расчета вторичных выходных параметров схемы с использованием H-параметров эквивалентного четырехполюсника (получить самостоятельно выражения для Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры).

методика получения соответствующих зависимостей для других систем параметров четырехполюсника аналогична рассмотренной в р. 4.2, 4.3 и 4.4;

в таблице 4.3 приведены зависимости для определения некоторых вторичных выходных параметров схемы с использованием Z,Y,H-параметров эквивалентного четырехполюсника;

более полная таблица есть в кн. «Сигорский В.П., Петренко А.И. Основы теории электронных схем. Киев, 1967.»

ПараметрОбозначениеСистема параметров
[H][Y][Z]
Входное сопротивление (проводимость) Wвх Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Выходное сопротивление (проводимость) Wвых Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Коэффициент передачи по напряжению Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Коэффициент передачи по току Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Проводимость передачи Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Сопротивление передачи Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры

Примечания: 1. Параметры четырехполюсника определены для Yн=0 и Yвн=0 .

2. Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры.

4.5 ОСНОВНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Любая сложная схема, приводимая к виду четырехполюсника, может в конечном итоге рассматриваться как сочетание (соединение) некоторых простейших (элементарных) четырехполюсников. Как правило, параметры таких четырехполюсников известны либо определяются сравнительно просто. Анализ (расчет) такой схемы сводится к:

а) выделению в схеме входных и выходных зажимов и представлению её эквивалентным четырехполюсником;

б) представлению эквивалентного четырехполюсника соединением простейших четырехполюсников;

в) записи (определению) нужных матриц параметров этих четырехполюсников (их можно найти так же в заранее составленных специальных таблицах);

г) получение матриц параметров эквивалентного четырехполюсника на основе матриц простейших (элементарных) четырехполюсников с учетом различных способов их соединения;

д) определению интересующих вторичных выходных параметров схемы, используя матрицу параметров эквивалентного четырехполюсника.

При выполнении описанной процедуры используют несколько видов соединений простейших (элементарных) четырехполюсников. К основным соединениям относятся последовательное (каскадное, цепочное), параллельное, этажное, этажно-параллельное, параллельно-этажное. Ниже приведены примеры основных соединений двух четырехполюсников:

Уравнения четырехполюсника через а параметры— Последовательное
Уравнения четырехполюсника через а параметры— Параллельное
Уравнения четырехполюсника через а параметры-Этажное
Уравнения четырехполюсника через а параметры— Этажно-параллельное
Уравнения четырехполюсника через а параметры— Параллельно-этажное

4.6 ОДНОРОДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Если в составе эквивалентного четырехполюсника имеют место основные соединения одного вида элементарных четырехполюсников, то такие соединения называют однородными.

4.6.1 При последовательном соединении двух четырехполюсников внешние токи и напряжения связаны между собой зависимостями, указанными на рис. 4.3:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Для данного вида соединения можно записать:

Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры,

где Уравнения четырехполюсника через а параметры— матрица А-параметров четырехполюсника.

Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры,

получаем уравнение для эквивалентного четырехполюсника:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Таким образом, матрица А-параметров эквивалентного четырехполюсника равна произведению матриц А-параметров последовательно соединенных четырехполюсников. При последовательном соединении нескольких четырехполюсников их матрицы А-параметров перемножаются в той последовательности, в какой следуют четырехполюсники:

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

4.6.2 Несложно показать, что при параллельном соединении четырехполюсников их матрицы Y-параметров суммируются, т.е.

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

При выводе последней формулы следует иметь в виду, что при параллельном соединении внешние напряжения являются общими для всех четырехполюсников, а внешние токи суммируются.

Аналогичные рассуждения приводят к следующим результатам:

— при этажном соединении четырехполюсников суммируются их матрицы Z-параметров;

— при этажно-параллельном соединении – суммируются матрицы H-параметров;

— при параллельно-этажном – суммируются матрицы F-параметров.

4.6.3 Основные виды соединений и формулы расчета параметров эквивалентного четырехполюсника приведены в таблице 4.4

СоединениеФормула
Последовательное Уравнения четырехполюсника через а параметры
Параллельное Уравнения четырехполюсника через а параметры
Этажное Уравнения четырехполюсника через а параметры
Этажно-параллельное Уравнения четырехполюсника через а параметры
Параллельно-этажное Уравнения четырехполюсника через а параметры

4.7 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

К АНАЛИЗУ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

В таблице 4.4 приведены формулы для определения матриц параметров эквивалентного четырехполюсника, содержащего однородные соединения, т.е. соединения одного вида (последовательное, параллельное и т.д.). В общем случае для представления реальной схемы сочетанием простых четырехполюсников может потребоваться не один, а несколько видов соединений в пределах схемы. Такие соединения называют неоднородными. Основная особенность расчета неоднородных соединений состоит в необходимости переходов от одной системы параметров четырехполюсника к другой с помощью зависимостей между системами параметров (см. р. 4.1).

Порядок анализа (расчета) схемы при использовании метода четырехполюсника рассмотрим на примере:

Пример 4.1 Получить матрицу параметров четырехполюсника, эквивалентного схеме усилителя, приведеной на рис.4.4 (приведена рабочая схема – схема для переменных составляющих сигнала).

Уравнения четырехполюсника через а параметры

1) Представляем эквивалентный четырехполюсник (он обведен пунктиром на рис. 4.4) в виде соединений простейших четырехполюсников – рис. 4.5 Здесь четырехполюсники 1, 2, 3 и 4 соединены последовательно, а 5-й четырехполюсник – параллельно им.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

2) Определяем матрицу А-параметров четырехполюсника, эквивалентного последовательно соединенным четырехполюсникам 1 – 4:

По справочнику находим, что матрица А-параметров для одинаковых четырехполюсников 1 и 3 (ПТ) имеет вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

матрица А-параметров для одинаковых четырехполюсников 2 и 4 имеет вид (таблица 4.6):

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Перемножив матрицы А-параметров четырехполюсников 1-4, получаем матрицу А-параметров четырехполюсника, эквивалентного последовательно включенным простейшим четырехполюсникам 1-4. Она должна быть преобразована к виду:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

3) Переходим от матрицы А-параметров этого четырехполюсника к матрице Y-параметров, используя следующую формулу перехода:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

4) Записываем матрицу Y-параметров для параллельно соединенных четырехполюсников (1-4) и 5:

где Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры— из справочника.

Матрица [Y] – искомая матрица четырехполюсника, эквивалентного заданной схеме.

Матрицы параметров четырёхполюсников, представляющих полевые транзисторы на низкой частоте, без токов затвора приведены в таблице 4.5. Матрицы параметров четырехполюсников, составленных из пассивных элементов приведены в таблице 4.6.

Схема[Y][H][F][A]
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры


Схема[Y][Z][H][F][A]
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры


Пример 4.2 Пользуясь методом четырехполюсника, получить выражение для определения коэффициента передачи по напряжению Уравнения четырехполюсника через а параметрыистокового повторителя, схема которого приведена на рис. 4.6. Повторитель работает в диапазоне высоких частот, где реактивные сопротивления емкостей С1,С2 и С3 малы.

1) На рис. 4.7а приведена рабочая схема повторителя – схема для переменных составляющих сигнала. Представление повторителя соединением простейших четырехполюсников показано на рис. 4.7б. Здесь четырехполюсники 1 и 2 соединены последовательно, а четырехполюсник 3 – параллельно им.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры

2) Определяем матрицу А-параметров четырехполюсника, эквивалентного последовательно соединенным четырехполюсникам 1 и 2:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

3) Переходим от матрицы А-параметров к матрице Y-параметров:

Уравнения четырехполюсника через а параметры,

где Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры.

4) Определяем матрицу Y-параметров истокового повторителя, как параллельно соединенных четырехполюсников (1,2) и 3:

Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры

5) Коэффициент передачи схемы по напряжению определяем по формуле (см. табл. 4.3):

Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Уравнения четырехполюсника через а параметры

6) Задачу можно решить несколько иначе, если рассматривать резистор R2 как нагрузку эквивалентного четырехполюсника:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Матрица Y-параметров параллельно соединенных четырехполюсников 1 и 2 имеет вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры

Уравнения четырехполюсника через а параметры,

где Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Тогда: Уравнения четырехполюсника через а параметры

4.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

4.8.1 Параметры эквивалентного четырехполюсника, к которому приводится схема с двумя входными зажимами и двумя выходными, можно выразить через определитель и алгебраические дополнения матрицы сопротивления (или проводимости) анализируемой схемы. Действительно, уравнения для внешних токов схемы, приводимой к виду четырехполюсника, имеют вид:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.11)

где Δ – определитель матрицы сопротивления схемы; Δba, Δab, Δaa, Δbb – алгебраические дополнения определителя; Уравнения четырехполюсника через а параметры— соответственно входное и выходное напряжения схемы.

Сравним (4.11) с системой уравнений для четырехполюсника в Y-параметрах:

Уравнения четырехполюсника через а параметры(4.12)

где Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры— токи на входе и выходе четырехполюсника; Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры— напряжения, соответственно, на входе и выходе четырехполюсника.

Считая, что Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры, Уравнения четырехполюсника через а параметры= Уравнения четырехполюсника через а параметры, можно записать:

Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры. (4.13)

Уравнение (4.13) позволяет оценить Y-параметры эквивалентного четырехполюсника, используя определитель и алгебраическое дополнение матрицы сопротивления схемы.

Если уравнения системы (4.11) решить относительно Уравнения четырехполюсника через а параметрыи Уравнения четырехполюсника через а параметры:

Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры

и сравнить полученные уравнения с системой уравнений для четырехполюсника в Z-параметрах:

Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры

то можно установить что:

Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры.

Аналогично получаются и другие соотношения, приведенные ниже в таблице 4.7:

Матрица параметров четырехполюсникаВыражение через определитель и алгебраические дополнения
Матрица сопротивленияМатрица проводимости
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры
Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры Уравнения четырехполюсника через а параметры

4.8.2 Если структура четырехполюсника неизвестна, то его параметры можно определить экспериментально. Для этого необходимо поочередно на входе и выходе четырехполюсника воспроизвести режимы холостого хода ( Уравнения четырехполюсника через а параметры=0, Уравнения четырехполюсника через а параметры=0) и короткого замыкания ( Уравнения четырехполюсника через а параметры=0, Уравнения четырехполюсника через а параметры=0) и определить отношения соответствующих токов и напряжений.

Если параметры четырехполюсника измеряются на переменном токе и необходимо обеспечить при этом неизменность режима работы четырехполюсника на постоянном токе, то режим короткого замыкания соответствует закорачиванию большой емкостью входных или выходных зажимов четырехполюсника, а режим холостого хода – последовательному включению в цепь соответствующих зажимов большой индуктивности. Режим работы четырехполюсника по постоянному току при этом не изменится.

При экспериментальном определении параметров четырехполюсника следует иметь в виду важное обстоятельство: при воспроизведении режимов холостого хода и короткого замыкания на входе четырехполюсника и подаче на его выход задающего напряжения, ток в выходной цепи четырехполюсника (ток Уравнения четырехполюсника через а параметры) будет иметь направление, противоположное принятому на рис. 4.1. Поэтому параметры четырехполюсника, стоящие коэффициентами при токе Уравнения четырехполюсника через а параметрыв его уравнениях, будут получены со знаком «-».

|следующая лекция ==>
ИНФЕКЦИОННЫЙ ЭНДОКАРДИТ|Общая характеристика. Химия элементов шестой группы – хром, молибден, вольфрам

Дата добавления: 2016-01-03 ; просмотров: 16183 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

🎬 Видео

2019-01-26. Найти Z-параметры четырёхполюсникаСкачать

2019-01-26. Найти Z-параметры четырёхполюсника

ЧетырехполюсникиСкачать

Четырехполюсники

Характеристические параметры четырехполюсникаСкачать

Характеристические параметры четырехполюсника

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnline

Характеристические параметры ЧП. Часть 1Скачать

Характеристические параметры ЧП. Часть 1

Задачи по четырехполюсникам. Т-образная схемаСкачать

Задачи по четырехполюсникам.  Т-образная схема

ТОЭ 56. Запись А-уравнений четырёхполюсника с помощью гиперболических функций.Скачать

ТОЭ 56. Запись А-уравнений четырёхполюсника с помощью гиперболических функций.

ОТЦ 2020. Лекция 11. ЧетырёхполюсникиСкачать

ОТЦ 2020. Лекция 11. Четырёхполюсники

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуляСкачать

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуля

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: