Уравнения арифметическая и геометрическая прогрессия

Видео:Как за 10 минут понять СЛОЖНЕЙШУЮ ТЕМУ в Алгебре? Геометрическая прогрессияСкачать

Числовая последовательность.

Определения и обозначения.

В математике существует понятие последовательности. Здесь мы будем обсуждать числовые последовательности, в общем случае они представляют собой бесконечный набор чисел, расположенных последовательно, друг за другом, «в очередь». При этом каждое число «знает своё место в этой очереди», т.е. однозначно характеризуется своим номером.

Говоря математическим языком,

Последовательность коротко обозначают <x_n>, n &in; N. Её члены могут быть заданы формулой x_n = f (n), каким-либо правилом или рекуррентным соотношением.

Примеры задач на последовательности из ОГЭ по математике прошлых лет.

Задача 1. Последовательность задана формулой (a_n = dfrac.)
Сколько членов этой последовательности больше 2?

Выпишем несколько членов этой последовательности.

(a_1 = dfrac = 20; ; a_2 = dfrac = 13dfrac; ; a_3 = dfrac = 10;;) (a_4 = dfrac = 8; ; . )

Видно, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, и эта тенденция сохранится, потому что при увеличении номера элемента будет увеличиваться знаменатель дроби при сохранении неизменным её числителя, т.е. сама дробь будет только уменьшаться. Из этих рассуждений делаем вывод, что существует такой номер члена последовательности, что число под этим номером впервые станет меньше либо равным 2, все последующие будут еще меньше, а все числа с меньшими номерами, наоборот, будут больше 2. Чтобы найти этот номер решим неравенство [ frac le 2; \ 40 le 2(n+1); \ 20 le n+1; \ n+1 ge 20; \ n ge 19. ] Итак, все числа с номерами большими либо равным 19 меньше 2, следовательно членов последовательности больших, чем 2, ровно 18.

Ответ: 18

Подробное изучение свойств последовательностей, как правило, включают в курсы высшей математики. К классической алгебре относят само понятие «последовательность» и наиболее простые из них – прогрессии. Они отличаются тем, что каждый следующий член такой последовательности может быть найден по значению предыдущего.

Видео:Арифметическая и геометрическая прогрессия | Математика TutorOnlineСкачать

Арифметическая прогрессия.

Определения и обозначения.

Арифметической прогрессией называется последовательность <a_n>, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессими d может иметь как положительное, так и отрицательное значение. В первом случае, каждый следующий член прогресси будет на одно и то же число больше предыдущего, а во втором – на одно и тоже число меньше предыдущего.
Например,

2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 . – возрастающая арифметическая прогрессия (d = 2);

17; 14; 11; 8; 5; 2; −1; −4; −7 . – убывающая арифметическая прогрессия (d = −3).

Свойства арифметической прогрессии.

(a_n = a_1 + dcdot(n-1),)

Для арифметической прогрессии при любом n > 1 верны следующие соотношения:

(a_ = a_n + d; ; a_ = a_n — d; ) (a_n = a_k + dcdot(n-k).)

Характеристическое свойcтво арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего:

Сумма первых n членов арифметической прогресии S_n = a₁ + a₂ + a₃ + . + a_n-1 + a_n равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых.

С учётом равенства (a_n = a_1 + dcdot(n-1),) эта сумма может быть найдена по формуле

Примеры задач на арифметическую прогрессию.

Задача 2. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 11; x ; –13; –25; … .
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

Способ I.
Известны предыдущий и последующий члены прогрессии для элемента x. Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии [a_n = frac<a_+a_>;\ x = frac = frac = -1.] Способ II.
Найдём разность между двумя соседними известными членами прогрессии [d = -25 — (-13) = -25+13 =-12.] По определению арифметической прогрессии такая же разность будет между элементом x и его непосредственными соседями, сдедовательно

(x = -13 -d = -13-(-12) ) (= -13+12 = -1 )
или
(x = 11 + d = 11 +(-12) ) (= 11-12 = -1.)

Ответ: −1

Задача 3. Арифметическая прогрессия задана условиями a₁ = 44, a_n+1 = a_n − 17.
Найдите сумму первых 14 её членов.

Искомую сумму можно найти по формуле (S_n = dfraccdot n), т.е. [S_ = frac<a_1+a_>cdot 14 = (a_1+a_)cdot7.] Значение первого члена прогрессии известно a₁ = 44. Чтобы найти значение 14-го члена, проанализируем выражение a_n+1 = a_n − 17. Оно свидетельствует о том, что каждый последующий член прогрессии (n+1-ый) меньше текущего (n-ого) на 17, т.е. разность прогрессии d = −17. Поэтому 14-ый член прогрессии можно найти по формуле (a_n = a_1+dcdot (n-1)).

( a_ = a_1 + dcdot(14-1) ) (= 44 + (-17)cdot13 = 44 -221 = — 177.)

В итоге получим

(S_ = (a_1+a_)cdot7 = (44+(-177))cdot7 ) (= (44-177)cdot7 = -931.)

Ответ: −931

Видео:Арифметическая и геометрическая прогрессия в ОГЭ | Математика ОГЭ 2022 | УмскулСкачать

Геометрическая прогрессия.

Определения и обозначения.

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел <b_n>, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число q ≠ 0. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессими q может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Если q > 1, то каждый следующий член прогресси будет в одинаковое число раз больше предыдущего, если 0 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512 . – возрастающая геометрическая прогрессия (q = 2). Каждое следующее число в 2 раза больше.

17; 8,5; 4,25; 2,125; 1,0625; 0,53125; 0,265625 . – убывающая геометрическая прогрессия (q = 1/2 = 0,5) . Каждое следующее число в 2 раза меньше.

1; −3; 9; −27; 81; −243; 729 . – знакопеременная геометрическая прогрессия (q = −3).

Свойства геометрической прогрессии.

Для геометрической прогрессии со знаменателем q при n > 1 имеем:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член кроме первого связан с предыдущим и последующим членами формулой

Обратите внимание, в общем случае, все последовательности бесконечны. Но в задачах часто рассматривают упорядоченные конечные участки таких множеств, также называя их последовательностями и прогрессиями.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а таковыми являются прогрессии со знаменателем |q| существует сумма ВСЕХ её членов

где S – сумма b_n при n, изменяющимся от единицы до бесконечности.

Примеры задач на геометрическую прогрессию.

Задача 4. В геометрической прогрессии <b_n> [b_3=frac,; b_6 = 196.] Найдите знаменатель прогрессии.

Используем соотношение ( b_n = b_kcdot q^,) в которое подставим известные величины, а затем решим простое уравнение относительно неизвестных.

( b_6 = b_3cdot q^\196 = dfraccdot q^3\ q^3=196 cdotdfrac =dfrac =49cdot7 = 7^3.\q^3=7^3; ; q = 7.)

Ответ: 7

Задача 5. Найдите бесконечную геометрическую прогрессию <b_n> , если (b_1+b_2 = 4) и (S = dfrac).

Любой член прогрессии можно найти по формуле её общего члена, т.е. через первый член и знаменатель. Поэтому вопрос «найти прогрессию» равносилен вопросу «найти первый член прогрессии и её знаменатель».

Из первого условия, используя равенство (b_2 = b_1cdot q) получаем [b_1+ b_2 = b_1 + b_1cdot q = 4\ b_1cdot (1+q) = 4 \ b_1 = frac.] Сумму всех членов прогрессии, которая по условию задачи равна (dfrac,) найдём по формуле (S = dfrac). Подставим полученную зависимость для (b_1) и составим уравнение для определения неизвестного знаменателя прогрессии.

Решаем уравнение [frac = frac; \ 4cdot3 = 16cdot (1-q^2); \ 12-16 = -16q^2; \ q^2 = frac = frac; \ q = pmfrac.] Таким образом, указанным условиям удовлетворяют две последовательности:

1. (q = dfrac = 0,5; ; b_1 = dfrac = dfrac = dfrac = dfrac = dfrac; \ b_n = dfraccdot left(dfracright)^ = dfrac<3cdot 2^>)

2. (q = -dfrac = 0,5;; b_1 = dfrac = dfrac = dfrac = dfrac = 8 \ b_n = 8cdot(-dfrac)^ = dfrac<(-2)^>)

Для краткого обозначения того, что последовательность представляет собою арифметическую прогрессию, иногда ставят в начале знак ÷
Для обозначения того, что последовательность представляет собою геометрическую прогрессию, иногда ставят в начале знак — ::

Разумеется, не следует зацикливаться на обозначениях. Арифметическую и геометрическую прогрессию необязательно обозначать символами <a_n> и <b_n>, хотя их используют довольно часто. Это облегчает восприятие понятий на первом этапе, но не более того. Для последовательностей вообще и прогрессий в частности часто используют <a_k>, <u_n>, <x_m>, <β_i> и другие символы латинского и греческого алфавита. При этом нижний индекс – натуральное число, изменяющееся от 1 до ∞. Однако и это необязательно. Бывают случаи, когда члены последовательности начинают нумеровать с нуля.

Видео:9 класс, 23 урок, Арифметическая прогрессияСкачать

Задачи на прогрессии и последовательности с практичеcким содержанием.

В ОГЭ по математике в наступающем году произошли некоторые изменения в заданиях, связанных с этой темой. Задание на работу с последовательностями и прогрессиями (задание 12 в КИМ 2020 г.) заменено на задание с практическим содержанием, направленное на проверку умения применять знания о последовательностях и прогрессиях в прикладных ситуациях (задание 14 в КИМ 2021 г.).

Суть этого задания теперь состоит в том, что надо сначала определить, о какой последовательности идёт речь в задании, и только потом начинать применять формулы. Для этого надо искать в тексте условия задачи ключевые слова «каждый, следующий, предыдущий . «, «на . больше (меньше)», «в . раз больше (меньше)» и, опираясь на их смысл, вспоминать определения последовательностей и прогрессий.

Задача 6. За первую минуту бега спортсмен пробежал 300 метров, а в каждую следующую минуту он пробегал на 5 метров больше, чем в предыдущую. С какой скоростью спортсмен закончил тренировку, если она длилась 20 минут? Ответ дайте в километрах в час.

Анализируя текст задачи, приходим к выводу, что ускорение бега спорсмена происходило по графику арифметической прогрессии, первый член которой равен 300 м, а разность d = 5 м. Определим, сколько метров он пробежал в последнюю (20-ю) минуту бега. [ a_n = a_1 +dcdot(n-1) \ a_ = 300 + 5cdot(20-1) \ a_ = 300 + 5cdot19 = 300+95 = 395 (м).] Фактически, мы уже определили среднюю скорость бега в конце тренировки, но в метрах в минуту. Для того, чтобы дать требуемый ответ, осталось перейди к другим единицам измерения скорости. [ frac = 23,7 (км/ч)]

Ответ: 23,7

Задача 7. Фермер Алексей приобрёл новый земельный участок весной 2015 года и сразу засеял его пшеницей. Используя эффективные приёмы агротехники, он ежегодно увеличивал урожайность пшеницы на 2,9 ц/га и в 2020 году собрал в среднем по 24,5 центнера пшеницы с гектара. Какова была урожайность пшеницы в первый год использования участка Алексеем? Ответ дайте в ц/га (центнерах с гектара).

Фермер ежегодно увеличивал урожай на одно и то же число центнеров с гектара – арифметическая прогрессия.

Можно вычислить, что с весны 2015 года до осени 2020 года он смог собрать урожай 6 раз, т.е. известно (a_6,) определить нужно (a_1). Для этого используем формулу общего члена прогрессии и решим маленькое уравнение относительно (a_1.) [ a_n = a_1 +d(n-1); \ a_6 = a_1 + d(6-1); \ 24,5 = a_1 + 2,9cdot5; \ 24,5 = a_1 + 14,5; \ a_1 = 24,5 — 14,5 = 10. ] Но также можно предположить, что рассматриваемый период это конечный участок какой-то бесконечной прогрессии, начальные значения которой нас не интересуют. Тогда вычисляем по формуле (a_n = a_k + dcdot(n-k)). [ a_ = a_ + dcdot(2020-2015); \ 24,5 = a_ + 2,9cdot5; \ 24,5 = a_ + 14,5; \ a_ = 24,5 — 14,5 = 10. ] Итак, изначально урожайность пшеницы составляла 10 ц/га.

Ответ: 10

Задача 8. Михаил заключил с банком на срок 5 лет следующий договор. Ежегодно он вносит в банк вклад в размере 10 000 руб., не снимая ранее внесённых средств. В конце каждого года банк начисляет 5% дохода на всю сумму средств, вложенных Михаилом к этому моменту. Сколько рублей он сможет забрать из банка по истечении срока действия договора?

Михаил в течение срока договора должен внести 5 раз по 10000 руб. и банк должен 5 раз начислить процент на общую сумму средств на счету Михаила. При этом сумма, находящаяся на счету в момент начисления процентов, увеличится в 1,05 раза.

Замечание. Для решения таких задач лучше переходить от процентов к коэффициентам. Например, сумма составляет S рублей, один процент от неё составляет (dfrac) рублей, а 5%, соответственно составляют (dfrac) рублей. В результате на счету образуется (S + dfrac) рублей. Преобразуем это выражение

( S + dfrac = dfrac = dfrac = 1,05S )
Таким образом, увеличение суммы на 5% равносильно умножению её на коэффициент 1,05.
Подробнее о различных способах работы с процентами можно посмотреть на странице, посвященной решению текстовых задач.

При этом 10000 рублей, внесенные в банк в первый год, будут находиться на счёте в момент начисления процентов все 5 раз и потому увеличатся в 1,05 раза последовательно в 5 этапов, т.о. эта часть вклада достигнет величины 1000·1,05·1,05·1,05·1,05·1,05 = 1000·1,05 5 .
10000 рублей, внесённые во второй год подвергнутся такому увеличению только 4 раза и достигнут величины 1000·1,05 4 рублей, а сумма, внесённая в последний год будет увеличена только один раз. Таким образом, мы замечаем следующую закономерность: каждые десять тысяч рублей, пролежавшие на вкладе на год дольше, чем следующие, увеличиваются по сравнению с ними в 1,05 раза. Т.е. мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой q = 1,05, нулевой член прогрессии b₀ = 10000, а первый член прогресии b₁ = 10000·1,05 = 10500. Чтобы найти всю сумму, которую Михаил сможет забрать из банка в конце срока, нужно сложить члены этой геометричексой прогрессии с первого по пятый. Для этого воспользуемся формулой (S_n = dfrac). [S_5 = frac = frac = frac = \ = 58019,128125 approx 58019,13.] Итак, Михаил получит 58019 рублей и 13 копеек.

Замечание. Для полноты представления о прогрессии расчёты здесь проведены с использованием калькулятора. На экзамене такой возможности не будет, поэтому при вычислении q n нужно вспомнить свойства степеней. Например, чтобы быстро вычисить 1,05 5 , степень нужно записать как (1,05 2 ) 2 ·1,05. Тогда получится дважды воспользоваться таблицей квадратов, которая есть в справочных материалах ОГЭ и базового ЕГЭ, и только один раз умножить в столбик. Можно также перейти от десятичных дробей к обыкновенным 1,05 = 105/100 = 21/20.

Ответ:58019,13

Задача 9. Представьте в виде обыкновенной дроби десятичную дробь 2,5(3).

Десятичная дробь 2,5(3) читается так «2 целых 5 десятых и 3 в периоде», т.е. это число 2,53333333333. , где во всех разрядах, начиная с сотых и до бесконечности, стоит тройка. Запишем это число иначе

Замечание. Самый простой способ переходить от десятичных дробей к обыкновенным – читать число вслух и записывать с делением дробной чертой. Например, «и три тысячных» то же самое, что («+ dfrac»).

В новой записи заданного числа видно, что каждое слагаемое, начиная с четвёртого, ровно в 10 раз иеньше предыдущего. Таким образом, эти слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен третьему слагаемому (b_1 = dfrac = 0,03), а знаменатель прогрессии равен (b_1 = dfrac = 0,1). Поэтому само число теперь можно записать как

Ответ: (2dfrac)

Видео:Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии. 9 класс.Скачать

Задачи для самостоятельного решения.

Ответы и решения этих задач временно скрыты. Чтобы посмотреть их, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.

Задача 10. На каждый День Рождения родители Саши бросают в его копилку столько монет, сколько ему лет. Сейчас в копилке Саши 21 монета. Сколько ему лет?

Каждый День Рождения Саше становится на один год больше и, соответственно, в копилку попадает на одну монету больше. Таким образом, мы имеем дело с возрастающей арифметической прогрессией, разность которой d = 1. Первый член прогресии (a_1 = 1), так как первый День Рождения Саши, очевидно, отмечался, когда ему исполнился один год.

Так как в копилке находятся все «накопившиеся» монеты, то их количество представляет собой сумму всех ежегодных вложений, т.е. сумму арифметической пролгрессии.
Подставим все известные данные в формулу для суммы арифметической прогрессии и решим уравнение относительно неизвестного параметра.
Воспользуемся формулой суммы в форме (S_n = dfraccdot n.) [21 = fraccdot n \ 21 = frac \ 42 = 2n+n^2 — n \ n^2 + n — 42=0 ] Решая это квадратное уравнение, получаем корни n₁ = −7 и n₂ = 6. Поскольку Саше явно неотрицательное число лет, то принимаем во внимание корень n = 6.

Проверка.
При выполнении таких ответственных заданий, как экзаменационные задания, по возможности желательно делать проверку. Поскольку оказалось, что Саше не так много лет, то можно «вручную» сложить все монеты, которые за 6 лет попали в копилку. 1+2+3+4+5+6 = 21. Их сумма, действительно, оказалась равной 21. Значит задача решена верно.

Ответ: 6

Задача 11. Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника ровно за 7 дней. В первый день Вася решил 5 задач и затем каждый день решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день. Сколько задач решил в первый день Петя, если для того, чтобы догнать Васю он был вынужден каждый день решать на две задачи больше, чем в предыдущий день.

Оба мальчика решали задачи каждый день, увеличивая их количестко на одно и то же число. Это арифметическая прогрессия. Васин график известен полностью: (a_1 = 5) и (d = 1). Зная, что все задачи сборника решены Васей за 7 дней, можем определить, сколько всего задач в сборнике [S_7 = fraccdot7 \ a_7 = a_1 + d(7-1) = 5 + 1cdot6 = 11\ S_7 = fraccdot7 = 56] Итак, в сборнике 56 задач, которые Петя тоже решил за 7 дней. И в этом случае используем формулу суммы арифметичексой прогрессии, но теперь для составления уравнения относительно (a_1). Разность прогрессии известна d = 2. [S_7 = fraccdot7 \ a_7 = a_1 + d(7-1) = a_1 + 2cdot6 = a_1 + 12\ S_7 = fraccdot7 = (a_1+6)cdot7] Решаем уравнение [7a_1+42 = 56\ 7a_1 = 14;; a_1 = 2.]

Ответ: 2

Часть условия задачи «каждую следующую . на 5 меньше» подсказывает, что имеем дело с арифметической прогрессией: (a_1=400, d = -5). Для определения расстояния, которое пробежал спорсмен за тренировку в целом, нужно сложить участки, пройденные в каждую из 30 минут. Используем формулу суммы арифметической прогрессии. [S_ = frac<a_1 + a_>cdot30 \ a_ = a_1 + d(30-1) = 400 — 5cdot29 = 255\ S_ = fraccdot30 = (400+255)cdot15 = 9825 (м) = 9,825 (км) ] 9,825 километра составляют примерно 10 км.

Ответ: 10

Ответ: 24

О занятиях Николая сказано, что он «каждый день увеличивал количество повторов на 3″, т.е. его график тренировок представлял собой арифметическую прогрессию с первым членом (a_1 = 4) и разностью (d = 3). Чтобы узнать, в какой день он впервые выполнит 16 повторов упражнений, нужно вычислить номер n члена арифметической прогрессии (a_n) = 16. Используем для этого формулу общего члена [a_n = a_1 +d(n-1) \ 16 = 4 + 3cdot(n-1) \ 16 — 4 = 3cdot(n-1);\ 3cdot(n-1)=12;; n-1 = 4;; n=5 ] Николай достигнет планируемой нормы на 5-ый день занятий.

О занятиях Андрея сказано, что он «каждый день увеличивал количество повторов вдвое», т.е. в 2 раза. Значит его график тренировок представлял собой геометрическую прогрессию с первым членом (b_1 = 1) и знаменателем (q = 2.) Чтобы узнать, в какой день он впервые выполнит 16 повторов упражнений, нужно вычислить номер n члена геометрической прогрессии (b_n = 16.) Используем для этого формулу её общего члена [b_n = b_1cdot q^ \ 16 = 1cdot 2^ \ 2^4 = 2^;\n-1 = 4;; n=5 ] Николай достигнет планируемой нормы на 5-ый день занятий.

Оказывается они придут к цели одновременно.

Ответ: 5

Нас интересуют только фишки, лежащие на номерах 1, 3, 5, 7, . 35. Имеем арифметическую прогрессию:(a_1 = 1,; d = 2). Общее количество таких номеров n = 18. Это можно найти «вручную» или по формуле общего члена прогрессии [a_n = a_1 + d(n-1);\ 35 = 1 + 2(n-1); \ 2(n-1) = 34; ; n = 17+1 = 18. ] Cумму находим по формуле (S_n = dfraccdot n) [S_ = fraccdot 18 = 18cdot18 = 324.]

Видео:Разбор ОГЭ №14. Задачи на прогрессию | Математика | TutorOnlineСкачать

math4school.ru

Видео:ПОЛНОЕ РУКОВОДСТВО — Арифметическая прогрессияСкачать

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a_n , то говорят, что задано числовую последовательность :

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a₁ называют первым членом последовательности , число a₂ — вторым членом последовательности , число a₃ — третьим и так далее. Число a_n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

если a₁ = 1 , а a_n+1 = a_n + 5 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Последовательность простых чисел:

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

если a₁ = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ и разностью d её n -й член может быть найден по формуле:

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой a_n = 2n – 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a₁ , но и любой предыдущий a_k , для чего достаточно воспользоваться формулой

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a₁, a_n, d, n и S _n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

• если d > 0 , то она является возрастающей;
• если d , то она является убывающей;
• если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

если b₁ = 1, q = –3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b_n = –3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b₁ , но и любой предыдущий член b_k , для чего достаточно воспользоваться формулой

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

Заметим, что если нужно просуммировать члены

то используется формула:

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S₁₀ = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 2 10 ) / (1 – 2) = 1023;

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b₁, b_n, q, n и S_n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

• прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

• прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

Если q , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1 /₉ ,

10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 /₁₁ . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄

Видео:Почему одна прогрессия называется арифметической, а другая - геометрической.Скачать

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ — первый член арифметической прогрессии

$d$ — разность между последующим и текущим членом прогрессии

$a_n$ — член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ — номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ — первый член геометрической прогрессии

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$b_n$ — $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ — сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

В задачах на прогрессии важно:

1. Определить тип прогрессии
2. Верно сопоставить приведенные величины с их обозначением в формулах, записать дано.
3. Подставить известные данные в формулу и вывести неизвестную величину.

Предприниматель Петров получил в $2000$ году прибыль в размере $5000$ рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $300%$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2003 год?

Для начала посчитаем увеличение прибыли: так как она увеличивалась на $300%$, то $100%+300%=400%$. $400%$ — это то же самое, что увеличение прибыли в $4$ раза.

Данная задача на геометрическую прогрессию, так как прибыль увеличивалась В четыре раза по сравнению с предыдущим годом.

Запишем дано: $b_1=5000$ — первая прибыль

$q=4$ — величина, показывающая, во сколько раз увеличивалась прибыль каждый год

$n=4$, так как с $2000$ по $2003$ прошло $4$ года (т.к. 2000 — 1й год, 2001 — 2й, 2002 — 3й, 2003 -4й)

$b_4-?$ — количество заработанных денег в четвертый год от начала прибыли

Запишем формулу для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

Подставим известные величины из дано и найдем $b_4$:

Процент – это сотая доля числа.

Процент обозначается символом $%$.

1. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на 100 и умножить на величину процента. $%$ от $а=/$.
2. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

Задачи на скидки:

Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

1. Из $100%$ отнять процент скидки.
2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки.

Найдем, сколько процентов будет стоить куртка, после скидки: $100%-20%=80%$

Посчитаем, сколько составляет 80% от 4500 рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

$/=3600$ рублей- это цена куртки, после скидки.

Задачи на смеси и сплавы.

В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:

1. Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
2. Процентное содержание чистого вещества в растворе.

Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:

1. Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
2. Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.

Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.

Смешали $2$ кг $15%$-ного водного раствора некоторого вещества с $8$ кг $10%$-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть $х%$ — концентрация получившегося раствора.

Составим к задаче схему.

$15%·2+10%·8=х%·10$ Уберем в уравнении знак процента, чтобы он не мешал при расчетах

$х=11%$ — концентрация получившегося раствора.

Задачи на сложные проценты.

Формула сложных процентов связывает четыре величины:

1. $S_0$ — начальный вклад;
2. $S_n$ — накопленную сумму (будущую стоимость вклада);
3. $р$ — годовую процентную ставку;
4. $n$ — время в годах, кварталах или месяцах.

Зная три величины, всегда можно найти четвертую:

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

Операция нахождения первоначального вклада $S_0$, если известно, что через n лет он должен составить сумму $S_n$, называется дисконтированием:

Сколько лет вклад $S_0$ должен пролежать в банке под $р%$ годовых, чтобы достигнуть величины $S_n$.

В стране поставили задачу удвоения ВВП за $2$ года. Сколько процентов должен составить рост ВВП за год? (Результат округлите до целого числа.)

В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

Нам известно, что ВВП увеличилось в два раза, следовательно, $/=2$

n- это количество лет, следовательно, $n=2$

Подставим известные величины в формулу

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $30000$ рублей, через два года он был продан за $21675$ рублей.

В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

Так как цена на товар не увеличивалась, а уменьшалась, то формулу необходимо изменить

📺 Видео

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии. 9 класс.Скачать

Арифметическая и геометрическая прогрессия в одной задачеСкачать

Математика - Геометрическая прогрессияСкачать

Всё про прогрессии за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Геометрическая прогрессия 9 классСкачать

Зачем мужику прогрессияСкачать

Математика. ОГЭ 2021 Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессииСкачать

Арифметическая и геометрическая прогрессии | МатематикаСкачать

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. 9 класс.Скачать

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Практ. часть. 2ч. 9 класс.Скачать

Математика | Прогрессия. Задание 11 из ОГЭСкачать