Уравнения 7 класса по алгебре равносильные (5 видео)

Равносильные уравнения, правила преобразований

Содержание

п.1. Понятие равносильных уравнений
п.2. Правила преобразования уравнений
п.3. Примеры
Алгебра. 7 класс
Конспект урока по алгебре на тему: «Уравнение и его корни. Равносильные уравнения». (7 класс)
📽️ Видео

п.1. Понятие равносильных уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.

Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1

$implies$ уравнения равносильны

$x_1 = 3 и x_2 = -2$

Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень

$implies$ уравнения неравносильны

Оба уравнения не имеют решений

$implies$ уравнения равносильны

п.2. Правила преобразования уравнений

При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.

Правила преобразования уравнений

1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите уравнение $ frac x = 12 — 7x$

$ frac x = 12 — 7x iff frac x + 7x = 12 iff 7 frac x = 12 iff x = 12:7 frac iff$

$ x = 12 cdot frac = frac =1 frac $

Пример 2. Решите уравнение $ frac — frac = 10$

$ frac — frac = 10 | times 14 iff 6x — x = 140 iff 5x = 140 iff x = 140 : 5 = 28$

Пример 3. Решите уравнение $7x — frac =frac 15 (3x+14)$

$7x — frac 25 = frac 15 (3x + 14) | times 5 iff 35x — 2 = 3x + 14 iff 35x — 3x = 14 + 2 iff$

$ iff 32x = 16 iff x = frac = frac 12$

Ответ: x = frac 12

Пример 4. Решите уравнение $frac — frac = frac $

$frac — frac = frac | times 8 iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) iff $

$ iff 15x=2 iff x= frac $

Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения

Найдём корень первого уравнения

$3(x-1)=5-x iff 3x-3=5-x iff 3x+x=5+3 iff 4x=8 iff x=2$

Подставим во второе

$a cdot 2=2+a iff 2a-a=2 iff a=2$

При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Равносильность уравнений и систем уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие равносильных уравнений.
Изучение равносильных систем уравнений.
Практическое применение равносильности систем уравнений.

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.

3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:

Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.

Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решим системы способом подстановки.

Пример 3. Решите систему уравнений

Пример 4. Решите систему уравнений

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: единичный выбор.

Какие два уравнения называются равносильными?

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.

№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Видео:РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА. Видеоурок | АЛГЕБРА 7 классСкачать

Конспект урока по алгебре на тему: «Уравнение и его корни. Равносильные уравнения». (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Уравнение и его корни. Равносильные уравнения.

Предмет: алгебра, 7 класс.

обобщить и систематизировать знания по теме “Уравнения”;

способствовать развитию логического мышления и математической речи учащихся.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Работа над ошибками в к/р №1.

Актуализация знаний. Математический диктант .

Закончите предложение: “Выражение 2х – 5 [3 4 + 5] является …” (буквенным/числовым)

Составьте выражение по условию задачи: “Карандаш стоит х рублей, а блокнот — 25 рублей. Сколько стоят 3 карандаша и 1 блокнот [1 карандаш и 2 блокнота]? (3х + 25 / х +2*25)

Найдите значение полученного выражения при х = 10. (55 рублей/60 рублей)

Хватит ли Коле денег на всю покупку, если у него всего 58 рублей? (да/нет)

Решите уравнение
5х – 4 = 6
3х + 2 = 8. Дети сдают диктанты, обмениваются тетрадями, проверяют друг у друга работы. Ответы записываются на доску.

4. Сообщение темы урока.

— Каким было последнее задание в диктанте? (Решить уравнение).

— Учиться решать уравнения вы начали ещё в начальных классах. С этой темой мы встречались в 5 и 6 классах, узнавая каждый раз что – то новое об уравнениях. Задачей нашего сегодняшнего урока является обобщение и систематизация знаний об уравнениях.

5. Изучение нового материала

1) – Запишите тему нашего урока “Уравнение и его корни. Равносильные уравнения”.

2) – Давайте постараемся дать определение уравнению. Что же это такое?

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

3) Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

а) х + 2 = 1,3; б) 3у – 4; в) х = — 8,1; г) 16 * 5 – 8 = 72; д) 1.5 х + 2.8 = 5,8.

Дети объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

4) — Вспомните, пожалуйста, что называют корнем уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

5) – Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет.)

Выясните, является ли число 2 корнем уравнения:

а) 4 + 3х = 10; б) (х – 5)(х + 1) = 11; в) 6(3х – 1) = 12х + 6.

Учащиеся подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

6) – Следующее задание выполним письменно.

Определите, какие из чисел – 2, — 1, 0, 2, 3 являются корнем уравнения х 2 + 3х = 10.

Задание выполняется учащимися в тетради. Некоторые ученики по очереди делают соответствующие записи на доске. Образец выполнения задания: Корнем уравнения х 2 + 3х = 10

а) -2 не является, так как (-2) 2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = — 2, а -2 10;

б) – 1 не является, так как (- 1) 2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, а – 2 10;

в) 0 не является, так как 0 2 + 3 * 0 = 0, а 0 10;

г) 2 является, так как 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, а 10 = 10;

д) 3 не является, так как 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 10.

Постарайтесь сами составить уравнение, корнем которого было бы число 3.

После самостоятельного выполнения задания некоторые учащиеся зачитывают получившиеся у них уравнения, класс определяет, правильно ли выполнено задание.

9) – Как вы думаете, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет.

10) – Какие из данных уравнений не имеют корней:

а) 3х = 5х; б) 4(х + 1) = 4х +7; в) 3х + 12 = 3(х + 4).

12) – Сегодня мы знакомимся с новым для вас понятием – это равносильные уравнение. Попробуйте догадаться, какие же уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.

13) – Какое уравнение равносильно уравнению 3х – 10 = 50?

Учащиеся составляют уравнения, равносильные данному, записывают их в тетрадь, некоторые из составленных уравнений зачитываются и обсуждаются классом.

14) – При решении уравнений используются свойства, которые мы с вами учили в 6 классе. Давайте их вспомним.

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

15) – Замените уравнения равносильными уравнениями с целыми коэффициентами:

а) 0,1х = — 5; б) – 0,19 у = 3; в) — 0,7х = — 4,9.

— Замените уравнения равносильными уравнениями вида ах = b:

а) 8х + 15 = 39; б) 16 – 2х = 10.

6. Подведение итогов урока . Рефлексия. — Дайте определение уравнения с одной переменной. — Что называют корнем уравнения? — Все ли уравнения имеют корни? — Что значит решить уравнение? — Какие уравнения называются равносильными? — Назовите свойства, которые используются при решении уравнений. 7. Домашнее задание: п.6 стр.25-27, № 111, 112 (б), 113, 114