Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Решение уравнений, 6 класс

Решение уравнений с дробями

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Решить уравнение с дробями - Математика - 6 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

Решение уравнений с дробными числами в 6 классе

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?Скачать

Уравнения с дробями 6 класс (задания, примеры) - как решать?

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Решение уравнений. Видеоурок 28. Математика 6 классСкачать

Решение уравнений. Видеоурок 28. Математика 6 класс

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравненияСкачать

Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравнения

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:дробное уравнение как решать для 6 классаСкачать

дробное уравнение как решать для 6 класса

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияУравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

Переведем новый множитель в числитель..

Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

    Как решать уравнения с дробью? #shorts

    Решение линейных уравнений. 6-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 6

    Цели урока:

    • повторить правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых;
    • ввести определение линейного уравнения с одним неизвестным;
    • познакомить учащихся со свойствами равенств;
    • научить решать линейные уравнения;
    • научить решать задачи на «было − стало».

    Оборудование: компьютер, проектор.

    Видео:Уравнение с дробямиСкачать

    Уравнение с дробями

    Ход урока

    I. Проверка предыдущего домашнего задания.

    II. Повторение теоретического материала.

    1. Как найти неизвестное слагаемое? [От суммы отнять известное слагаемое]
    2. Как найти неизвестное уменьшаемое? [К вычитаемому прибавить разность]
    3. Как найти неизвестное вычитаемое? [От уменьшаемого отнять разность]
    4. Как найти неизвестный множитель? [Произведение разделить на известный множитель]
    5. Как найти неизвестное делимое? [Делитель умножить на частное]
    6. Как найти неизвестный делитель? [Делимое разделить на частное]
    7. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс? [Опустить скобки и этот знак плюс, переписать слагаемые с теми же знаками]
    8. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус? [Опустить скобки и этот знак минус, переписать слагаемые с противоположными знаками]
    9. Как выглядит распределительное свойство умножения? [(a+b)∙c=ac+bc]

    III. Устные задания по слайдам.

    (слайд 2, слайд 3).

    1) Раскройте скобки:

    3+(х+2); 3-(х+2); 3+(х-7); 3-(х-7); 3+(-х+5); 3-(-х+5); -4(-5-х); 9(Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами; 9(Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами; 2(7+9х); 4(2-3х); -6(9-5х); -3(1+4х).

    2) Приведите подобные слагаемые:

    6b-b; 9,5m+3m; a —Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксамиa; Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксамиm-m; -4x-x+3; 7x-6y-3x+8y.

    3) Упростите выражение:

    IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.

    До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.

    Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (aУравнения 6 класса по математике с дробями и иксами0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

    Линейные уравнения обладают свойствами:

    1. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (стр. 229 учебника).
    2. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак (стр. 230 учебника).

    Рассмотрим план решения линейного уравнения:

    х-1+(х+2)=-4(-5-х)-5
    х-1+х+2=20+4х-5
    х+х-4х=20-5+1-2
    -2х=14
    х=14:(-2)
    х=-7
    Ответ: -7.
    1) раскрыть скобки, если они есть;
    2) слагаемые, содержащие неизвестное, перенести в левую часть равенства, а не содержащие неизвестное − в правую;
    3) привести подобные слагаемые;
    4) найти неизвестный множитель.

    Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)

    Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксамих+3=Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксамих+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

    (Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксамих+3)∙9=(Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксамих+5)∙9 Далее − по плану.

    Видео:Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

    Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .

    Уравнения с дробями

    Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами.

    Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Это — простейшее линейное уравнение . Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей :

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    После сокращения имеем:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    (В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Сокращаем дробь на 3:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    Уравнения 6 класса по математике с дробями и иксами

    В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

    📸 Видео

    Дробные уравнения, 6 классСкачать

    Дробные уравнения, 6 класс

    КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

    КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

    Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.Скачать

    Пропорция. Основное свойство пропорции. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 6 класс.

    Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.Скачать

    Уравнения с дробями. Как решать уравнения с дробями в 5 классе.

    Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

    Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.

    Решение уравнений - математика 6 классСкачать

    Решение уравнений - математика 6 класс

    Решить уравнение - Математика - 6 классСкачать

    Решить уравнение - Математика - 6 класс

    6 класс, 42 урок, Решение уравненийСкачать

    6 класс, 42 урок, Решение уравнений

    540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.Скачать

    540 Математика 6 класс. Как решить уравнение с дробями.

    Математика 6 класс (Урок№1 - Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»)Скачать

    Математика 6 класс (Урок№1 - Повторение материала по темам «Обыкновенные дроби» и «Смешанные дроби»)
    Поделиться или сохранить к себе: