Уравнение задано в виде f x g x

При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться “лишние” корни. Почему? Потому, что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения: f ( x ) = g ( x ) sqrt=g(x) и f ( x ) = — g ( x ) sqrt=-g(x) , но на разных промежутках числовой оси: f ( x ) = g ( x ) sqrt=g(x) – там, где `g(x)>=0`, и f ( x ) = — g ( x ) sqrt=-g(x) – там, где `g(x) =0`!

Заметим, что уравнение `sqrt=g(x)` может иметь решение для `g(x)>=0`, но не имеет решений, если `g(x) =0`, `g(x)>=0`. то `f(x)=g(x)hArrf^2(x)=g^2(x)`.

Так как уравнение `sqrt=g(x)` может иметь решение лишь при условии `g(x)>=0` (т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то

Это очень важное условие равносильности.

Во-первых, оно освобождает от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие `f(x)>=0` – неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.

Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия `g(x)>=0` неотрицательности правой части – это условие “отсекает” посторонние корни – корни уравнения `-sqrt=g(x)`. При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни “плохие”) заранее решать не надо.

Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия `g(x)>=0` не всегда просто сделать.

При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение задано в виде f x g x

Замечание. Важно понимать, что решение — это число, например, 15 или $$sqrt 2 $$, поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

Например:

• Уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3.
• Равносильны и уравнения x 2 +1 = 0 и 2x 2 + 5 = 0 — ни одно их них не имеет корней.
• Уравнения x — 5 = 1 и x 2 = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.

Правила преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение $$varphi (x)$$ определено при всех x, при которых определены выражения f(x) и g(x), то уравнения f(x) = g(x) и f(x) + $$varphi (x)$$ = g(x) + $$varphi (x)$$ равносильны. В частности, f(x) = g(x) $$ Leftrightarrow $$ f(x) — g(x) = 0. Здесь $$varphi (x)$$ = — g(x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Правило 2. Если выражение $$varphi (x)$$ определено при всех x, при которых определены выражения f(x) и g(x), то любое решение уравнения f(x) = g(x) f(x) $$ cdot $$ $$varphi (x)$$ = g(x) $$ cdot $ $ $$varphi (x)$$.

Замечание. Естественно, уравнение f(x) $$ cdot $$ $$varphi (x)$$ = g(x) $$ cdot $$ $$varphi (x)$$ имеет больше корней, чем уравнение f(x) = g(x), например, его корнями будут ещё и корни уравнения $$varphi (x)$$ = 0.Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней. Если же $$varphi (x)$$ таково, что $$varphi (x)$$ $$ ne $$ 0 для тех x , для которых определены функции f(x) и g(x), то f(x) = g(x) $$ Leftrightarrow $$ f(x) $$ cdot $$ $$varphi (x)$$ = g(x) $$ cdot $$ $$varphi (x)$$. Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Правило 3. Каждое решение уравнения f(x) = g(x) является решением уравнения (f(x)) n = (g(x)) n при любом натуральном n , то есть f(x) = g(x) $$ Leftrightarrow $$ (f(x)) n = (g(x)) n . При этом, если n нечетного (n = 2 k + 1), то можно поставить знак равносильности: f(x) = g(x)$$ Leftrightarrow $$ (f(x)) 2k + 1 = (g(x)) 2k + 1 .Для четных n (n = 2k) справедливо только f(x) = g(x) $$ Leftrightarrow $$ (f(x)) 2k = (g(x)) 2k .

Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) $$ cdot $$ g(x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f(x) = 0 или g(x) = 0. Другими словами, из уравнения f(x) $$ cdot $$ g(x) = 0 следует, что, либо f(x) = 0, либо g(x) = 0 Обратное, вообще говоря, неверно.

Из этих четырех правил следует, что с помощью стандартных приемов и методов решения уравнений, а именно:

• преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.);
• разложения на множители (формально этот прием относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо);
• введения вспомогательных неизвестных;
• уравнение f(x) = g(x) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f₁(x) = g₁(x)

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

«Уравнения вида f(g(x) )=f(h(x)) и нестандартные методы их решения»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

В последние годы издано достаточно много пособий, справочников, посвященных задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующими нестандартных методов решения. Во многих из таких сборников приводятся методы решения уравнений и неравенств, основанные на свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности, периодичности), приложениях производной. Однако примеры, приводимые в указанных пособиях и справочниках, сами обычно имеют нетрадиционный вид. Это создает дополнительные психологические трудности при усвоении данных примеров. В то же время имеется класс уравнений, который позволяет естественным образом превратить эти приемы из нестандартных в традиционные. В данном разработанном уроке речь пойдет о примерах, которые можно и нужно решать не известными методами, а с использованием свойств функций, в них входящих.

Видео:7 класс, 36 урок, Что означает в математике запись y = f(х)Скачать

Скачать:

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Конспект урока по теме: «Уравнения вида и нестандартные методы их решения»

Тип: урок – конференция.

Тема: «Уравнения вида и нестандартные методы решения».

1. формирование знаний об уравнениях вида и нестандартных методах их решения;
2. развитие способности анализировать нестандартные ситуации, навыков работы с информационными технологиями, умения выступать на публике;
3. воспитание добросовестного отношения к учебе, самостоятельности при работе с учебной литературой.

Оборудование: опорный конспект по теме: «Уравнения вида и нестандартные методы решения», мультимедийная аппаратура, мел, доска.

Предварительная подготовка: за неделю до урока 4 обучающихся получают задание: изучить теоретический материал и подготовить презентацию по конкретному методу решения уравнений. За всеми необходимыми консультациями они могут обращаться к учителю.

1. Постановка темы и целей урока (3 мин.);

2. Выступление учителя (5 мин.);

3. Выступление обучающихся (31 мин);

4. Подведение итогов урока (3 мин.);

5. Постановка домашнего задания (3 мин.);

Основное содержание учебного материала

1. Постановка темы и целей урока

После проверки готовности класса к уроку сообщает, что на данном уроке будет рассмотрена тема «Уравнения вида

и нестандартные методы решения».

Ставится задача: рассмотреть уравнения вида и нестандартные методы их решения. Говорит, что уравнения такого вида встречаются довольно часто, но, самое главное, что с ними можно столкнуться в олимпиадных заданиях и заданиях ЕГЭ.

Записывают тему урока

2. Выступление учителя

В последние годы издано достаточно много пособий, справочников, посвященных задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующими нестандартных методов решения. Во многих из таких сборников приводятся методы решения уравнений и неравенств, основанные на свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности, периодичности), приложениях производной. Однако примеры, приводимые в указанных пособиях и справочниках, сами обычно имеют нетрадиционный вид. Это создает дополнительные психологические трудности при усвоении данных примеров. В то же время имеется класс уравнений, который позволяет естественным образом превратить эти приемы из нестандартных в традиционные. Сегодня речь пойдет о примерах, которые можно и нужно решать не известными методами, а с использованием свойств функций, в них входящих. Все записи вам необходимо оформить в виде таблицы, которая будет заполняться в ходе выступления ваших одноклассников. Таблица имеет вид (приложение ):

📽️ Видео

Функция. Область определения функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Как построить график функции без таблицыСкачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

На рис. изображены графики f(x)=2x^2-5x+4 и g(x)=ax^2+bx+c, кот. пересекаются в точках А и В.Скачать

Решите уравнение ➜ e^x=x ➜ Как решать такое уравнение?Скачать

Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Функция у = х^n. Алгебра, 9 классСкачать

Решите уравнение ★ e^x=x^eСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

100 тренировочных задач #121 ➜ Решите уравнение ➜ f(f(f(f(x))))=2x^2, если f(x)=(x+1)/(1-x)Скачать

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомСкачать