Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Пример 1 . Найти общее решение уравнения y’ + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену
Тогда
и поэтому уравнение переписывается в виде -z’ + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем
откуда
или, что то же самое,
.
Пример 2 . y’+y+y 2 =0
y’+y = -y 2
Разделим на y 2
y’/y 2 + 1/y = -1
Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z’= -y’/y 2
Получаем: -z’ + z = -1 или z’ — z = 1
Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z .
Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy’/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z’=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz’/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz’/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z’=4z/x
Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y'(x) = C(x)’x 4 + C(x)(x 4 )’
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)’ x 4 )+2y=-x 5 e x
-C(x)’ x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)’ = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x ) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
б) решение через замену переменных
y=uv
x(u’v + uv’)+2uv+x 5 u 3 v 3 e x =0
v(x u’ + 2u) + xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
a) xu’+2u = 0
или ln(u)=ln(x -2 ). Откуда u = x -2
b) xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
x x -2 v’+ x 5 x -6 v 3 e x = 0
v’/x+ v 3 e x /x = 0
v’+ v 3 e x = 0
или 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
- Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения
- Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
- Решение методом Бернулли
- Примеры решений дифференциального уравнения Бернулли
- Пример 1
- Пример 2
- Дифференциальное уравнение Бернулли
- Приведение к линейному уравнению 1 порядка
- Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )
- 🎬 Видео
Видео:Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать
Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения
Видео:#Дифуры I. Урок 8. Уравнение БернуллиСкачать
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1) ,
где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q – функции от x .
Разделим его на y n . При y ≠ 0 или n 0 имеем:
(2) .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это – линейное, относительно z , дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0 , следует рассмотреть случай y = 0 . При n > 0 , y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.
Видео:10. Уравнения БернуллиСкачать
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v ,
где u и v – функции от x . Дифференцируем по x :
y′ = u′ v + u v′ .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
(3) .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v ( x ) . Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v – уже известная функция от x . Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .
Видео:#Дифуры I. Урок 9. Уравнение РиккатиСкачать
Примеры решений дифференциального уравнения Бернулли
Пример 1
Решить уравнение
(П1.1)
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Решаем его методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций: . Тогда
. Подставляем в (П1.1):
;
(П1.2) .
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Выберем v так, чтобы выражение в круглых скобках равнялось нулю:
(П1.3) .
Тогда подставляя (П1.3) в (П1.2), мы получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
(П1.4) .
Сначала мы определим функцию v . Нам нужно найти любое, отличное от нуля, решение уравнения (П1.3). Решаем его. Для этого разделяем переменные и интегрируем.
;
;
;
;
.
Отсюда , или . Возьмем решение с и знаком ′плюс′. Тогда , или .
Итак, мы нашли функции u и v . Находим искомую функцию y :
.
Заменим постоянную интегрирования: . Тогда общее решение исходного уравнения (П1.1) примет вид:
.
Когда мы делили на u , то предполагали, что . Теперь рассмотрим случай . Тогда . Нетрудно видеть, что постоянная функция также является решением исходного уравнения (П1.1) ⇑.
Общее решение уравнения: .
Уравнение также имеет решение .
Пример 2
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x является функцией от y . Подставим в исходное уравнение и умножим на :
;
;
(П2.1) .
Это – уравнение Бернулли с n = 2 . Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1), только обозначением переменных ( x вместо y ). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v ,
где u и v – функции от y . Дифференцируем по y :
.
Подставим в (П2.1):
;
(П2.2) .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v ( y ) , удовлетворяющую уравнению:
(П2.3) .
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Поскольку нам нужно любое решение уравнения (П2.3), то положим C = 0 :
; ; .
Возьмем решение со знаком ′плюс′:
.
Подставим в (П2.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П2.3)):
;
;
.
Разделяем переменные и интегрируем. При u ≠ 0 имеем:
;
(П2.4) ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Интегрируем по частям:
;
.
Подставляем в (П2.4):
.
Возвращаемся к переменной x :
;
;
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 07-08-2012 Изменено: 29-10-2020
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Дифференциальное уравнение Бернулли
Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.
Видео:Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать
Приведение к линейному уравнению 1 порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n . Если n = 1 , тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y ⇔ y ‘ = Q ( x ) — P ( x ) · y .
Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z = y 1 — n . Проделав замену, получаем, что y = z 1 1 — n ⇒ y ‘ = 1 1 — n · z n 1 — n · z ‘ .
Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:
y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n 1 1 — n · z 1 1 — n · z ‘ + P ( x ) · z 1 1 — n = Q ( x ) · z 1 1 — n z ‘ + ( 1 — n ) · P ( x ) · z = ( 1 — n ) · Q ( x )
Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.
Найти общее решение для уравнения вида y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 .
Решение
По условию имеем, что n = 2 , P ( x ) = x , Q ( x ) = ( 1 + x ) · e — x . Необходимо ввести новую переменную z = y 1 — n = y 1 — 2 = 1 y , отсюда получим, что y = 1 z ⇒ y ‘ = — z ‘ z 2 . Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как
y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 — z ‘ z 2 + x z = ( 1 + x ) · e — x · 1 z 2 z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x
Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.
Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:
d z d x — x z = 0 ⇔ d z z = x d x , z ≠ 0 ∫ d z z = ∫ x d x ln z + C 1 = x 2 2 + C 2 e ln z + C 1 = e x 2 2 + C 2 z = C · e x 2 2 , C = e C 2 — C 1
Где z = 0 , тогда решение дифференциального уравнения считается z ‘ — x z = 0 , потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z . Данный случай записывается как z = C ( x ) · e x 2 2 , где С = 0 . Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z ‘ — x z = 0 считается выражение z = C · e x 2 2 при С являющейся произвольной постоянной.
Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z = C ( x ) · e x 2 2 как общее решение дифференциального уравнения вида z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x .
Отсюда следует, что производится подстановка вида
C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — 1 + x · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · x · e x 2 2 — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x C ( x ) = ∫ — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x d x = ∫ e — x 2 2 — x d — x 2 2 — x = e — x 2 x — x + C 3
С 3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:
z = C x · e x 2 2 = e — x 2 2 — x + C 3 · e x 2 2 = e — x + C 3 · e x 2 2
Дальше производится обратная замена. Следует, что z = 1 y считается за y = 1 z = 1 e — x + C 3 · e x 2 2 .
Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.
Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )
Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u ( x ) и v ( x ) .
Тогда получаем, что y ‘ = ( u · v ) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ . Производим подстановку в уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n и упростим выражение:
u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) · u · v n u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · u · v n
Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , тогда придем к равенству такого вида
u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · ( u · v ) n ⇔ u ‘ · v = Q ( x ) · ( u · v ) n .
Отсюда следует определить функцию u .
Решить задачу Коши 1 + x 2 · y ‘ + y = y 2 · a r c t g x , y ( 0 ) = 1 .
Решение
Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1 + x 2 · y ‘ = y · a r c t g x , которое удовлетворяет условию y ( 0 ) = 1 .
Обе части неравенства необходимо поделить на x 2 + 1 , после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .
Перейдем к поиску общего решения.
Принимаем y = u · v , отсюда получаем, что y ‘ = u · v ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ и уравнение запишем в виде
y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + u · v x 2 + 1 = u · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1
Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v ‘ + v x 2 + 1 = 0 , отличных от нуля. Получим, что
d v v = — d x x 2 + 1 , v ≠ 0 ∫ d v v = — ∫ d x x 2 + 1 ln v + C 1 = — a r c t g x + C 2 v = C · e — a r c t g x , C = e C 2 — C 1
В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v = e — a r c r g x . Преобразуем и получим, что
u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c r g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · 0 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · v · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 ⇔ d u u 2 = e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x , u ≠ 0 ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x )
Имеем, что u = 0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.
Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫ d u u 2 , необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что
∫ d u u 2 = — 1 u + C 3 .
Чтобы найти интеграл вида ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) , принимаем значение a r c t g x = z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что
∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) = a r c t g x = z = = ∫ e — z · z d z = u 1 = z , d v 1 = e — z d z d u 1 = d z , v 1 = — e — z = = — z · e — z + ∫ e — z d z = — z · e — z — e — z + C 4 = = — e — z · ( z + 1 ) + C 4 = — e — a r c t g x · ( a r c t g x + 1 ) + C 4
— 1 u + C 3 = — e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C 4 1 u = e — a r c r g x · a r c t g x + 1 + C 3 — C 4 u = 1 e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C
Отсюда находим, что
y = u · v = e — a r c t g x e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C и y = 0 · v = 0 · e — a r c r g x = 0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .
На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что
y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C , тогда запись примет вид y 0 = e — a r c t g 0 e — a r c t g 0 · a r c t g 0 + 1 + C = 1 1 + C .
Очевидно, что 1 1 + C = 1 ⇔ C = 0 . Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + 0 = 1 a r c t g x + 1 .
🎬 Видео
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать
Дифференциальные уравнения Бернулли| poporyadku.schoolСкачать
Уравнения БернуллиСкачать
Дифференциальное уравнение от Бермана ★ Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка ★ xy''=y'Скачать
Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать
Уравнения Бернулли. Дифференциальны уравненияСкачать
Линейное дифференциальное уравнение. Метод БернуллиСкачать
Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать
13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
Дифференциальные уравнения. Уравнение БернуллиСкачать
Линейные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли #calculus #егэ #maths #differentialequationСкачать