Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Видео:Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0.
(7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным. (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымимеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным— функции Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымгде C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С0) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x0 равна заданному значению y0 , то есть y (x0) = y0 или Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымимеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным. Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x0) = y0.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымимеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымимеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Если задано начальное условие Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымто это означает, что задана точка M0 (x0;y0), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M0 (x0; y0).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (y) dy = f2 (x) dx,
(7.8)
где f1 (y) и f2 (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным, удовлетворяющее начальному условию Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымявляется частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0
(7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f2 (y) g1 (x), получим уравнение с разделенными переменными:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Интегрируя это уравнение, запишем
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Интегрируя, получим
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымУравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымоткуда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымбудем иметь:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Тогда уравнение (7.10) запишется в виде Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымпримет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным, откуда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

После интегрирования получим Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымвместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Отделяя переменные, найдем
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымоткуда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным, то есть
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным, откуда
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
откуда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным, тогда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымкоторый удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Подставим v в уравнение и найдем u:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Общее решение дифференциального уравнения будет:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Из общего решения получаем частное решение
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(или Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным)
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем (или ) в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на :
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Сделаем замену: Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымУравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.
Сделаем замену Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымТогда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Тогда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным, а при y -1 = z = uv, имеем
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Видео:Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымискомую функцию Уравнение y xy 2 0 является дифференциальными производные искомой функции Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымдо некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Здесь Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным— известная функция, заданная в некоторой области Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Число Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымт. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

используя последнее в окрестности тех точек, в которых Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымобращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Обе переменные Уравнение y xy 2 0 является дифференциальными Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымвходят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымполучаем более симметричное уравнение:

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

где Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымОбратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымтак что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымопределена на некотором подмножестве Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымвещественной плоскости Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымФункцию Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымопределенную в интервале Уравнение y xy 2 0 является дифференциальныммы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

  1. Существует производная Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымдля всех значений Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымиз интервала Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(Отсюда следует, что решение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымпредставляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
  2. Функция Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымобращает уравнение (2) в тождество: Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

справедливое для всех значений Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымиз интервала Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымЭто означает, что при любом Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымиз интервала Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымточка Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымпринадлежит множеству Уравнение y xy 2 0 является дифференциальными Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымэтого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

является решением уравнения

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

в интервале Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

справедливое при всех значениях Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Пример 2.

Функция Уравнение y xy 2 0 является дифференциальныместь решение равнения Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымв интервале Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Пример 3.

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

является решением уравнения Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

в интервале Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Иногда функцию Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымобращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), . yn = yn (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y1 , y2 , . yn и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что силаУравнение y xy 2 0 является дифференциальным, а соответственно и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным. Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.38)

где x — независимая переменная, y1, y2, . yn — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y1, y2, . yn, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y1, y2, . yn , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Заменим производные
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымих выражениями f1, f2, . fn из уравнений системы (7.38), получим уравнение
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Продолжая дальше таким образом, получим
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
В результате получаем следующую систему уравнений:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y2, y3, . yn:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y1: Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымкак функции от x, C1, C2, . Cn. Подставим эти функции в (7.41), найдем
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
когда заданы начальные условия Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным. Подставляем сюда значение Уравнение y xy 2 0 является дифференциальными Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымиз системы, получим Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Из первого уравнения системы найдем Уравнение y xy 2 0 является дифференциальными подставим в полученное нами уравнение:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Общим решением этого уравнения является
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным (*)
и тогда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным (**)

Подберем постоянные С1 и С2 так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С1 – 9; 0 = С2 – 2С1 + 14, откуда С1 = 10, С2 = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.44)
где коэффициенты aij — постоянные числа, t — независимая переменная, x1 (t), . xn (t)
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.45)

Надо определить постоянные α1, α2, . αn и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α1, α2, . αn. Составим определитель системы:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Решение. Составим характеристическое уравнение:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = 4.

Решение системы ищем в виде
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Составим систему (7.46) для корня k1 и найдем Уравнение y xy 2 0 является дифференциальными Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Откуда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымПоложив Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымполучим Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Итак, мы получили решение системы:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Откуда Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Получим второй решение системы: Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным
Общее решение системы будет:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k1 = α + iβ, k2 = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.47)

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным(7.49)
где Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным— действительные числа, которые определяются через Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным.

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымили k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k1 = –6 + i, k2 = –6 – i .

Подставляем поочередно k1, k2 в систему (7.46), найдем
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Перепишем эти решения в таком виде:

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:
Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Общим решением системы будет

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Уравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Уравнение y xy 2 0 является дифференциальнымУравнение y xy 2 0 является дифференциальным

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

Дифференциальные уравнения по-шагам

Видео:Дифференциальное уравнение от Бермана ★ Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка ★ xy''=y'Скачать

Дифференциальное уравнение от Бермана ★ Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка ★ xy''=y'

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

  • Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
  • Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
  • Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
  • Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
  • Уравнения в полных дифференциалах
  • Решение дифференциального уравнения заменой
  • Смена y(x) на x в уравнении
  • Другие

Указанные выше примеры содержат также:

  • квадратные корни sqrt(x),
    кубические корни cbrt(x)
  • тригонометрические функции:
    синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
  • показательные функции и экспоненты exp(x)
  • обратные тригонометрические функции:
    арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
  • натуральные логарифмы ln(x),
    десятичные логарифмы log(x)
  • гиперболические функции:
    гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
  • обратные гиперболические функции:
    asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
  • число Пи pi
  • комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

💡 Видео

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения, 7 урок, Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 7 урок, Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: