Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Задача 3. Даны вершины треугольника ABC (рис. 1): А(-4,8), В(5,-4), С(10, 6).

1) длину стороны АВ;

2) уравнение высоты СД и ее длину;

3) уравнение медианы, проведенной из вершины А;

4) записать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

1. Расстояние d между точками М1(x1у1) и М2(х2у2) определя­ется по формуле

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия(1)

Подставим в формулу (1) координаты точек А и В, получим

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(x1у1) и М2(х2у2), имеет вид

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия(2)

Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение пря­мой АВ:

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Для нахождения углового коэффициента КАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия.

Отсюда Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия. Т. к. высота СD перпендикулярна АВ, то угловой коэффициент Уравнение высоты и медианы аналитическая геометриябудет равен Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия.

Искомая высота проходит через точку С(10,6). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:

Y-6= Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия(x-10), 3x-4y-6=0 (СD)

Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD): Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, откуда х=2, у=0, т. е. D(2,0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и Д, находим

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

3. Обозначим основание искомой медианы через М. По определению медианы М делит сторону ВС пополам. Координаты точки М най­дем по формуле

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия(4)

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Чтобы записать уравнение медианы AM, воспользуемся форму­лой (2). Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия(АМ)

4. Обозначим искомую прямую СР. Угловой коэффициент Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, т. к. АВ и СР параллельны, то Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрияискомая прямая проходит через точку С (10,6). Воспользуемся уравнением (3)

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия, Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия(СP)

Задача 4. Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой у=120+30х, а на железнодорожном — у=160+20х, где х — расстояние в километрах, у — транспортные расходы на 1 км. (в усл. ден. ед.).

Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при х=200 км.

1. Построим прямые у=120+30х (I) и у=160+20х (II) (рис. 4).

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Рис.4 Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрияУравнение высоты и медианы аналитическая геометрияУравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Найдем точку пересечения двух прямых

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия Уравнение высоты и медианы аналитическая геометриях0=4 у0=240

Если х=4, оба вида транспорта эквивалентны по затратам.

Если х 4 выгоднее становятся же­лезнодорожные перевозки.

Рассчитаем транспортные расходы при х=200 км.
у=120+30∙200=6120 (усл. ден. ед.) — затраты на автомобильном

У=160+4000=4150 (усл. ден. ед.) — затраты на железнодорожном транспорте.

Видео:Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высоту

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

  1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
  2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA1: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Уравнение высоты и медианы аналитическая геометрия

Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.

📸 Видео

Аналитическая геометрия на плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задач

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

найти уравнение высоты треугольникаСкачать

найти уравнение высоты треугольника

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

✓ Аналитическая геометрия. Начало | Для студентов и школьников | #ТрушинLive​​ #046 | Борис ТрушинСкачать

✓ Аналитическая геометрия. Начало | Для студентов и школьников | #ТрушинLive​​ #046 | Борис Трушин

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольника

найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

найти уравнения биссектрис углов между прямыми

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD
Поделиться или сохранить к себе: