Уравнение высоты и ее схема

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Уравнение высоты и ее схема

Таким образом, уравнение прямой BC —

Уравнение высоты и ее схема

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Уравнение высоты и ее схема

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Уравнение высоты и ее схема

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Уравнение высоты и ее схема

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Уравнение высоты и ее схема

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение высоты и ее схема

Уравнение прямой AB:

Уравнение высоты и ее схема

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Уравнение высоты и ее схема

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Уравнение высоты и ее схема

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Уравнение высоты и ее схема

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Уравнение высоты и ее схема

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Уравнение высоты и ее схема

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:найти уравнение высоты треугольникаСкачать

найти уравнение высоты треугольника

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Уравнение высоты и ее схемаУравнение высоты и ее схемаУравнение высоты и ее схема

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Видео:Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высоту

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Уравнение высоты и ее схема

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Видео:Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задач

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Уравнение высоты и ее схема

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Уравнение высоты и ее схема.
Уравнение высоты и ее схема.(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Уравнение высоты и ее схема

Ответ: Уравнение высоты и ее схема

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

Уравнение высоты и ее схема(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Уравнение высоты и ее схема(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Уравнение высоты и ее схема.(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Уравнение высоты и ее схема

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Уравнение высоты и ее схема

Ответ: Уравнение высоты и ее схема

Видео:Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Уравнение высоты и ее схема

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Уравнение высоты и ее схема(5)
Уравнение высоты и ее схема(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

Уравнение высоты и ее схема(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

Уравнение высоты и ее схема
Уравнение высоты и ее схема(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac. )

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Уравнение высоты и ее схема

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac=frac, )
( small h_a=c cdot sin angle B. )(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Уравнение высоты треугольника по координатам формула

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Уравнение высоты и ее схема

Таким образом, уравнение прямой BC —

Уравнение высоты и ее схема

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Уравнение высоты и ее схема

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Уравнение высоты и ее схема

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Уравнение высоты и ее схема

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Уравнение высоты и ее схема

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение высоты и ее схема

Уравнение прямой AB:

Уравнение высоты и ее схема

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Уравнение высоты и ее схема

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Уравнение высоты и ее схема

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Уравнение высоты и ее схема

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Уравнение высоты и ее схема

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Уравнение высоты и ее схема

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника Уравнение высоты и ее схема.

1) Вычислить длину стороны Уравнение высоты и ее схема.

2) Составить уравнение линии Уравнение высоты и ее схема.

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

Уравнение высоты и ее схемаА

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора Уравнение высоты и ее схема.

Уравнение высоты и ее схема; Уравнение высоты и ее схема.

2. Уравнение прямой ВС: Уравнение высоты и ее схема; Уравнение высоты и ее схема; Уравнение высоты и ее схема.

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку Уравнение высоты и ее схемаперпендикулярно вектору Уравнение высоты и ее схема: Уравнение высоты и ее схема

Уравнение высоты и ее схема. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: Уравнение высоты и ее схема.

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

Уравнение высоты и ее схема; Уравнение высоты и ее схема; Уравнение высоты и ее схема.

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении Уравнение высоты и ее схема.

Используем формулы деления отрезка в данном отношении Уравнение высоты и ее схема:

Уравнение высоты и ее схемаУравнение высоты и ее схема.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами Уравнение высоты и ее схемаи Уравнение высоты и ее схемаУравнение высоты и ее схема; Уравнение высоты и ее схема

Уравнение высоты и ее схема.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Уравнение высоты и ее схемаСистему решим по формулам Крамера: Уравнение высоты и ее схема

Уравнение высоты и ее схема Уравнение высоты и ее схемаУравнение высоты и ее схема.

Точка К является серединой отрезка АМ.

Уравнение высоты и ее схемаУравнение высоты и ее схема.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.Уравнение высоты и ее схема.2.Уравнение высоты и ее схема.
3.Уравнение высоты и ее схема.4.Уравнение высоты и ее схема.
5.Уравнение высоты и ее схема.6.Уравнение высоты и ее схема.
7.Уравнение высоты и ее схема.8.Уравнение высоты и ее схема.
9.Уравнение высоты и ее схема.10.Уравнение высоты и ее схема.
11.Уравнение высоты и ее схема.12.Уравнение высоты и ее схема.
13.Уравнение высоты и ее схема.14.Уравнение высоты и ее схема.
15.Уравнение высоты и ее схема.16.Уравнение высоты и ее схема.
17.Уравнение высоты и ее схема.18.Уравнение высоты и ее схема.
19.Уравнение высоты и ее схема.20.Уравнение высоты и ее схема.
21.Уравнение высоты и ее схема.22.Уравнение высоты и ее схема.
23.Уравнение высоты и ее схема.24.Уравнение высоты и ее схема.
25.Уравнение высоты и ее схема.26.Уравнение высоты и ее схема.
27.Уравнение высоты и ее схема.28.Уравнение высоты и ее схема.
29.Уравнение высоты и ее схема.30.Уравнение высоты и ее схема.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – Уравнение высоты и ее схема| 8008 – Уравнение высоты и ее схемаили читать все.

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

📺 Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепьюСкачать

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задач

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Прямо пропорциональная и обратно пропорциональная зависимость. 6 класс.Скачать

Прямо пропорциональная и обратно пропорциональная зависимость. 6 класс.

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?
Поделиться или сохранить к себе: