Уравнение вынужденных колебаний заряда тока в последовательном rlc контуре и его решение (8 видео)

Уравнение вынужденных колебаний заряда тока в последовательном rlc контуре и его решение

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если частота ω₀ свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):

Уравнение вынужденных колебаний заряда тока в последовательном rlc контуре и его решение

где ₀ – амплитуда, ω – круговая частота.

Рисунок 2.3.1.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Рисунок 2.3.2.

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам и колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ₁ и φ₂. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением , конденсатору с емкостью и катушки с индуктивностью . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

Здесь через обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина называется активным сопротивлением резистора .

2. Конденсатор в цепи переменного тока

Соотношение между амплитудами тока и напряжения :

Ток опережает по фазе напряжение на угол

Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора .

3. Катушка в цепи переменного тока

Соотношение между амплитудами тока и напряжения :

Ток отстает по фазе от напряжения на угол

Физическая величина называется индуктивным сопротивлением катушки .

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного -контура изображена на рис. 2.3.2.

Рисунок 2.3.3.

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Из рисунка видно, что

откуда следует

Из выражения для видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

или

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω₀ электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов , и (так называемый резонанс токов ).

При последовательном резонансе () амплитуды и напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

В § 2.2 было введено понятие добротности -контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рисунок 2.3.4.

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде ₀ напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Содержание

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс
Уравнение вынужденных колебаний
Готовые работы на аналогичную тему
Резонанс
Вынужденные электромагнитные колебания
📸 Видео

Видео:Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)Скачать

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Билеты №45 "Вынужденные колебания в линейных системах"Скачать

Уравнение вынужденных колебаний

Вынужденными колебаниями называют периодические изменения параметров, которые описывают систему под влиянием внешней силы. Для реализации вынужденных электрических колебаний в $RLC$ контуре в него включают переменную ЭДС (рис.1).

В общем случае вынужденные колебания в таком контуре можно записать как:

где $L$ — индуктивность, $R$ — сопротивление, $C$ — емкость, $Uleft(tright)$ — внешнее воздействие.

Рассмотрим случай, когда в контур подается переменное напряжение ($U$) изменяющееся по гармоническому закону:

Тогда уравнение колебаний запишется в виде:

где $_0=frac<sqrt>$- собственная частота колебаний контура, $beta =frac.$ По аналогии с механическими колебаниями можно записать частное решение данного уравнения как:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения получают как сумму частного решения данного уравнения (в нашем случае это (4)) и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так для уравнения:

общим решением является выражение:

Так как выражение (6) содержит множитель $e^$, то при $tto infty , $ $e^to 0,$ поэтому для установившихся колебаний решением уравнения (3) считают функцию (4).

Сила тока для установившихся вынужденных колебаний может быть записана как:

где $I_m=_m$, $varphi =Psi-frac$ — сдвиг фаз между тока и приложенного напряжения. Соответственно:

Готовые работы на аналогичную тему

Надо отметить, что выполняется равенство:

Выражение (9) означает, что сумма напряжений на каждом из элементов цепи в момент времени $t$ равна приложенному напряжению.

Видео:Урок 361. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуреСкачать

Резонанс

Появление сильных колебаний при частоте внешней силы равной (или почти равной) собственной частоте колебательного контура, называют резонансом. Суть явления заключается в том, что как бы одиночные «толчки» усиливают друг друга. В таком случае получается, что энергия, которая вкладывается в систему, является максимальной. Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока увеличивающиеся силы трения (в среднем) за период толчка не станут компенсировать действие каждого «толчка». В этот момент устанавливается максимум энергии и максимум амплитуды.

Резонансной частотой для заряда ($_$) и напряжения ($_$) на конденсаторе являются частоты, заданные уравнениями:

Резонансные кривые для заряда и напряжения на конденсаторе имеют одинаковый вид (рис.2).

Если $omega =0$ кривые (рис.2) сходятся в одной точке, при этом напряжение на конденсаторе равно напряжению, которое возникает на нем при подключении источника:

Максимум резонансной кривой выше и острее, чем меньше коэффициент затухания (меньше $R$, больше $L$).

Кривые для силы тока изображены на рис. 3. Амплитудное значение силы тока максимально, если $omega L-frac=0. $Частота силы тока при резонансе ($_$):

Задание: Получите функции $U_R(t),U_C(t),U_L(t)$ в $RCL$ контуре, если приложенное напряжение задано уравнением: $U=U_m.$

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем выражение:

[Ileft(tright)=left(omega t-varphi right)left(1.1right).]

Исходя из (1.1) для напряжения на сопротивлении ($U_R$) в соответствии с законом Ома для участка цепи можно записать, что:

[U_Rleft(tright)=RIleft(tright)=<_m cos >left(omega t-varphi right)left(1.2right).]

Используя закон изменения заряда в контуре, заданном в условии:

найдем $U_Cleft(tright)$ как:

где $U_=frac=frac.$ Напряжение на катушке индуктивности найдем как:

Задание: Определите, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать напряжение, которое приложено к $RLC$ контуру, если добротность контура равна $O$. Считать, что внешнее напряжение подчиняется гармоническому закону, затухание в контуре мало.

Решение:

Условие малости затухания для контура означает, что:

и резонансную частоту можно считать равной собственной частоте.

Напряжение на конденсаторе можно выразить как:

где $q_m=frac<omega sqrt<^2>>$. Если при резонансе в нашем случае $omega approx _0$, то максимальное напряжение на конденсаторе при резонансе равно ($U_$):

где при малом затухании можно считать, что $_0L-frac<_0C>approx 0$

Найдем отношение $frac<U_>$, получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26.04.2021

Видео:Графические зависимости заряда и силы тока от времени в идеальном колебательном контуре. 11 класс.Скачать

Вынужденные электромагнитные колебания

В рассмотренном ранее колебательном контуре возникающие колебания определялись изначальной энергией, внесённой в систему (в виде заряда на конденсаторе или тока на катушке). Однако колебания можно внести и поддерживать в системе извне. Пусть наш колебательный контур подключён к сети переменного ЭДС (чем и является обычная розетка). Тогда колебания в цепи являются вынужденными (т.е. созданными извне системы).

Вынужденные электромагнитные колебания – колебания значений силы тока, напряжения и заряда на конденсаторе в колебательном контуре, вызванные периодически изменяющиеся ЭДС.

Рис. 1. Вынужденные колебания

Пусть дан колебательный контур с сопротивлением ( ), электроёмкостью ( ) и катушкой индуктивности ( ) (рис. 1). Пусть данный контур подключён ко внешней цепи переменной ЭДС:

(1)

где
— текущее значение ЭДС (в момент времени ),
— амплитудное (максимальное) значение ЭДС,
— циклическая частота колебания,
— момент времени, в который изучается значение ЭДС,
— начальная фаза колебания.

Исходя из закона Ома (), сила тока на сопротивлении будет изменятся по закону:

где
— сила тока на сопротивлении,
— амплитудное (максимальное) значение силы тока.

Т.к. в колебательном контуре присутствует явление самоиндукции, значения силы тока (а соответственно, и напряжения) на каждом из элементов различны в одни и те же моменты времени. В случае идеального колебательного контура, ток на:

катушке индуктивности

Таким образом, сила тока на катушке индуктивности опережает силу тока на активном сопротивлении, а сила тока на конденсаторе отстаёт от силы тока на активном сопротивлении. Вопрос о том, почему это происходит достаточно серьёзный, так что просто поверим.

В случае переменного тока, вводятся два понятия:

активное сопротивление — наше классическое сопротивление, которое не зависит от частоты переменного тока (лампочка, резистор, реостат и т.д.).
реактивное сопротивление — сопротивление элементов, которое зависит от частоты переменного сигнала (конденсатор, катушка индуктивности).

Вывод: для такого типа задач достаточно определить, параметры какого элемента цепи необходимо найти, и воспользоваться соответствующим соотношением