Уравнение вида a x равно б где x (3 видео)

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Содержание

Решение уравнений с одним неизвестным
Решение матричных уравнений: теория и примеры
Решение матричных уравнений: как это делается
Решение матричных уравнений: примеры
Решение уравнений вида a + x = b
Урок №1
Тема: “Решение уравнений вида, а+х=в”
Цель: создание условий для способствующих расширению понятий учащихся об уравнениях. Задачи:

Сформировать представления учащегося об уравнении как о предложении с переменной. Учить находить неизвестный компонент (слагаемое) действий с комментированием о выполняемой операции по алгоритму, называя компонент действия. Отрабатывать вычислительные навыки. Познакомить с алгебраическим способом решения задач. Развивать мышление, математическую речь учащихся, исследовательские навыки работа в группах, парах.

📽️ Видео

Оборудование: карточки с математическими выражениями, план исследования, рабочий лист, план ответа для работы в группах, мультимедийная презентация. I. Организованный момент. Перемена пролетела, Дверь певуче заскрипела. Мы вошли тихонько в класс И урок начнём сейчас. II. Актуализация знаний с последующей мотивацией. На доске следующая запись. Вставьте числа, чтобы получить верные равенства и расшифруйте слово. 1 7 9 4 3 6 5 2 8 — Как называются выражения, записанные на доске? (Уравнения) — Что такое уравнение? (Это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти) III. Сообщение темы урока — Кто из вас может назвать тему нашего урока? (Решение уравнений) — Что значит решить уравнение? (Значит найти такое значение буквы (корень), чтобы равенство стало верным) — Какими способами мы умеем находить корень? (Способом подбора; на основе взаимосвязи между компонентами действий; при помощи использования основных свойств равенств) Задание №1 1. Выпишите в 1 столбик все неравенства, во 2 – все равенства, в 3 – все уравнения. 5+2 3+2 3 10 2 группа решает задачу уравнением. У кошки родилось 5 котят. З из них была чёрные, а остальные рыжие. Сколько рыжих котят у кошки. 3 группа. Решить уравнение х+26=50. VIII. Подведение итога. Подводя итог всей работе на уроке, я прошу вас ответить на следующие вопросы: я знаю, что … для меня самым трудным было … о чём я могу рассказать своему другу… для меня самым интересным было … IX. Домашнее задание. Придумать 2 своих уравнения на нахождение 1 слагаемого и 2 слагаемого.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

освобождение от дробных членов;
раскрытие скобок;
перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
сделать приведение подобных членов;
разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

Выполняем приведение подобных членов:

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

5(11 — 2) = 45;
5 · 9 = 45;
45 = 45.

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

Видео:Решение уравнений вида |ax²+bx| +c=0 и ax²+b|x|+c=0Скачать

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

Пример 3. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Находим матрицу, обратную матрице A :

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Находим матрицу, обратную матрице A :

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :