Уравнение вальраса для 2 рынков

Видео:2.3 Рыночное равновесиеСкачать

Теория общего равновесия Вальраса в экономике

Здравствуйте, уважаемые читатели проекта Тюлягин! В сегодняшней статье рассмотрена теория общего равновесия Вальраса в экономике. В статье вы узнаете что это такое и в чем основная суть и особенности теории. Также затронем некоторые альтернативные теории. Об этом и не только в статье далее.

Содержание статьи:

Видео:4.1.2. Паутинообразная модель рынкаСкачать

Что такое теория общего равновесия?

Теория общего равновесия, или общее равновесие Вальраса, пытается объяснить функционирование макроэкономики в целом, а не как совокупность отдельных рыночных явлений.

Теория была впервые разработана французским экономистом Леоном Вальрасом в конце 19 века. Это контрастирует с теорией частичного равновесия равновесия Маршалла, которая анализирует только определенные рынки или сектора.

Видео:Равновесная цена | Крест МаршаллаСкачать

Суть теории общего равновесия

Вальрас разработал теорию общего равновесия для решения широко обсуждаемой экономической проблемы. До этого момента большинство экономических анализов демонстрировали только частичное равновесие — то есть цену, при которой предложение равняется спросу, а рынки свободны — на отдельных рынках. Еще не было показано, что равновесие может существовать для всех рынков одновременно в совокупности.

Теория общего равновесия пыталась показать, как и почему все свободные рынки стремятся к равновесию в долгосрочной перспективе. Важным фактом было то, что рынки не обязательно достигли равновесия, а только имели тенденцию к нему. Как писал Вальрас в 1889 году: «Рынок подобен озеру, взволнованному ветром, где вода постоянно достигает своего уровня, но никогда не достигает его».

Теория общего равновесия строится на координирующих процессах системы цен свободного рынка, впервые получившей широкую популярность благодаря работе Адама Смита «Богатство народов» (1776 г.). Эта система говорит, что трейдеры в процессе торгов с другими трейдерами создают сделки, покупая и продавая товары. Эти транзакционные цены служат сигналом для других производителей и потребителей переориентировать свои ресурсы и деятельность в направлении более прибыльных направлений.

Вальрас, талантливый математик, считал, что он доказал, что любой отдельный рынок обязательно находится в равновесии, если все другие рынки также находятся в равновесии. Это стало известно как закон Вальраса.

Теория общего равновесия рассматривает экономику как сеть взаимозависимых рынков и стремится доказать, что все свободные рынки в конечном итоге движутся к общему равновесию.

Видео:Лекция 1. Формирование равновесной цены. Общее равновесие. Эффективность по ПаретоСкачать

Особенности теории

Внутри системы общего равновесия существует множество предположений, реалистичных и нереалистичных. Каждая экономика имеет конечное количество товаров в конечном числе агентов. У каждого агента есть непрерывная и строго вогнутая функция полезности, а также владение одним уже существующим благом («производственным благом»). Чтобы увеличить свою полезность, каждый агент должен обменивать свои производственные товары на другие товары для потребления.

В этой теоретической экономике существует определенный и ограниченный набор рыночных цен на товары. Каждый агент полагается на эти цены, чтобы максимизировать свою полезность, тем самым создавая спрос и предложение на различные товары. Как и большинству моделей равновесия, рынкам не хватает неопределенности, несовершенных знаний или инноваций.

Видео:41 Определение равновесия по ВальрасуСкачать

Альтернативы теории общего равновесия

Австрийский экономист Людвиг фон Мизес разработал альтернативу долгосрочному общему равновесию с его так называемой равномерно вращающейся экономикой (ERE). Это была еще одна воображаемая конструкция, которая разделяла некоторые упрощающие допущения с экономикой общего равновесия: отсутствие неопределенности, отсутствие финансовых институтов и никаких разрушительных изменений в ресурсах или технологиях. ERE иллюстрирует необходимость предпринимательства, показывая систему, которой не существовало.

Другой австрийский экономист Людвиг Лахманн утверждал, что экономика — это непрерывный, нестабильный процесс, наполненный субъективными знаниями и субъективными ожиданиями. Он утверждал, что равновесие никогда не может быть доказано математически на общем или неполном рынке. Те, кто находится под влиянием Лахмана, представляют экономику как неограниченный эволюционный процесс спонтанного порядка.

Видео:40 Закон Вальраса утверждение и доказательствоСкачать

Резюме

• Общее равновесие анализирует экономику в целом, а не анализирует отдельные рынки, как при анализе частичного равновесия.
• Общее равновесие показывает, как спрос и предложение взаимодействуют и стремятся к балансу в экономике, когда одновременно работают несколько рынков.
• Баланс конкурирующих уровней спроса и предложения на разных рынках в конечном итоге создает ценовое равновесие.
• Французский экономист Леон Вальрас представил и развил теорию в конце 19 века.

А на этом сегодня все про теорию общего равновесия Вальраса в экономике. Надеюсь статья оказалась для вас полезной. Делитесь статьей в социальных сетях и мессенджерах и добавляйте сайт в закладки. Успехов и до новых встреч на страницах проекта Тюлягин!

Видео:39 Функция избыточного спроса и формулировка закона ВальрасаСкачать

Рыночное равновесие по Л. Вальрасу

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Закон Вальраса для финансового рынкаСкачать

Понятие рыночного равновесия

Рыночное равновесие – это такое положение экономики, при котором соотношение спроса и предложения таково, что первый полностью удовлетворен, а готовая продукция и услуги полностью реализованы.

Считается, что рыночное равновесие достигается тогда, когда объем произведенных благ соответствует платежеспособному спросу. Идеальное равновесие учитывает сбалансированность экономических сил, отсутствие внешних факторов воздействия, а также полное использование трудовых ресурсов и производственных мощностей.

Соотношение спроса и предложения характеризуется установлением равновесной цены. Эта такая цена, при которой величины предложения и спроса становятся равными друг другу, то есть объем предложения обеспечивается платежеспособным спросом на определенном уровне. Равновесная цена обеспечивает отсутствие избытка или дефицита, поэтому на рынке отсутствуют тенденции снижения или роста.

Если объем выпущенных благ и их цена соответствуют потребностям покупателей, то говорят о ситуации расчистки рынка. Обычно равновесная цена высчитывается математическими методами, либо через подбор наиболее подходящего значения. При низкой цене производителям не выгодно выпускать много товаров, поэтому они начинаю уменьшать предложение. Если цена слишком высокая, то покупатели могут частично или полностью отказаться от блага, что уменьшит спрос. Равновесие может быть устойчивым и неустойчивым. Первое характеризует рынок, который может быстро вернуться в состояние баланса. Неустойчивое равновесие описывает рынок, для которого необходимо внешнее регулирующее воздействие.

Устойчивость рыночного равновесия может быть абсолютной, относительной, локальной, глобальной. Она достигается тогда, когда рынок может прийти в равновесие через установление прежнего объема выпуска и цены.

Готовые работы на аналогичную тему

Видео:Как спрос и предложение задают ценыСкачать

Рыночное равновесие по Л. Вальрасу

Леон Вальрас стал основателем математического анализа в экономике. Он исследовал динамику спроса и предложения при заданном уровне цен. Если реальная цена выше цены равновесия, то возникнет избыток предложения, что спровоцирует понижение цены. Если реальная цена будет ниже равновесно, то объем предложения уменьшится, а значит, цена вырастет.

Рисунок 1. График Л. Вальраса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На графике Pe – равновесная цена, S – кривая предложения, D – кривая спроса.

При цене P1, которая превышает показатель равновесной цены объем спроса будет соответствовать Qd1, предложение – Qs1. На графике видно, что в этом случае объем предложения выше потребности рынка. Сформируется избыток, который необходимо будет продать, поэтому производителям придется снизить цену.

При цене ниже равновесной производителям невыгодно выпускать большие партии товаров, поэтому может возникнуть товарный дефицит. Между потребителями появится конкуренция за доступ к продукции, что спровоцирует рост цен. Таким образом, Вальрас доказал, что равновесие возможно только при условии равенства объема выпуска и платежеспособного спроса.

Стоит отметить, что равновесие на рынке не может быть постоянным. Это динамическая структура, подверженная влиянию множества факторов. Часто равновесные модели рассматриваются в статике. Статическое равновесие позволяет сопоставлять разные положения в единицу времени, но не исследует механизм перехода из одного состояния в другое, а время учитывается лишь косвенно. Однако, метод статики позволяет изучать причины влияния на сдвиг кривых предложения и спроса. Таким модели демонстрируют деятельность экономических субъектов в мгновенном, долгосрочном и краткосрочном периодах.

Видео:42 Пример поиска равновесия по ВальрасуСкачать

Динамическая модель равновесия Вальраса

Рыночная экономика не бывает статической. Она постоянно изменяется, так как каждый субъект действует в собственных интересах. Динамические модели позволяют учитывать фактор времени. Переменные уравнения равновесия в данном случае являются функциями времени.

Установление равновесия по Вальрасу в этом случае рассматривается как динамика его изменения в зависимости от функций объема спроса и предложения от цены. Если предложение меньше спроса, то возникает ситуация товарного дефицита. Тогда скорость изменения цены так же будет больше нуля, то есть начнет расти. В обратном случае, при объеме спроса меньше предложения происходит затоваривание рынка. Тогда производная времени будет меньше нуля, а значит, цена начнет снижаться.

Существуют необычные ситуации, при которых равновесие достигается при нулевой цене. В этом случае формируются свободные ресурсы. Нулевой объем выпуска происходит при нецелесообразности производства. Равновесие может достигаться разных точках графика, например, на рынке труда в разные периоды времени.

Рыночное равновесие базируется на следующих принципах:

1. Регулируемый рынок способен обеспечить нормальную жизнь общества.
2. Свободная конкуренция влияет на спрос и предложение.
3. Производители стремятся к достижению максимальной прибыли.
4. Потребители хотят удовлетворить потребность при минимальных затратах.
5. Достижение макроэкономического равновесия возможно только при совместных усилиях реального сектора, государства в части управления факторами производства, влияющими на предложение и спрос.

Вальрас рассматривал равновесие в условиях свободной или совершенной конкуренции. Из работы Вальраса следует, что в экономике, состоящей из множества рынок достижение равновесия на большей части из них ведет к достижению равновесия на последнем рынке. Равновесие по Вальрасу считается устойчивым. Его могут нарушить только внешние силы. Можно сказать, что он не искал равновесия, а сосредоточился на факторах, которые его обеспечивают. Модель Вальраса охватывает множество экономических связей, складывающихся внутри хозяйственной структуры. Ученый предложил соотносить затраты и объем выпуска продукции. Кроме того, Вальрас повлиял на метод исследования, так как стал применять функциональные зависимости.

Видео:Модель экономического кругооборотаСкачать

Экономическая библиотека

Сборник научных трудов об индивидуальной свободе и свободном рынке. Проект Liberty Fund, Inc.

Видео:Эластичность спроса и предложения | Как цена влияет на спросСкачать

И.А. Лаврухина
ИСТОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ

Видео:Модель Вальраса. ОкончаниеСкачать

Модель общего экономического равновесия

Ее основной смысл можно свести к трем вопросам:

1) достижимо ли рыночное равновесие на деле;

2) является ли это равновесие (если оно достижимо) устойчивым;

3) каковы условия устойчивости равновесия?

Весь экономический мир Вальрас представил состоящим из фирм и домохозяйств, с одной стороны, и из продавцов и покупателей, с другой. Фирмы, производители товаров и их владельцы, выступают на рынке факторов как покупатели, а на рынке потребительских товаров как продавцы. Домашние хозяйства – владельцы факторов производства – выступают в роли их продавцов и в то же время как покупатели потребительских товаров (рис. 11.2).

Рис. 11.2. Схема общего равновесия

В этой модели роли продавцов и покупателей постоянно меняются. Все расходы производителей товаров превращаются в доходы домашних хозяйств, а все расходы домашних хозяйств – в доходы производителей (фирм).

Цены факторов зависят от объемов производства, от спроса, а значит, от цен на производимые товары. В свою очередь, цены на товары зависят от факторных цен.

Для нормального функционирования системы должно устанавливаться соответствие между спросом и предложением (факторов и товаров). Цены факторов должны соответствовать издержкам фирм; доходы фирм – «стыковаться» с расходами домашних хозяйств.

Состояние равновесия предполагает наличие трех условий: во-первых, спрос и предложение факторов производства равны; на них устанавливается постоянная и устойчивая цена; во-вторых, спрос и предложение товаров (и услуг) равны, и реализуются на основе постоянных, устойчивых цен; в-третьих, цены товаров соответствуют издержкам производства.

Первые два условия предполагают равенство пропорций обмена. Третье условие выражает равновесие в сфере производства. Соответственно Вальрас строит взаимосвязанные системы уравнений, которые по замыслу автора должны доказать, что равновесие может быть достижимо как некий «идеал», к которому стремится конкурентный рынок.

В упрощенном виде модель общего равновесия Вальраса можно представить следующим образом. Предположим, что в экономике действуют независимые потребители, владеющие факторами земля (t), труд (l), капитал (k) для производства, которые они продают фирмам и предъявляющие спрос на товары a, b, c, d (потребители при этом максимизируют свои функции полезности в рамках их бюджетных ограничений). В результате оптимизации определяется индивидуальный спрос на товары a, b, c, d как функция всех цен и дохода данного потребителя от продажи имеющихся у него факторов. Цена товара a принимается за 1, цены остальных товаров выражены в цене товара a.

С другой стороны, в экономике действуют производители, каждая фирма производит только один вид товаров – a, b, c или d. Главной производственной характеристикой выступают так называемые коэффициенты удельных затрат (затраты определенного производственного фактора на единицу производимого товара). Производители максимизируют прибыль.

Предполагается также, что:

– удельные затраты факторов постоянны (постоянная отдача факторов);

– имеет место свободная конкуренция.

Системы уравнений (1) и (2) описывают проблемы, с которыми имеет дело производитель – предложение факторов производства (1) и спрос на готовую продукцию (2). Эти величины рассматриваются как функции соответствующих цен (продуктов и факторов производства).

• Предложение факторов (St, Sl, Sk) есть функция рыночных цен этих факторов (Pt, Pl, Pk) и цен на готовую продукцию (Pb, Pc, Pd), выраженных через цену продукта (которую мы приняли за 1):

. (1)

• Спрос на продукты b, c, d рассматривается как функция цен факторов (они определяют доходы лиц, предъявляющих спрос на готовую продукцию) и цен этих продуктов:

. (2)

Спрос на продукт a определяется из систем уравнений (3) и (4). Таким образом, системы уравнений (1) и (2) описывают равновесие производства.

Системы уравнений (3) и (4) описывают равновесие обмена. Эти системы описывают соответственно равновесие рынка факторов и рынка товаров. Как мы знаем, в общем виде правило равновесия рынков заключается в следующем: спрос равен предложению.

• Тогда для рынка факторов: спрос на факторы, необходимые для производства товаров a, b, c, d должно быть равно предложению факторов t, l, k:

atDa + btDb + ctDc + dtDd = St

alDa + blDb + clDc + dlDd = Sp

akDa + bkDb + ckDc + dkDd = Sk, (3)

где at, al, ak, bt, bl, bk и т. д. – коэффициенты удельных затрат (количество данного фактора на производство данного товара).

• Для рынка товаров: цены готовых продуктов должны быть равны сумме затрат факторов:

. (4)

Легко видеть, что количества уравнений и неизвестных совпадают. Однако сам по себе этот факт ничего не говорит о существовании решения даже в случае линейной системы. Еще сложнее дело обстоит в случае нелинейных функций спроса.

Неудивительно, что Вальрас даже не пытался вывести математически строгие условия существования равновесия, а ограничился демонстрацией возможного механизма движения к равновесию. Вальрас исходил из того, что может быть два типа этого процесса. Первый, когда движение начинается с произвольного вектора цен, причем обмен совершается по этим «неправильным» ценам. В этом случае какие-то участники оказываются в выигрыше, а другие – в проигрыше, т. е. нарушается принцип индивидуальной максимизации, заключенные сделки аннулируются и предлагаются новые цены, по которым «заключаются» сделки на следующем этапе, и т. д. Этот метод предполагает длительный процесс проб и ошибок, который в принципе может привести к равновесию.

Более надежным способом достижения равновесия Вальрас считал процесс, управляемый неким арбитром-«аукционистом». Последний по основе заявок рассчитывает предполагаемые спрос и предложение и корректирует цены, имитируя таким образом процесс проб и ошибок. Сделки заключаются только после того, как аукционист объявит равновесные цены. Это произойдет, когда количество предлагаемого по объявленной цене товара окажется равным объему его предложения при этой цене.

Таким образом, согласно Вальрасу, равновесие является устойчивым, ибо на рынке действуют силы, выравнивающие отклонения и восстанавливающие равновесие. Промежуточные, «неверные» цены постепенно исключаются. Этому способствует механизм свободной конкуренции.

Из модели Вальраса вытекают следующие выводы:

1. Существует взаимосвязь и взаимообусловленность цен (регулирующего инструмента) не только на рынке товаров, но и на всех других рынках. Цены на потребительские товары устанавливаются во взаимосвязи и взаимодействии с ценами на факторы производства, цены на рабочую силу – с учетом и под влиянием цен на продукты и т. д. Равновесные цены устанавливаются в результате взаимодействия всех рынков (рынка товаров, рынка труда, денежного рынка).

2. Математически доказывается возможность существования равновесных цен одновременно и на всех рынках. «Нащупывание» равновесных цен происходит на всех рынках и, в конечном счете, приводит к равновесию спроса и предложения на всех рынках. Но «идеал» существует только в теории, это теоретическая абстракция.

3. Из теоретически достижимого экономического равновесия следует вывод об устойчивости системы рыночных отношений.

4. Равновесие в экономике не сводится к равновесию обмена, к рыночному равновесию. Из теоретической концепции Вальраса вытекает принцип взаимосвязи и взаимозависимости основных элементов рыночной экономики. Это исходное положение для понимания взаимосвязи производства, потребления, доходов на макроуровне.

Хотя модель Вальраса логически завершенная, тем не менее, она заслуживает нескольких критических замечаний. Она является весьма абстрактная и строится на ряде допущений, делающих ее статичной: неизменность запаса и видов продукции, неизменность способов производства, потребительских предпочтений. Кроме того жесткими являются и предположения о совершенной конкуренции и абсолютной информированности хозяйствующих субъектов. Поэтому в модели Вальраса открытым остался вопрос о роли времени и природе неопределенности. Заметим также, что в модель Вальраса не «вписались» деньги. По сути, его модель осталась бартерной.

Значение модели общего экономического равновесия Л. Вальраса:

• «Взаимозависимость всех цен и количеств в экономике, – пишет М. Блауг, – была, наверное, первой действительно новой значительной идеей, появившейся в экономической науке после Рикардо».

• модель Вальраса послужила основой дальнейшего развития таких важнейших разделов экономической науки – теория экономического роста, концепция общего благосостояния, теория межотраслевых связей.

• теория Вальраса выдвинула на повестку дня изучение составляющих экономического равновесия, пропорций между важнейшими секторами и рынками в статике и динамике, выявление предпосылок и методов преодоления возникающих нарушений.

Вильфредо Парето (1848–1923) развивал идеи Л. Вальраса и внес заметный вклад в развитие теории благосостояния, а также стоял у истоков ординалистского подхода в определении предельной полезности.

Основные работы: «Курс политической экономии» (1896–1897); «Социалистические системы» (1902); «Трактат общей социологии» (1916).

Вклад Парето в ординализм состоит в следующем:

• признал невозможность измерения полезности и межличностного сопоставления полезностей;

• единственно возможным способом выявления индивидуальных полезностей считал шкалу предпочтений (вообще предложил заменить понятие ценности понятием «предпочтение», имеющее не количественный, а порядковый смысл);

• предложил сопоставлять предпочтения не отдельных благ, а только их наборов (выбор потребителя рассматривал в зависимости от количества данного блага и количества всех других ресурсов);

• ввел в экономическую теорию такие инструменты анализа, как кривые безразличия (каждая точка такой кривой соответствует некоторой комбинации двух благ, суммарная полезность которых одинакова во всех точках), «карта кривых безразличия», «коробка Эджуорта» и т. д.

Взгляды на проблему благосостояния (благосостояние будем понимать как синоним счастья, полной удовлетворенности) существенно видоизменялись. Например, классики отождествляли его с богатством, понимаемым как количество материальных благ на душу населения. Маржиналисты стали трактовать благосостояние как максимизацию полезности (сначала в сугубо индивидуальном смысле, а позже в смысле роста благосостояния общества в целом).

В. Парето обратил внимание на следующее: что означает эффективное (оптимальное) использование ресурсов, обеспечивающее рост благосостояния в обществе в целом? Допустим, достигнут максимум общего эффекта. Но общий эффект (рост производства, сооружение новых объектов) может дать выигрыш одним при проигрыше других. Достижение эффекта в масштабе общества не означает, что от этого выиграют все члены общества. Скажем, эффект от увеличения добычи нефти почувствуют прежде всего работники нефтепромыслов, а население нефтеносного района проиграет в результате ухудшения экологической обстановки. Сооружение новой дороги потребует дополнительных затрат, и увеличение налогового бремени ощутят даже те люди, которые никогда не воспользуются этой дорогой.

Каков же критерий общественной полезности? Что служит предпосылкой достижения оптимума?

Проблема заключается в оптимальном распределении экономических ресурсов и производимых благ в целях достижения наибольшей эффективности. Данный вопрос рассматривается В. Парето в работе «Курс политической экономии». Критерием оптимальности служит не суммарная максимизация, а максимум пользы для каждого отдельного человека (для потребителя – максимизация полезности, для предпринимателя – максимизация прибыли) в соответствии с наличными ресурсами и экономическими возможностями. Это означает, что когда все участники рынка, стремясь каждый к своей выгоде, достигают взаимного равновесия интересов и выгод, суммарное удовлетворение (общая функция полезности) достигает своего максимума.

По Парето, обеспечение общего экономического равновесия – необходимое условие достижения оптимума. Оптимум означает, что достигнут результат, отклонение от которого вызывает увеличение выгоды для одних и уменьшение выгоды для других. Распределение ресурсов в обществе становится оптимальным, если любое изменение этого варианта ухудшает положение хотя бы одного участника экономической системы («оптимум по Парето»).

Поскольку выбор каждого индивида зависит от цен и начального объема благ, которым он располагает, то, варьируя начальное распределение благ, можно изменять и равновесное распределение, и цены. Достигнутое равновесие – это наилучшее положение в рамках уже сформировавшейся системы распределения (по сути, может существовать множество оптимумов, т. е. различных вариантов рыночного равновесия, основанных на разных способах распределения собственности на ресурсы).

Изучая закономерности распределения, Парето пришел к выводу, что с ростом богатства по отношению к численности населения увеличивается минимальный доход или уменьшается неравенство доходов – или и то, и другое вместе («закон Парето» или закон распределения доходов). Отсюда следует вывод, что проблема улучшения условий жизни беднейших слоев населения – это проблема создания богатства, а не проблема его распределения (проблема увеличения «пирога», а не проблема его дележа). Также Парето анализировал количественные пропорции распределения национального дохода и доказал, что распределение дохода не зависит от политического строя. Он построил кривые распределения для разных стран и больших промежутков времени, устанавливающие зависимость между величинами доходов и количеством получающих их граждан. Оказалось, что все эти кривые имеют одинаковую форму, и распределение доходов выше определенной величины сохраняет значительную устойчивость. Парето связал неравенство распределения не с социальными условиями, а с неравномерностью распределения человеческих способностей.

Поэтому любые попытки социального переустройства неприемлемы и не могут изменить характер распределения доходов.

Значение идей Парето:

• приведены новые аргументы в пользу системы свободной конкуренции, как наиболее оптимальной системы;

• сделан существенный шаг вперед в развитии теории потребительского выбора;

• выработаны критерий и ограничения эффективности;

• предложен набор инструментов для оценки политических решений. Например, часто между экономическим ростом и распределением ресурсов существует противоречие, когда преимущества роста распределяются неравномерно. Приоритеты, предоставляемые одним отраслям и регионам, ограничивают возможности других. В таких случаях государственные программы должны находить средства и методы компенсации тем, кто оказывается в проигрыше от принимаемых решений.

🌟 Видео

Микроэкономика-2. Семинар, ну я не знаю, минимум 15, думаю. МЭД и ВальрасСкачать

Алексей Савватеев "Теория игр. Лекция 47. Экономика обмена: равновесие Вальраса"Скачать

Экономика 10 класс (Урок№8 - Рыночное равновесие.)Скачать

Монополия или конкуренция. Типы рынковСкачать

Рыночное равновесиеСкачать

2.6 Спрос, предложение и общественное благосостояниеСкачать

Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1Скачать