Уравнение упругой линии балки сопромат

Универсальное уравнение оси изогнутой балки, вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений

Уравнение упругой линии балки сопромат

Определение прогибов и углов поворота поперечного сечения балки определяют с помощью универсального уравнения изогнутой оси балки (универсального уравнения упругой линии балки)

Формула (закон изменения) прогиба балки в сечении с координатой z и угол поворота сечения (рис. 7.15):

Уравнение упругой линии балки сопромат

a и b – абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M и сосредоточенной силы P, соответственно; c и d – координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.

Уравнение упругой линии балки сопромат

В формулы входят только внешние усилия, которые расположены левее сечения, в котором определяются перемещения балки.

Если какая-нибудь нагрузка имеет противоположное указанному на рисунке 7.15 направление, то у соответствующих слагаемых в формулах прогибов и углов поворота сечений следует поменять знак на противоположный.

Прогиб Уравнение упругой линии балки сопромати угол поворота Уравнение упругой линии балки сопроматбалки в начале координат (начальные параметры) определяются из условий закрепления балки.

Видео:Построение эпюры прогибов балкиСкачать

Построение эпюры прогибов балки

Уравнение упругой линии балки на примере

Уравнение упругой линии балки сопромат

Определим прогиб балки на консоли при Уравнение упругой линии балки сопроматм, то есть Уравнение упругой линии балки сопромат. Запишем универсальное уравнение упругой линии балки :

Уравнение упругой линии балки сопромат

Прогиб балки в начале координат (на левой шарнирной опоре), равен нулю: Уравнение упругой линии балки сопромат.

Для определения угла поворота в начале координат необходимо составить дополнительное условие: прогиб на правой опоре равен нулю.

Уравнение упругой линии балки сопромат,

Уравнение упругой линии балки сопромат.

Уравнение упругой линии балки сопромат

Прогиб консоли при z=6м:

Уравнение упругой линии балки сопромат

Знак «минус» говорит: прогиб балки на консоли происходит вниз. Число, стоящее в числителе, измеряется в килоньютонах на метр в кубе (кН·м3).

Примерный вид упругой линии балки показан на рис. 7.16.

Упругая линия балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов по дифференциальным зависимостям. Точка перегиба находится под сечением балки, в котором изгибающий момент равен нулю, что следует из закона Гука при изгибе.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией , а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки .

Уравнение упругой линии балки сопромат

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

Уравнение упругой линии балки сопромат.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

Уравнение упругой линии балки сопромат.

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

Уравнение упругой линии балки сопромат.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии . При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Уравнение упругой линии балки сопромат.

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Уравнение упругой линии балки сопромат

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

Уравнение упругой линии балки сопромат,

а после второго интегрирования – прогибы балки

Уравнение упругой линии балки сопромат.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: универсальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать

Сопротивление материалов. Лекция: универсальное уравнение изогнутой оси балки

Перемещения в балках при изгибе

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: дифференциальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать

Сопротивление материалов. Лекция: дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Виды перемещений при изгибе

Упругая линия балки – ось балки после деформации.

Прогиб балки $y$ – поступательное перемещение центра тяжести в поперечном направлении балки. Прогиб вверх считаем положительным, вниз – ’ емким.

Уравнение упругой линии – математическая запись зависимости $y(x)$ (прогиба по длине балки).

Стрела прогиба $f = <y_>$ – максимальное по длине значение прогиба балки.

Угол поворота сечения $varphi $ – угол, на который поворачивается сечение в процессе деформирования балки. Угол поворота считаем положительным, если сечение поворачивается против часовой стрелки, и наоборот.

Угол поворота сечения равен углу наклона упругой линии. Таким образом, функция изменения угла поворота по длине балки равна первой производной от функции прогибов $varphi (x) = y'(x)$.

Уравнение упругой линии балки сопромат

Таким образом, при изгибе рассматриваем два вида перемещений – прогиб и угол поворота сечения.

Видео:Изгиб Л.4 \ ДУ изогнутой оси (метод Коши-Крылова)Скачать

Изгиб Л.4 \\ ДУ изогнутой оси (метод Коши-Крылова)

Цель определения перемещений

Перемещение в стержневых системах (в частности в балках) определяются для обеспечения условий жесткости (прогибы ограничиваются строительными нормами).

Кроме этого, определение перемещений необходимо для расчета прочности статически невыдающихся систем.

Видео:Определение реакций опор в балке. Сопромат.Скачать

Определение реакций опор в балке. Сопромат.

Дифференциальное уравнение упругой линии (изогнутой оси) балки

На данном этапе необходимо установить зависимость перемещений в балке от внешних нагрузок, способа закрепления, размеров балки и материала. Для полного решения задачи необходимо получить функцию прогибов $y(x)$ по всей длине балки. Вполне очевидно, что перемещения в балке зависят от деформаций каждого сечения. Ранее нами была получена зависимость кривизны сечения балки от изгибающего момента, действующего в этом сечении.

Кривизна линии определяется ее уравнением $y(x)$ так

где $y’$ и $y$ – соответственно, первая и вторая производная от функции прогибов с координатой x.

С практической точки зрения эту запись можно упростить. На самом деле $y’ = varphi $ – угол поворота сечения в реальных конструкциях не может быть большим, как правило не больше 1град = 0,017рад . Тогда $1 + <left( right)^2> = 1 + = 1.000289 approx 1$, то есть можно считать, что $frac = y» = frac<<y>><<d>>$. Таким образом, мы получили уравнение упругой линии балки (дифференциальное уравнение изогнутой оси балки). Это уравнение впервые получено Эйлером.

Получена дифференциальная зависимость показывает взаимосвязи между перемещениями и внутренними усилиями в балках. Учитывая дифференциальную зависимость между поперечной силой, изгибающим моментом и поперечной нагрузкой, покажем содержание производных от функции прогибов.

$y(x)$ – функция прогибов;

$y'(x) = varphi (x)$ – функция углов поворота;

$EI cdot y»(x) = M(x)$ – функция изменения изгибающего момента;

$EI cdot y»‘(x) = M'(x) = Q(x)$ – функция изменения поперечной силы;

$EI cdot <y^>(x) = M»(x) = q(x)$ – функция изменения поперечной нагрузки.

📸 Видео

Построение эпюр в балке ( Q и M ). СопроматСкачать

Построение эпюр в балке ( Q и M ). Сопромат

Определение опорных реакций балки. Сопромат для чайников ;)Скачать

Определение опорных реакций балки. Сопромат для чайников ;)

БАЛКА С СИЛОЙ ПОД УГЛОМ. Реакции опор. Техническая механикаСкачать

БАЛКА С СИЛОЙ ПОД УГЛОМ. Реакции опор. Техническая механика

25. Статически неопределимая балка. Метод сил ( практический курс по сопромату )Скачать

25. Статически неопределимая балка. Метод сил ( практический курс по сопромату )

30. Статически неопределимая балка ( уравнение трех моментов ) ( практический курс по сопромату )Скачать

30. Статически неопределимая балка ( уравнение трех моментов ) ( практический курс по сопромату )

Перемещения при изгибе. Часть 1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса.Скачать

Перемещения при изгибе. Часть 1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса.

БАЛКА - 90 СТУДЕНТОВ САМОСТОЯТЕЛЬНО СТРОЯТ ЭПЮРЫ после просмотра этого видео!Скачать

БАЛКА - 90 СТУДЕНТОВ САМОСТОЯТЕЛЬНО СТРОЯТ ЭПЮРЫ после просмотра этого видео!

КОСОЙ ИЗГИБ. БАЛКА. Сопромат.Скачать

КОСОЙ ИЗГИБ. БАЛКА. Сопромат.

Прогиб балкиСкачать

Прогиб балки

Статически неопределимая балка ( 1 раз ). СопроматСкачать

Статически неопределимая балка ( 1 раз ). Сопромат

Балка. Реакции в заделке. Реакции опор. Сопромат.Скачать

Балка. Реакции в заделке. Реакции опор. Сопромат.

Понимание напряжений в балкахСкачать

Понимание напряжений в балках

Шиз поясняет. Задача о трехопорной балке и @getaclassphysСкачать

Шиз поясняет. Задача о трехопорной балке и @getaclassphys

13. Метод начальных параметров ( практический курс по сопромату )Скачать

13. Метод начальных параметров ( практический курс по сопромату )

Сопротивление материалов. G-18 (плоская балка, метод Коши-Крылова интегрирования ДУ упругой оси).Скачать

Сопротивление материалов. G-18 (плоская балка, метод Коши-Крылова интегрирования ДУ упругой оси).
Поделиться или сохранить к себе: