Уравнение угла отклонения математического маятника

Формулы математического маятника

Видео:Математический маятник или откуда формула периодаСкачать

Математический маятник или откуда формула периода

Определение и формулы математического маятника

Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение угла отклонения математического маятника

Видео:математический маятник ЕГЭ ФИЗИКА колебания частота периодСкачать

математический маятник ЕГЭ ФИЗИКА колебания частота период

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

где $alpha $ — начальная фаза колебаний; $_0$ — амплитуда колебаний; $_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Видео:Колебания математического маятникаСкачать

Колебания математического маятника

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Видео:Колебания математического и пружинного маятников. 9 класс.Скачать

Колебания математического и пружинного маятников. 9 класс.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=_0x_m$ — максимальная скорость.

Видео:Почти всё о маятникеСкачать

Почти всё о маятнике

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Уравнение угла отклонения математического маятника

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=frac$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87 frac$

Видео:Теормех. 2021-окт-18. Группа ПМФ. Двойной маятникСкачать

Теормех. 2021-окт-18. Группа ПМФ. Двойной маятник

Математический маятник: период, ускорение и формулы

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название – осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

Видео:Период математического маятника. В школе обманывали?Скачать

Период математического маятника. В школе обманывали?

Общие сведения о механической системе

Уравнение угла отклонения математического маятника

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то сила тяжести будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.

Видео:Урок 92 (осн). Колебательное движение. МаятникиСкачать

Урок 92 (осн). Колебательное движение. Маятники

Свойства маятника

Уравнение угла отклонения математического маятника

• Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

• Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» — время, «изос» — равный).

Видео:Урок 94 (осн). Задачи на колебательное движениеСкачать

Урок 94 (осн). Задачи на колебательное движение

Период математического маятника

Этот показатель представляет собой период собственных колебаний. Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:

Период малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

Видео:Откуда берётся формула математического маятника?🤯🤯🤯Скачать

Откуда берётся формула математического маятника?🤯🤯🤯

Колебания математического маятника

Уравнение угла отклонения математического маятника

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

где θ0 – начальная фаза, A – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

Видео:Миноры и алгебраические дополненияСкачать

Миноры и алгебраические дополнения

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

где sn — синус Якоби, который для u 2 августа, 2014

Видео:Математические и пружинные маятники. 11 класс.Скачать

Математические и пружинные маятники. 11 класс.

Пружинные и математические маятники в физике — виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Пружинные и математические маятники:

Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.

Уравнение угла отклонения математического маятника

Система, состоящая из груза массой Уравнение угла отклонения математического маятника

Уравнение угла отклонения математического маятника

Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости от времени изменяется следующbм образом:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания Уравнение угла отклонения математического маятника, то уравнение (5.10) примет вид:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Из этого уравнения мы имеем:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятникаУравнение угла отклонения математического маятника.

Уравнение угла отклонения математического маятника

Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, Уравнение угла отклонения математического маятника. В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой Уравнение угла отклонения математического маятника. В таком случае кинетическая энергия маятника равна

Уравнение угла отклонения математического маятника

Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:

Уравнение угла отклонения математического маятника

В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Если учесть, что Уравнение угла отклонения математического маятника,

Уравнение угла отклонения математического маятника

Уравнение угла отклонения математического маятника

Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником.

Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки Уравнение угла отклонения математического маятникауравновешивает силу натяжения Уравнение угла отклонения математического маятника(рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол Уравнение угла отклонения математического маятника, силы Уравнение угла отклонения математического маятникаи Уравнение угла отклонения математического маятникане смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.

Уравнение угла отклонения математического маятника

Из рис. 5.4. видим, что:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Согласно второму закону Ньютона, сила Уравнение угла отклонения математического маятникапридает материальной точке ускорение Уравнение угла отклонения математического маятника, поэтому

Уравнение угла отклонения математического маятника

Из-за того, что угол наклона очень маленький Уравнение угла отклонения математического маятника, а сила Уравнение угла отклонения математического маятниканаправлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде

Уравнение угла отклонения математического маятника

Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой Уравнение угла отклонения математического маятникаи учитывать соотношение Уравнение угла отклонения математического маятника, получим Уравнение угла отклонения математического маятника
Следовательно Уравнение угла отклонения математического маятника
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что Уравнение угла отклонения математического маятникаполучаем

Уравнение угла отклонения математического маятника

Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:

  1. при маленьких углах наклона (а) математического маятника, его период колебания не зависит от амплитуды колебания.
  2. период колебания математического маятника также не зависит от массы подвешенного на него груза;
  3. период колебания математического маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению длины маятника и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению ускорения свободного падения.

Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать Уравнение угла отклонения математического маятникаи для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.

Пример:

Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.

Уравнение угла отклонения математического маятника

Уравнение угла отклонения математического маятника

Уравнение угла отклонения математического маятника

Решение:
Уравнение угла отклонения математического маятника
Ответ: 5 cек.

Видео:Теормех. 2021-окт-15. Группа РФЗ. Уравнения Лагранжа.Скачать

Теормех. 2021-окт-15. Группа РФЗ. Уравнения Лагранжа.

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Закон Гука: модуль силы упругости Уравнение угла отклонения математического маятника, возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) Уравнение угла отклонения математического маятника:

Уравнение угла отклонения математического маятника

где k — жесткость тела, Уравнение угла отклонения математического маятника— длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.

Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Уравнение угла отклонения математического маятника

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости Уравнение угла отклонения математического маятниканаправленная влево.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

Уравнение угла отклонения математического маятника

В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем

Уравнение угла отклонения математического маятникаили Уравнение угла отклонения математического маятника

Уравнение угла отклонения математического маятника

Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний

Уравнение угла отклонения математического маятника

Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:

Уравнение угла отклонения математического маятника

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Уравнение угла отклонения математического маятника

Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов Уравнение угла отклонения математического маятника, — равный и Уравнение угла отклонения математического маятника— время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).

Уравнение угла отклонения математического маятника

Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.

Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Колебания математического маятникаСкачать

Колебания математического маятника

Период колебаний математического маятника 🧬 #shorts #умскул_физика #егэ2023 #егэфизикаСкачать

Период колебаний математического маятника 🧬 #shorts #умскул_физика #егэ2023 #егэфизика

9. Колебания физического маятникаСкачать

9.  Колебания физического маятника

ЧЕМ МОЖЕТ ОБЕРНУТЬСЯ ГАДАНИЕ НА МАЯТНИКЕСкачать

ЧЕМ МОЖЕТ ОБЕРНУТЬСЯ ГАДАНИЕ НА МАЯТНИКЕ

Негармонические колебания физического маятникаСкачать

Негармонические колебания физического маятника

Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания
Поделиться или сохранить к себе: