Уравнение цилиндра по направляющей и образующей

Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

§ 76*. Цилиндрические поверхности

Если через каждую точку кривой L провести прямую, параллельно данному вектору а, то получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Прямые, параллельные вектору а и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности, а кривая L называется направляющей цилиндрической поверхности (рис. 225).

Если в сечении цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, (в нормальном сечении) получается окружность, то цилиндрическая поверхность называется круговой. Если в сечении получается эллипс, то цилиндрическую поверхность называют эллиптической, если гипербола — гиперболической, если парабола — параболической.

Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат Oxyz, и пусть в плоскости хОу дана кривая L, уравнение которой в этой плоскости имеет вид

Составим уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору a = (α ; β; γ), γ =/= 0, если за направляющую принята кривая L (рис.226).

Рассмотрим произвольную точку этой поверхности М(х; у; z). Образующая l, проходящая через точку М, пересечет плоскость хОу в точке N, лежащей на кривой L. Если координаты точки N в пространстве обозначить (х₁; у₁; 0), то вектор MN > имеет координаты
(x₁ — x; у₁— у ; 0 — z).

По определению цилиндрической поверхности векторы а и MN > коллинеарны, т. е.

следовательно, имеем систему уравнений

Решив эту систему уравнений относительно λ, x₁и у₁, получим

Так как точка N лежит на кривой L, то F(х₁; у₁) = 0. Заменив х₁ и у₁ по формулам (2), получим уравнение

которое, очевидно, и будет уравнением данной цилиндрической поверхности.

Задача 1. Составить уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости хОу и имеет уравнение х 2 + у 2 = 4, а образующие параллельны вектору а = (0; 1; 1).

Так как, согласно условию задачи F(x; у) = х 2 + у 2 — 4 и α = 0, β = 1, γ = 1, то в силу формулы (3) уравнение данной цилиндрической поверхности имеет вид

Эта поверхность изображена на рис. 227.

Аналогично можно показать, что если направляющая цилиндрической поверхности L лежит в плоскости xOz и определяется уравнением F(x; z) = 0, а вектор а не параллелен этой плоскости, то цилиндрическая поверхность имеет уравнение

Наконец, если L определяется уравнением F(у; z) = 0 и а не параллелен плоскости yOz, то уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

Отметим, что если направляющая цилиндрической поверхности лежит в плоскости
хОу, а образующие параллельны оси Oz, то уравнение цилиндрической поверхности в пространстве совпадает с уравнением направляющей и имеет вид

Уравнение (4), как уравнение множества точек плоскости, определяет кривую L, в то же самое время уравнение (4), как уравнение множества точек пространства, определяет цилиндрическую поверхность.

Итак, каждое из уравнений

можно истолковать двояко: если это уравнение множества точек плоскости, то это уравнение линии L, лежащей в плоскости своих переменных; если же это уравнение множества точек пространства, то каждое из этих уравнений определяет цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующими, параллельными оси oтсутствующей переменной.

Рассмотрим несколько примеров.

на плоскости хОу определяет окружность с центром в начале координат и радиусом r (рис. 228, а).

Это жe уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Oz (рис. 228, б).

на плоскости xOz определяет окружность с центром в начале координат и радиусом
r = 2 (рис. 229, а).

Это же уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости xOz, а образующие параллельны оси Оу (рис. 229, б).

и на плоскости, и в пространстве определяет пустое множество, так как сумма неотрицательных чисел не может быть числом отрицательным.

на плоскости хОу определяет эллипс с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 230, а).

Это же уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz (рис. 230, б).

на плоскости хОу определяет гиперболу с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 231, а).

В пространстве это уравнение определяет гиперболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 231, б).

на плоскости хОу определяет параболу (рис. 232, а), а в пространстве — параболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 232, б).

Задача 2. Определить вид поверхности 3x 2 + 6y 2 — 24 = 0.

Данное уравнение приведем к виду:

Это уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz.

Уравнение цилиндра по направляющей и образующей

Глава 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c — сжатым. В случае, когда a=b=c , эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b ) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q , параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q . Пусть М — произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F ; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F ’. Будем говорить, что поверхность F ’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом и пусть — точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z ’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM ’ перпендикулярна к плоскости Oxy , то x’=x, y’=y . С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, , (6)

, , (7)

Предположим, что M(x; y; z ) — произвольная точка сферы

.

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

,

.

Следовательно, точка M’(x’; y’; z ’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;

, ,

где и — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

, ;

, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L . Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

6.2. Цилиндрические поверхности

Или цилиндры. Под цилиндром также понимают геометрическое тело.

И это не совсем то, что обычно подразумевает обыватель – класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:

Задача 167

Построить поверхность, заданную уравнением

…что за дела?! Не опечатка ли здесь? Вроде как дано уравнение эллипса…

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности.

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют).

Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:

Задача 168

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу.

Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем 4 параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий!

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Часто эту поверхность некорректно называют круговым цилиндром. Круглым! Круговой цилиндр, строго говоря – есть тело, по той причине, что его направляющей является круг. И тело, кстати, определяется неравенством .

Задача 169

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку:

Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте заодно проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность (не круг!) единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Задача 170

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат – выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце книги.

Цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
– данное уравнение (по знакомым мотивам линий 2-го порядка) задаёт цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси .

Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.

Задача 171

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Напоминаю полезный технический приём: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
Теперь вторая часть задания, отыскание проекций:

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Задача 172

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину.

Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий – если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа 😉

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы.

Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, и поэтому я ограничился единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра .

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная «школьная» гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.