Уравнение трактрисы в декартовых координатах (6 видео)

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ

Уравнение в прямоугольных координатах:
(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )

Угол между AB’ или A’B и осью x = 45 o

Площадь одной петли = a 2 /2

ЦИКЛОИДА
Уравнения в параметрической форме:

Площадь одной дуги = 3πa 2

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a )/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n — четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2 )

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на «локоне» определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a 2 /2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:

Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.

ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 — b 2 ) 2/3

Параметрические уравнения:

Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 — 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .

Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.

Если b = a, кривая есть лемниската

УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ

Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.

Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b 2 = x 3 /(2a — x)

Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ

Видео:9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6Скачать

02.11. Некоторые трансцендентные линии

Трансцендентной называется линия, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах не является алгебраическим. Простейшими примерами трансцендентных линий могут служить графики функций И других тригонометрических функций.

Спираль Архимеда — траектория точки, равномерно движущейся по прямой, которая равномерно вращается вокруг фиксированной точки О (рис. 2.41).

Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах

Траектория фиксированной точки окружности, которая без скольжения катится по прямой (см. пример 1.17, уравнения (1.21)).

Рассмотрим траекторию точки,, жестко связанно^ с окружностью, катящейся по прямой, но находящуюся не на самой окружности, а на расстоянииОт ее центра ПриВычерчивающая точка находится

Внутри окружности, ее траекторию называют укороченной циклоидой (рис. 2.42, а). ЕслиТо вычерчивающая точка нахо

Дится вне окружности; ее траекторию называют удлиненной циклоидой

(рис. 2.42, б). Эти линии определяются параметрическими уравнениями

В декартовых координатах

Алгебраическая спираль — линия, определяемая алгебраическим уравнением Относительно полярных координат. К алгебраическим спиралям отно-

Сится спираль Архимеда, так как ее уравнениеЯвляется алгебраическим

Уравнением первой степени относительно. Другими. простейшими алгебраическими спиралями являются линии, определяемые уравнениями:

(гиперболическая спираль, рис. 2.43);

(конховда гиперболической спирали, рис. 2.44);

(С1шраль Галилея, рис. 2.45);

(спираль Ферма, рис: 2:46);

(параболическая сйираль, рис. 2.47); у

‘ ‘ ‘ (жезл; рис. 2.48);

Логарифмической спираль (рис. 2.49) — линия, определяемая уравнением

Логарифмическая спираль пересекает полярные радиусы всех своих точек под одним и тем же углом. На этом свойстве основано ее применение в технике. Так, в различных режущих инструментах и машинах вращающиеся ножи имеют профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. В силу этого угол резания остается постоянным. Логарифмическая спираль применяется в теории механизмов при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом (т. е. отношением их угловых скоростей). В природе некоторые раковины очерчены по логарифмической спирали (рис. 2.50).

Логарифмическая спираль впервые упоминается в письме Декарта к Мерсенну от 12 сентября 1638 г. (опубликовано в 1657 г.). Независимо от Декарта логарифмическая спираль была открыта Торричелли, который выполнил ее спрямление и квадратуру. Название «логарифмическая спираль» для данной линии предложил Лопиталь, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

Квадратриса. Дан отрезокДлиныСередина которого находится в точке

(рис. 2.51, в). ОтрезокРавномерно вращается вокруг точкиС угловой скоростьюА прямаяПерпендикулярнаяОдновременно начинает

Равномерно двигаться от точнейК точке _Сач скоростью, оставаясь па

Раллельной исходному щтравленщо. Точка Ы пересечения вращающегося отрезка и движущейся прямой^писывает линию, к^рую казывают квадратрисой.

Уравнение квадотрисы в декартовых координатах :

В полярных координатах

Линия имеет бесконечное множество точек пересечения с осью ординат, так ПриКвадратриса изображена на

Рис. 2.51, б, а на рис. 2.51, а указана та часть линии, которая соответствует значениям аргументаНазвание линии дал Лейбниц.

Квадратрису впервые открыл Гиппий из Эллиды (древнегреческий софист, I живший в V в. до н. э.) в поисках решения задачи о трисекции угла. К задаче о ‘ квадратуре круга эту линию применил древнегреческий геометр Динострат IV в. до н. э. В связи с этим линию называют квадратрисой Динострата.

Трактриса — линия, у которой длина касательной является постоянной величиной. Под длиной касательной понимают длину отрезка МТ, касательной между точкой касанияИ точкойПересечения с осью(рис. 2.52). Трактриса имеет параметрические уравнения

Ее уравнение в прямоугольных декартовых координатах

Трактриса применяется в одной из частей механизма карусельного токарного станка (рис. 2.53). Линия вертикального профиля антифрикционной пяты этого механизма обладает тем свойством, что длина ее касательной постоянна.

Трактриса сыграла выдающуюся роль в истории математики в связи с открытием Н. И. Лобачевским новой геометрии и последующим развитием учения о неевклидовых геометриях. Геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере, полученной вращением трактрисы вокруг ее асимптоты.

Трактриса была открыта в XVII в. Ее название происходит от латинского слова traclo — тащу, влеку.

Цепная линия — кривая, форму которой принимает под действием силы тяжести нить с закрепленными концами (рис. 2.54). В прямоугольных декартовых координатах цепная линия имеет уравнение

Длина дуги цепной линии от ее вершины до заданной точки равна проекции ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке (рис. 2.55,). Проекция ординаты произвольной точки цепной линии

На нормаль в этой точке является величиной постоянной, равной параметру а цепной линии

Свойства цепной линии применяются в строительстве и технике. Они используются в расчетах, связанных с провисанием нитей-проводов, тросов и т. д. В строительной технике применяется также линия свода, определяемая уравнением

Вопрос о форме линии провисания впервые рассмотрел Галилей (1638). Он полагал, что линия провисания является параболой. Против этого позже возражал Гюйгенс. Окончательное теоретическое решения вопроса о форме линии провисания дали Лейбниц, Гюйгенс, Я. Бернулли.

Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением, например, таких как перемещение, скорость и т. п. Термин «вектор» ввел У. Гамильтон (около 1845 г.), обозначения:

— Ж. Арган(1806),— А Мебиус,— Коши (1853),— О. Хевисайд (1891)