Уравнение тора в декартовой системе

Гирш Антон Георгиевич

(Universität Kassel)

Аннотация

Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией и они составляют одну сопряжённую пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Доклад, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряжённых парах реальное – мнимое.

Ключевые слова: вращение; ось; окружность; сфера; тор; мнимое сопровождение; сингулярность; двойные точки.

Видео:A.6.6 Переход между декартовой и другими системами координатСкачать

Введение

Видео:9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6Скачать

1. Круговой тор

Поверхность получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; и, если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера.

Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор – с яблоком.

У равнение образующей окружности: (x — R) 2 +z 2 = r 2 (1)
Переход к уравнению тора делается подстановкой x=Sqrt(x 2 + y 2 ) в уравнении (1). После приведения подобных, получают уравнение поверхности тора:

(x 2 + y 2 + z 2 + R 2 — r 2 )2 — 4R 2 (x 2 + y 2 ) = 0, (2)

где r – радиус образующей окружности, R – радиус направляющей окружности.

Каждый круговой тор имеет на оси вращения две узловые точки, удалённые от центра поверхности на расстояние l = Sqrt(r 2 + R 2 ).

Открытый тор имеет две мнимые узловые точки на оси вращения, закрытый тор имеет две действительные узловые точки, которые в частном случае могут слиться в одну. Действительно, положив в уравнении (2) x = 0, y = 0, получим z 2 = r 2 — R 2 . В случае R = r две двойные точки сливаются в одну.

Исследование тора сечениями.

1. Произвольное плоское сечение кругового тора есть кривая четвёртого порядка, что следует и из степени уравнения (2). Плоская кривая порядка распадается на кривые более низкого порядка, если кривая содержит более чем двойных точек. Число возможных двойных точек алгебраической кривой порядка по MacLaurin d=(n — 1)(n — 2)/2. Нераспадающаяся кривая четвёртого порядка может иметь до трёх двойных точек. Если кривая имеет одной точкой больше, то она распадается. Четыре двойные точки – это двойные точки N₁ и N₂ на оси вращения и циклические точки I₁ и I₂.
2. Осевое сечение тора (меридиан) распадается на две окружности – в плоскости сечения лежат обе пары названных двойных точек.
3. Нормальное к оси сечение тора (параллели) распадается на две концентрические окружности, проходят через циклические точки.
4. Сечение тора дважды касательной плоскостью распадается на две окружности Вилларсо – в плоскости сечения лежат две точки касания и циклические точки.
5. Сечение тора плоскостями, параллельными оси вращения есть нераспадающиеся кривые четвёртого порядка – кривые Персея. Когда плоскость получает касание внутренней части поверхности, кривая приобретает узел и переходит в лемнискату Бута. При соотношении параметров тора R = 2r лемниската Бута переходит в лемнискату Бернулли [2].

Три вида точек поверхности тора.

В точке поверхности определяется Гауссова кривизна K = k₁k₂. Знак Гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При K > 0, где k₁ и k₂ имеют одинаковые знаки, точку называют эллиптической, при K

1. Внешняя область поверхности тора имеет в каждой точке K > 0. Точки поверхности, достаточно близкие к эллиптической точке, все расположены по одну сторону от плоскости, касательной в данной точке.
2. Внутренняя область поверхности тора в каждой точке имеет K
3. Линия пересечения названного цилиндра (R) с тором разделяет поверхность на эллиптическую и гиперболическую области и сама состоит из параболических точек

Площадь поверхности и объём тора.

Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина [1]:

1. Площадь S поверхности вращения равна произведению длины l образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура, S = l · 2πR: → S = 2πr · 2πR = 4π 2 rR.
2. Объём V тела вращения равен произведению площади s образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура, V = s · 2πR: → V = 2πr 2 · 2πR = 4π 2 r 2 R.

Видео:Объем тела вращения на примере тора. 2 способаСкачать

2. Мнимое сопровождение тора

Показ этой конструкции объяснит происхождение мнимых двойных точек на оси вращения тора. Итак, образующая окружность c(r) имеет мнимое расширение в форме равнобочной гиперболы h(r), рис.1а. Равносторонняя гипербола h при своём вращении вокруг оси заметает поверхность, которая распадается на четыре части, рис.1b (на рисунке для наглядности мнимый образ показан сплошной линией, а действительная фигура – штриховой). Ветвь гиперболы h, удалённая от оси вращения a, заметает поверхность, похожую на однополостный гиперболоид. Ветвь гиперболы h, пересекающая оси вращения a, заметает поверхность, распадающуюся на три составляющие: веретено N₁N₂ и два гиперболических конуса, с вершинами N₁ и N₂, рис.1b. Для гиперболы h с уравнением (x — R) 2 — z 2 = r 2 точки N₁ и N₂ имеют координаты z₁₂=Sqrt(R 2 — r 2 ). В евклидовом пространстве мнимые образы не имеют изображения, но их сингулярности продолжают проявляться – на оси вращения открытого тора проявляют себя две двойные точки N₁ и N₂, которые и указаны в предложении, п.1.

* Guldin T. (1635), швейцарский математик, во французской транскрипции читается Гюльден [1].

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

. 3. Сфера от вращения окружности

Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, нормально проецирующейся на плоскость окружности в её диаметр. Центр сферы нормально проецируется на плоскость образующей окружности в её центр. Радиус сферы равен длине отрезка от центра сферы до периферийной точки образующей окружности.

В общем случае образующая окружность при вращении вокруг оси заметает только сферический пояс. Но это при геометрическом или, если угодно, физическом вращении. При аналитическом вращении, т.е. при написании уравнения поверхности вращения по данной оси и данному уравнению образующей окружности, получается уравнение полной сферы. Не сферического пояса! Отметим, что в аналитической геометрии не бывает уравнения отрезка линии или отсека поверхности, а есть уравнения полных образов – прямой, сферы, тора и др., которые задаются их элементами. В [5] было показано, как сферический пояс завершается до полной сферы в комплексном пространстве за счёт её мнимого расширения.

Пусть ось расположена параллельно образующей окружности c(r) на расстоянии от плоскости. Покажем вывод уравнения сферы рис.2.

Уравнение образующей окружности:

Каждая точка A окружности c(r) описывает в плоскости y параллель радиуса ρ с центром на оси a, уравнение параллели x 2 + y 2 = ρ 2 , где ρ 2 = b 2 + y_A 2 . Сделав подстановку значения ρ 2 в уравнение параллели, поучают: x 2 + y 2 = b 2 + y_A 2 , или, y_A 2 = x 2 + y 2 — b 2 . Точка A пробегает всю образующую окружность c(r), потому выражение для y_A подставляют в уравнение (3) и получают уравнение сферы Ω:

x 2 + y 2 +z 2 = r 2 + b 2 . (4)

1. Радиус полученной сферы Ω больше радиуса образующей окружности c, r 2 + b 2 > r 2 . Очевидно, окружность c при своём вращении вокруг оси a не может заполнить всю поверхность сферы Ω (Это к вопросу «полярных шапочек», которые при геометрическом вращении остаются незаполненными [5].)
2. Конструкция рис.2 позволяет в качестве образующей брать и мнимую окружность c(ir). Если действительная образующая окружность при своём вращении вокруг оси a заметает действительную сферу Ω(R = Sqrt(r 2 + b 2 ), то мнимая образующая окружность c(ir) также может определить действительную сферу Ω(R = Sqrt(b 2 — r 2 ). Но определяемая сфера может быть и мнимой и даже выродиться в точку без того, чтобы образующая окружность выродилась в точку и совпала с осью вращения. Радиус конструируемой сферы зависит от соотношения параметров r и b в выражении Sqrt(b 2 — r 2 ):
   a) b > r , сфера Ω действительная, рис.3а;

c) b = r, сфера Ω вырождается в точку, рис.3с.

Видео:Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

Заключение

Мир геометрии огромен. Каждый, имеющий отношение к геометрии, с необходимостью сориентирован на самообразование и постижению мира геометрии. К миру геометрии относятся и мнимые образы. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я.Штейнер, называя их «иероглифами анализа» не без оснований. Но мнимые образы существуют помимо формул анализа – они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В.Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.

Пример с тором, который изучен вдоль и поперёк, показывает сингулярность – пару двойных точек на оси вращения, которые в зависимости от соотношения параметров тора могут быть действительными, мнимыми или слиться в одну. А дилемма сферический пояс – полная сфера, вообще повод для размышлений. Её разрешение требует подключения живой мысли и здесь только машинной графикой не обойтись.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.
3. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями. // Геометрия и графика, Т.3, №2. DOI: 10. 127/12163.
4. Гирш А. Г. Мнимости в геометрии. // Геометрия и графика, Т.2, №2. DOI: 10. 12737/5583.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ «Маска»», 2008. – 213 с.
6. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова: ООО «ИПЦ «Маска»», 2013. – 216 с.
7. http://www.anhirsch.de Антон Георгиевич Гирш (Dr. A.Hirsch) – Сайт.

Видео:Модель декартовой системы координат.Скачать

Рисунки к докладу

а) Гипербола h, сопутствующая образующей окружности c. b) Гипербола h заметает поверхность, содержащую узловые точки

Вращение окружности c(r) вокруг оси a. Вывод уравнения

Задание сферы Ω(R) образующей окружностью c(r) и осью вращения a

Вопросы и комментарии к выступлению:

Мария Валентиновна, спасибо, что заглянули на эту страничку. Вопрос неполный — конус общего вида или вращения? Если вращения, то всегда есть такая ось вращения сферы, которая пройдёт через вершину конуса. Через эту точку проходит и проекция ЛПП. А программа, вопрос конечно интересный, зависит от пакета, но если есть идея решения, то напишется и программа.

Видео:Уравнение прямой.Скачать

Уравнение тора в декартовой системе

Тор — это геометрическое тело вращения. Тор получается движением окружности вокруг оси вращения, лежащей в одной плоскости с окружностью, также это прямое произведение окружности на окружность. В этой статье обьясняется как вывести уравнение тора в пространстве (естественно в трёхмерном Евклидовом :DD)

Выведение уравнение тора в цилиндрической системе

Итак, начнём с того, что возьмём и нарисуем окружность в цилиндрических координатах, но на плоскости R’OZ

Ракитская Мария Валентиновна (21 февраля 2016 г. 16:23)	Здравствуйте, Антон Георгиевич! Спасибо за доклад. Можно задать вопрос? Недавно ко мне обратился студент с такой задачей: Есть сфера, из точки вне сферы на сферу направляется конус (но ось конуса не проходит через центр сферы). Необходимо построить линию пересечения. Графически эту задачу решить легко. Как бы помочь студенту находить решение этой задачи в условиях программирования. С уважением к Вам, М.В.
Гирш Антон Георгиевич (25 февраля 2016 г. 14:25)

Итак, R — расстояние от начала координат до центра окружности, r — радиус самой окружности, т.е. уравнение в этой плоскости будет (r’-R) 2 + z 2 =r 2 , где r’ — это переменная на оси OR’

Далее следующие рассуждения: это цилиндрические координаты, значит, должен быть параметр . Но если не трогать этот параметр, а положить его в интервале [0; 2], то получим, что вся плоскость будет вращаться вокруг OZ, а окружность будет описывать поверхность тора, поэтому, остаётся только перевести уравнение в Декартову систему координат (если это необходимо), или оставить в таком виде.

Выведение уравнение тора в декартовой системе

Остаётся самое простое — перевести в декартову систему. Надеюсь, не надо объяснять, почему
Выкладки делать не буду — формулы будут приведены ниже. Также есть вариант из Википедии, где в формуле полностью избавляются от иррациональностей, хотя формулу можно изменять как угодно))

Такой бублик можно сделать в приложении mathematica, лучше использовать ContourPlot3D. также, возможна анимация с изменением параметров r, R и др. Также тор можно задать в параметрической форме (метод аналогичный).

Выведение параметрического уравнения тора

Берём и строим ту же окружность на плоскости XOZ, но обозначим координаты точек, принадлежащих нашей окружности через x_r и z_r (потом станет понятно зачем).

Теперь вообразили пространство с осью OY. Нам надо повернуть окружность вокруг OZ, для этого мысленно отбросим ось z — останется XOY. Построить окружность с центром в начале координат — это не проблема,

но радиус этой окржности будет каждая точка окружности в плоскости XOZ (которая первая), т.е. её радиус будет равен xr.
В свою очередь z просто приписывается к системе уравнений, так как вообще не влияет на радиус окружности. В итоге получается тот-же самый тор, только представленный в параметрическом виде. Здесь уже возможность анимации увеличивается: добавляется два параметра (у меня t и u), которые можно изменять.	Впринципе — это и есть наглядное объяснение вышесказанного — сначала рисуется окружность (правда как линия, не как на видео), а затем окружность поворачивается вокруг оси. Кстати говоря, в Википедии есть примерно такая же анимация. Стоит сказать, что оси можно менять местами. При R=0 тор выраждается в сферу, а при r=0 — в окружность. Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать Геометрические тела. Тор (тороид). Тор (тороид) — поверхность вращения, которая получается методом вращения образующей окружности вокруг оси, которая лежит в плоскости этой окружности, но при этом не проходит через её центр. Причем ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности. В 1-х двух случаях тор является закрытым, в последнем — открытым, или кольцом. Красным обозначена образующая окружность. Тор – это поверхность 4-го порядка. Видео:Тор.Выворачивание тора.Скачать Ось тора. Ось тора может располагаться вне образующей окружности или касаться её. Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать Свойства тороида. Площадь поверхности тора: . Объём тела, который ограничивается тором: . Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, т.е. серией диффеоморфизмов). Причем 2-е окружности на нём, которые пересекаются перпендикулярно («параллель» и «меридиан») меняются местами друг с другом: 2 «дырявых» тора, переплетенных между собой, можно продеформировать таким образом, чтобы 1-н из торов «поглотил» другой. Наименьшее количество цветов, которое необходимо для раскрашивания участков тора таким образом, чтобы соседние оказались разных цветов, является семь. Видео:Смирнов С. В. - Дифференциальная геометрия - ГиперповерхностиСкачать Сечения тороида. 1. При сечении тора бикасательной плоскостью кривая четвёртого порядка, которая образуется, является вырожденной: пересечение называется объединением 2-х окружностей являющимися окружностями Вилларсо: 2. Открытый тор можно представить в виде поверхности вращения окружности зацепленной за ось вращения. 3. 1-но из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, остальные кривые линии называются графическими линиями и являются кривыми Персея (спирические линии, сечения тора плоскостью, которая параллельна его оси) 4. Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью выглядят как эллипс (кривая второго порядка). Кривая, которая получается т.о., выражается алгебраическим уравнением четвертого порядка. 💥 Видео Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать Теоретическая механика. Лекция №1: Уравнения ЛагранжаСкачать Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать Форш П. А. - Теоретическая механика - Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа для материальной точкиСкачать 7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать Лекция 31.3. Кривые второго порядка. Парабола.Скачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства