Уравнение теплопроводности постановка краевых задач (4 видео)

Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности

« Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности »

Дифференциальное уравнение теплопроводности является математической моделью целого класса явлений теплопроводности и само по себе ничего не говорит о развитии процесса теплопереноса в рассматриваемом теле. При интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получаем бесчисленное множество различных решений. Чтобы получить из этого множества одно частное решение, соответствующее определенной конкретной задаче, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении теплопроводности. Этими дополнительными условиями, которые в совокупности с дифференциальным уравнением (или его решением) однозначно определяют конкретную задачу теплопроводности, являются распределение температуры внутри тела (начальные или временные условия), геометрическая форма тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия).

Для тела определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным краевым условием, а граничные условия – пространственным краевым условием. Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу уравнения теплопроводности (или короче – тепловую задачу).

Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т. е.

Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени; тогда

Граничное условие может быть задано различными способами.

1. Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени,

где Т _s (τ) – температура на поверхности тела.

Изотермическое граничное условие представляет частный случай условия 1-го рода. При изотермической границе температуру поверхности тела принимают постоянной T _s = const, как, например, при интенсивном омывании поверхности жидкостью с определенной температурой.

2. Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции времени, т. е.

Условие 2-го рода задает величину теплового потока на границе, т.е. кривая температуры может иметь любую ординату, но обязательно заданный градиент. Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности теплового потока:

Адиабатическая граница представляет частный случай условия 2-го рода. При адиабатическом условии тепловой поток через границы равен нулю. Если теплообмен тела с окружающей средой незначителен в сравнении с тепловыми потоками внутри тела, поверхность тела можно считать практически непропускающей тепла. Очевидно, что в любой точке адиабатической границы s удельный тепловой поток и пропорциональный ему градиент по нормали к поверхности равны нулю.

3. Обычно граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном потоке тепла (стационарное температурное поле). В этом случае количество тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой Т_с в процессе охлаждения (Т _s > Т_с ), прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, т. е.

где α— коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплообмена (в m /м 2 ·град).

Коэффициент теплообмена численно равен количеству тепла, отдаваемого (или получаемого) единицей площади поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью и окружающей средой в 1°.

Соотношение (3.5) можно получить из закона теплопроводности Фурье, полагая, что при обтекании поверхности тела газом или жидкостью передача тепла от газа к телу вблизи его поверхности происходит по закону Фурье:

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

где λ_г — коэффициент теплопроводности газа, ∆ — условная толщина пограничного слоя, α = λ_г /∆.

Следовательно, вектор теплового потока q _s направлен по нормали п к изотермической поверхности, его скалярная величина равна q _s .

Условная толщина пограничного слоя ∆ зависит от скорости движения газа (или жидкости) и его физических свойств. Поэтому коэффициент теплообмена зависит от скорости движения газа, его температуры и изменяется вдоль поверхности тела в направлении движения. В качестве приближения можно считать коэффициент теплообмена постоянным, не зависящим от температуры, и одинаковым для всей поверхности тела.

Граничные условия третьего рода могут быть использованы и при рассмотрении нагревания или охлаждения тел лучеиспусканием. По закону Стефана-Больцмана лучистый поток тепла между двумя поверхностями равен

где σ* — приведенный коэффициент лучеиспускания, Т _a — абсолютная температура поверхности тепловоспринимающего тела.

Коэффициент пропорциональности σ* зависит от состояния поверхности тела. Для абсолютно черного тела, т. е. тела, обладающего способностью поглощать все падающее на него излучение, σ* = 5,67·10 -12 вт/см 2 · °К 4 . Для серых тел σ* = ε·σ, где ε — коэффициент черноты, изменяющийся в пределах от 0 до 1. Для полированных металлических поверхностей коэффициенты черноты составляют при нормальной температуре от 0,2 до 0,4, а для окисленных и шероховатых поверхностей железа и стали — от 0,6 до 0,95. С повышением температуры коэффициенты ε увеличиваются и при высоких температурах, близких к температуре плавления, достигают значений от 0,9 до 0,95.

При малой разности температур (Т_п — Т_а ) соотношение (3.7) можно приближенно написать так:

где α (Т) — коэффициент лучистого теплообмена, имеющий ту же размерность, что и коэффициент конвективного теплообмена, и равный

Соотношение (3.9) является выражением закона Ньютона охлаждения или нагревания тела, при этом T_а обозначает температуру поверхности тела, воспринимающего тепло. Если температура Т _s (τ) изменяется незначительно, то коэффициент α (Т) приближенно можно принять постоянным.

Если температура окружающей среды (воздуха) Т_с и температура тепловоспринимающего тела Т_а одинаковы, а коэффициент лучепоглощения среды очень мал, то в соотношении (3.9) вместо Т_а можно написать Т_с . При этом небольшая доля потока тепла, отдаваемого телом путем конвекции, может быть положена равной α_к ·∆Т, где а_к — коэффициент конвективного теплообмена.

Коэффициент конвективной теплоотдачи α_к зависит:

1) от формы и размеров поверхности, отдающей тепло (шар, цилиндр, пластина) и от ее положения в пространстве (вертикального, горизонтального, наклонного);

2) от физических свойств теплоотдающей поверхности;

3) от свойств окружающей среды (ее плотности, теплопроводности
и вязкости, в свою очередь зависящих от температуры), а также

В этом случае в соотношении

коэффициент αбудет суммарным коэффициентом теплообмена:

В дальнейшем нестационарный теплообмен тела, механизм которого описывается соотношением (3.10), будем называть теплообменом по закону Ньютона.

По закону сохранения энергии количество тепла q_s (τ), отданного поверхностью тела, равно количеству тепла, которое подводится изнутри к поверхности тела в единицу времени к единице площади поверхности путем теплопроводности, т. е.

Видео:Уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач. Метод Фурье для однородного уравнения.Скачать

где для общности постановки задачи температура Т_с считается переменной, а коэффициент теплообмена α(Т) приближенно принят постоянным [α(Т) = α= const].

Обычно граничное условие пишут так:

Из граничного условия третьего рода, как частный случай, можно получить граничное условие первого рода. Если отношение α/λ стремится к бесконечности [коэффициент теплообмена имеет большое значение (α→∞) или коэффициент теплопроводности мал (λ→ 0)], то

т. е. температура поверхности теплоотдающего тела равна температуре окружающей среды.

Аналогично при α→0 из (x) получаем частный случай граничного условия второго рода — адиабатическое условие (равенство нулю потока тепла через поверхность тела). Адиабатическое условие представляет другой предельный случай условия теплообмена на границе, когда при весьма малом коэффициенте теплоотдачи и значительном коэффициенте теплопроводности поток тепла через граничную поверхность приближается к нулю. Поверхность металлического изделия, соприкасающегося со спокойным воздухом, при недолгом процессе может приниматься адиабатической, так как действительный поток теплообмена через поверхность незначителен. При длительном процессе поверхностный теплообмен успевает отнять у металла значительное количество тепла, и пренебрегать им уже нельзя.

4. Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой [конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова. При обтекании твердого тела потоком жидкости (или газа) передача тепла от жидкости (газа) к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела (ламинарный пограничный слой или ламинарный подслой) происходит по закону теплопроводности (молекулярный перенос тепла), т. е. имеет место теплообмен, соответствующий граничному условию четвертого рода

Помимо равенства температур, имеет место также равенство потоков тепла

Дадим графическую интерпретацию четырех видов граничных условий (рис. 3.1).

Скалярная величина вектора теплового потока пропорциональна абсолютной величине градиента температуры, который численно равен тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения температуры вдоль нормали к изотермической поверхности, т.е

На рис. 3.1 изображены на поверхности тела четыре элемента поверхности ∆ S с нормалью к ней n (нормаль считается положительной, если она направлена наружу). По оси ординат отложена температура.

Рис. 3.1 Различные способы задания условий на поверхности

Граничное условие первого рода состоит в том, что задана Т _s (τ); в простейшем случае Т _s (τ) = const. Отыскивается наклон касательной к температурной кривой у поверхности тела, а тем самым и количество тепла, отдаваемое поверхностью (см. рис. 3.1., а).

Задачи с граничными условиями второго рода имеют обратный характер; задается тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела (см. рис. 3.1, б); находится температура поверхности тела.

В задачах с граничными условиями третьего рода температура поверхности тела и тангенс угла наклона касательной к температурной кривой—величины переменные, но задается на внешней нормали точка С, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой (см. рис. 3.1, в). Из граничного условия (3.13) следует

Тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела равен отношению противолежащего катета [Т_s (τ)—Т_c ]

к прилежащему катету λ∕αсоответствующего прямоугольного треугольника. Прилежащий катет λ∕αявляется величиной постоянной, а противолежащий катет [Т_s (τ) — Т_с ]непрерывно изменяется в процессе теплообмена прямо пропорционально tg φ_s . Отсюда следует, что направляющая точка С остается неизменной.

В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в теле и в среде на границах их раздела (см. рис. 3.1, г):

с учетом совершенного теплового контакта (касательные у поверхности раздела проходят через одну и ту же точку).

Содержание

Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности
Начальные условия и граничные условия.
Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
🎦 Видео

Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности

Видео:Одномерное уравнение теплопроводности. Виды краевых задачСкачать

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий — это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С — удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S — площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q₁ = -kSU_x(x, t)∆t, где k — коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U_x CpS∆x∆U = kSU_x(x + ∆х, t) ∆t — kSU_x(x, t)∆t.

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

U_t = a 2 U_xx,
где — коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности

Начальные условия и граничные условия.

Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U|_t=0 = φ(х) (или в другой записи U(x,0) = φ(х)) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х). Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.

Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g₁(t) ≡ Т₁ и g₂(t) ≡ Т₂, где Т₁ и Т₂ — постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т₁= Т₂ = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g₁(t) = g₂(t) = 0, то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условия третьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:

Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h₁ > 0 — коэффициент теплообмена с окружающей средой, g₁(t) — температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:

Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ₂ может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.

Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h₁, очень большой.

Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:

Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Найти решение уравнения

удолетворяющее граничным условиям

Видео:Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

и начальному условию

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1. Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t).

Найдем частные производные:

Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:

По основной лемме получим

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.

Собственные значения равны

Собственные функции равны (См. решение задачи)

Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):

В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация

Шаг 5. Определим коэффициенты A_n в (19), используя начальное условие (17):

Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам

Вычислив эти коэффициенты для конкретной начальной функции φ(x) и подставив их значения в формулу (19), мы тем самым получим решение задачи (15), (16), (17).

Замечание. Используя формулу (19), можно также, как в лекции 3, получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения U_t = a 2 U_xx. Оно будет иметь вид

где