Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

Высшая математика

Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные y′, y′′,… y (n) .

Обыкновенное ДУ — это дифференциальное уравнение с одной независимой переменной.

Порядок ДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решение или интеграл ДУ — это всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество.

График решения — это интегральная кривая.

Основная задача интегрального исчисления — это нахождение решения ДУ.

Общее решение ДУ F(x, y, y′,…, y (n) ) = 0 — это такое решение y = f(x, c1, c2, …, cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных ci, i = 1, 2, … n, каков порядок этого ДУ.

Общий интеграл ДУ — это общее решение заданное в неявном виде Ф(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.

Частное решение ДУ — это всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных.

Решение дифференциальных уравнений, примеры здесь

    Решение ДУ первого порядка

  • Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— уравнение с разделяющимися переменными.
    Метод решения: непосредственное интегрирование.
  • Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— однородное уравнение.
    Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
  • Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— обобщенное однородное уравнение.
    Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюУравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
    Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
  • Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— линейное по y(x) уравнение.
    Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
  • Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— линейное по x(y) уравнение.
    Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
  • Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— уравнение Бернулли.
    Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
  • Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— уравнение в полных дифференциалах.
    Метод решения: интегрирование системы Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
    1. Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка

    2. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Метод решения: последовательное интегрирование.
    3. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
    4. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
    5. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
    6. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Метод решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентамиУравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

    1. Корни характеристического уравнения:
      D>0, Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, действительные, разные.
      Вид общего решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
    2. Корни характеристического уравнения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, действительные, равные, кратность 2.
      Вид общего решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
    3. Корни характеристического уравнения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, комплексные.
      Вид общего решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
    4. Корни характеристического уравнения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
      Вид общего решения: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
      ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

    1. Корни характеристического уравнения: действительные, разные k1≠k2≠k3≠…≠kn.
      Вид общего решения или вклад в общее решение: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
    2. Корни характеристического уравнения: действительные, кратности r≤n, k1=k2=k3=…=kr=k.
      Вид общего решения или вклад в общее решение: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
    3. Корни характеристического уравнения: комплексные, разные, Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      α1≠α2≠…≠αn, β1≠β2≠…≠βn.
      Вид общего решения или вклад в общее решение: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
    4. Корни характеристического уравнения: комплексные кратности r, k1=k2=…=kr=k=α+iβ.
      Вид общего решения или вклад в общее решение: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Решение НЛДУy′′ + py′ + qy = f(x)
      y = yO.O. + yЧ.Н. = ȳ +
      Метод неопределенных коэффициентов

      Метод вариации произвольной постоянной
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, если Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— частные решения ОЛДУ и Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Принцип суперпозиции
      ЕслиУравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, то y = 1 + 2 + … + n.

        Решение НЛДУ n-го порядка
        y n + a1y n-1 + a2y n-2 + … + an = f(x), yO.Н. = yO.О. + yЧ.Н.
        Метод неопределенных коэффициентов

      Метод вариации произвольной постоянной
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать

      11. Производная неявной функции примеры

      Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные

      1. Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные .

      Символически дифференциальное уравнение выглядит:

      F(x,y,y’,y’’…,y ( n ) )=0 или Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение:

      F(x,y,y’)=0- дифференциальное уравнение первого порядка.

      F(x,y,y’,y’’)=0- дифференциальное уравнение второго порядка.

      3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество.

      Для того чтобы решить дифференциальное уравнение надо его проинтегрировать.

      Дифференциальное уравнение первого порядка.

      Общее и частное решения.

      Это уравнение можно привести к виду y’=f(x,y).

      После вычисления возникает постоянная С. Поэтому решение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C). Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решений дифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C)) называются общим решением дифференциального уравнения.

      Придавая С различные значения получаем различные решения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множество значений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг от друга путем сдвига на несколько единиц).

      Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на координатной плоскости ХОУ.

      Пусть в дифференциальном уравнении заданы дополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Это дополнительное условие называется начальным условием и записывается: а). у=у0 при х=х0; б). Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную; в). у(х0)=у0.

      Геометрически начальное условие означает некоторую точку (х0,у0) на плоскости ХОУ.

      Подставляя Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюв начальное условие Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюявляется частным решением уравнения.

      Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.

      Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).

      Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюопределены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.

      Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение).

      Замечание. “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.

      Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.

      1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

      Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0, либо через дифференциалы

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— через производную.

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— через дифференциал.

      В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – только другая.

      Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С.

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную; Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную-интегрируем и получаем решение. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную; Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

      Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуювыполняется условие: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

      Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

      P(x,y)dx=-Q(x,y)dy; Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Однородное уравнение всегда можно привести к виду Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюи с помощью замены Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюоднородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную; y=xt; y’=t+xt’).

      Линейные дифференциальные уравнения

      ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)– первого порядка относительно у и у’.

      Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y’=U’V+UV’

      Далее U’+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными:

      1). U’+P(x)U=0 находим U. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную2). UV’=Q(x) находим V. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную. С ставится только при вычислении второго уравнения.

      Замечание. Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ.

      УБ- дифференциальные уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*y n , где

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— т.к. при этих значениях уравнение будет линейным.

      УБ решаются так же, как и линейные.

      Дифференциальные уравнения второго порядка

      Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0

      Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— общее решение.

      Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.

      Начальные условия так же могут задаваться в виде:

      у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1.

      Три случая понижения порядка

      1. Случай непосредственного интегрирования

      y’’=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную; Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную; Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную; Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

      АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

      Обыкновенные дифференциальные уравнения

      Содержание:

      Видео:18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.Скачать

      18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.

      Обыкновенные дифференциальные уравнения

      При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

      Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

      Основные понятия о дифференциальных уравнениях

      Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.1)

      Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

      Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

      Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

      Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

      Например, для дифференциального уравнения
      y’- 2 x = 0 (7.2)
      решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

      Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

      Дифференциальные уравнения первого порядка

      Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
      F (x, y, y’) = 0.
      (7.3)

      Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

      Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
      y’= f (x, y) или Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную. (7.4)

      Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюимеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— функции Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюгде C — произвольное число.

      Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

      Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
      у = φ (х, С), (7.5)
      которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

      Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
      Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
      то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

      Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

      Ф (х, у, С0) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

      На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x0 равна заданному значению y0 , то есть y (x0) = y0 или Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.7)

      Условие (7.7) называется начальным условием решения.

      Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

      Мы видим, что дифференциальное уравнение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюимеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную. Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

      Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
      решение, дает теорема Коши.

      ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x0) = y0.

      Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюимеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
      которые проходят через начало координат (рис. 1).

      Уравнение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюимеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Если задано начальное условие Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюто это означает, что задана точка M0 (x0;y0), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
      интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M0 (x0; y0).

      Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

      Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

      Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

      Определение. Уравнение вида
      f1 (y) dy = f2 (x) dx,
      (7.8)
      где f1 (y) и f2 (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

      В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

      Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, удовлетворяющее начальному условию Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— это общее решение дифференциального уравнения.
      Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
      Итак,
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюявляется частным решением данного уравнения.

      Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

      Определение. Уравнение вида
      f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0
      (7.9)
      называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

      В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f2 (y) g1 (x), получим уравнение с разделенными переменными:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Интегрируя это уравнение, запишем
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Получили общий интеграл данного уравнения.

      Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
      x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

      Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Интегрируя, получим
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюУравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— общий интеграл дифференциального уравнения.

      Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

      Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

      Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
      ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

      Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюоткуда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Однородные дифференциальные уравнения

      Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

      Определение. Дифференциальное уравнение
      y ‘= f (x, y) (7.10)
      называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

      Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
      Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюбудем иметь:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Тогда уравнение (7.10) запишется в виде Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.11)
      В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили y = xu, (7.12)
      то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

      Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюпримет вид: u + xu’ = φ (u),
      то есть Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, откуда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      После интегрирования получим Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

      Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуювместо u.
      В результате получим решение уравнения в неявном виде.

      Пример 1. Найти решение однородного уравнения

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Отделяя переменные, найдем
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюоткуда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, то есть
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
      Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Линейные дифференциальные уравнения

      Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
      y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

      Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

      Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

      Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

      Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

      Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
      где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

      Из равенства y = uv найдем производную y’:
      y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

      Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
      u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

      Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
      Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
      u’v = Q (x). (7.16)

      Сначала найдем v из уравнения (7.15).
      Отделяя переменные, имеем Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, откуда
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

      Зная v, находим u из уравнения (7.16):
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      откуда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Здесь мы уже берем для u все первообразные.

      Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.17)

      При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

      Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
      Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
      Подставим y и y’ в уравнение: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную. (7.18)

      Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Отделим переменные, домножив обе части уравнения на Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, тогда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
      После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
      Подставим v = x в уравнение (7.18):
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Общее решение запишется:
      y = x (x + C) = x 2 + Cx.

      Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюкоторый удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

      Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
      Тогда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Подставим v в уравнение и найдем u:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Общее решение дифференциального уравнения будет:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Из общего решения получаем частное решение
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Дифференциальное уравнение Бернулли

      Определение. Уравнения вида
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(или Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную)
      называется дифференциальным уравнением Бернулли.

      Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем (или ) в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на :
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Сделаем замену: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюУравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

      Решение. Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.
      Сделаем замену Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюТогда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Тогда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, а при y -1 = z = uv, имеем
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

      Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

      Обыновенное дефференциальное уравнение

      Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюискомую функцию Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюи производные искомой функции Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюдо некоторого порядка включительно.

      Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Здесь Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— известная функция, заданная в некоторой области Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Число Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуют. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

      Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

      По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

      Основные понятия и определения

      Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      используя последнее в окрестности тех точек, в которых Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюобращается в бесконечность.

      Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Обе переменные Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюи Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуювходят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

      Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюполучаем более симметричное уравнение:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      где Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюОбратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуютак что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Возможно вам будут полезны данные страницы:

      Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюопределена на некотором подмножестве Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуювещественной плоскости Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюФункцию Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюопределенную в интервале Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюмы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

      1. Существует производная Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюдля всех значений Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюиз интервала Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(Отсюда следует, что решение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюпредставляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
      2. Функция Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюобращает уравнение (2) в тождество: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      справедливое для всех значений Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюиз интервала Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюЭто означает, что при любом Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюиз интервала Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюточка Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюпринадлежит множеству Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюи Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюэтого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

      В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

      Примеры с решением

      Пример 1.

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      является решением уравнения

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      в интервале Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      справедливое при всех значениях Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Пример 2.

      Функция Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюесть решение равнения Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюв интервале Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Пример 3.

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      является решением уравнения Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      в интервале Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Иногда функцию Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюобращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

      Видео:Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.Скачать

      Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.

      Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

      При решении многих задач нужно найти функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), . yn = yn (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y1 , y2 , . yn и их производные.

      Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
      Положим, что силаУравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную, а соответственно и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную. Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
      функции определяются из уравнений динамики:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

      Системы дифференциальных уравнений первого порядка

      Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.38)

      где x — независимая переменная, y1, y2, . yn — неизвестные функции.

      Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

      Решением системы называется совокупность функций y1, y2, . yn, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

      Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y1, y2, . yn , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.39)

      Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Заменим производные
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюих выражениями f1, f2, . fn из уравнений системы (7.38), получим уравнение
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Продолжая дальше таким образом, получим
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      В результате получаем следующую систему уравнений:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.40)

      Из первых (n-1) уравнений определим y2, y3, . yn:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.41)

      и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y1: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюкак функции от x, C1, C2, . Cn. Подставим эти функции в (7.41), найдем
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.43)

      Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

      Пример 1. Проинтегрировать систему
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      когда заданы начальные условия Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную. Подставляем сюда значение Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюи Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюиз системы, получим Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Из первого уравнения системы найдем Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюи подставим в полученное нами уравнение:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Общим решением этого уравнения является
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную (*)
      и тогда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную (**)

      Подберем постоянные С1 и С2 так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
      1 = С1 – 9; 0 = С2 – 2С1 + 14, откуда С1 = 10, С2 = 6.
      Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

      Система дифференциальных уравнений:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.44)
      где коэффициенты aij — постоянные числа, t — независимая переменная, x1 (t), . xn (t)
      неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

      Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

      Будем искать решение системы (7.44) в виде:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.45)

      Надо определить постоянные α1, α2, . αn и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.46)

      Это система линейных алгебраических уравнений относительно α1, α2, . αn. Составим определитель системы:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

      Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

      1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Решение. Составим характеристическое уравнение:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = 4.

      Решение системы ищем в виде
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Составим систему (7.46) для корня k1 и найдем Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюи Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Откуда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюПоложив Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюполучим Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Итак, мы получили решение системы:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Далее составляем систему (7.46) для k = 4:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Откуда Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Получим второй решение системы: Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную
      Общее решение системы будет:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

      k1 = α + iβ, k2 = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.47)

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.48)

      Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную(7.49)
      где Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную— действительные числа, которые определяются через Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную.

      Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

      Пример 3. Найти общее решение системы
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Решение. Составляем характеристическое уравнение:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производнуюили k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k1 = –6 + i, k2 = –6 – i .

      Подставляем поочередно k1, k2 в систему (7.46), найдем
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      Перепишем эти решения в таком виде:

      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:
      Уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у и ее первую производную

      🔥 Видео

      Дифференциал функцииСкачать

      Дифференциал функции

      Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

      Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

      ПРОИЗВОДНАЯ функции. Объяснение математического смысла.Скачать

      ПРОИЗВОДНАЯ функции. Объяснение математического смысла.

      14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

      14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.

      ✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис ТрушинСкачать

      ✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис Трушин

      4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать

      4. Вычисление производных примеры. Самое начало.

      Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

      Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.

      ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

      ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производной

      Производная неявной функцииСкачать

      Производная неявной функции

      11.1. Касательная к неявной функции / производная неявной функции ПРИМЕРЫСкачать

      11.1. Касательная к неявной функции / производная неявной функции ПРИМЕРЫ

      13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

      13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

      1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

      1. Что такое дифференциальное уравнение?

      Производная функции. 10 класс.Скачать

      Производная функции. 10 класс.

      Математика без Ху!ни. Логарифмическое дифференцирование.Скачать

      Математика без Ху!ни. Логарифмическое дифференцирование.

      Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функцийСкачать

      Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функций
    Поделиться или сохранить к себе: