Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные y′, y′′,… y (n) .
Обыкновенное ДУ — это дифференциальное уравнение с одной независимой переменной.
Порядок ДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Решение или интеграл ДУ — это всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество.
График решения — это интегральная кривая.
Основная задача интегрального исчисления — это нахождение решения ДУ.
Общее решение ДУ F(x, y, y′,…, y (n) ) = 0 — это такое решение y = f(x, c1, c2, …, cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных ci, i = 1, 2, … n, каков порядок этого ДУ.
Общий интеграл ДУ — это общее решение заданное в неявном виде Ф(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
Частное решение ДУ — это всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных.
Решение дифференциальных уравнений, примеры здесь
- Решение ДУ первого порядка
Метод решения: непосредственное интегрирование.
Метод решения: .
Метод решения:
.
Метод решения:
Метод решения:
Метод решения:
Метод решения: интегрирование системы
- Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка
Метод решения: последовательное интегрирование.
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения:
- Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Корни характеристического уравнения:
D>0, , действительные, разные.
Вид общего решения: . - Корни характеристического уравнения: , действительные, равные, кратность 2.
Вид общего решения: . - Корни характеристического уравнения: , комплексные.
Вид общего решения: . - Корни характеристического уравнения: .
Вид общего решения: .
- ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
- Корни характеристического уравнения: действительные, разные k1≠k2≠k3≠…≠kn.
Вид общего решения или вклад в общее решение: - Корни характеристического уравнения: действительные, кратности r≤n, k1=k2=k3=…=kr=k.
Вид общего решения или вклад в общее решение: - Корни характеристического уравнения: комплексные, разные,
α1≠α2≠…≠αn, β1≠β2≠…≠βn.
Вид общего решения или вклад в общее решение: - Корни характеристического уравнения: комплексные кратности r, k1=k2=…=kr=k=α+iβ.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
- Решение НЛДУy′′ + py′ + qy = f(x)
- Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные
- Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Основные понятия о дифференциальных уравнениях
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения
- Линейные дифференциальные уравнения
- Дифференциальное уравнение Бернулли
- Обыновенное дефференциальное уравнение
- Основные понятия и определения
- Примеры с решением
- Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений первого порядка
- Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- 🔥 Видео
- Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
- Функция обращает уравнение (2) в тождество:
y = yO.O. + yЧ.Н. = ȳ + ỹ
Метод неопределенных коэффициентов
Метод вариации произвольной постоянной
, если — частные решения ОЛДУ и
Принцип суперпозиции
Если, то y = ỹ1 + ỹ2 + … + ỹn.
- Решение НЛДУ n-го порядка
y n + a1y n-1 + a2y n-2 + … + an = f(x), yO.Н. = yO.О. + yЧ.Н.
Метод неопределенных коэффициентов
Метод вариации произвольной постоянной
.
Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать
Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные
1. Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные .
Символически дифференциальное уравнение выглядит:
F(x,y,y’,y’’…,y ( n ) )=0 или .
2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение:
F(x,y,y’)=0- дифференциальное уравнение первого порядка.
F(x,y,y’,y’’)=0- дифференциальное уравнение второго порядка.
3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество.
Для того чтобы решить дифференциальное уравнение надо его проинтегрировать.
Дифференциальное уравнение первого порядка.
Общее и частное решения.
Это уравнение можно привести к виду y’=f(x,y).
После вычисления возникает постоянная С. Поэтому решение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C). Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решений дифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C)) называются общим решением дифференциального уравнения.
Придавая С различные значения получаем различные решения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множество значений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг от друга путем сдвига на несколько единиц).
Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на координатной плоскости ХОУ.
Пусть в дифференциальном уравнении заданы дополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Это дополнительное условие называется начальным условием и записывается: а). у=у0 при х=х0; б). ; в). у(х0)=у0.
Геометрически начальное условие означает некоторую точку (х0,у0) на плоскости ХОУ.
Подставляя в начальное условие , находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда является частным решением уравнения.
Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).
Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.
Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение).
Замечание. “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.
Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0, либо через дифференциалы
.
Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
— — через производную.
— — через дифференциал.
В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – только другая.
Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С.
—
; -интегрируем и получаем решение.
—
;
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом выполняется условие: .
Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.
Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.
P(x,y)dx=-Q(x,y)dy;
Однородное уравнение всегда можно привести к виду и с помощью замены однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (; y=xt; y’=t+xt’).
Линейные дифференциальные уравнения
ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)– первого порядка относительно у и у’.
Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y’=U’V+UV’
Далее U’+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными:
1). U’+P(x)U=0 находим U. 2). UV’=Q(x) находим V. . С ставится только при вычислении второго уравнения.
Замечание. Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ.
УБ- дифференциальные уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*y n , где
— т.к. при этих значениях уравнение будет линейным.
УБ решаются так же, как и линейные.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0
Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных: — общее решение.
Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.
Начальные условия так же могут задаваться в виде:
у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1.
Три случая понижения порядка
1. Случай непосредственного интегрирования
y’’=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.
; ; ;
Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Содержание:
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.Скачать
Обыкновенные дифференциальные уравнения
При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.
Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.
Основные понятия о дифференциальных уравнениях
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)
Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.
Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.
Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.
Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)
Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.
Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)
Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.
Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.
Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.
Ф (х, у, С0) называется частным интегралом дифференциального уравнения.
На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x0 равна заданному значению y0 , то есть y (x0) = y0 или (7.7)
Условие (7.7) называется начальным условием решения.
Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.
Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.
ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x0) = y0.
Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .
График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).
Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).
Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M0 (x0;y0), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M0 (x0; y0).
Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.
Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
Определение. Уравнение вида
f1 (y) dy = f2 (x) dx, (7.8)
где f1 (y) и f2 (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.
Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию
Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:
— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f2 (y) g1 (x), получим уравнение с разделенными переменными:
Интегрируя это уравнение, запишем
.
Получили общий интеграл данного уравнения.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.
Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.
Интегрируя, получим
— общий интеграл дифференциального уравнения.
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.
Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:
Получили общий интеграл дифференциального уравнения.
Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.
Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда
Однородные дифференциальные уравнения
Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие
Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.
Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.
Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:
Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.
Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .
После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.
Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.
Пример 1. Найти решение однородного уравнения
Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .
Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .
Линейные дифференциальные уравнения
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)
Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .
Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.
Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.
Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).
Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).
Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)
Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда
Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.
Зная v, находим u из уравнения (7.16):
откуда
Здесь мы уже берем для u все первообразные.
Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)
При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)
Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или
Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):
Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.
Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда
Подставим v в уравнение и найдем u:
Общее решение дифференциального уравнения будет:
Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:
Из общего решения получаем частное решение
.
Дифференциальное уравнение Бернулли
Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.
Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:
Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:
Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.
Решение. .
Сделаем замену Тогда
Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).
Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения
Тогда .
Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем
Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать
Обыновенное дефференциальное уравнение
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду
Здесь — известная функция, заданная в некоторой области
Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Основные понятия и определения
Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид
В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:
Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение
используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.
Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение
Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.
Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:
где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:
Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:
справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и
Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).
В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).
Примеры с решением
Пример 1.
является решением уравнения
в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:
справедливое при всех значениях
Пример 2.
Функция есть решение равнения в интервале
Пример 3.
является решением уравнения
в интервале
Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.
Видео:Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.Скачать
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
При решении многих задач нужно найти функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), . yn = yn (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y1 , y2 , . yn и их производные.
Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .
Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:
Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):
Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.
Системы дифференциальных уравнений первого порядка
Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)
где x — независимая переменная, y1, y2, . yn — неизвестные функции.
Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.
Решением системы называется совокупность функций y1, y2, . yn, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.
Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y1, y2, . yn , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)
Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):
Заменим производные
их выражениями f1, f2, . fn из уравнений системы (7.38), получим уравнение
Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем
Продолжая дальше таким образом, получим
В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)
Из первых (n-1) уравнений определим y2, y3, . yn:
(7.41)
и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y1:
Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C1, C2, . Cn. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)
Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.
Пример 1. Проинтегрировать систему
когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим
Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или
Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)
Подберем постоянные С1 и С2 так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С1 – 9; 0 = С2 – 2С1 + 14, откуда С1 = 10, С2 = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты aij — постоянные числа, t — независимая переменная, x1 (t), . xn (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.
Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)
Надо определить постоянные α1, α2, . αn и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):
Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)
Это система линейных алгебраических уравнений относительно α1, α2, . αn. Составим определитель системы:
Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:
Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).
Рассмотрим отдельные случаи на примерах:
1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:
Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:
Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = 4.
Решение системы ищем в виде
Составим систему (7.46) для корня k1 и найдем и :
или
Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:
Далее составляем систему (7.46) для k = 4:
Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:
2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:
k1 = α + iβ, k2 = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:
(7.47)
(7.48)
Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .
Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.
Пример 3. Найти общее решение системы
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k1 = –6 + i, k2 = –6 – i .
Подставляем поочередно k1, k2 в систему (7.46), найдем
Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных
Перепишем эти решения в таком виде:
За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:
🔥 Видео
Дифференциал функцииСкачать
Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
ПРОИЗВОДНАЯ функции. Объяснение математического смысла.Скачать
14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать
✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис ТрушинСкачать
4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать
Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать
ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать
Производная неявной функцииСкачать
11.1. Касательная к неявной функции / производная неявной функции ПРИМЕРЫСкачать
13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать
Производная функции. 10 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Логарифмическое дифференцирование.Скачать
Найдите производную функции x^x ★ Как находить производные показательно-степенных функцийСкачать