Уравнение стоячей волны узлы и пучности

Стоячие волны

Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распростра­няющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Уравнение стоячей волны

и

S=

(учли, что k = 2π/λ)—уравнение стоячей волны.

Пучности стоячей волны

Точки, в которых амплитуда максимальна (A_ст = 2Аcos(2πx/λ)) . Это точки среды, для которых

2πx/λ= (m=0,1,2,….)

(m = 0,1, 2. ).

Узлы стоячей волны

Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A_ст = 0). Это точки среды, для которых

(m = 0,1, 2. ).

(m = 0,1, 2. ).

Расстояния пучность—пучность и узел—узел равны λ/2, а расстояние пучность—узел равно λ/4.

Образование стоячих волн наблюдают при

интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность, если более плотная — узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит, и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — получается пучность.

Уравнение стоячей волны и его анализ

Частным случаем интерференции волн, являются стоячие волны.

Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию.

Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводится в колебательное движение.

При наложении двух когерентных бегущих плоских волн вида

и где α-разность фаз волн в точках плоскости x=0, образуется плоская синусоидальная стоячая волна, описываемая уравнением

Амплитуда стоячей волны в отличие от амплитуды бегущих волн является периодической функцией координаты x.

Точки ,в которых амплитуда стоячей волны равна 0, называются узлами, а точки где амплитуда двойная –пучности.

Положение узлов и пучностей находится из условий

k*x+α/2=m*n (пучности) ,где m=0,1,2…

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн.

В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты x рассматриваемой точки. В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), так как аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты x. При переходе через узел фаза колебаний изменяется скачком на π,так как при этом cos(k*x+α/2) изменяет свой знак на противоположный.

Видео:Волны: Узел и пучность стоячей волныСкачать

Стоячие волны

Содержание:

Стоячая волна — это волна, которая образуется при наложении двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, когда волны движутся навстречу друг другу.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Видео:Урок 375. Стоячие волныСкачать

Стоячие волны

Стоячая волна — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует.

Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны

Положим, что две плоские волны, вполне одинаковые по своим характеристикам, идут навстречу друг другу. Нас интересует возникающее колебательное движение среды, в которой распространяются волны.

Как упоминалось выше, различие в направлении распределения учитывается различием в знаках координаты в уравнении волны. Следовательно, результирующая картина смещения должна передаваться выражением

Результат вычисления весьма интересен. Сумма двух бегущих волн не дала волнового движения. Полученная формула указывает на наличие колебаний с амплитудой разной в разных местах пространства. Своеобразное колебательное состояние среды, возникающее при движении в противоположные стороны двух одинаковых бегущих волн, носит название стоячей волны. Еще раз подчеркнем, что стоячая волна не есть волна. Бегущая волна переносит энергию, в стоячей волне никакой передачи энергии от точки к точке нет; бегущая волна может двигаться вправо или влево, у стоячей волны нет направления распространения. Это название характеризует колебательное состояние среды.

В чем же особенности этого колебательного состояния? Прежде всего, мы видим, что колеблются не все точки среды. В местах пространства, удовлетворяющих условиях амплитуда колебания равна нулю. Соответствующие места носят название узлов стоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами вдоль оси х, по которой были пущены бегущие волны, равно половине длины волны. Между двумя узлами лежат точки, которые колеблются с наибольшей амплитудой, равной 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

На рис. 64 представлено колебательное состояние, соответствующее стоячей волне для нескольких последующих моментов времени. Мы видим, что название вполне оправдано. В каждое мгновение видна волна. При этом волна стоит на месте. Если делать мгновенные фотографии одну за другой, то точки пересечения волной оси абсцисс — узлы — будут оставаться на одном и том же месте. Волна стоит. Изменения в мгновенных снимках будут состоять в изменении величины смещений. Наступит такой момент, когда все точки среды будут неподвижными. По прохождении этого мгновения точки, отклонявшиеся кверху, будут идти вниз, и наоборот. Разумеется, нарисованная картина не имеет ничего общего с бегущей волной, где два «мгновенных снимка» выглядят так, как на ранее приведенном рис. 57. Там волна движется, максимумы и минимумы волны в каждое следующее мгновение переходят в новые места.

Мы сказали, что в стоячей волне передачи энергии нет. Как описать тогда в терминах энергии процессы, происходящие в этом своеобразном колебательном движении? Очевидно, что энергия стоячей волны (какой-либо области, в которой она существует) есть величина постоянная.

В тот момент, когда все точки проходят положение равновесия, вся энергия точек, захваченных

колебанием, является кинетической. Напротив, в положении максимального отклонения точек от положения равновесия энергия всех точек тела является потенциальной.

Стоячая волна — важнейший колебательный процесс: разного вида стоячие волны ‘возникают в телах ограниченных размеров, по которым распространяются упругие волны. Дело заключается в том, что упругие волны отражаются от границы тела со средой и отправляются в среду обратно. В ограниченном теле возникает сложное колебательное состояние, являющееся результатом наложения на исходную волну всех других волн, которые отразились от стенок и вернулись в среду. Ряд типичных случаев будет сейчас рассмотрен.

Собственные колебания стержней

Ударом или иным способом в каждом твердом стержне можно возбудить продольную упругую волну, распространяющуюся вдоль его длины. От противоположного конца стержня эта волна отразится, и, таким образом, весь стержень придет в колебательное состояние, изображаемое стоячей волной. Это колебательное состояние будет свободным, так как оно возникнет благодаря кратковременному импульсу и будет далее продолжаться без действия внешних сил. Ряд сведений о характере этих свободных колебаний мы получим, если положим известной длину стержня и укажем способ его закрепления. Длина стержня и способ его закрепления дают нам так называемые граничные условия. Они сводятся к следующему: в закрепленном месте стержня существует узел стоячей волны, на открытом конце стержня образуется пучность стоячей волны.

Рассмотрим несколько способов возбуждения продольных свободных колебаний в стержне с длиной

Стержень, закрепленный в обоих концах. В этом случае на концах стержня должны образоваться узлы волны смещений. Так как расстояние между узлами равно половине длины волны, то возможные длины волн связаны с длиной стержня условием т. е.— любое целое число.

Используя для скорости упругой волны выражение и вспоминая связь частоты с длиной волны, получим выражение для собственных частот свободных продольных колебаний стержня

Прежде всего необходимо подчеркнуть принципиально новый для нас результат. Сплошное тело имеет не одну, а множество собственных (характеристических) частот колебания. Соответственное этим разнообразны возможные свободные колебания стержня. Стержень может также совершать негармонические колебания с любым спектром *), составленным из частот

Частота V! является основной частотой колебания стержня. Ей соответствует колебательное движение с условием Это значит, что при основном колебании центр стержня лежит в пучности стоячей волны, а узлов между концами стержня нет. Колебанию во втором обертоне (вторая гармоника) соответствует условие Теперь в центре стержня имеется узел. Если возбуждена третья гармоника, то между концами стержня будут лежать два узла, и т. д.

Пример. Для железного стержня длиной 7 м основная частота

Стержень, открытый с обоих концов

Если стержень подвесить на нитях, а затем возбудить в нем колебания, то возникшая стоячая волна должна удовлетворять условию: на обоих концах стержня существует пучность. Так же как и в предыдущем случае, между длиной стержня и длинами волн возникает связь: Следовательно, формула собственных частот будет той же самой.

Отличие от предыдущего случая заключается в распределении узлов и пучностей. В основном колебании центр стержня покоится (узел). Если возбуждена вторая гармоника, то в центре стержня будет пучность, далее через четверть длины волны — узлы и на краях — пучности.

Стержень, закрепленный в одном конце

В этом случае на одном конце должен быть узел, а на другом — пучность. При колебании с основной частотой стержень имеет форму, соответствующую одной четверти периода синусоиды. Так как расстояние между узлом и пучностью равно то связь между длинами волн и длиной стержня дается условием

Собственные частоты колебаний такого стержня выразятся формулой

Если в первых двух случаях частоты относились друг к другу, как целые числа, то теперь отношение частот дается отношением нечетных чисел.

Стержень, закрепленный в середине, будет в этом месте иметь узел, а на концах — пучности. Задача ничем не отличается от рассмотренной.

Граничные условия, которые использовались при рассмотрении колебательного состояния стержней, являются предельным случаем граничных условий отражения волн, изложенных на стр. 111., Как было выяснено ранее, при отражении от границы, отделяющей среду от среды с большим сопротивлением, происходит отражение волны смещения с потерей полволны. Если стержень закреплен, то волна вовсе не проникает во вторую среду. В этом случае можно говорить о бесконечно большом сопротивлении второй среды. Коэффициент отражения становится равным единице и отражение происходит с потерей полволны. Нетрудно видеть, что это соответствует наличию узла на границе двух сред. Отражение волны от незакрепленного конца стержня соответствует отражению от среды с нулевым сопротивлением. Равенство коэффициента отражения единице-и отсутствие потери полволны приводят к необходимости существования пучности на такой границе.

Продольные собственные колебания могут быть также возбуждены в столбах жидкости и столбах газа. Поперечные собственные колебания легко возбудить в зажатой и натянутой струне. Распределение узлов н пучностей будет, разумеется, таким же, как и для закрепленного с обоих концов стержня. Набор частот выразится формулой, аналогичной приведенной для стержня, с тем лишь различием, что в выражении скорости поперечной волны в струне надо заменить на натяжение струны, т. е. на частное от деления силы, натягивающей струну, на поперечное сечение струны.

Собственные колебания двумерных и трехмерных систем

В стержнях, струнах, воздушных столбах поверхности равной фазы представляют собой параллельные плоскости. Колебательное состояние можно представить себе как результат наложения плоских волн, распространяющихся вдоль одной линии. Однако возможны и более сложные случаи, а именно такие, когда колебательным движением захвачена двумерная область (пластинка, мембрана) или тело, все три размера которого имеют одинаковый порядок величины.

С двумерными задачами мы сталкиваемся, рассматривая колебания упругих и жестких диафрагм. Колебания разного типа возникнут, если в одном случае закрепить пластинку по краям, а в другом — укрепить ее в одной точке или даже не закреплять вовсе. Кроме колебаний жестких пластинок наблюдают колебания натянутых нежестких пленок — резиновых, мыльных и пр.

Общие закономерности свободных колебаний в этом случае в принципе не отличаются от рассмотренных. Ввиду двумерности задачи узлы и пучности должны характеризоваться теперь кривыми линиями. Например, круглая закрепленная по краям пластинка совершает основное колебание, имея единственную пучность в центре круга. Центральная точка колеблется с максимальной амплитудой, а далее амплитуда спадает к закрепленным краям (к узловой окружности) с сохранением круговой симметрии. Так выглядит простейшее колебание основной (самой низкой) частоты. Мембрана может быть возбуждена и в более высоких гармониках, тогда поверхность ее разбивается на участки узловыми линиями. Оказывается, что узловые линии у круглых пластинок могут иметь форму либо окружностей, либо диаметров, проходящих через центр.

Эффектным и простым опытом является демонстрация узловых линий способом Хладни (по имени ученого, предложившего этот способ). Пластинку посыпают песком, а затем ударом или смычком приводят в колебательное состояние. Песок скатывается с пучностей и собирается на узловых линиях. На рис. 65 показано несколько примеров фигур Хладни.

Естественно, наиболее сложным является колебательное состояние сплошного трехмерного тела. Отказываясь от рассмотрения явления в теле сложной формы, мы ограничим себя изучением собственных колебаний прямоугольного параллелепипеда. Если бы в таком теле существовали только стоячие волны, возникшие благодаря сложению волн, бегущих параллельно ребру параллелепипеда, то собственные частоты колебаний ограничивались бы значениями

а волновые числа (так называют величины, обратные длине волны) будут равны
где — любые целые числа,— длины ребер параллелепипеда.

Однако в теле могут распространяться волны, идущие под произвольным углом к границам. Стоячие волны образуются в том случае, если после ряда отражений луч придет в ту же точку, из которой он вышел. Волновое число такого луча должно вычисляться из по правилу сложения векторов. Таким образом,

Ясно, что частоты колебаний для простейших случаев распространения волн параллельно ребрам тела также получатся из этой формулы, если положить отличным от нуля лишь одно из трех целых чисел, входящих в формулу.

Спектр колебания трехмерного тела изображается в трехмерном пространстве (рис. 66), которое можно назвать пространством частот, или обратным пространством. Если величины откладывать соответственно по трем осям, то возникнет решетка, (обратная решетка), каждый узел которой представляет одну из собственных частот колебания тела за номерами Радиус-вектор обратного пространства, проведенный в узел решетки, равняется возможной частоте колебания. Если провести сферу радиусом то в нее попадут все точки, изображающие частоты, меньшие Объем такой сферы равен объем каждой ячейки обратной решетки

равен — объем тела. Следовательно, число собственных колебаний тела с частотами, меньшими (число узлов в октанте сферы), выражается формулой

Эта интересная закономерность показывает, что число собственных частот резко возрастает, если мы начнем увеличивать интервал частот, подлежащий рассмотрению. При больших частотах дискретный характер спектра начинает смазываться, частоты становятся весьма близкими друг к другу.

Вынужденные колебания стержней и пластинок

Если колебания стержня, пластинки или иного тела происходят не в вакууме, а в какой-либо среде *), жидкой или газообразной, то некоторая часть интенсивности, зависящая, как нам известно, от отношения волновых сопротивлений соприкасающихся сред, переходит из колеблющегося тела в среду. Можно выразить эту же мысль короче: колеблющееся тело излучает энергию. Благодаря излучению свободные колебания стержня, струны и пр. быстро затухают. Если нужно, чтобы такое тело являлось постоянным источником излучения, то колебания следует возбуждать посторонним источником. Так же как и в случае колебаний точки, подведение энергии может произойти как по схеме автоколебаний, так и созданием вынужденных колебаний.

В зависимости от способа и места подведения внешней энергии можно возбудить, вообще говоря, любую из частот или любую комбинацию собственных частот способного колебаться тела. Можно, например, следующим образом создать вынужденные колебания натянутой струны. Около стальной струны укрепляется электромагнит, питаемый синусоидальным током от звукового генератора. Колебания струны под действием периодически меняющейся внешней поперечной силы станут заметными лишь в случае резонанса. Подбирая разные натяжения струны и варьируя внешнюю частоту, можно продемонстрировать колебание струны на основной частоте, а также и на более высоких обертонах.

Огромное практическое значение имеет создание вынужденных колебаний (стоячих волн) в пьезоэлектрических пластинках и ферромагнитных стержнях. Эти колеблющиеся тела являются источниками ультразвуковые волн.

Ферромагнитные тела обладают свойством удлиняться или укорачиваться под действием магнитного поля. Теория этого явления сложна и мы скажем о ней и в дальнейшем лишь немногое. Пока что для нас достаточно знать, как изменяется длина ферромагнитного стержня в зависимости от напряженности поля. На этот вопрос отвечает рис. 67, из которого следует, что никель и отожженный кобальт укорачиваются в полях любой силы, литой кобальт в малых полях укорачивается, а в больших удлиняется и, наконец, железо удлиняется в малых полях и укорачивается в больших. Так или иначе, любой ферромагнитный стержень будет способен совершать вынужденные колебания при внесении в переменное магнитное поле. Для этой цели стержень помещают обычно в отверстие сердечника трансформатора, через который проходит переменный ток. Чтобы стоячая волна в стержне была достаточно сильной, необходимо работать в условиях резонанса: частота переменного поля должна совпадать с собственной частотой колебания стержня.

Так как стержень закрепляют в середине, то собственная частота колебанийпричем стержень может совершать колебания только на нечетных гармониках. Основная частота для никеля, если подставить значения физических констант, окажется равной

Например, стержень длиной 40 см будет колебаться с основной частотой 6 кГц.

Наиболее распространенным источником ультразвуковых колебаний является пьезокварц.

Колебания пьезоэлектриков

Как будет рассказано ниже (§ 262), все кристаллы, не обладающие в числе своих элементов симметрии центром симметрии, могут обладать пьезоэлектрическим эффектом. Это явление заключается в изменении размеров кристалла под действием электрического поля и, обратно, в возникновении электрического поля в кристалле под действием приложенных к кристаллу сил. При использовании пьезэ-электрика в качестве источника колебаний мы, естественно, интересуемся первым явлением, называемым также электрострикцией, или обратным пьезоэлектрическим эффектом. В качестве пьезоэлектриков употребляют кварц, сегнетову соль, титанат бария,дигидрофос-фат аммония и другие кристаллы. Вообще говоря, имеются сотни известных веществ, которые могли бы в принципе использоваться для той же цели. Однако наличие дополнительных требований (прочность, устойчивость к влаге и пр.), а также, разумеется, желание выбрать кристаллы, дающие наиболее сильный эффект, резко ограничивают практический список веществ.

Кристалл, помещенный в электрическое поле, меняет свои размеры в разных направлениях (по отношению к осям симметрии кристалла) по-разному. Поэтому, вырезая из кристалла стержни или пластинки, различно ориентированные по отношению к осям кристалла, и помещая их между обкладками конденсатора, мы будем получать деформации разного типа. Чаще всего вырезают пластинку кварца или другого пьезоэлектрика таким образом, чтобы под действием электрического поля в ней происходили продольные смещения. Тогда под действием переменного электрического поля в такой пластинке возникнут вынужденные стоячие продольные волны.

Если — толщина пластинки в направлении движения волны, то собственные частоты колебания представятся, как обычно, формулой Для кварца в этой простейшей ориентировке скорость увру-гих волн равна 5400 м/с. Следовательно, основная собственная частота колебания кварцевой пластинки найдется по формуле

(опыт дает несколько иное значение: 2880// кГц).

Амплитуды колебаний зависят от величины прикладываемого поля. Между величиной смещения и напряженностью электрического поля существует линейная зависимость. Прибегают к довольно сильным полям. Кварц — превосходный изолятор, поэтому при толщинах до сантиметра применяются электрические поля порядка 30 000 В/см.

Основным в получении сильного ультразвукового сигнала является резонансный эффект. Смещения под действием статического поля в тысячи раз меньше резонансных смещений, а ведь энергия колебания пропорциональна квадрату смещения.

Если повышать частоту генератора, можно последовательно возбудить пластинку на всех ее обертонах. Частоты наиболее распространенных промышленных ультразвуковых генераторов лежат в пределах от сотен до тысяч килогерц.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Стоячие волны. 11 класс.Скачать

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Эта статья — перевод. Начало здесь.
Источник.

В программе:
1) Провода болтаются в воздухе, но источник тока/напряжения видит короткое замыкание.
2) На одном конце провода амплитуда равна 0 Вольт, а на другом — 1 Вольт. Как это возможно?
3) Согласование 75 Ом источника сигнала с 300 Ом нагрузкой при помощи правильно подобранного кабеля.

Стоячие волны и резонанс

Всегда, когда есть несоотвествие между сопротивлением линии передачи и нагрузкой, происходит отражение. Если падающий сигнал имеет одну частоту, то этот сигнал будет накладываться на отражённые волны, и возникнет стоячая волна.

На рисунке показано, как треугольная падающая волна зеркально отражается от открытого конца линии. Для простоты, линия передачи в этом примере показана как единая жирная линия, а не как пара проводов. Падающая волна идёт слева направо, а отражённая – справа налево.

Если мы сложим эти два сигнала, то увидим что третий, стационарный сигнал, создаётся по всей длине линии: красная линия на рисунке ниже – сумма падающей и отражённой волн:

Эта третья волна является суммой падающей и отражённой волны. Она не распространяется по кабелю, как падающая или отражённая волна. Обратите внимание на точки вдоль линии, где падающая и отражённая волна всегда гасят друг друга: эти точки никогда не меняют позицию.

Стоячие волны распространены и в физическом мире. Рассмотрим верёвку, привязанную за один конец, и потрясём её:

Узлы (с точками где нет вибрации) и пучности (точки максимальной вибрации) остаются неизменными по всей длине верёвки. Струнные инструменты также создают стоячую волну, с узлами максимальной и минимальной вибрации вдоль их длины. Основное отличие между верёвкой и струнным инструментом в том, что инструмент уже настроен на правильную частоту вибрации:

Ветер, дующий через открытые трубы, также производит стоячие волны. В этом случае, колеблются молекулы воздуха в трубе, а не твёрдое тело. Стоячая волна может заканчиваться в узле (минимальная амплитуда) или в пучности(максимальная амплитуда) и это зависит от того, открыт или закрыт другой конец трубки:

Закрытый конец трубы создаёт узел, а открытый – пучность. По аналогии, якорь струны – это узел, а свободный конец (если он есть) – пучность.

Обратите внимание, что внутри трубы могут возникать стоячие волны разных частот. Есть несколько резонансных частот для любой системы, поддерживающей стоячие волны.

Более высокие частоты должны быть кратны базовой частоте.

Фактические частоты для любой из этих гармоник (обертонов) зависят от физического размера трубы и скорости распространения волн (в данном случае — скорости распространения звука).

В линиях связи также возможно создать стоячие волны, и их частота будет зависеть от типа нагрузки на конце линии, от скорости распространения и физической длины. Резонанс в линиях передачи более сложен, чем резонанс струн или воздуха в трубах, потому что мы должны учитывать напряжение и ток волн.

Резонанс в линиях передачи легче понять, используя компьютерное моделирование. Для начала, рассмотрим согласованную линию на 75 Ом:

Используя SPICE для имитации схемы, мы укажем для линии T1 волновое сопротивление 75 Ом(z0 = 75) и задержку распространения 1 мкс. Это удобный способ для выражения физической длины линии передачи – количество времени на распространение сигнала. Для реального кабеля RG-59B/U это будет длина 198 метров. 1 мкс соответствует частоте 1МГц. Я буду выбирать частоты от нуля до этой частоты, чтобы показать, как система реагирует на разные частоты.
Вот SPICE модель:

Выполним это моделирование и построим график падения напряжения на сопротивлении источника (Zsource) – это будет индикатор тока, и график напряжения на конце линии (напряжение на нагрузке). Мы увидим, что источник напряжения – на графике показано как vm(1) (величина напряжения между узлом 1 и точкой заземления 0) ровно 1 Вольт. Напряжения в точке 2 и 3 будут 0,5Вольт. Напряжение на резисторе – как индикатор тока – будет 0,5 Вольт:

В системе, где все сопротивления идеально согласованы, не может быть никаких стоячих волн, и нет резонансов на графике Боде.
Теперь давайте изменим сопротивление на 999 МОм, чтобы имитировать открытую линию передачи. Мы определённо должны получить отражённые волны на каких то частотах, от 1мГц до 1МГц:

Здесь напряжение питания линии vm(1) и напряжение на нагрузке остаются на прежнем уровне – 1Вольт. Другие падения напряжения зависят от частоты(так же от 1мГц до 1 МГц). Есть пять примечательных частот вдоль горизонтальной линии: 0Гц, 250кГц, 500кГц, 750кГц, 1МГц. Изучим каждую точку с учётом напряжения и тока в различных точках схемы.

• 0Гц (на самом деле 1мГц) – сигнал практически постоянного тока, и цепь ведёт себя так же, как если бы было подано 1Вольт постоянного тока. Ток не течёт, так как указано нулевое падение напряжения на резисторе Zsource, график vm(1,2), и напряжение на источнике равно напряжение в конце линии vm(2) (напряжение между точкой 2 и точкой 0).

• На 250кГц мы видим нулевое напряжение в точке 2, максимальный ток от источника и полное напряжение на конце линии.

Вы можете быть удивлены, как это может быть? Как мы можем получить полное напряжение на открытом конце линии, если на входе нулевое напряжение? Ответ можно найти в парадоксе стоячей волны. На частоте 250кГц длина линии точно равна ¼ длины волны. Так как конец линии разомкнут, то не может быть никакого тока, но напряжение – будет. Таким образом, на конце провода будет узел для тока (ток равен нулю) и пучность для напряжения(максимальная амплитуда):

• На частоте 500кГц в линию укладывается ровно половина волны, и здесь мы видим ещё одну точку в которой ток равен нулю, а напряжение вновь имеет полную амплитуду:

• На частоте 750 кГц картина похожа на частоту 250кГц: напряжение на источнике равно нулю, и максимальный ток. ¾ волны укладывается в линии, в результате чего источник видит короткое замыкание в точке подключения к линии передачи даже не смотря на то, что на другом конце линии обрыв:

• Когда частота доходит до 1МГц, в линии укладывается один полный период волны. На данный момент, и ток, и напряжение в начале линии равны таковым в конце линии. И если в конце линии ток равен нулю (сопротивление равно 999 МОм), то и в начале линии ток тоже равен нулю. Напряжение на источнике равно напряжению на нагрузке. Фактически, источник видит разомкнутую цепь.

Аналогично короткое замыкание на конце линии генерирует стоячие волны, хотя узлы и пучности по току и напряжению меняются местами: На короткозамкнутом конце линии не будет напряжения (узел), но будет максимальный ток (пучность). Далее идёт моделирование SPICE и иллюстрации того, что происходит на всех интересных частотах: 0Гц, 250 кГц, 500кГц, 750кГц, 1 МГц. Короткое замыкание моделируется сопротивлением нагрузки 0 мкОм.

В обоих примерах(разомкнутая и короткозамкнутая линия) отражается вся энергия. 100 процентов падающей волны достигает конца линии и отражается обратно к источнику. Если, однако, линия передачи нагружена каким-то сопротивлением, будет разница между максимальными и минимальными значениями напряжения и тока вдоль линии.

Предположим, что мы нагрузили линию резистором 100 Ом вместо 75:

Построим модель для этого случая:

Если мы запустим другой SPICE анализ с выводом текстовых значений вместо графика мы можем обнаружить, что все интересные частоты остались теми же самими (Постоянный ток, 250кГц, 500кГц, 750кГц, и 1МГц):

На всех частотах напряжение на источнике в точке 1 равно 1Вольт, как и положено. Напряжение на нагрузке также остаётся постоянным, но имеет меньшую амплитуду (0,5714 Вольт). Однако, напряжение питания линии (точка 2, график v(2)) и ток (график v(1,2)) указывает, что ток от источника меняется в зависимости от частоты.

На нечётных гармониках основной частоты(250кГц и 750кГц) мы видим разные уровни напряжения в начале и конце линии, поскольку на этих частотах стоячие волны создают узел с одной стороны линии и пучность – с другой. В отличие от разомкнутой и короткозамкнутой линии, максимальные значения не достигают ни нуля, ни 100% от исходного сигнала. Но мы всё так же имеем точки с минимумом и максимумом напряжения. То же самое справедливо и для тока. Если нагрузочное сопротивление линии не соответствует волновому сопротивлению линии, мы будем иметь точки максимального и минимального тока на некоторых фиксированных точках линии передачи, соответствующие узлам и пучностям.

Один из способов выражения уровня стоячих волн – отношение максимальной амплитуды (в точке пучности) к минимальной амплитуде для напряжения или тока. Это отношение называется КСВ – коэффициент стоячей волны. Если на линии обрыв или короткое замыкание, то КСВ равен бесконечности, так как минимальная амплитуда будет равна нулю. В примере 75 Ом линии с нагрузкой 100 Ом КСВ будет равен 1,333: максимальное напряжение линии на 250 или 750кГц(0,5714 В) делённое на минимальное напряжение линии (0,4286 В).

КСВ также можно рассчитать, зная нагрузочное сопротивление и волновое сопротивление линии, делением большего значения на меньшее. В нашем примере 100Ω /75Ω = 1,333.

Линия с идеально согласованной нагрузкой будет иметь КСВ равный 1. Это считается идеалом не только из-за того, что отражённые волны – это энергия не достигшая нагрузки, но из-за высоких значений напряжения и тока: высокое напряжение может создать пробой в изоляции, а высокий ток повредить проводники.

Также, линия с плохим КСВ выступает в качестве антенны. Это нежелательно: такая антенна может навести помехи на близлежащие провода. Интересно, что антенны – это открытые линии передач, и работают они при КСВ как можно ближе к 1. Это значит, что вся энергия излучается.

Следующая фотография показывает точку соединения в линии связи радиопередатчика. Большие медные трубы с керамическим изолятором представляют из себя жёсткую коаксиальную линию с волновым сопротивлением 50 Ом.

Гибкий коаксиальный кабель с волновым сопротивлением 50 Ом. Белая пластиковая труба соединяет газ внутри труб: они запечатаны для защиты от влаги. Обратите внимание на плоские провода для соединения линий. Почему они не круглые? Это сделано из-за скин-эффекта, который делает бесполезной большую площадь поперечного сечения на больших частотах.

Как и многие линии связи, они работают на низком КСВ. Как мы увидим в следующем разделе, явление стоячих волн в линиях связи не всегда вредны, так как они могут быть использованы для полезной функции: преобразования импеданса.

Преобразование импеданса

Стоячие волны в резонансных точках короткозамкнутых или открытых линиях могут производить необычные эффекты. При длине линии ½ длины волны (и в кратное число раз больше) источник видит нагрузку как есть. На следующих иллюстрациях это показано:

В обоих случаях на концах линии пучность для напряжения и узел для тока. Линия имитирует нагрузку – бесконечное сопротивление, источник видит обрыв.
То же верно, если на линии короткое замыкание: в точке подключения источника будет минимум напряжения и максимум тока.

Однако, если длина линии равна четверти длины волны, источник при коротком замыкании на конце линии увидит обрыв, а оборванную линию будет видеть как короткозамкнутую.

Линия разомкнута, а источник видит короткое замыкание:

Линия замкнута, а источник видит обрыв:

На этих частотах линия передачи ведёт себя как трансформатор сопротивления, превращая бесконечное сопротивление в нуль и наоборот. Это происходит только в резонансных точках, когда в линию укладывается четверть волны и кратно больше(3/4, 5/4, 7/4, 9/4 …), но если частота известна и неизменна, то это явление может быть использовано для согласования разных волновых сопротивлений друг с другом.
Возьмём в качестве примера линию передачи 75Ω с нагрузкой 100Ω. Из численного моделирования SPICE определим какое сопротивление видит источник:

Простое уравнение связывает волновое сопротивление линии(Z0), импеданс нагрузки(Zload) и входной импеданс(Zinput) для несогласованной линии на нечётной гармоники:

Рассмотрим практический пример, когда надо согласовать нагрузку 300Ω и источник 75Ω. Всё, что нам нужно сделать, так это вычислить правильное волновое сопротивление линии и длину для четверти длины волны на 50МГц.
Во-первых, рассчитаем сопротивление линии. Z0 = Sqrt(75*300) = 150Ω.

Во-вторых, надо рассчитать длину линии. Предположим, коэффициент укорочения 0,85, скорость света 300 тысяч км/сек, скорость сигнала будет 255 тысяч км/сек. Делим эту скорость на частоту сигнала и получаем длину волны 5,1 метр. Нам нужно четверть длину волны – это будет 1,275м.

Вот схема для SPICE анализа:

Мы можем указать длину линии по задержке сигнала. При частоте 50МГц период будет 20нс. Время задержки на четверть длины волны будет 5нс.

На частоте 50МГц в точке 1-2 падает ровно половина – 0,5В, а вторая половина напряжения падает на линии связи в цепи 2-0. Это означает, что источник видит в нагрузке 75Ω. Нагрузка, однако, получает не половину, а 1 Вольт (напряжение v(3)). На сопротивлении 75Ω падает 0,5В или 3,333мВт – столько же, сколько и на нагрузке 300 Ом при напряжении 1В. В соответствии с теоремой максимальной мощности (теоремой Якоби) на нагрузке рассеивается максимальная возможная мощность. Линия передачи длиной в четверть волны, волновым сопротивлением 150Ω и нагрузкой 300Ω ведёт себя как 75Ωнагрузка.

Конечно, это всё будет работать лишь на 50МГц и нечётных гармониках. Для других частот линию передачи придётся удлинять или укорачивать.

Как ни странно, линия той же длины будет согласовывать 300Ω источник и 75Ω нагрузку. Это показывает, что явление преобразования импеданса в корне отличается от принципа работы трансформатора с двумя обмотками.

В этом случае на внутреннем сопротивлении источника упадёт 0,5В, или 833мкВт. На нагрузке будет 0,25В – те же 833мкВт.

Этот метод часто используется для согласования линий передачи и антенны в радиопередачиках, так как там частота часто известна и неизменна. Минимальная длина преобразователь импеданса соответствует ¼ длины волны.

📽️ Видео

образование стоячих волнСкачать

«Стоячая волна» на экране осциллографаСкачать

Поперечные стоячие волны на проводе с переменным токомСкачать

Узлы и пучности. Стоячая волна на длине проводника. Визуализация.Скачать

Физика. 11 класс. Упругие механические волны. Уравнение бегущей и стоячей волны /16.11.2020/Скачать

Пучности и узлыСкачать

Лекция 10.5. Секрет сверхединицы стоячей волныСкачать

Пучность и узлы сфиральной стоячей волны: 3D-моделированиеСкачать

Измерение скорости светаСкачать

Дециметровая стоячая волнаСкачать

Галилео. Эксперимент. Стоячая волнаСкачать

Поющая ТрубаСкачать

Горизонтальные стоячие волныСкачать

смещение пучностей и узлов в резонаторе со стоячей волнойСкачать

Наглядная визуализация звуковых волнСкачать

Стоячие волны на кольцеСкачать

Волновой резонанс ДОХОДЧИВО и просто; 1/4 , 1/2 длины волныСкачать