Архимедова спираль — плоская кривая сформированная траекторией произвольной точки, которая размеренно двигается по лучу берущему свое начало в O, одновременно с этим сам луч размерено обращается вокруг O. Перефразировав получаем, расстояние ρ пропорционально углу оборота φ луча. Обороту луча на одинаковый угол соответствует одно и то же увеличение ρ.
Уравнение, характеризующее Архимедову спираль, в полярной системе координат:
где k — сдвиг точки M по лучу r, при обороте на угол, который равен одному радиану.
Обороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ.
Число a — шаг спирали.
На основании этого уравнение Архимедовой спирали можно представить таким образом:
Когда поворачиваем луч против движения часовой стрелки, получаем правую спираль, когда поворачиваем — по часовой стрелке — левую спираль. При положительной величине φ формируется правая спираль, отрицательной — левая спираль.
Видео:Длина параболы и спирали Архимеда: что у них общего?Скачать
Спираль Архимеда
Первый ученый который открыл и изучил свойства этой линии, был великий математик и философ из древней Греции, Архимед. Его именем она и была названа.
Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать
Построение спирали Архимеда
Некоторая прямая UV изначально совпадает с прямой XX`. Прямая UV равномерно вращается относительно точки O. По прямой UV равномерно перемещается точка M отдаляясь от точки O. В результате точка M, перемещаясь по вышеуказанным правилам, описывает линию — спираль Архимеда.
Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать
Шаг спирали Архимеда
При повороте прямой UV из любого положения на некоторый угол Δφ точка M смещается на расстояние Δρ. Смещение MM1 происходит за один оборот прямой UV, и всегда равно одному и тому же числу. Это число называется шагом спирали Архимеда
Видео:Полярная система координатСкачать
Полярное уравнение спирали Архимеда
В этом уравнении можно перейти от шага спирали Архимеда a к параметру спирали Архимеда k
Тогда уравнение спирали примет вид
При повороте прямой UV на один радиан, точка M смещается на расстояние равное Параметру спирали Архимеда.
Видео:§6 Спираль АрхимедаСкачать
Упражнения
1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .
2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .
3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от декартовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением
.
4. Докажите, что уравнение
задает эллипс, если 0 
> 1.
5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?
6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?
7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = 
.
8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 
2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.
9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | 
|.
10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = 
.
11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = 
.
12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.
1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.
2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.
3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.
4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.
5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.
6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.
7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.
8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.
10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.
🔥 Видео
§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать
Полярная система координат.Скачать
Спираль Архимеда построениеСкачать
Линии в полярных координатах и параметрически заданныеСкачать
Полярная система координатСкачать
Видеоурок "Полярная система координат"Скачать
Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать
Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать
Площадь 11 1Скачать
графики спираль Архимера и розы Гранди в ExcelСкачать
Скорость и ускорение точки в полярных координатахСкачать
Почему простые числа образуют спирали? [3Blue1Brown]Скачать
![Почему простые числа образуют спирали? [3Blue1Brown]](https://i.ytimg.com/vi/DxntHp7-wbg/0.jpg)
Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Уравнения линий второго порядка в полярных координатахСкачать
Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать
Площади 12Скачать
