Уравнение спирали архимеда в полярных координатах

Уравнения кривых. Спираль Архимеда.

Архимедова спираль — плоская кривая сформированная траекторией произвольной точки, которая размеренно двигается по лучу берущему свое начало в O, одновременно с этим сам луч размерено обращается вокруг O. Перефразировав получаем, расстояние ρ пропорционально углу оборота φ луча. Обороту луча на одинаковый угол соответствует одно и то же увеличение ρ.

Уравнение спирали архимеда в полярных координатах

Уравнение, характеризующее Архимедову спираль, в полярной системе координат:

где k — сдвиг точки M по лучу r, при обороте на угол, который равен одному радиану.

Обороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ.

Число aшаг спирали.

На основании этого уравнение Архимедовой спирали можно представить таким образом:

Когда поворачиваем луч против движения часовой стрелки, получаем правую спираль, когда поворачиваем — по часовой стрелке — левую спираль. При положительной величине φ формируется правая спираль, отрицательной — левая спираль.

Видео:Длина параболы и спирали Архимеда: что у них общего?Скачать

Длина параболы и спирали Архимеда: что у них общего?

Спираль Архимеда

Первый ученый который открыл и изучил свойства этой линии, был великий математик и философ из древней Греции, Архимед. Его именем она и была названа.

Уравнение спирали архимеда в полярных координатах

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Построение спирали Архимеда

Некоторая прямая UV изначально совпадает с прямой XX`. Прямая UV равномерно вращается относительно точки O. По прямой UV равномерно перемещается точка M отдаляясь от точки O. В результате точка M, перемещаясь по вышеуказанным правилам, описывает линию — спираль Архимеда.

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Шаг спирали Архимеда

При повороте прямой UV из любого положения на некоторый угол Δφ точка M смещается на расстояние Δρ. Смещение MM1 происходит за один оборот прямой UV, и всегда равно одному и тому же числу. Это число называется шагом спирали Архимеда

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Полярное уравнение спирали Архимеда

В этом уравнении можно перейти от шага спирали Архимеда a к параметру спирали Архимеда k

Тогда уравнение спирали примет вид

При повороте прямой UV на один радиан, точка M смещается на расстояние равное Параметру спирали Архимеда.

Видео:Полярная система координат.Скачать

Полярная система координат.

Упражнения

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

Уравнение спирали архимеда в полярных координатах .

4. Докажите, что уравнение

Уравнение спирали архимеда в полярных координатах

задает эллипс, если 0 Уравнение спирали архимеда в полярных координатах Уравнение спирали архимеда в полярных координатах > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = Уравнение спирали архимеда в полярных координатах .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a Уравнение спирали архимеда в полярных координатах 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | Уравнение спирали архимеда в полярных координатах |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = Уравнение спирали архимеда в полярных координатах .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = Уравнение спирали архимеда в полярных координатах .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

📺 Видео

§6 Спираль АрхимедаСкачать

§6 Спираль Архимеда

Спираль Архимеда построениеСкачать

Спираль Архимеда построение

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координат

Линии в полярных координатах и параметрически заданныеСкачать

Линии в полярных координатах и параметрически заданные

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Уравнения линий второго порядка в полярных координатахСкачать

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Уравнения линий второго порядка в полярных координатах

Скорость и ускорение точки в полярных координатахСкачать

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

графики спираль Архимера и розы Гранди в ExcelСкачать

графики спираль Архимера и розы Гранди в Excel

Площадь 11 1Скачать

Площадь 11 1

Почему простые числа образуют спирали? [3Blue1Brown]Скачать

Почему простые числа образуют спирали? [3Blue1Brown]

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.

Площади 12Скачать

Площади 12
Поделиться или сохранить к себе: