Уравнение совместимости деформации сопромат примеры

Содержание:

Стержневая система в широком смысле слова — это всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. К таким конструкциям, в частности, относятся фермы, рамы, балки.

Напомним, что статически неопределимыми называют конструкции (стержневые системы) реакции опор и внутренние силовые факторы, в которых, не могут быть определены при помощи уравнений равновесия (статики).

Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии.

Цель расчета бруса и стержневой системы (состоящей из отдельных брусьев — стержней), как и любой конструкции — определение размеров поперечных сечении стержней, при которых обеспечивается прочность или жесткость, или и то и другое. Исходя из условий прочности и жесткости при центральном растяжении-сжатии, видим, что в первую очередь необходимо знать экстремальное значение продольной силы.

На рис. 13.1 а стержень опирается на две жесткие опоры. Возникают две реакции и (рис. 13.1 б), величина и направление которых неизвестны, т.к. можно составить только одно уравнение равновесия. В уравнении — два неизвестных осевых усилия:

Задача один раз статически неопределима. Одна связь (опора) — «лишняя».

На рис. 13.1 в — стержневая система, составленная из трех стержней, соединенных шарнирно.

Один раз статически неопределимые системы

Пример решения задачи 1

В стержнях действуют три усилия, направленные вдоль этих стержней. Можно составить только два уравнения равновесия (рис. 13.1 г):

Задача один раз статически неопределима, одна связь (стержень) — «лишняя».

Возможно вам будут полезны данные страницы:

«Лишними» такие связи называют потому, что они не являются необходимыми обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяемости (деформа-стержней и соответствующие ей перемещения отдельных точек систать только от действия внешних сил).

Наличие этих связей обусловлено требованиями к прочности и жесткости конструкции или условиями ее работы.

Для решения задачи по определению неизвестных усилий (говорят — для раскрытия статической неопределимости) необходимо составить дополнительные уравнения. Их количество равно степени статической неопределимости. неизвестных или степень статической неопределимо разностью между числом неизвестных усилий и числом статики. Дополнительные уравнения составляются на основе общего принципа: услов! iccTHocTH деформаций: т.к. стержни соединяются между собой определенным обршарнирно, жестко или в соединении имеются некоторые зазоры, стержни этой cистемы деформируются совместно.

Методику раскрытия статической неопределимости рассмотрим на примере системы (рис. 13.1 в).

Примем, что площадь поперечного сечения боковых стержней одинакова а средний стержень имеет площадь

• 1. Силовая сторона задачи. Составляют уравнения равновесия (в данном случае -два). Они нами составлены ранее. Имеем три неизвестных усилия и два уравнения статики. Система один раз статически неопределима.
• 2. Геометрическая сторона задачи. Рассмотрим перемещения стержней, сходящихся в точке (рис. 13.2). Под действием внешней силы исследуемая точка переместится в положение Концы стержней соединены шарнирно в точке поэтому они получат соответствующие удлинения. Причем эти стержни деформируются совместно, в соответствии с геометрией системы.

Мысленно рассоединим стержни в ненагруженном состоянии (в т. и соединим их в положении после нагружения (в т. Концы крайних стержней переместятся по дуге из т. соответственно в т. и, удлинившись, соединятся в т. Вертикальное перемещение точки весьма мало; угол равен углу дуги можно заменить прямыми, поэтому углы — прямые.

Ввиду симметрии системы, абсолютные удлинения крайних стержней будут равны между собой: Геометрически эти деформации определяются отрезками Средний стержень удлинится на величину отрезка и его удлинение

Рассматривая прямоугольные треугольники можем записать соотношение сторон:

Уравнение (13.2) и есть уравнение совместности деформаций рассматриваемой системы.

3. Физическая сторона задачи. В уравнении совместности деформаций выразим абсолютную деформацию через продольные силы по закону Гука:

Ввиду малости перемещений длина стержней мало меняется и

После преобразований получим зависимость

4. Решение системы уравнений (синтез). Решаем систему уравнений (13.1 и 13.3) и после преобразований получим зависимости, с помощью которых определяются искомые усилия в стержнях:

Видим, что с увеличением площади среднего стержня (с увеличением коэффициента усилие в нем уменьшится; усилия в крайних стержнях также изменятся. В этом отличительная особенность статически неопределимых систем от статически определимых:

повышение жесткости одних элементов приводит к увеличений усилий и, обычно, к снижению усилий в других элементах. В статически определимых системах усилия в элементах не зависят от их жесткости.

Уравнение равновесия составлено нами ранее:

Рассмотрим геометрическую сторону задачи и составим уравнение совместности деформаций для опорных сечений, в которых перемещения равны нулю.

Отбросим мысленно нижнюю опору (рис. 13.3 б). Это опорное сечение станет свободным и переместится вниз за счет абсолютной линейной деформации участка длиной под действием силы С другой стороны, рассматриваемое опорное сечение — неподвижно, следовательно, перемещение его должно равно нулю. Это условие будет выполняться, если реакция на опоре будет по величине и направлению такой, что абсолютная линейная деформация от ее действия окажется равной по величине и противоположной по направлению деформации Условие совместности деформаций запишется в виде:

По закону Гука:

Таким образом, Статическая неопределимость раскрыта.

13.1.1. Расчеты в связи с наличием натягов при сборке конструкций. На практике встречаются и другие задачи, например связанные с неточностью изготовления элементов (стержней).

Неточность изготовления (даже незначительные погрешности) требует приложения дополнительных усилий для сборки узла, при этом возникают натяги и соответствующие монтажные напряжения.

Пример 1 — средний стержень в стержневой системе изготовлен короче проектного размера на малую величину (рис. 13.4 а). Для сборки стержней в узле необходимо средний стержень растянуть, а крайние стержни сжать (рис. 13.4 6).

Неизвестны два усилия. Задача 1 раз статически неопределима. (13.10) Рассмотрим геометрическую сторону задачи (рис. 13.4 в). Крайние стержни будут укорачиваться на величину а средний стержень удлинится на величину Тогда уравнение совместности деформаций запишется в виде:

Ход дальнейшего решения аналогичен порядку решения в предыдущих примерах. Видим, что средний стержень, еще до нагружения внешней силой будет растянут некоторой нагрузкой, т.е. напряжения от натяга будут суммироваться с напряжениями от эксплуатационных нагрузок, что не учитывается в обычных расчетах и может привести к потере прочности.

В качестве примера положительного эффекта от натяга можно привести примеры монтажа бандажа на колесо (металлическое кольцо разогревается и насаживается на колесо, при охлаждении кольцо обжимает колесо), а также предварительно напряженные железобетонные конструкции (в растянутой зоне бетонной плиты располагают предварительно напряженную сжимающими напряжениями стальную арматуру).

Пример решения задачи 2.

Стержень, имеющий жесткость изготовлен короче заданной длины на величину (рис. 13.5 а). Вид расчетной схемы и порядок решения будут зависеть от величины перемещения нижнего сечения (определяемого величиной и положением по длине силы а также жесткостью стержня):

а) величина перемещения нижнего сечения меньше величины зазора — абсолютная линейная деформация стержня Задача статически определима.

б) величина перемещения нижнего сечения больше или равна величине зазора — абсолютная линейная деформация стержня Задача статически неопределима.

Таким образом, в первую очередь, необходимо определить величину перемещения нижнего сечения, которое будет определяться деформацией участка бруса длиной от действия силы

Решение для случая традиционно для решения статически определимых задач.

В случае, если необходимо раскрыть статическую неопределимость.

На опорах возникнут две реакции, величины которых неизвестны (рис. 13.5 б). Уравнение равновесия:

Уравнение совместности деформаций получим, рассматривая схему (рис. 13.5 б):

В соответствии с законом Гука

Получаем: Статическая неопределимость раскрыта.

Расчеты в связи с изменением температуры. Напряжения в сечении стержня также будут возникать даже при отсутствии внешних нагрузок.

Рассмотрим стержень длиной и площадью изготовленный из материала с модулем упругости Оба конца стержня жестко защемлены (рис. 13.6 а). Начальная температура стержня Определить напряжения, которые возникнут в сечении стержня, если он нагревается до температуры Пусть градиент температуры будет положительным:

Как известно, при нагреве материалы расширяются, т.е. стержень будет стремиться удлиниться и распирать опорные сечения, но из-за наличия этих жестких опор, в них возникнут реакции

Уравнение равновесия:

Стержень один раз статически неопределим.

В связи с жестким опиранием, длина стержня изменяться не будет. Т.е. перемещения опорных сечений равны нулю, следовательно, температурная линейная деформация отсутствие одной из опор, например правой (рис. 13.6 б), стержень удлинится на величину Это удлинение должно компенсироваться абсолютной линейной деформацией от действия реакции

Уравнение совместности деформаций:

По известной из курса физики формуле определим температурную деформацию стержня:

где — коэффициент линейного температурного расширения материала стержня, град

По закону Гука Сила сжимает стержень!

Приравняв полученные зависимости, определим значение реакции на опоре и соответствующие температурные напряжения:

Отметим, что температурные (при нагреве стержня) напряжения по знаку — сжимающие. Следовательно, в случае охлаждения такого стержня нормальные напряжения будут растягивающими. Кроме того, видим, что на величину напряжений не влияет длина стержня. Эти обстоятельства следует учитывать в случае использования хрупких материалов, а также, если стержень подвергается действию изменяющихся по величине и знаку температур.

Отметим, что на практике встречаются достаточно сложные схемы стержневых систем, и в каждом конкретном случае задача сводится к геометрическому анализу деформаций и составлению соответствующих уравнений совместности деформаций.

В заключение рассмотрим еще один пример.

Пример решения задачи 2.

Абсолютно жесткий брус (рис. 13.7 а) на стержнях, прикрепленных шарнирами, и нагружен силой Площадь стержней, соответственно, равна Длина стержней Определить значение допускаемой силы из расчета по допускаемым напряжениям и из расчета по разрушающим (предельным) нагрузкам. Материал стержней — сталь

Можно составить два уравнения равновесия для силовой схемы (рис. 13.7 б). Т.к. стержни соединены с жестким брусом посредством шарниров, то усилия в стержнях будут направлены вдоль оси этих стержней:

Первое из них включает и неизвестную реакцию, т.е. имеем три неизвестных. Во втором уравнении неизвестных два — усилия в стержнях. Следовательно, в решении удобнее использовать второе уравнение равновесия.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи (рис. 13.7 в). Под действием внешней силы брус, оставаясь прямым (абсолютно жесткий брус — не деформирующийся), повернется вокруг шарнира на некоторый угол. Стержни в местах крепления удлинятся, т.е. точки и переместятся вертикально в положения Отрезки — абсолютные линейные деформации стержней. Из подобия треугольников имеем:

Получили уравнение совместности деформаций.

Подставляем в полученное уравнение усилия в соответствии с формулой закона Гука (физическая сторона задачи).

Решаем систему уравнений Получаем значения усилий в стержнях в долях силы

Расчет по допускаемым напряжениям.

Из условия прочности с учетом, что максимальные нормальные напряжения возникают во втором стержне, имеем:

Решаем уравнении относительно силы

Расчет по разрушающей нагрузке (см. 5.2.2).

Материал стержней — сталь, т.е. пластичный материал. Следовательно, после достижения напряжения во втором стержне (как в более нагруженном) значения предела текучести, этот стержень нагружаться не будет (напряжения не растут, увеличиваются деформации — см. диаграмму растяжения на площадке текучести). Нагрузку будет воспринимать первый стержень. Таким образом, и уравнение (5.30) примет вид:

Откуда получаем значение силы, при котором в обоих стержнях напряжения достигнут предела текучести — предельная грузоподъемность системы:

Разделим предельное значение силы на коэффициент запаса и получим допускаемое значение силы:

Видим, что при расчете во втором случае допускаемая нагрузка выше, чем в первом на величину т.е. расчет по разрушающим нагрузкам дает возможность в большей степени использовать свойства материала и особенности стержневой системы.

Основы расчета статически неопределимых систем, работающих на изгиб. Анализ структуры простейших стержневых систем

Указанный анализ проведем на примере рам. В зависимости от взаимного расположения осей стержней и силовых плоскостей, рамы подразделяются на:

плоские стержневые системы (рамы, балки) — оси стержней и все внешние силы лежат в одной плоскости (рис. 13.8 а, б)

плоско-пространственная системы — оси составляющих элементов в недеформиро-ванном состоянии лежат в одной плоскости, а внешние нагрузки лежат в другой — перпендикулярной плоскости (рис. 13.8 в);

пространственная система — силы и оси стержней могут находиться в произвольно расположенных плоскостях (рис. 13.8 г).

Понятие о степенях свободы и связях. Известно, что в пространстве тело обладает шестью степенями свободы, а в плоскости — тремя. Независимая координата определяющая положение тела в плоскости или пространстве , называется степенью свободы.

Ограничения которые накладываются на тело называются связями. Каждая связь снимает одну степень свободы.

Количество связей накладывемых на тело ( стержневую систему) может быть любым . Для обеспечения равновесия и неподвижности тела в плоскости или пространстве необходимо и достаточно снять соответствующие количество степеней свободы — иначе говоря наложить соответсвующие число связей Эти связи — необходимые .

Всякая связь наложенная сверх необходимой — дополнительная ( лишняя) связь . В сопротивлении материалов и строительной механике связи разделяются на внешние ( опорные) и внутренние

Опорные связи — связи, накладываемые опорными устройствами, (рис. 13.9 а):

• шарнирно-подвижная опора накладывает одну связь (снимает одну степень свободы);

• шарнирно-неподвижная — соответственно две;

• в заделке на опорное сечение стержня накладывается три связи.

Внутренние связи ограничивают взаимное перемещение стержней в сечениях, где они соединяются (рис. 13.9 б):

• жесткое соединение двух стержней накладывает три связи; • шарнирное соединение двух стержней — две связи;

• три стержня, соединенные жестко, — шесть связей;

• три стержня, соединенные шарнирно, — четыре связи. Таким образом, шарнир снимает одну связь.

Анализ рис. 13.9 б позволяет сделать вывод о том, что шарнир, включенный в узел, где сходятся стержней, снижает степень статической неопределимости на

Определение степени статической неопределимости. Реакции, возникающие в «лишних» связях — «лишние» неизвестные. Уравнений равновесия оказывается недостаточно для решения задачи — определения опорных реакций. Как известно, такие задачи называют статически неопределимыми. Степень статической неопределимости определяется числом лишних связей.

В строительной механике используются различные формулы для определения степени статической неопределимости или числа лишних связей Л. Приведем одну из них:

где — число стержней (в строительной механике — дисков).

Рассмотрим примеры стержневых систем — плоских рам (рис. 13.10) и определим степень их статической неопределимости расчетом по формуле (13.18).

число лишних связей т.е. система статически определима;

т.е. система 2 раза статически неопределима (внешним образом, т.к. лишними являются 2 опорные связи);

т.е. система 3 раза статически неопределима (внутренним образом, т.к. лишними являются 3 внутренние связи).

Заметим, что жесткий замкнутый контур трижды статически неопределим (внутренним образом);

т.е. система 6 раз статически неопределима (3 раза внешним образом и 3 раза — внутренним образом). Заметим, что в данной схеме фактически имеем два жестких замкнутых контура;

Геометрическая и кинематическая неизменяемость. Геометрический и кинематический анализ стержневых систем подробно излагается в дисциплине «Строительная механика».

Под действием нагрузок сооружение (стержневая система) деформируется, и его точки перемещаются (при этом изменяется также и форма сооружения).

Если указанные перемещения возможны только за счет деформации стержней (элементов сооружения), то стержневая система называется геометрически неизменяемой (рис. 13.11 а). Иначе говоря, в элементах конструкции должны отсутствовать перемещения точек, не связанные с деформацией этих элементов под действием нагрузки. В сопротивлении материалов и строительной механике рассматриваются только такие конструкции (в том числе и стержневые системы).

а — система соединенных между собой ные перемещения стержней деформации. Геометрически изменяемые системы (рис. 13.11 б) — это по сути механизмы. Перемещения точек элементов такой системы возможны без деформирования стержней (элементов конструкции).

изменяемая система — система соединенных между собой стержней, допускающая конечные перемещения стержней

без их деформации.

Кинематически изменяемая система (ее еще называют мгное мая система)- система соединенных между собой стержней, допускающая мации тела бесконечно малые относительные перемещения, после чего система

становится неизменяемой. Геометрическими признаками мгновенно изменяемых систем являются следующие:

• шарниры или шарнир и стержень находятся на одной прямой;

• стержни параллельны или пересекаются в одной точке.

Метод сил. Основная система.

Для раскрытия статической неопределимости стержневых систем в машиностроении применяют метод сил.

Неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил» (в строительной механике применяется также и метод перемещений).

Метод сил заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от лишних связей, а их действие заменяется усилиями по направлению этих связей.

Величина усилий подбирается таким образом, чтобы перемещения по их направлениям соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему

Рассмотрим метод сил на примере статически неопределимой рамы. Решение задачи (раскрытие статической неопределимости) начинаем с отбрасывания лишних связей. Система освобождается от лишних связей и становится статически определимой.

Статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем отбрасывания «лишних» связей — основная система.

Таких систем можно составить сколь угодно много. Примеры основных систем, составленные для заданной статически неопределимой системы (рис. 13.12 а) приведены на рис. 13.12 б-з. Схема (рис. 13.12 и) — не является основной, т.к. три шарнира располагаются на одной прямой. Это кинематически изменяемая система.

Продолжая решение задачи, в основной системе приложим внешние нагрузки и усилия (силовые факторы) по направлению отброшенных связей, которые мы назвали «лишними» неизвестными. Усилиями по направлению отброшенных связей являются силы и моменты. Силы ограничивают линейные перемещения, а моменты — соответствующие угловые перемещения.

Направление усилий выбирают произвольно:

• вправо или влево;

• по часовой или против часовой стрелки.

Неизвестные усилия обозначаем — номер силового фактора. Число этих неизвестных будет соответствовать степени статической неопределимости, причем направления этих связей являются взаимными.

Основная система, в которой приложены внешние нагрузки и усилия по направлению отброшенных связей называется эквивалентной системой.

Каждой основной системе будет соответствовать своя эквивалентная система (рис.13.13).

Рассмотрим, например, заданную схему (рис. 13.12 а), выберем для нее основную (рис. 13.12 б) и изобразим эквивалентную системы (рис. 13.14). В заданной схеме линейные перемещения (горизонтальное и вертикальное) на опоре и линейные и угловое перемещения в сечении на верхнем ригеле запрещены. Но они же разрешены в основной системе. Неизвестные усилия, показанные в эквивалентной системе, по величине и направлению должны обеспечить равенство нулю указанных перемещений.

Взаимное смещение точек системы условимся обозначать следующим образом

где:

первый индекс — направление по которому определяется перемещение, второй индекс — причина, вызвавшая это перемещение,

— направление перемещения (по направлению неизвестных сил

— сила, вызвавшая перемещение (неизвестные силы

— любая система внешних нагрузок.

В точках (рис. 13.14) перемещения будут определяться действием всех сил, приложенных к системе — как внешних нагрузок так и неизвестных усилий При этом, в соответствии с особенностями расчетной схемы, эти перемещения должны быть равны нулю. Запишем, систему уравнений

Используя принцип независимости действия сил, для любого количества неизвестных можно записать:

В этих формулах индексы — номера неизвестных сил.

— единичное перемещение по направлению силы от действия единичной силы

— единичное перемещение по направлению силы от действия единичной силы

— единичное перемещение по направлению силы от действия единичной силы

— соответственно, перемещения в направлении единичных сил от действия системы внешних сил

Известно, что перемещения пропорциональны действующим силам. Тогда

Обобщая, имеем

Учитывая (13.21) перепишем (13.20) и получаем:

каноническое уравнение метода сил

— главные коэффициенты уравнений,

— побочные коэффициенты уравнений (по теореме Максвелла их значения попарно равны),

— свободные члены уравнений.

Количество записываемых канонических уравнений метода сил соответствует количеству «лишних» неизвестных (степени статической неопределимости). Остается определить коэффициенты уравнений и, решив систему уравнений, найти значения и направления

Для понимания геометрического смысла коэффициентов уравнений рассмотрим два раза статически неопределимую раму (рис. 13.15), где графически покажем рассмотренные выше перемещения.

Коэффициенты определяются методом Мора, чаще перемножением эпюр по способу Верещагина.

При определении коэффициентов канонических уравнений методом перемножения эпюр (по Верещагину):

1. Строим единичные эпюры изгибающих моментов. Единичные эпюры строятся для основной системы от каждого «лишнего» неизвестного, т.е. в основной системе поочередно прикладываются неизвестные, равные единице, определяются реакции и строится единичная эпюра.

Единичных эпюр, должно быть столько, какова степень статической неопределимости рамы.

Получим единичные эпюры изгибающих моментов

2. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов. Эта эпюра также строится для основной системы: в этой системе прикладываются все внешние нагрузки (силы, моменты, распределенные нагрузки), которые имеются на заданной схеме, определяются опорные реакции и стоится грузовая эпюра

3. Перемножаем эпюры по способу Верещагина и находим значения коэффициентов канонических уравнений:

главные коэффициенты получаем, перемножая единичные эпюры «сами на себя», т.е. в качестве грузовой рассматривается та же единичная эпюра: Или по формуле Верещагина

побочные коэффициенты определяются перемножением единичных эпюр в соответствии с записью т.е. одна из единичных условно считается грузовой. По Верещагину

свободные члены определяются перемножением грузовой эпюры, поочередно, на единичные в соответствии с записью По Верещагину

4. Подставляем значения вычисленных коэффициентов в систему канонических уравнений, решаем ее и определяем значения

Если значения некоторых неизвестных получаем со знаком минус, это значит, что действительное направление их обратно по отношению к принятому в эквивалентной системе. Желательно при продолжении решения (при построении окончательных эпюр) поменять направление этих неизвестных.

5. В эквивалентной системе вместо неизвестных усилий прикладываем их значения (в положительном направлении), определяем опорные реакции и строим эпюры

6. Проводится проверка правильности расчетов (см. 11.3.2).

Расчет статически неопределимых рамных систем

Рациональный выбор основной системы.

Основная система (удовлетворяющая выше приведенным требованиям) может быть любой, но трудоемкость расчетов будет различной:

а) учитывая, что в процессе решения нужно строить и перемножать эпюры, лучше выбирать такой вариант основной системы, для которого легче эти эпюры строить;

б) протяженность эпюр и их очертания должны быть, по возможности, простыми;

в) для некоторых схем рам возможно использование свойств симметрии и кососим-метрии (рис.13.16).

Положительный эффект учета свойств симметрии и кососимметрии поясним на примере (рис. 13.17). В заданной схеме рамы приложена кососимметричная нагрузка. Основная система и неизвестные усилия являются симметричными.

Прикладываем в основной системе поочередно неизвестные усилия и внешнюю нагрузку и строим эпюры изгибающих моментов. Получаем симметричные и кососимметричные эпюры.

Следовательно, соответствующие коэффициенты канонических уравнений будут равны нулю, и решение этих уравнений упрощается. Например:

Таким образом, в нашем примере будут равны нулю коэффициенты:

и система канонических уравнений

Следовательно Получим одно уравнение:

Таким образом, вместо решения системы трех уравнений, достаточно решить одно уравнение. Соответственно, вместо трижды статически неопределимой системы имеем один раз статически неопределимую систему.

В том случае, если в рассмотренном примере внешние нагрузки будут приложены симметрично (так, как показано на рис. 13.16 ), то и эпюра будет симметричной. Тогда

Получаем систему уравнений

Видим, что в этом случае только равно нулю, т.е. необходимо решать систему двух уравнений.

Проверка правильности расчетов.

Проверка должна проводиться на всех этапах решения:

• правильность выбора основной системы; соответствие эквивалентной системы выбранной основной; правильность определения реакций во всех расчетных схемах; правильность построения эпюр: единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов;

правильность определения коэффициентов канонических уравнений; правильность решения системы уравнений;

• правильность построения окончательных эпюр

Однако, подтверждением правильности решения задачи, является так называемая деформационная проверка. Деформационная проверка заключается в том, что исполнитель расчета должен убедиться, что перемещения по направлению любой из отброшенных связей.

Для этого окончательную эпюру изгибающих моментов перемножают поочередно на каждую из единичных эпюр. И желательно на те единичные, которые не использовались в расчете, т.е. для другой основной системы. Более надежной является проверка, которая проводится путем сравнения некоторых сумм коэффициентов уравнений (полученных в расчете) и результатов перемножения эпюр.

Дополнительно строят суммарную единичную эпюру Ее легко построить графически, суммировав единичные эпюры

А) построчная проверка заключается в сравнении сумм коэффициентов по строкам с результатом перемножения суммарной единичной эпюры с каждой из единичных:

Б) универсальная проверка заключается в сравнении суммы всех главных побочных коэффициентов с результатом перемножения суммарной единичной эпюры самой на себя:

Рассмотрим пример расчета статически неопределимой плоской рамы методом сил.

Для рамы (рис. 13.18 а) построить эпюры Определить вертикальное перемещение точки

1. Определяем степень статической неопределимости

2. Выбираем основную систему и строим для нее эквивалентную систему

3. Записываем систему из двух канонических уравнений метода сил:

4. Строим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов. Для уменьшения объема рисунка совместили единичные и грузовую схемы с соответствующими эпюрами.

5 Метод Верещагина определяем коэффициенты канонических уравнений

Коэффициенты вида имеют размерность В данной задаче все коэффициенты безразмерны, т.к. нагрузки и размеры заданы в общем виде. При перемножении эпюр учитываем общие границы участков.

6. Подставляем найденные значения коэффициентов в систему канонических уравнений. Определяем значения

7. Прикладываем найденные значения неизвестных усилий в эквивалентной системе (рис. 13.18 б). Вслучае если найденное значение неизвестного усилия получаем со знаком (-), его направление меняем на противоположное.

8. Строим эпюры

9. Контроль правильности построения эпюр и всего расчета (деформационная проверка).

9.1. Перемножаем по методу Верещагина эпюру поочередно на единичные эпюры и определяем вертикальное и горизонтальное перемещения шарнирно неподвижной опоры.

Перемножим эпюры

Погрешность расчета (в сравнении с нулем):

Перемножим эпюры

Погрешность расчета (в сравнении с нулем):

Решение выполнено правильно. Рассмотрим другой возможный вариант основной системы (рис. 13.19).

Видим, что очертания эпюр совпадают с такими же единичными эпюрами на рис. 13.18 (отличаются только значения ординат на эпюре Следовательно, и результаты перемножения совпадут.

Правильность решения задачи подтверждается.

Проведем проверки, рекомендованные ранее. Для этого построим суммарную единичную эпюру (рис. 13.20), сложив единичные эпюры (см. рис. 13.18).

Универсальная проверка:

Результаты проверки подтверждают правильность решения задачи.

На странице -> решение задач по сопротивлению материалов (сопромат) собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам сопротивления материалов.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Расчёт стержневой системы. Жесткий брус. Растяжение. СопроматСкачать

ПроСопромат.ру

Видео:Расчет статически неопределимой стержневой системы. Уравнение совместимости деформацийСкачать

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Видео:Определение усилий, напряжений и перемещений. СопроматСкачать

Архив рубрики: Статически неопределимые задачи. Р-С

Видео:29. Жесткий брус. Растяжение-сжатие ( практический курс по сопромату )Скачать

Расчет статически неопределимой стержневой системы

Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.

1. Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.

В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции R_А и Н_А. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N₁ и N₂. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N₁ и N₂ направим от сечения.

Составляем уравнения равновесия

Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.

Схема деформаций

По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС₁ и АВВ₁. Из подобия треугольников АВВ₁ и АСС₁ запишем соотношение:

, где ВВ₁=Δℓ₁ (удлинение первого стержня)

Теперь выразим СС₁ через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.

Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).

Тогда уравнение совместности деформаций будет:

Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N₁ через N₂

Подставим соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:

N₁ = 7,12кН (растянут),

Определим напряжения в стержнях.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: примеры расчёта статически неопределимых стержней при растяженииСкачать

Задача на статически неопределимый брус с зазором

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции R_Aи R_В. Составим уравнение статики.

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.

1. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит

Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10 -3 м

Е – модуль упругости, Е=2·10 5 МПа=2·10 8 кПа.

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию R_А.

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.

5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле и строим их эпюры

Строим эпюру нормальных напряжений.

Проверяем прочность.

Видео:Статически неопределимый брус. Растяжение-сжатие. Сопромат.Скачать

Задача на определение перемещений с учетом собственного веса

На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м 3 ). Найти перемещение сечения 1 –1.

Дано: Е =2·10 5 МПа, А = 11 см 2 , а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.

Учет собственного веса

Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.

Обозначим его как . Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в

Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.

Обозначим его как Оно будет вызываться собственным весом участка а+в

Тогда полное перемещение сечения 1-1:

Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.

Видео:Определение реакций опор в балке. Сопромат.Скачать

Задача

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Q_доп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести 4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см 2

Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.

(1) -уравнение равновесия

Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы: (2)

По закону Гука имеем:

Длины стержней: Тогда получим:

Подставим полученное соотношение в уравнение (1):

Определяем напряжение в стержнях:

Допускаемая нагрузка:

В предельном состоянии: Подставим полученные соотношения в уравнение (1):

При сравнении видим увеличение нагрузки:

Видео:Лекция №1 Постановка задачи теории упругости. Условия совместности деформаций Сен-Венана.Скачать

Задача

Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части

Составим уравнение статики: N_C+ N_M — P= 0 , N_C+ N_M = P (1)

Задача статически неопределима. Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы: (2) или Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне :

(3) Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:

При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости. При Е_С = 2·10 5 МПа, Е_М = 1·10 5 МПа:

Видео:25. Статически неопределимая балка. Метод сил ( практический курс по сопромату )Скачать

Задача

Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2 . 10 5 МПа, А = 25 см 2 После приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.

Составим уравнение статики: ∑y = 0; С + В – Р = 0; (1)

Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ₁+∆ℓ₂=0,3 мм (2);

Чтобы найти абсолютную деформацию, необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С, на втором разности (С- Р). Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций: (3)

Подставляем выражение (3) в выражение (2) и находим: С = 150 кН, а из (1) B = 50 кН .

Тогда напряжения на участках:

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: дифференциальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать

Задача на монтажные (начальные) напряжения

На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:

Схема заданной системы

После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение.

Точки С, D и К переместятся в положения С₁, D₁ и К₁

Согласно картине деформирования СС₁=Δℓ₁, DD₁=Δ−D₁D₂ = Δ−Δℓ₂, KK₁= Δℓ₃, при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие, а стержень 2 – растяжение.

В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:

Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС₁ и BDD₁, треугольников ВСС₁ и BKK₁ следует:

Согласно закона Гука абсолютные деформации:

Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом: Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия , получим:

N₁=14,3 кН (стержень сжат), N₂=71,5 кН (стержень растянут), N₃=42,9 кН (стержень сжат).

Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения: Задача решена.

Видео:27. Статически неопределимый стержень ( растяжение-сжатие ) ( практический курс по сопромату )Скачать

Задача на температурные напряжения

Ступенчатый медный стержень нагревается от температуры t_Н=20ºС до t_К=50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:

Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами: Как видим ,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.

Уравнение совместности деформаций следует из условия, что перемещения внешних связей равны 0 — W_В=0 или W_К=0. Таким образом:Откуда:

В результате R_B=20723Н.

Нормальные силы и напряжения на участках:

Согласно результатам расчетов σ_max=│69,1│MПа, при этом σ_max Запись опубликована 22.02.2015 автором admin в рубрике Статически неопределимые задачи. Р-С.

Видео:Основы Сопромата. Теория 1. Растяжение - сжатие стержняСкачать

Задача

Расчет стержня с зазором. Для стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:

Схема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений

Составим уравнение равновесия стержня:

В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.

Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня:

Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации:

Определим нормальные (продольные) силы методом сечений, идем от стены к зазору:

Подставим все найденные значения в дополнительное уравнение:

После подстановки исходных данных и сокращений:

Из уравнения равновесия получаем:

Таким образом, R_В=40,74 кН, R_К=9,26 кН.

Расчет нормальных сил: Строим эпюру N

Расчет нормальных напряжений:Строим эпюру нормальных напряжений

Расчет перемещений характерных сечений.

Принимается правило знаков для перемещений: вниз – положительные, вверх – отрицательные.Строим эпюру перемещений.

Из эпюры нормальных напряжений видно, что:

Следовательно, условие прочности стержня не выполняется.

Видео:Сопромат. Часть 1. Растяжение (сжатие). Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений.Скачать

Задача

Дана статически неопределимая стержневая система (деталь ВСD — жесткая). Требуется подобрать площади поперечных сечений стержней 1 и 2.

Обозначим усилия в стержнях 1 и 2 соответственно N₁ и N_2.

Покажем схему системы с усилиями N₁ и N₂

Составим для данной системы уравнение равновесия, исключая из рассмотрения реактивные силы в опоре С Данное уравнение содержит два неизвестных: N₁ и N₂. Следовательно, система один раз статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение. Это уравнение деформаций.Покажем систему в деформируемом состоянии под действием нагрузки:

Схема деформирования системы

Из анализа системы в деформируемом состоянии следует, что:

Поскольку , и учитывая, что можно записать: Последняя запись и есть необходимое дополнительное уравнение деформаций.

Запишем значения абсолютных деформаций стержней:

Тогда с учетом исходных данных дополнительное уравнение примет вид:

Принимая во внимание уравнение равновесия, получим систему:

Из решения этой системы уравнений следует:

N₁=48кН (стержень растянут), N₂=-36,31кН (стержень сжат).

Согласно условию прочности стержня 1 :

тогда с учетом условия А₁=1,5А₂ по заданию, получаем

Согласно условию прочности стержня 2 :Тогда

Видео:Основы Сопромата. Виды опор. Определение реакций опорСкачать

Статически неопределимые системы

Видео:Статически определимые и статически неопределимые системыСкачать

Статически неопределимые системы. Метод сравнения деформаций

Основные понятия о степенях свободы и статической неопределимости

Вначале рассмотрим вопрос о возможностях перемещения механических систем — степенях свободы. Это изучалось в курсе теоретической механики. Однако, считаем необходимым повторить это и в курсе сопротивления материалов.

Пусть абсолютно жесткое тело находится в пространства (рис. 86 а). Выберем произвольную систему координатных осей — Х, У, Z. В этом пространстве тело имеет возможность совершить шесть независимых движений — смещения по направлению каждой оси U, V, W и повороты около этих осей , , . Таким образом, тело имеет шесть степеней свободы.

Теперь, поместим тело уже на плоскости, образованной координатными осями X и Y (рис. 86 б). Количество независимых движений этого тела равно трем — смещения по направлениям осей X и У —U и V, а также поворот около начала координат а. Количество степеней свободы равно трем.

Поместим на плоскость два абсолютно жестких не связанных друг с другом тела (рис. 86 в). Количество степеней свободы этой системы равно шести — три степени свободы одного тела , , , и три степени свободы другого тела , , .

Однако, элементы конструкций чаще всего как-то связаны друг с другом и опорой. Каждая связь уменьшает количество степеней свободы на единицу. Соединим два тела шарниром (рис. 86 г). Полученная система в цепом может совершить движения по направлению оси X и оси Y — и а также поворачиваться около начала координат .

Кроме того, одно тело может поворачиваться относительно другого ct| за счет связывающего их шарнира. Таким образом, шарнир уменьшил количество степеней свободы на два. Значит, установленный шарнир ограничивает возможность движений системы (рис. 86 г) на два, то есть шарнир, соединяющий оба тела, имеет две связи.

На рисунке (рис. 86 д) показана балка, разрезанная на пять частей четырьмя шарнирами , , и и опирающаяся на шарнирно неподвижную опору и шарнирно подвижные опоры, , и . Части балки в плоскости, образованной двумя осями X и Y в сумме имеют 15 степеней свободы. Шарнирно неподвижная опора слева и четыре шарнирно подвижные опоры ограничивают возможность шести

смещениям системы, а четыре шарнира, каждый из которых имеет по две связи, ограничивают возможность движений по восьми направлениям. Таким образом, система имеет только одну степень свободы 15-6-8=1.

Сделанные выше рассуждения, очень важны при исследовании статически неопределимых механических систем. Дадим определение статически неопределимым системам.

Статически неопределимыми системами называются такие системы, у которых количество неизвестных реакций или внутренних сил превышает число уравнений равновесия. В этом случае реакции и внутренние силы методами статики найдены быть не могут. Любая статически неопределимая система характеризуется степенью статической неопределимости, которая равна разности числа неизвестных и числа линейно независимых уравнений равновесия. Статическая неопределимость может быть внутренней и внешней (рис.89).

Таким образом, для определения неизвестных в статически неопределимых системах следует иметь такое количество уравнений, которое было бы равно числу неизвестных. Если количества уравнений равновесия не хватает, то необходимо дополнительно составить уравнения, но уже не по условию статического равновесия, а из каких-то других соображений, например, по условию совместности деформаций элементов рассматриваемой конструкции. Такие уравнения будем называть дополнительными. Число дополнительных уравнений должно быть равным степени статической неопределимости механической системы.

На рисунке (рис.87 а) показана балка, опирающаяся на три опоры. Левая опора является шарнирно неподвижной и имеет две связи. Поэтому в ней появляются две реакции и . Опоры В и С шарнирно подвижные,

имеют по одной связи. В каждой из них появляется по одной реакции и . То есть балка имеет четыре связи. Но балку следует рассматривать как тело расположенное в плоскости. Поэтому она имеет три степени свободы — перемещения по вертикальному и горизонтальному направлениям и поворот около неподвижной точки. Значит, степень статической неопределимости балки равна n=4-3=1 и требуется составить одно дополнительное уравнение.

Дополнительное уравнение присоединяется к трем уравнениям равновесия. В результате получается система, содержащая четыре уравнения, то есть столько, сколько неизвестных. Решением этой системы уравнений, определяются все неизвестные — внешние (реакции) и внутренние (внутренние силы). Рассмотренная балка имеет внешнюю статическую неопределимость.

На рисунке (рис. 87 б) показана рама, расположенная в плоскости XY и опирающуюся на шарнирно неподвижную опору А с двумя связями и шарнирно подвижную опору В, с одной связью. Если рассматривать раму как одно тело, имеющую три степени свободы в плоскости XY, то ее следует рассматривать как статически определимую. В сумме опоры А и В имеют три связи, соединяющие раму с опорой. Поэтому количество уравнений равновесия равно количеству неизвестны сил (реакций) в этих связях. А это значит, что неизвестные реакции могут быть найдены только из уравнений равновесия. Значит рама внешне статически определимая.

Если нам понадобиться найти не только реакции, но и внутренние силы в сечениях рамы, то уравнений статического равновесия не хватит. Вертикальным сечением разделим раму на две части — левую и правую, отбросим правую часть и рассмотрим левую (рис 87 б). Отброшенная правая часть действует на левую часть внутренними силами , , и , , . То есть всего неизвестных шесть, а уравнений равновесия можно составить только три. Очевидно, что уравнений недостаточно и требуется составить еще три дополнительных уравнения уже не по условию равновесия, а из условия совместности деформаций. Следовательно, рама внутренне трижды статически неопределимая.

Статически неопределимые системы являются более экономичными и часто применяются в строительстве. Однако, расчет таких конструкций более трудоемкий и сложный чем статически определимых конструкций.

Эта теория взята со страницы подробного решения задач по предмету «Сопротивление материалов»:

Дополнительные страницы которые вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📽️ Видео

Статически неопределимые задачи на Растяжение-сжатие, стержневая системаСкачать

Сопромат. Практическое занятие №1.1Скачать

30. Статически неопределимая балка ( уравнение трех моментов ) ( практический курс по сопромату )Скачать

11. Кручение ( практический курс по сопромату )Скачать

Сопротивление материалов. Занятие 10. Часть 1. Расчет статически неопределимой балки.Скачать