Уравнение сопряженной гиперболы директрисы гиперболы (4 видео)

Уравнение сопряженной гиперболы директрисы гиперболы

Две гиперболы называются сопряженными (рис. 52), если они имеют общий центр О и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой.

На рис. 52 — действительная ось гиперболы I и мнимая ось гиперболы действительная ось гиперболы II и мнимая ось гиперболы . Если

есть уравнение одной из сопряженных гипербол, то другая представляется уравнением

Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты на рис. 52).

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Содержание

Гипербола и её свойства
Гипербола и её форма.
Параметры гиперболы; связь между ними.
🎥 Видео

Видео:Гипербола (часть 7). Директрисы гиперболы. Высшая математика.Скачать

Гипербола и её свойства

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac<x^><a^>-frac<y^><b^>=1.label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac<x^><a^>-frac<k^x^><b^>=1.
$$
Поэтому, если (b^-a^k^ > 0), то
$$
x=pm frac<sqrt<b^-a^k^>>.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^-a^k^)^). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Параметры гиперболы; связь между ними.

Числа а и b называют вещественной и мнимой полуосями соответственно. Числа 2а и 2b – вещественной и мнимой осями.

Из определения b 2 следует, что b 2 =c 2 -a 2 , c 2 =a 2 +b 2

Если b=a, то гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы становится квадратом и его диагонали, т.е. асимптоты гиперболы, перпендикулярны. В этом случае их можно принять за новые оси координат. В результате получится «школьная» гипербола.

Эксцентриситет гиперболы. Оптическое свойство гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называют величину, равную отношению расстояния между фокусами к большей оси гиперболы.

E=√(1+b 2 /a 2 ), E 2 =1+b 2 /a 2 , b 2 /a 2 =E 2 -1, b/a=√(E 2 -1)

Если Е=1, то это означает, что c=a, b=0. В этом случае гипербола вырождается в отрезок на прямой Ox (-∞,-a] и [a,+ ∞).

Если E=∞, b/aè∞. Гипербола превращается в две прямые, перпендикулярные оси Ox и проходящие через вершины действительной оси гиперболы.

Если E=√2, то a=b, гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы вырождается в квадрат, асимптоты взаимно перпендикулярны.

Оптическое свойство гиперболы: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.

Параметрическое уравнение гиперболы

a 2 ch 2 (t)/a 2 -b 2 ch 2 (t)/b 2 =1, ch 2 (t)-sh 2 (t)=1 – основное гиперболическое тождество

В этой записи x≥a, поэтому эти параметрические уравнения описывают правую ветвь гиперболы. Левую ветвь описывает система:

Сопряженная гипербола; связь между параметрами

Уравнение сопряженной гиперболы:

-x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1

Фокусы гиперболы располагаются на мнимой оси. (рисунок)

E=c/b, E=√(1+(a/b) 2 ), a/b=√(E 2 -1)

y=±b/a *x – уравнение асимптот сопряженной гиперболы.

Определение и вывод канонического уравнения параболы. Параметры параболы

Параболой называют множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Для вывода канонического уравнения параболы нужно построить специальную систему координат:

1. построить прямую, проходящую через F перпендикулярно директрисе и направить её от директрисы к F.

2. OF=P/2. P — параметр параболы, O – начало координат.

Точка фокуса параболы имеет координаты F (p/2, 0).

Уравнение директрисы: x=-p/2.

Точка M (x, y) принадлежит параболе, если расстояние d1 от директрисы до точки M равно расстоянию d2 от фокуса до точки M.

d1=x+p/2, d2=√((x-p/2) 2 +y 2 )

(x+p/2) 2 =(x-p/2) 2 +y 2

x 2 -px+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4

y 2 =2px – каноническое уравнение параболы. Число 2P называют раствор параболы.

Очевидно, если (x0, y0) принадлежит параболе, то и (x0, -y0), симметричная ей относительно оси Ox, так же принадлежит параболе.

Поэтому парабола имеет одну ось симметрии (Ox), одну вершину – О, один фокус F (p/2, 0) и одну директрису — x=-p/2.

Параметрических уравнений у параболы нет.

Оптическое свойство параболы

Пусть из фокуса луч выпущен на параболу. Отраженный луч пройдет параллельно оси Ох.

Если из фокуса на параболу выпущен пучок лучей, то они отразятся и пройдут параллельно Ох. Если на параболу направить пучок лучей, то после отражения они попадут в точку фокуса.

Первый факт используется в осветительных приборах.

Параллельный перенос системы координат

Пусть в пространстве дана система координат XYZ и другая система координат X1Y1Z1 с соответственно параллельными и одинаково направленными осями. Пусть дана точка M (x, y, z) в данной системе координат и (x1, y1, z1) в новой. О (x0, y0, z0) – начало координат в старой системе.

Построим векторы ОМ, О1М и ОО1. Координаты точки М являются проекциями её радиус вектора, поэтому вектор ОМ совпадает с координатами в старой системе. ОО1 совпадает с координатами О1 в старой системе координат. Заметим, что проекции вектора на параллельные и одинаково направленные оси равны.

ОО1 + О1М=OM, значит это векторное равенство равносильно трем скалярным для одноименных координат:

Найдем старые координаты через новые:

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть уравнение кривой второго порядка не содержит, А 2 +С 2 >0

Ax 2 +Cy 2 +Dx+Ey+F=0

Выделяя полные квадраты, приведем его либо к уравнению одного из следующих видов:

(x-x0) 2 /a 2 +(y-y0) 2 /b 2 =1

(x-x0) 2 /a 2 -(y-y0) 2 /b 2 =1

-(x-x0) 2 /a 2 +(y-y0) 2 /b 2 =1

Или будет какой-нибудь частный случай.

Введем новую систему координат:

И получим систему с центром в точке O1. Тогда в новой системе координат уравнение кривой будет каноническим.